Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.
Trang 1biểu thức
3
P
Lời giải Từ điều kiện , , a b c dương thỏa mãn ab bc ca+ + =1 ta có thể đặt
tan , tan , tan ,
với A, B, C là ba góc của một tam giác Khi đó
sin sin 3sin sin cos 3sin
cos 3sin 10
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
10 3 2
3
tan 3 2
A B
a b
−
=
Bài 2 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y z+ + =1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
xyz
P
x yz y xz z xy
Lời giải Giải bằng phương pháp lượng giác hóa
xy z P
x = y = z = với 0< A B C, , <π Khi đó
1 x y z xy zx yz xy zx yz
1 tan tan tan tan tan tan
Suy ra A, B, C là ba góc của một tam giác và
tan
1 tan 1 tan 1 tan
C
1
Trang 23 3
π
+
Do đó 1 1 2 3 3 1 3 3
≤ + − ÷÷= +
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
3
3
π
2 3 3, 7 4 3
2
P= + A+ B+ C ta có thể thực hiện nhiều cách khác nhau
1 (cos cos sin ) 1 sin sin 1 sin
Đặt sin
2
C
t= với 0< <t 1 Khi đó P≤ + +1 t t 1−t2
Xét hàm số f t( ) 1= + +t t 1−t2 trên (0; 1)
Ta có
2
2 1
t
− + −
dương sang âm khi t đi qua 3
2 nên (0; 1)
f t f
= ÷÷= +
1 (cos cos sin ) 1 sin sin 1 sin
1 sin sin 3 3sin 1 sin
2 2
Bài 3 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc a c b+ + = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Trang 32 2 2
P
(Học sinh giỏi Quốc gia, 2002)
b b
+ + = ⇔ + + = Từ đó ta có thể đặt 1
tan , tan , tan ,
b
= = = với A, B, C là ba góc một tam giác.
Khi đó
2
2cos 2sin 3cos cos cos 3 1 sin
C
−
Dấu đẳng thức xảy ra khi 1 1 , 2, 1
2 3
A B
C
=