Tích phân và ứng dụng

Một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f x, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được gọi là hình thang cong.. Khi đó f [ux]u0xdx = f tdt äHàm dưới dấu tích phân chứa biểu t

TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN

1.Diện tích hình thang cong.

a) Hình thang cong Cho hàm số y = f (x) liên tục, không đổi dấu trên

đoạn [a;b] Một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f (x), trục hoành và

hai đường thẳng x = a, x = b được gọi là hình thang cong.

b) Diện tích hình thang cong Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các

đường thẳng x = a, x = b (a < b), trục hoành và đường cong y = f (x), trong

đó f (x) là hàm số liên tục, không âm trên đoạn [a;b] là:

là dấu tích phân với a là cận dưới và b là cận trên, f (x)dx là biểu

thức dưới dấu tích phân và f (x) là hàm số dưới dấu tích phân.

 Chú ý • Trong trường hợp a = b hay a > b, ta quy ước

Z a

a

f (x)dx = 0

Z b a

f (x)dx = −

Z a b

f (x)dx

• Tích phân của hàm f từ a đến b có thể kí hiệu bởi

Z b a

f (x)dx hay

Z b a

f (t)dt.Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào hàm f và các cận a, b mà không phụ thuộc vàocác biến x hay t

II TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN.

Giả sử ta có các hàm số f (x), g(x) liên tục trên khoảng I và a,b,c là các số bất

kỳ thuộc I Ta có:

Tính chất 1.

Z b a

kf (x)dx = k

Z b a

f (x)dx ( với k là hằng số )

Tính chất 2.

Z b a

[f (x) ± g(x)]dx =

Z b a

f (x)dx ±

Z b a

g(x)dx

Tính chất 3.

Z b a

f (x)dx =

Z c a

f (x)dx +

Z b c

f (x)dx

- Bước 2 Đặt t = u(x) và tính vi phân dt = u0(x)dx

- Bước 3 Đổi cận α = u(a) và β = u(b)

- Bước 4 Biến đổi

Z b a

f (x)dx =

Z β α

f (t)dt

- Bước 5 Tính tích phân

Z β α

f (t)dt

äBiểu thức dưới dấu tích phân có dạng f [u(x)]u0(x)dx

Cách giải. Đặt t = u(x) và dt = u0(x)dx Khi đó f [u(x)]u0(x)dx = f (t)dt

äHàm dưới dấu tích phân chứa biểu thức có dạng pϕ(x)n

Cách giải. Nếu hàm dưới dấu tích phân có chứa pϕ(x) thì trong đa số cácn

trường hợp ta đổi biến mới t = pϕ(x)n

äBiểu thức dưới dấu tích phân có chứa hàm Logarit

Cách giải. Đa số ta đặt hàm logarit là một biến mới Chú ý nếu hàm Logaritchưa trong căn thì ta đặt cả biểu thức căn là t

äBiểu thức dưới dấu tích phân chứa hàm số mũ

Cách giải Đặt ax = t ⇒ dt = axlnadx Trong một số trường hợp hàm mũ dướimẫu thì đôi khi ta cần phải nhân thêm cả tử và mẫu cho ax để có thể lấy được

vi phân

äBiểu thức dưới dấu tích phân chứa hàm lượng giác

Cách giải Sử dụng phép biến đổi t = sinx, t = cosx hay t = tanx Khi hàmdưới dấu tích phân chưa căn thức thì ta có thể đặt căn thức đó bằng biến số mới

Dạng 2.

Để tích tính phân

Z b a

f (x)dx bằng phương pháp đổi biến số dạng 2 ta lần lượtthực hiện theo các bước sau:

- Bước 1 Đặt x = u(t), với u(t) có đạo hàm riêng liên tục trên đoạn [a;b]

- Bước 2 Tính vi phân dx = u0(t)dt

- Bước 3 Đổi cận α = u(a), β = u(b)

- Bước 4 Thay x trong f (x) bởi u(t) và dx bởi u0(t) rồi biến đổi f (x)dx =

f [u(t)].u0(t)dt = g(t)dt với f [u(t)].u0(t) = g(t)

- Bước 5 Tính tích phân

Z β α

ihoặc x = acost, t ∈ [0, π]

ä Hàm dưới dấu tích phân có chứa biểu thức dạng r a + x

i

\{0} hoặc x = a

cost, t ∈ [0; π]\

nπ2o

ä Hàm dưới dấu tích phân có chứa biểu thức dạng √a2 + x2 (a > 0)

hoặc x = acott, t ∈ (0, π)

II Kỹ thuật tích phân từng phần:

Z b a

udv = uv|ba −

Z b a

vdu

- Có log, đa thức thì ráp vào u

- Có mũ, lượng giác ráp vào dv

III.Một số dạng lượng giác:

Z cos(x + a)sin(x + a)dx



sin(a − b) ln

sin(x + b)sin(x + a)

+ C

Ta có thể áp dụng cho I =

sin(x + a)cos(x + b) với 1 =

cos(a − b)cos(a − b)

(Đưa về dạng trên)

äI =

Ztanx.tan(x + α)dx =

Zsinx.sin(x + α)cosx.cos(x + α)dx

Zsinax.sinbxdx,

Zsinax.cosbxdx

Ta sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng

äI =

Zsinmx.cosnxdx

Trường hợp 1. Nếu ít nhất một trong hai số m,n là lẻ

ã Nếu m lẻ ta đặt t = cosx

ã Nếu n lẻ ta đặt t = sinx

Trường hợp 2. Nếu m và n đều chẵn ta đặt t = tanx

Trường hợp 3. Nếu m và n đều chẵn và dương thì ta sử dụng công thức hạ bậc:

Cách giải:

Phân tích tannx = tann−2x.tan2x = tann−2x

1cos2x − 1



Khi đó I =

Ztannxdx =

Ztann−2xd(tanx) −

Ztann−2xdx

Ta được công thức truy hồi In = 1

n − 1tan

n−1x − In−2Tiến hành tương tự với I =

Zcotnxdx

äI =

Z tanmxcosnx dx hay I =

Z cotmxsinnxdx, trong đó n là số dương chẵn

Cách giải

asinx + bcosx + c, ta đặt t = tan

x

2 ⇒ dx = 2dt

1 + t2.Khi đó: sinx = 2t

1 + t2, cosx = 1 − t

2

1 + t2

ã Nếu R(sinx, cosx) = mcosx + nsinx + p

acosx + bsinx + c , ta phân tíchmcosx + nsinx + p

acosx + bsinx + c =

A(acosx + bsinx + c) + B(−asinx + bcosx) + C

acosx + bsinx + cDùng phương pháp hệ số bất định để tìm A,B,C biến đổi tích phân đã cho thànhcác tích phân đơn giản hơn

ã Nếu R(sinx, cosx) lẻ đổi với sinx, tức là:

R(−sinx, cosx) = −R(sinx, cosx), ta đặt t = cosx

ã Nếu R(sinx, cosx) lẻ đổi với cosx, tức là:

R(sinx, −cosx) = −R(sinx, cosx), ta đặt t = sinx

ã Nếu R(sinx, cosx) là chẵn đối với sinx và cosx, tức là:

R(−sinx, −cosx) = R(sinx, cosx), ta đặt t = tanx

IV Tích phân hàm vô tỷ:

äTích phân dạng

ZR

2

4a2, với ∆ = b2 − 4acTùy theo dấu của ∆ và a, ta biến đổi tích phân đã cho về một trong các dạngsau:

Phép thế thứ ba. Nếu ax2 + bx + c có nghiệm x0, ta đặt

√

ax2 + bx + c = t(x − x0)

V: Tích phân hàm chứa trị tuyệt đối

Cách giải: Muốn tính tích phân

Z b a

|f (x)|dx ta tiến hành như sau:

+ Xét dấu biểu thức f (x) trên đoạn [a;b]

+ Chian đoạn [a;b] thành các đoạn nhỏ hơn, tương ứng với dấu của f (x)trên mỗi đoạn đó

+ Sử dụng tính chất cận trung gian, phân tích tích phân đã cho thành cáctích phân trên từng đoạn:

Z b a

|f (x)|dx =

Z c a

|f (x)|dx +

Z b c

|f (x)|dx+ Dựa vào dấu của f (x) trên mỗi đoạn ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối, với lưu ý

VI Tính phân liên kết

Phương pháp:

+ Trong một số trường hợp, việc tính trực tiếp tích phân

Z b a

f (x)dx rấtphức tạp Khi đó, ta cần xét thêm tích phân

Z b a

g(x)dx có liên hệ với tích phân

I, sao cho tính được tổng mI + nJ = α và hiệu mI − nJ = β

+ Tích phân J được gọi là tích phân liên kết với tích phân J

VII Tích phân hàm phân thức hữu ti

äTích phân dạng

Z β α

2

4a2

#với ∆ = b2 − 4ac

2 =



−22ax + b



β α

1a(x − x1)(x − x2)

Z β α

dx

x − x2 −

Z β α

x − x2

x − x1







x + b2a

mx + n

ax2 + bx + cdx (a 6= 0)

Cách giải:

ax2 + bx + cTích phân

Z β α

dx

ax2 + bx + c ta đã biết cách tính

äTích phân dạng

Z β α

P (x)Q(x), trong đó bậc của P(x) và Q(x) là các đa thức

Phương pháp

a) Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x)

+ Ta phân tích Q(x) thành các nhạn tử bậc nhất, hoặc bậc hai có ∆ < 0:

Q(x) = (x − a)n(x − b)m· · · (x2 + px + q)

+ Đặt P (x)

Q(x) =

A1(x − a)2+

A2(x − a)n−1+· · ·+

An

x − a+

B1x(x − b)m+· · ·+

+ Thế các giá trị vừa tìm được vào (1), ta có các tích phân đơn giản hơn

b) Nếu bậc của P(x) lớn hơn Q(x)

Lấy P(x) chia cho Q(x), ta được P (x)

Q(x) = U (x) +

V (x)Q(x), trong đó bậc của V(x)nhỏ hơn bậc của Q(x), sau đó thực hiện tương tự bước trên

VIII Các tích phân đặc biệt

*Chú ý: I =

Z b a

f (x)dx =

Z b a

f (t)dt = · · · =

Z b a

f (−t)dt =

Z a 0

f (−x)dx = −

Z a 0

f (x)dx = −I2Vậy I = I1 + I2 = 0

ä Chứng minh rằng, nếu f (x) liên tục và chẵn trên đoạn [-a;a] thì

f (−t)dt =

Z a 0

f (−x)dx =

Z a 0

f (x)dx = I2Vậy I = I1 + I2 = 2I2

ä Chứng minh rằng, nếu f (x) liên tục trên đoạn [0;1] thì

f hsinπ

2 − tidt =

Z

π2

f (x)dx

1 + ax = I1 + I2Tính I1 =

atf (t)dt

1 + at =

Z α 0

axf (x)dx

1 + ax

Do đó I =

Z α 0

axf (x)dx

1 + ax +

Z α 0

f (x)dx

1 + ax =

Z α 0

(ax + 1)f (x)dx

Z α 0

f (x)dxVậy I =

f (x)dx

ä Chứng minh rằng nếu f (x) là hàm số liên tục trên đoạn [0;1] thì

f (sinx)dx = π

Z

π2

xf (sinx)dx = π

2

Z π 0

f (sinx)dxXét I =

tf (sint)dt = π

Z π 0

f (sinx)dx −

Z π 0

f (sinx)dx ⇒ I = π

2

Z π 0

f (sinx)dx

• Chứng minh π

2

Z π 0

f (sinx)dx = π

Z

π2

f (sinx)dx = π

2Z

π2

f (sinx)dx = J1 + J2

Tính J2 =

Z π

π2

f [sin(π − t)]dt = π

2Z

π2

0

f (sint)dt = π

2Z

π2

0

f (sinx)dx = J1

⇒ J = 2J = π

Zπ

2 f (sinx)dx

f (sinx)dx = π

Z

π2

f (b + a − t)dt =

Z b a

f (b + a − x)dx

ä Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a;b] và f (a + b − x) = f (x) Chứngminh rằng

Z b a

xf (x)dx = a + b

2

Z b a

(a + b − t)f (t)dt

= (a + b)

Z b a

f (t)dt −

Z b a

tf (t)dt = (a + b)

Z b a

f (x)dx −

Z b a

xf (x)dt

= (a + b)

Z b a

f (x)dx − I ⇔ 2I = (a + b)

Z b a

f (x)dx ⇔ I = a + b

2

Z b a

f (x)dx

ä Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [0;2a], với a>0 Chứng minh rằng

Z 2a

0

f (x)dx =

Z a 0

f (x)dx +

Z 2a a

f (x)dxXét I =

f (2a − t)dt =

Z a 0

[f (x) + f (2a − x)]dx

ä Chứng minh rằng nếu hàm số f (x) liên tục và tuần hoàn trên tập các số thực

R với chu kỳ T thì mọi số a ∈ R ta đều có:

Z a+T

a

f (x)dx =

Z T 0

f (x)dx +

Z a+T T

f (x)dxXét

f (u)du =

Z a 0

f (x)dx

f (x)dx +

Z T a

f (x)dx =

Z T 0

f (x)dx

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1 Diện tích hình thang cong.

Giả sử hàm số y = f (x) liên tục, không âm trên đoạn [a;b] Diện tích S củahình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f (x), trục hoành và hai đườngthẳng x = a, x = b thì được tính theo công thức: S =

b

R

a

f (x)dx

2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f (x) liêntục, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức

b

R

a

f (x)dxb) Nếu f (x) ≥ 0∀x ∈ [a; c] và f (x) ≤ 0∀x ∈ [c; b], ta có:

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT TRÒN XOAY

a) Thể tích V của khối tròn xoay quay quanh Ox

• Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = f (x), y = 0, x = a, x = b (a < b) khi quay quanh trục Ox được tính bởicông thức: V = π

b

R

a

f2(x)dx

• Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = f (x), y = g(x), x = a, x = b (a < b) với 0 ≤ g(x) ≤ f (x) khi quay quanhtrục Ox được tính bởi công thức: V = π

b

R

a

[f (x)]2 − [g(x)]2dx

b) Thể tích V của khối tròn xoay quay quanh Oy

Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đườngthẳng x = f−1(y), x = 0, y = a, y = b khi quay quanh trục Oy được tính bởi

+ Tích phân J gọi tích phân liên kết với tích phân J

VII Tích phân hàm phân thức hữu ti

? ?Tích phân dạng

Z β α... Chian đoạn [a;b] thành đoạn nhỏ hơn, tương ứng với dấu f (x)trên đoạn

+ Sử dụng tính chất cận trung gian, phân tích tích phân cho thành cáctích phân đoạn:

Z b a

|f... data-page="19">

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1 Diện tích hình thang cong.

Giả sử hàm số y = f (x) liên tục, khơng âm đoạn [a;b] Diện tích S củahình