he thuc viet hay

he thuc viet hay tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực kinh tế, ki...

Chuyên đề: Phơng trình bậc hai và áp dụng Chứng minh phơng trình bậc hai có nghiệm hoặc vô nghiệm với hệ

số bị ràng buộc

Bài toán 1: Chứng minh rằng phơng trình ax2 +bx+c=0 (a≠ 0) có hai nghiệm nếu một trong hai điều kiện sau đợc thoả mãn:

i) a(a+ 2b+ 4c)< 0 ii) 5a+ 3b+ 2c= 0

Bài toán 2: Cho a, b, c là các số không âm thoả mãn điều kiện a+2b+3c=1 Chứng minh

rằng ít nhất một trong hai phơng trình sau có nghiệm

4x2 − 4 ( 2a+ 1 )x+ 4a2 + 192abc+ 1 = 0 (1)

4x2 − 4 ( 2b+ 1 )x+ 4b2 + 96abc+ 1 = 0 (2)

Bài toán 3: a) Cho a, b, c thoả mãn điều kiện b>a+c và a>0 Chứng minh rằng phơng

trình ax2 +bx+c=0 có hai nghiệm phân biệt

b) Chứng minh rằng phơng trình ax2 +bx+c =0 (a ≠ 0) có nghiệm nếu 2 − ≥ 4

a

c b

c) Cho f(x) =ax2 +bx+c (a ≠ 0) Chứng minh rằng nếu tồn tại m∈R để a.f(m) ≤ 0 thì phơng trình f(x)=0 có nghiệm

Bài toán 4: Chứng minh rằng nếu a + b > 2 thì phơng trình 2ax2 +bx+1−a =0 có

nghiệm

Bài toán 5: Chứng minh rằng với mọi a, b, c thoả mãn điều kiện a+b+c≠ 0 thì phơng trình sau luôn có nghiệm a(x−b)(x−c) +b(x−c)(x−a) +c(x−a)(x−b) = 0

Bài toán 6: Cho a, b, c là ba số thoả mãn điều kiện 14a+6b+3c=0 Chứng minh rằng

ph-ơng trình ax2 +bx+c=0 có nghiệm

Bài toán 7: Giả sử p =abc là số nguyên tố Chứng minh rằng phơng trình ax2 +bx+c =0

không có nghiệm hữu tỉ

Bài toán 8: Chứng minh rằng:

a) Nếu phơng trình x2 +ax+b=0 (a,b∈Z) có các nghiệm hữu tỉ thì các nghiệm đó là những số nguyên

b) Nếu a, b, c là những số nguyên lẻ thì phơng trình ax2 +bx+c=0 không có nghiệm hữu tỉ

Bài toán 9: Cho a, b, c thoả mãn -1<a,b,c<1 và a+b+c=0 Chứng minh rằng phơng trình

sau vô nghiệm x2 − 2 (a−b−c)x+ 2 ( −ab+bc−ca+ 1 ) = 0

Bài toán 10: Cho a, b, c là ba số dơng khác nhau có tổng bằng12, Chứng minh rằng trong

ba phơng trình sau có một phơng trình có nghiệm, một phơng trình vô nghiệm

0

2 +ax+b=

x2 +bx+c =0 (2) và x2 +cx+a=0 (3)

Bài toán 11: Cho a, b, c là ba số khác 0 còn p, q là hai số tuỳ ý.Chứng minh rằng phơng

trình sau luôn có nghiệm

c q x

b p x

−

+

−

2 2

Chuyên đề: Phơng trình bậc hai một ẩn và áp dụng xác định giá trị của tham số để hai phơng trình bậc hai

có một nghiệm chung

Bài toán 1: Tìm m để hai phơng trình sau có nghiệm chung

0 12 ) 2 3 (

2x2 − m+ x+ = (1)

0 36 ) 2 9 (

4x2 − m− x+ = (2)

Bài toán 2: Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có nghiệm chung, tìm nghiệm

chung đó

0 19 ) 1 7 ( 6

0 9 ) 1 3 ( 2

2

2

=

−

− +

=

− + +

x m x

x m x

Bài toán 3: Xét các phơng trình ax2 +bx+c=0 (1)

cx2 +bx+a=0 (2) Tìm hệ thức giữa a, b, c là điều kiện cần và đủ để hai phơng trình trên có một nghiệm chung duy nhất

Bài toán 4: Với những giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có nghiệm chung

0 1

2x2 +mx− = (1)

0 2

2 −x+ =

mx (2)

Bài toán 5: Hãy xác định m để hai phơng trình sau có nghiệm chung

0 1 2

2 −mx+ m+ =

0 1 ) 1 2 (

2 − m+ x− =

Bài toán 6: Cho hai phơng trình x2 −2mx+4m=0 (1)

x2 −mx+10m=0 (2) Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (2) có một nghiệm bằng hai lần một nghiệm của phơng trình (1)

Bài toán 7: Tìm hệ thức giữa a và b để cho hai phơng trình sau nếu có nghiệm thì chúng

có một nghiệm chung và chỉ một mà thôi x2 + 2 (a− 1 )x+ 2a(a− 2 ) = 0 (1)

x2 + 2 (b− 1 )x+ 2b(b− 2 ) = 0 (2)

Bài toán 8: Cho hai phơng trình x2 +x+a =0 (1) và x2 +ax+1=0 (2)

a) Tìm các giá trị của a để hai phơng trình trên có ít nhất một nghiệm chung

b) Với những giá trị nào của a thì hai phơng trình trên tơng đơng

Bài toán 9: Tìm a để hai phơng trình sau có nghiệm chung.

0 1

2 +x+ =

ax (1)

0 1

2 +ax+ =

x (2)

Bài toán 10: Chứng minh rằng nếu hai phơng trình

0

2 +ax+b=

x (1)

0

2 +cx+d =

x (2)

Có nghiệm chung thì (b−d) 2 + (a+c)(ad −bc) = 0

Chuyên đề: Hệ thức vi-ét Các dạng toán áp dụng.

Bài toán 1: Cho phơng trình (m+ 1)x2 − 2(m− 1)x m+ − = 2 0

a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 2, tìm nghiệm kia.

c) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x x1; 2 thoả mãn

1 1 7

4

x + x =

Bài toán 2: Cho phơng trình x2 − 2(m− 1)x m+ − = 3 0

a) CMR: với mọi giá trị của m phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phơng trình đã cho.Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm độc lập với m.

Bài toán 3: Cho phơng trình 2x2 − 6x m+ = 0

a) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm dơng.

b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm x x1; 2 thoả mãn 1 2

3

x x

x + x =

Bài toán 4: Cho phơng trình (m+ 1)x2 + 2(1 −m x m) + − = 2 0.

a) Xác định m để phơng trình có nghiệm.

b) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 2, tìm nghiệm kia.

c) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x x1; 2 thoả mãn 3(x1+x2) 5 = x x1 2

Bài toán 5: Cho phơng trình x2 − 2(m+ 1)x+ 2m+ = 10 0 (m là tham số).

a) Tìm m để phơng trình có nghiệm.

6

P= x x +x +x trong đó x x1; 2 là nghiệm của phơng trình đã cho.Tìm m để

P đạt GTNN, tìm giá trị nhỏ nhất ấy.

Bài toán 6: Cho phơng trình bậc hai ẩn x (m+ 1)x2 − 2(m− 1)x m+ − = 3 0

a) CMR: phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phơng trình Tìm m để x x1. 2 > 0 và x1= 2x2

Bài toán 7: Cho phơng trình x2 − 2x− = 1 0 Không tính nghiệm của phơng trình hãy tính giá trị các biểu thức a) 7 7

x +x b) x1−x2

Bài toán 8: Cho phơng trình (m− 4)x2 − 2(m− 2)x m+ − = 1 0 Xác định m để phơng trình

a) Có hai nghiệm cùng dấu.

b) Có hai nghịêm trái dấu và nghiệm âm có GTTĐ lớn hơn.

c) Có một nghiệm dơng.

Bài toán 9: Cho phơng trình x2 − 2(1 2 ) + m x+ + 3 4m= 0

a Xác định m để phơng trình có nghiệm x x1; 2

b Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm độc lập với m.

A x= +x

d) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng ba lần nghiệm kia.

Bài toán 10: Cho phơng trình 2x2 − − =x 2 0 Không tính nghiệm của phơng trình hãy tính giá trị các biểu thức

A

+ +

Bài toán 11: Cho phơng trình ẩn x (m là tham số): x2 −mx m+ − = 1 0

1 CMR phơng trình có nghiệm x x m1; 2∀ Tính nghiệm kép (nếu có) của phơng trình và giá trị tơng ứng của m

2 Đặt 2 2

A x= +x − x x a) CMR: A=m2+8m+8 b) Tìm m sao cho A=8

c) Tìm GTNN của A và giá trị tơng ứng của m

Bài toán 12: Cho phơng trình ẩn x (m là tham số): x2 − 2mx+ 2m− = 1 0

1 CMR phơng trình có nghiệm x x m1; 2∀

A= x +x − x x a) CMR: A=8m2-18m+9 b) Tìm m sao cho A=27 c) Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng hai nghiệm kia

Bài toán 13: Cho phơng trình: x2 − 2(m− 1)x+ 2m− = 4 0

a) CMR: phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phơng trình Tìm GTNN của 2 2

M =x +x

Bài toán 14: Cho phơng trình ẩn x: mx2 − 2(m+ 2)x m+ = 0

a) Xác định m để phơng trình có nghiệm.

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm đều âm

Bài toán 15: Cho phơng trình ẩn x: 5x2 +mx− 28 0 = Xác định mđể phơng trình có hai

nghiệm x x1; 2 thoả mãn 5x1+ 2x2 = 1

Bài toán 16: Cho phơng trình: x2 − 2(m+ 1)x m+ 2 + − =m 6 0

a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm đều âm

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x x1; 2 thoả mãn 3 3

x −x =

Bài toán 17: Cho phơng trình ẩn x: x2 − (2m+ 1)x m+ 2 − 4m+ = 5 0 có ẩn là x

a) Xác định m để phơng trình có nghiệm

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dơng

Bài toán 18: Cho phơng trình (x− 2)(x2 − − −x) (x 2)(2x m− ) 0 = (1)

a) Giải phơng trình (1) khi m=1

b) Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt

Bài toán 19: Cho phơng trình: x2 − 2(m+ 1)x+ 2m= 0

a) CMR: phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phơng trình CMR: giá trị của biểu thức B=x1+ −x2 x x1. 2

không phụ thuộc vào tham số m

Bài toán 20: Cho phơng trình: x2 − 2(m− 1)x m+ − = 3 0

a) CMR: phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phơng trình.Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

Bài toán 21: Cho phơng trình

Bài toán 21: Cho phơng trình (m+ 1)x2 + 2(1 −m x m) + − = 2 0

a) Xác định m để phơng trình có nghiệm

b) Xác định m để phơnmg trình có nghiệm bằng 2, tính nghiệm kia

c) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x x1; 2 thoả mãn điều kiện 3(x1+x2) 5 = x x1 2

Bài toán 22: Cho phơng trình bậc hai x2 − 2(m+ 1)x+ 2m+ = 10 0

a) Tìm m để phơng trình có nghiệm

b) Cho biểu thức P= 2 2

6x x +x +x trong đó x1; x2 là nghiệm của phơng trình đã cho Tìm m sao cho P đạt giá trị nhỏ nhất.Tính giá trị nhỏ nhất ấy

Bài toán 23: Cho phơng trình bậc hai ẩn x (m+ 1)x2 − 2(m− 1)x m+ − = 3 0

a) CMR phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phơng trình Tìm m để x x1 2 > 0 và x1= 2x2

Bài toán 24: Cho x x1; 2 là hai nghiệm của phơng trình 2

2

1 0

x mx

m

Tìm GTNN của biểu trhức 4 4

x +x

Bài toán 25: Cho phơng trình ẩn x: x2 − 2(m+ 2)x m+ + = 1 0

a) Giải phơng trình khi m= 3

2

−

b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu

c)Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phơng trình Tìm giá trị của m để

2 (1 2 ) (1 2 )

x − x +x − x =m

Bài toán 26: 1) Cho phơng trình x2 − + + =ax a 1 0.

a) Giải phơng trình khi a=-1

b) Xác định a biết rằng phơng trình đã cho có một nghiệm là 1 3

2

x = − Với giá trị tìm đợc của a hãy tính nghiệm thứ hai của phơng trình

2) CMR: a b+ ≥ 2 thì ít nhất một trong hai phơng trình sau có nghiệm

x + ax b+ = và x2 + 2bx a+ = 0

Bài toán 27:Cho phơng trình bậc hai x2 − 2(k− 2)x− 2k− = 5 0

a) CMR phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi k

b) Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phơng trình.Tìm giá trị của k sao cho 2 2

x +x =

Bài toán 28: Cho phơng trình bậc hai ẩn x, tham số m, n: x2 +mx n+ − = 3 0

1) Cho n=0

a) CMR phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng 1

2) Tìm m và n để hai nghiệm x x1; 2 của phơng trình thoả mãn 2 2

x − =x x −x =

Bài toán 29: Cho phơng trình bậc hai ẩn x, tham số m: x2 − 2mx+ 2m− = 1 0

a) Giải phơng trình khi m=1 b) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép

c)Với m=? phơng trình có hai nghiệm cùng dấu Khi đó hai nghiệm mang dấu gì ?

Chuyên đề: Hệ thức vi-ét Các dạng toán áp dụng.(Tiếp)

Bài toán 30: Cho phơng trình x2 + (2m− 5)x n− = 0 (x là ẩn)

a) Giải phơng trình khi m=1; n=4

b) Tìm m và n để phơng trình có hai nghiệm là 2 và -3

c) Cho m=5 Tìm số nguyên n nhỏ nhất để phơng trình có nghiệm dơng

Bài toán 31: Cho phơng trình x2 − 2(m+ 1)x+ 2m+ = 10 0 có hai nghiệm x x1; 2.Tìm giá trị của

10x x + +x x đạt giá trị nhỏ nhất

Bài toán 32: Cho phơng trình (2m− 1)x2 − 4mx+ = 4 0 (1) có ẩn là x

a) Giải phơng trình (1) với m=1

b) Giải phơng trình (1) với m bất kỳ

c) Tìm m để phơng trình có nghiệm bằng m

Bài toán 33: Chứng minh rằng nếu a, b là hai nghiệm của phơng trình x2 + px+ = 1 0

và b, c là hai nghiệm của phơng trình x2 +qx+ = 2 0 thì (b-a)(b-c)=pq-6

Bài toán 34: Cho phơng trình x2 − (2m+ 3)x m+ − = 3 0 (ẩn x)

a) CMR phơng trình đã cho luôn có nghiệm

b) Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phơng trình Tìm m để x1−x2 đạt GTNN, tìm GTNN ấy

Bài toán 35: Cho phơng trình x2 + px q+ = 0

a) CMR: nếu 2p2 − 9q= 0 thì phơng trình có hai nghiệm và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia

b) Cho p, q là các số nguyên CMR: nếu phơng trình có nghiệm hữu tỉ thì các nghiệm đó phải là số nguyên

Bài toán 36: Cho phơng trình x2 −mx− 6x− = 9 0 có ẩn là x.

a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều âm

b) Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phơng trình Tìm m để có 2 2

x +x =

Bài toán 37: Tìm k để phơng trình kx2 − (12 5 ) − k x− 4(1 + =k) 0 có tổng bình phơng các nghiệm bằng 13

Bài toán 38: Cho phơng trình mx2 + 2mx m+ 2 + 3m− = 3 0 có ẩn là x.

a) Tìm m để phơng trình vô nghiệm

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x x1; 2 thoả mãn x1−x2 = 1

Bài toán 39: CMR: phơng trình (a2 −b x2 ) 2 + 2(a3 −b x a3 ) + − = 4 b4 0 luôn có nghiệm với mọi

a, b

Bài toán 40: Cho phơng trình (m− 1)x2 − 2(m+ 1)x m+ = 0

1) Giải và biện luận phơng trình đã cho theo m

2) Khi phơng trình có hai nghiệm x x1; 2

a) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x x1; 2 độc lập với m

b) Tìm m sao cho x1−x2 ≥ 2

Bài toán 41: Cho phơng trình mx2 − 2(m− 1)x m+ = 0(m≠ 0) (1) CMR: nếu x x1; 2là nghiệm của (1) và thoả mãn 2 2

x +x = thì phơng trình trên có nghiệm kép

Bài toán 42: Cho phơng trình x2 − 2mx m+ 2 − = 1 0

a) CMR: phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm x x1; 2 với mọi m

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x x1; 2 không phụ thuộc vào m

c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x x1; 2 thoả mãn 1 2

5 2

x x

x − x = −

Bài toán 43: Cho phơng trình x2 +mx n+ = 0 ẩn x.

a) Tìm m và n biết rằng phơng trình có hai nghiệm x x1; 2 thoả mãn 1 2

1 7

x x

x x

− =



 − =



b) Cho biết n=m-2 Tìm m và n để 2 2

x +x đạt GTNN

Bài toán 44: Cho phơng trình x2 − (2m− 3)x m+ 1 − = 1 0 (ẩn x)

a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x x1; 2 thoả mãn x1+ 2x2 = − 4

b) Tìm m sao cho A đạt GTNN và tính giá trị ấy với 2 2

1 2 6 1 2

A x= + +x x x

Bài toán 45: Cho phơng trình x2 + px q+ = 0 Tìm p, q biết rằng phơng trình có hai nghiệm thoả mãn 1 2

5 35

x x

x x

− =



 − =



Bài toán 46: Cho phơng trình ax2 + + =bx c 0 có hai nghiệm số dơng x x1 ; 2 CMR: phơng trình cx2 + + =bx a 0cũng có hai nghiệm số dơng Gọi các nghiệm đó là x x3 ; 4 Chứng minh rằng (x1+x2)(x3+x4) 4 ≥

Bài toán 47: Gọi α β ; là các nghiệm của phơng trình 3x2 + 7x+ = 4 0 Không giảI phơng

trình hãylập một phơng trình bậc hai với hệ số bằng số mà các nghiệm của nó là

1

α

β − và 1

β

α −

Bài toán 48: Cho phơng trình (m2 + +m 1)x2 − (m2 + 8m+ 3)x− = 1 0

Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phơng trình Tìm GTLN và GTNN của tổng S=x1+x2

Bài toán 49: Cho phơng trình x2 + + =x m 0 với m là tham số Gọi x x1 ; 2 là hai nghiệm của phơng trình

a) Tìm m sao cho 3 3 2 2

x +x =x x +x x

b) Tìm GTLN của biểu thức 3 3 2 2

A x= + + +x x x

Bài toán 50: Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phơng trình x2 − (2m− 3)x+ − = 1 m 0

Tìm m để 2 2

1 2 3 1 2 ( 1 2 )

x + +x x x x +x đạt giá trị lớn nhất

Bài toán 51: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác CMR phơng trình

x + + +a b c x ab bc ca+ + + = vô nghiệm

Bài toán 52: Cho phơng trình mx2 + (2m− 1)x m+ + = 2 0

Tìm m để phơng trình đã cho có hai nghiệm x x1; 2 thoả mãn 2 2

x +x =

Bài toán 53: Gọi a, b là hai nghiệm của phơng trình x2 +px+ = 1 0; c, d là hai nghiệm của phơng trình y2 +qy+ = 1 0 Chứng minh hệ thức (a c a d b c b d− )( − )( − )( − ) ( = p q− ) 2

Bài toán 54: Cho phơng trình x2 − 2mx− 3m2 + 4m− = 2 0 (ẩn x)

a) CMR phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x x1; 2 với mọi m

b) Tìm m sao cho x1−x2 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài toán 55: Cho phơng trình (m+ 2)x2 − (2m− 1)x m+ − = 3 0 (ẩn x)

a) CMR phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

b) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm x x1; 2 Khi đó hãy tìm m

để phơng trình có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia

Bài toán 56: Cho phơng trình mx2 − (m2 + +m 1)x m+ + = 1 0

Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt khác -1

Bài toán 57: Cho f x( ) =x2 − 2(m+ 2)x+ 6m+ 1

a) CMR: phơng trình f(x)=0 có nghiệm với mọi m

b) Đặt x=t+2 Tính f(x) theo t từ đó tìm điều kiện của m để phơng trình f(x)=0 có hai nghiệm lớn hơn 2

Bài toán 58: Biết rằng x x1; 2 là hai nghiệm của phơng trình bậc hai ax2 + + =bx c 0 Viết

ph-ơng trình bậc hai nhận hai số 3 3

1 ; 2

x x là nghiệm

Bài toán 59: a) Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phơng trình x2 − + =ax 1 0

Tính A= 3 3

x +x theo a

b) Cho f x( ) 2 = mx4 − + (5 4 )m x3 + (2m− 20)x2 + (45m+ 26)x− + 32 2m Tìm m để f(x) có một nghiệm là 2 Chứng minh lúc ấy f(x) chia hết cho x2 − 7x+ 10 Tìm các nghiệm còn lại của

f(x)

Bài toán 60: Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phơng trình x2 − 7x+ = 3 0

a) Hãy lập một phơng trình bậc hai có hai nghiệm là 2x1−x2 và 2x2 −x1

b) Hãy tính giá trị của biểu thức A= 2x1−x2 + 2x2−x1

Bài toán 61: Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phơng trình x2 −mx+ = 2 0

Tính 2 2

A x= +x theo m

Bài toán 62: Chứng minh rằng nếu a a c( − + ) c c a( − + ) 8(d b− > ) 0

thì hai phơng trình x2 +ax b+ = 0 và − + + =x2 cx d 0 có ít nhất một phơng trình có hai

nghiệm phân biệt

Bài toán 63:

Cho phơng trình (m− 4)x2 − 2(m− 2)x m+ − = 1 0 Xác định m để phơng trình

a) có hai nghiệm cùng dấu

b) Có hai nghiệm tráidấu và nghiệm âm có GTTĐ lớn hơn

c) Có một nghiệm dơng

Bài toán 64: Cho phơng trình x2 − (2m− 1)x m+ − = 5 0

a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng -1 và tìm nghiệm kia

b) CMR phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x x1; 2 với mọi m

c) Với giá trị nào của m thì 2 2

A x= +x đạt GTNN tìm GTNN ấy

Bài toán 65: Cho phơng trình x2 − (2m− 1)x m− − = 3 0

a)CMR phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

b) Tìm m sao cho phơng trình có hai nghiệm x x1; 2 thoả mãn 2 2

x +x ≥

Bài toán 66: Cho phơng trình x2 − (2m+ 3)x m+ 2 − 3m= 0

a) CMR phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm khi m thay đổi

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn 1 < <x1 x2 < 6

Bài toán 67: Cho phơng trình x2 − (2m+ 1)x m+ 2 + − =m 6 0

a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm đều âm

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x x1; 2 thoả mãn 3 3

x −x =

Bài toán 68: Cho phơng trình x2 − (2m+ 1)x m+ 2 − 4m+ = 5 0

a) Xác định m để phơng trình có nghiệm

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dơng

Bài toán 69: Cho phơng trình (m+ 1)x2 − 2(m+ 2)x m+ − = 3 0

a) Xác định m để phơng trình có nghiệm

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x x1; 2 thoả mãn (4x1+ 1)(4x2+ = 1) 18

Bài toán 70: Cho hai phơng trình 2

x +p x q+ = và 2

x +p x q+ = Biết rằng

1 2 2( 1 2 )

p p = q +q CMR: ít nhất một trong hai phơng trình đã cho có nghiệm

Bài toán 71: Cho phơng trình (m2 − +m 1)x2 − (m2 + +m 1)x− = 1 0

a) CMR phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm x x1; 2

b) Tìm GTNN của P=x x1. 2

c) Tìm GTLN, GTNN của biểu thức S=x1+x2

Bài toán 72: Cho phơng trình (m2 + +m 1)x2 − (m2 + 2m+ 2)x− = 1 0

a) CMR: phơng trình đã cho có hai nghiệm trái dấu với mọi m

b) Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phơng trình trên Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

S=x1+x2

Bài toán 73: Cho phơng trình 2x2 + 2(m+ 2)x m+ 2 + 4m+ = 3 0

a) Tìm các giá trị của m để phơng trình có nghiệm

b) CMR: khi phơng trình có nghiệm thì hai nghiệm của nó thoả mãn

2

2

2

+ + ≤ + ữữ

Bài toán 74: Tìm Tất cả các sô nguyên k để phơng trình :

kx2 –(1-2k)x + k – 2 = 0 luôn có nghiệm hữu tỉ

Bài toán 75: Cho 2 phơng trình : x2 + a1x +b1 =0 (1)

x2 + a2x + b2 = 0 (2)

Cho biết a1a2 ≥ 2(b1 +b2) Chứng minh một trong hai phơng trình đã cho có nghiệm

Chuyên đề: Phơng trình bậc hai và áp dụng

so sánh nghiệm của phơng trình bậc hai với một số cho trớc

*********

Bài toán 1: Tìm m để phơng trình x2 −mx m+ = 0 có nghiệm thoả mãn điều kiện

x ≤ − px

Bài toán 2: Tìm m để phơng trình 2mx2 − + =x m 0 có nghiệm thoả mãn

1 2

x < − ≤x

Bài toán 3: Cho phơng trình x2 + 2(m− 1)x− (m+ = 1) 0

a) Tìm m để phơng trình có một nghiệm nhỏ hơn 1, một nghiệm lớn hơn 1

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm nhỏ hơn 2

Bài toán 4: Chứng minh rằng nếu a, b, c là những số dơng thì phơng trình

0

x+x a+ x b=

Có hai nghiệm x x1; 2 (x >x )1 2 sao cho 1 2

x

< < và 2 2

x

− < < −

Bài toán 5: Cho hai phơng trình x2 − 2px n+ = 0 (1) và x2 − 2mx n+ = 0 (2)

Tìm điều kiện cần và đủ để mỗi phơng trình có một nghiệm nằm xen giữa hai nghiệm của phơng trình kia

Bài toán 6: Tìm giá trị của tham số m để phơng trình sau có hai nghiệm phân biệt nhỏ

hơn 1: x2 − (m− 1)x m− = 0

Bài toán 7: Tìm m để phơng trình 3x2 − 4x+ 2(m− − 1) 0 có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2

Bài toán 8: Xác định m để phơng trình mx2 − 2(m− 2)x+ = 1 0 có hai nghiệm phân biệt và nghịch đảo của hai nghiệm đều nhỏ hơn 1

Bài toán 9: Cho phơng trình mx2 − 2(m− 3)x m+ − = 4 0 Xác định m để phơng trình:

a) Có đúng một nghiệm dơng

b) Có đúng một nghiệm không dơng

Bài toán 10: Cho phơng trình (m− 4)x2 − 2(m− 2)x m+ − = 1 0 Xác định m để phơng trình

có hai nghiệm x x1; 2 thoả mãn:

a) x1< < 0 x2 và x1 >x2

x + =x x +x

Bài toán 11: Cho phơng trình (m+ 1)x2 − 2mx m+ + = 5 0 Xác định m để phơng trình :

a) Có hai nghiệm đều nhỏ hơn 2.

b) Có ít nhất một nghiệm nhỏ hơn 2

Bài toán 12: Cho phơng trình ax2 + + =bx c 0;(a≠ 0) có hai nghiệm x x1; 2 thoả mãn điều kiện 2

x =x

Chứng minh rằng: b3 +a c ac2 + 2 = 3abc.

Chuyên đề: Hệ thức vi-ét Các dạng toán áp dụng.(Tiếp)