d Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AC.. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn... e Viết phương trình mặt phẳng qua C song song với Oyz.. Mặt phẳng yOz: véc
Trang 1Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
1) Véc tơ pháp tuyến, phương trình tổng quát của mặt phẳng
=( ; ; ), 2+ 2+ 2>0
n A B C A B C có phương vuông góc với (P) được gọi là véc tơ pháp tuyến của (P)
(P) đi qua điểm M x y z( 0; 0; 0) và có véc tơ pháp tuyến =( ; ; )
n A B C thì có phương trình được viết dạng
( ) (P : A x−x0) (+B y−y0) (+C z−z0)=0
(P) có véc tơ pháp tuyến =( ; ; )
n A B C thì có phương trình tổng quát ( )P : Ax+By+Cz+ =D 0
(P) đi qua ba điểm phân biệt A, B, C thì có véc tơ pháp tuyến nP=AB AC;
(P) đi qua điểm A và song song với (Q) thì ta chọn cho =
P Q
n n
(P) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng phân biệt (α), (β) thì α α; β
β
⊥
P
P P
(P) đi qua điểm A và song song với hai véc tơ ;
⊥
P
P P
(P) đi qua điểm A, B và vuông góc với (α) thì ; α
α
⊥
P
P P
Ví dụ 1: [ĐVH].Viết phương trình mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:
a) qua M(1; 1; 2) và có véc tơ pháp tuyến =(1; 2;1 − )
n
b) qua M(2; 0; 1) và song song với (Q): x + 2y + 5z −−−− 1 = 0
c) qua M(3; −−−−1; 0) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): 4x + z −−−− 1 = 0; (R): 2x + 3y −−−− z −−−− 5 = 0
Hướng dẫn giải:
a) (P) đi qua M(1; 1; 2) và có véc tơ pháp tuyến = −(1; 2;1)
n nên có phương trình ( )P : 1.(x− −1) (2 y− +1) (1 z− = ⇔ −2) 0 x 2y+ − =z 1 0
b) (P) // (Q) nên // ,
P Q
n n chọn ==(1; 2;5)→( ) (:1 − +2) 2.( − +0) (5 − =1) 0
P Q
( ): 2 5 7 0
→ P x+ y+ z− =
c) (P) qua vuông góc với hai mặt phẳng (Q): 4x + z − 1 = 0; (R): 2x + 3y − z − 5 = 0 nên có véc tơ pháp tuyến
4 0 1
2 3 1
−
⊥
P Q
P R
Khi đó (P) có phương trình 1.(x− −3) (2 y+ −1) 4z= ⇔ −0 x 2y−4z− =5 0
Ví dụ 2: [ĐVH].Cho A(–1; 2; 3), B(2; –4; 3), C(4; 5; 6)
a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và nhận vectơ (1; 1;5− )
n làm vectơ pháp tuyến
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A biết rằng hai véctơ có giá song song hoặt nằm trong mặt phẳng đó là
(1; 2; 1 ,− ) ( 2; 1;3− )
c) Viết phương trình mặt phẳng qua C và vuông góc với đường thẳng AB
d) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AC
e) Viết phương trình (ABC)
Ví dụ 3: [ĐVH].Cho A(–1; 2; 1), B(1; –4; 3), C(–4; –1; –2)
a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua I(2; 1; 1) và song song với (ABC)
03 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
Trang 2Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
b) Viết phương trình mặt phẳng qua A và song song với (P): 2x – y – 3z – 2 = 0
c) Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm A, B và vuông góc với (Q): 2x – y + 2z – 2 = 0
d) Viết phương trình mặt phẳng qua A, song song với Oy và vuông góc với (R): 3x – y – 3z – 1 = 0
e) Viết phương trình mặt phẳng qua C song song với (Oyz)
Ví dụ 4: [ĐVH].Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (β) cho trước, với:
a) ( )3 1 12 2 1 43 1 0
β
( ; ; ), ( ; ; )
:
β
( ; ; ), ( ; ; ) :
x y z
c) ( )2 1 33 4 84 7 95 0
β
( ; ; ), ( ; ; )
:
β
( ; ; ), ( ; ; ) :
x y z
Ví dụ 5: [ĐVH].Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước, với:
a) M(1 2 3; ;− ),( )P :2x−3y z+ − =5 0,( )Q : x3 −2y+ − =5z 1 0
b) M(2 1 1; ;− ),( )P :x y z− + − =4 0,( )Q : x y z3 − + − =1 0
c) M(3 4 1; ; ,) ( )P :19x−6y− +4z 27=0,( )Q :42x− + + =8y 3z 11 0
d) M(0 0 1; ; ,) ( )P :5x−3y+2z− =5 0,( )Q :2x− − − =y z 1 0
Ví dụ 6: [ĐVH].Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời song song với mặt phẳng (R) cho trước, với:
a) ( ) :P y+2z− =4 0, ( ) :Q x y z+ − − =3 0, ( ) :R x y z+ + − =2 0
b) ( ) :P x−4y+2z− =5 0, ( ) :Q y+4z− =5 0, ( ) :R 2x y− +19=0
c) ( ) :P 3x y z− + − =2 0, ( ) :Q x+4y− =5 0, ( ) :R 2x z− + =7 0
Ví dụ 7: [ĐVH].Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời vuông góc với mặt phẳng (R) cho trước, với:
a) ( ) :P 2x+3y− =4 0, ( ) :Q 2y− − =3z 5 0, ( ) :R 2x+ − − =y 3z 2 0
b) ( ) :P y+2z− =4 0, ( ) :Q x y z+ − + =3 0, ( ) :R x y z+ + − =2 0
c) ( ) :P x+2y z− − =4 0, ( ) :Q 2x y z+ + + =5 0, ( ) :R x−2y− + =3z 6 0
d) ( ) :P 3x y z− + − =2 0, ( ) :Q x+4y− =5 0, ( ) :R 2x z− + =7 0
2) Một số dạng phương trình mặt phẳng đặc biệt
Mặt phẳng (xOy): véc tơ pháp tuyến là Oz và đi qua
gốc tạo độ nên có phương trình là z = 0
Đặc biệt, mặt phẳng song song với (Oxy) có phương trình
là z − a = 0
Mặt phẳng (yOz): véc tơ pháp tuyến là Ox và đi qua
gốc tạo độ nên có phương trình là x = 0
Đặc biệt, mặt phẳng song song với (Oyz) có phương trình
là x − a = 0
Mặt phẳng (xOz): véc tơ pháp tuyến là Oy và đi qua
gốc tạo độ nên có phương trình là y = 0
Đặc biệt, mặt phẳng song song với (Oxz) có phương trình
là y − a = 0
Mặt phẳng trung trực:
Cho hai điểm A, B Khi đó mặt phẳng trung trực của AB
Trang 3Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
đi qua trung điểm I của AB và nhận
AB làm véc tơ pháp tuyến
Phương trình mặt chắn:
Nếu mặt phẳng (P) cắt ba trục tọa độ lần lượt tại các
điểm A a( ;0;0 ,) (B 0; ;0 ,b ) (C 0;0;c) thì (P) có phương
trình đoạn chắn: ( )P :x+ + =y z 1
Một số đặc điểm của mặt chắn:
+ Độ dài OA= a OB; =b OC; = c
OABC
+ Chân đường cao hạ từ O xuống (ABC) trùng với trực
tâm H của tam giác ABC
Ví dụ 1: [ĐVH].Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 2; 2) cắt các tia Ox, Oy,Oz tại các điểm A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất
Hướng dẫn giải:
• Giả sử mặt phẳng cần lập cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) Do mặt phẳng cắt các tia nên
Ta có a, b, c > 0
Phương trình mặt chắn( )P :x+ + =y z 1
1
2
6
2
min
1
6
→V OABC ≥ = ⇒V = ⇔ = = =a b c , từ đó ta được phương trình (P): x + y + z – 6 = 0
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: [ĐVH] Cho điểm A(1; 0; 0) và mặt phẳng (P): y – z + 1 = 0 Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, vuông góc
với (P) và cắt các trục Oy, Oz lần lược tại các điểm B, C sao cho diện tích tam giác ABC bằng 6
y z
Bài 2: [ĐVH] Cho điểm A(2; 0; 0) và điểm M(2; 3; 2) Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A, M sao cho (α) cắt
các trục Oy, Oz lần lược tại các điểm B, C sao cho V OABC =2, với O là gốc tọa độ
Bài 3: [ĐVH] Cho điểm A(–2; 0; 0) và mặt phẳng (P): x + 2z + 3 = 0 Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, vuông
góc với (P) và cắt các trục Oy, Oz lần lược tại các điểm B, C sao cho V OABC =4
Bài 4: [ĐVH] Cho điểm B(0; 3; 0) và điểm M(1; -3; 2) Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua B, M sao cho (α) cắt
các trục Ox, Oz lần lược tại các điểm A, C sao cho 7
2
ABC
S = , với O là gốc tọa độ
Đ/s: ( )α : 1
y z
Trang 4Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
Bài 5: [ĐVH] Viết pt mp đi qua M(2; 1; 4) và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC Bài 6: [ĐVH] Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 2; 2) cắt các tia Ox, Oy,Oz tại các điểm A, B, C sao cho thể
tích tứ diện OABC nhỏ nhất
Bài 7: [ĐVH] Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(1; 1; 1) cắt các tia Ox, Oy,Oz lần lược tại các điểm A, B, C sao
cho tam giác ABC cân tại A, đồng thời M là trọng tâm tam giác ABC