Đặc biệt phải kể đến sự cố gắng các trường chuyên trong việc bồi đường học sinh có năng khiếu toán học, vì môn toán là công cụ để học tập những môn khoa học khác trong nhà trường.. - Để
Trang 1PHONG GIAO DUC QUAN TAN PHU
TRƯỜNG THCS LÊ LỢI CZzCŒ4 LL] OE
EN KINH NGHIf
Don vt : TRUONG THCSLE LOI -Q.TAN PHU
Giáo siêu > TRANDUCNGOC
Trang 2DAY HOC BPTCHO HS GIGITOAN LOP9CAPTHCS TAO NGUỒN CHO LỚP CHUYÊN TOÁN CẤP THPT
L ĐĂTVẤN ĐỀ:
F Li ds chon dé tac :
-_ Vớitốc độ phát triển như vũ bão cuộc cách mang khoa học công nghệ ngày nay đã buộc loài người phẩi chú ý tối một loại tài nguyên vô cùng quý giá,
đó là tài nguyên trí tuệ lỗi lạc Việc bồi đường và sử đụng có hiệu gua tinh
hoa trí tuệ là một trong những yếu tố quan trong nhất để tạo lập và duy trì
tiềm năng khoa học kỳ thuật kinh tế văn hoá và xã hội của một quốc gia
Vì thế giáo dục năng khiếu ngày càng được khẳng định như một tất yếu của
thời đại và trở thành một khâu quan trọng trong chiến lược nhân tài cửa
nhiều quốc gia Giáo dục toán học trong nhà trường phổ thông cần góp phần
thực hiện nhiệm vu nay
- Thực hiện nhiệm vụ Đảng và Nhà nước đã đề ra các tường chuyên cấp trung học phổ thông đã và đang tích cực phát hiện bồi đường những học sinh
có năng khiếu - những nhân tài tương lai của đất nước Đặc biệt phải kể đến
sự cố gắng các trường chuyên trong việc bồi đường học sinh có năng khiếu
toán học, vì môn toán là công cụ để học tập những môn khoa học khác trong nhà trường là công cụ của nhiều ngành khoa học khác nhau, là công cụ để
tiến hành nhừng hoạt động trong đời sống thực tế
- Để cấp trung học phổ thông có thể lầm tốt công tấc bồi đường hoc sinh co
năng khiếu toán học rỗ rang cấp trung học cơ sở phải góp phần phát hiện vả
bước đầu bôi dường học sinh có năng khiếu toán học Chính vì thế mà phong trào bồi dường học sinh giồi toán cấp THCS phát triển mạnh trong toàn quốc Tất cả các sở Giáo duc — Dao tao hằng năm đều tổ chức kì thi chọn
học sinh giổi toán lớp 9 một cách nghiêm túc khách quan Cấp THCS thực
sự đang gánh vác một nhiệm vụ quan trọng, đó là: bôi đường học sinh giỏi toán tạo nguồn cho các trường chuyên cấp THPT
- Trong các kì thi học sinh giỏi cấp THCS và các kì thi tuyển vào các lớp
chuyên toán cấp THPT chúng ta thường xuyên gặp các bài toán về chủ đề
bất phương trình và hệ bất phương trình Điều đó cũng để hiểu vì bất phương trình là một trong bốn nội dung cơ bản nhất của chương trình đại số bậc phổ thông Hơn nữa vấn đề bất phương trình không chỉ là giải bất phương trình
mà nó còn chứa đựng nhiều tính chất số học nhiều yếu tố phát triển năng
lực trí tuệ chung (tư duy trừu tượng, tư duy logic và tư duy biện chứng) Bất phương trình góp phần tích cực rèn luyện các thao tác tư duy như phân tích
tổng hợp so sánh, khái quát các phẩm chất tư duy như linh hoạt độc lập
sáng tạo
GV Trần Đức Ngọc L1 ⁄
Trang 3DAY HOC BPTCHO HS GIGITOANLGP9CAP THCS TAO NGUON CHO LGP CHUYEN TOANCAP THPT
-_ Vì những lý do trên chủ đề “ Bất phương trình” trên thực tế đã trở thành một
trong những nội dung bôi dường hoc sinh giỏi toán cấp THCS
Với ý nghĩa đó, tôi chọn đề tài “DẠY HỌC BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 CẬP THCS TẠO NGUÔN CHO LỚP CHUYEN TOAN CAP THPT”
2 lÍlục dich va rhiem vu cua de tac
Mục đích đề tài nầy là xây đựng nội dung và dé xuất phương pháp dạy học
“Bất phương trình” như một chủ đề bồi dường học sinh giỏi toán cấp THCS
Mục đích này được cụ thể hoá thành các nhiệm vụ sau đây:
> Đưa ra hệ thống các bất phương trình cơ bản
> Đưa ra hệ thống các phương pháp giải bất phương trình
> Đưa ra các định hướng sư phạm nhằm bồi đường một số năng lực và
rên luyện kì năng giải bất phương trình cho học sinh
> Đưa ra hệ thống bài tập về bất phương trình phong phú, đa dạng phù
hợp với nhiệm vụ bồi đường học sinh giỏi cấp THCS
> Nghiên cứu chủ trương đổi mới phương pháp dạy học Bước đầu vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề tập dượt
cho học sinh phương pháp tư học, tự nghiền cứu
“ 3 oh , "4 , ` 7,
3 Phuong / L) tt lCIt Ctfl( va giá thot khoa học
* Phuong pháp nghiên cứu lí luận: nghiên cứu các giáo trình phương pháp giảng da y toán tạp chí nghiên cứu giáo dục, sách giáo khoa, sách tham khảo xung quanh vấn đề phương pháp dạy học toán nói chung va
chủ đề dạy học bất phương trình nói riêng
+ Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm của bản thân qua một số năm làm công tác bồi duéng học sinh gidi cap THCS Đồng thời tiếp thu kinh nghiệm qua việc trao đổi với các bạn bè, đồng
nghiệp dạy giối bộ môn toán
+ Giả thuyết khoa học: Nếu trang bị cho học sinh một hệ thống hợp lý
các phương pháp giải bất phương trình, tăng cường áp dụng phương
pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề quán triệt quan điểm hoạt
động và chú trọng cả hai phương diện ngừ nghìa và cú pháp thì học sinh sẽ phát huy được tính tích cực chủ động, sáng tạo trong học tập
nhờ đó sẽ rèn luyện được kì năng giải bất phương trình và nắm vừng các kiến thức có liên quan
Trang 4
DAY HQC BPTCHO HS GIGITOANLGP9 CẤP THCS TẠO NGUỒN CHO LỚP CHUYÊN TOÁN CẤP THPT
Cc > , + vã 7,
4 Dean be tong quat cua be vot SKKN
$ Phan 1: Bat phuong trinh bac nhat
> Dấu nhị thức bậc nhất
> Giải bất phương trình bậc nhất:
# Dạng l1: ax +b< 0 (bptbậc nhấtmộtẩn)
# Dạng2: (ax + b )(a;x +b;) (a,x + b, ) >0; 5Ò >0:
# Dạng 3: ax + by < c (bptbậc nhất hai ẩn)
$ Phân2: Bất phương trình bậc hai
> Dấu tam thức bậc hai
> Giải bất phương trình bậc hai:
$ Phần 3: Bất phương trình chứa trị tuyệt đối
> Các phương pháp giải bất phương trình
> Giải và biện luận bất phương trình trị tuyệt đối cố chứa tham số
¢ Phan 4: Bất phương trình chứa căn thức
> Các phương pháp giải bất phương trình
> Giải và biện luận bất phương trình căn thức có chứa tham số
Il NOIDUNG:
ADs Do dic thi “day — hoc” bé mén-todn nén tôi mạn phép không trình
bầy đáp án cửa từng ví dụ đứợc nêu, mà chỉ nêu gợi ý và đáp số tham khảo cho bạn đọc
Ad, Tôi cũng xin phép không đi sâu vào trình bầy phần cơ sở nền tang cho
“đạy học hệ bất phương trình” (bất phương trình bậc nhất 2 ẩn phương pháp giải bất phương trình bằng phương pháp bất đẳng thức :
Cauchy Bunhicốpxki .) (trình bày trong chuyên dé hé bpt)
đầy bài tập tương tự cho các dạng toán bất phương trình, tôi trình bầy ở phần Phu lục kèm theo (đề thi tuyển học sinh giổi trường chuyên, cao đẳng đại học .)
Il GIAIPHAP:
Các giải pháp tương ứng với những dạng toán như sau :
Trang 5
DAY HOC BPTCHO HS GIGITOANLGP9CAP THCS TAO NGUON CHO LỚP CHUYÊN TOÁN CẤP THPT
PHAN 1: BAT PHUONG TRINH BAC NHAT
- DẤU NHỊ THỨC BẬC NHẤT
ĐINH LÝ: Nhị thức ƒ(x) = ax + b
- Cùng đất với a khi x lớn hơn nghiệm x,= x | -x -⁄
-Trdi dduvdiakhixnhé honnghiém x,=—-2 |J) | Tidduvdia a 0 cangdduvdia
Chúng ta lưu ý các kết quả quan trọng sau:
1) J/0sasols- ƒ(x)>0.vx<©S và —— ƒ(x)<0.Vx<
2) /@)>0,Vx>z©| “ Ö và /@)<0,Vx>ưei 2*°
2) ƒ(x)>0.Vx>ø và ƒ(x)<0 Vx>ø
3) /@)>0,Vx<z©| “TỐ và ƒ@)<0,Vx<ưel CS” x)>0 Vx<ø và ƒ(x)<0 Vx<ø
œ)>0 œ)<0
4) ƒ@)>0 vx e(ø./Ø) ae ) va f(x) <0, Vx €(a@ £) a )
Vidu 1: Tim m dé bpt m°x +12 m+(3m—-2)x
a) Nghiệm dung vdimoi x b) Nghiém dung voimoi x= >
c) Nghiệm đúng với mọi x< 1 đ) Nghiệm đúng với mọi x e[0:1|
Gợi ý: Viết lại bpt: ƒ(x) =(m” ~3m+2x+1—m >0
a) Ấp dụng công thức 1 (a= 0;b> 0) m = 1
b)c) đ) tương tự
(Đáp số:a)m =1 ; b) 0<m<1 ;c)VN; đ) m <1)
Ví dụ 2: Xác định tất cả các giá trị của m sao cho hai bất phương trình sau tương đương: (m—1)x—m>0 (1) : (m~1)x—m~1>0 (2)
(Đáp số: không tồn tạim)
- GIẢI BPT BẬC NHẤT:
| Dạng 1:ax+ b< 0 (bất phương trình bậc nhất 1 ẩn) |
Ví dụ 3: Giải & biện luận bpt ax <—ð (1)
Ta xết các tường hợp:
GV Trần Đức Ngọc
Trang 6DAY HOC BPT CHO HS GIỎI TOẾN LỚP 9C ẤP THCS TẠO NGUỒN CHO LỚP CHUYÊN TỐN CẤP THPT THI: Nếua =0, (1) 0<-b©b<0
e Nếub< 0.bptnghiệm đúng Vxe 53
e Nếu b>0.bptvơ nghiệm
TH2:Nếua >0.(1)€© x <2: nghiệm của bpt là (-2:-8/)
a đ
TH3:Nếua <0.(1)© x> = nghiém cua bptla (-2/: +20} a fa,
Kếtluận:
-_ Vớla = 0và b< 0.bptnghiệm đúng Vxe 3
-_ Vớia = 0và b>0 bptvỡ nghiệm
- _ Vớia >0 nghiệm cửa bpt là (-=:-3⁄ )
- Voéia <0, nghiémcua bpt là (-3⁄:+=Ì
Áp dụng:
a) Giải & biện luận bpt: 7x — 2 > x—3m
b) Tìmm để bpt sau vơ nghiệm: 7x + 4ï— 3 < x ~mẺ
(Đáp số:b)m = 1)
| Dang 2: (a.x+,)(a,.x+b,) (a,.x+b,)>0 3 ene 0 > |
PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Ta xét dấu từng nhị thức, từ đĩ suy ra dấu của biểu thức ở vế trái
Yí dụ 4: Giải bpt: (2x-1)G-*) „ọ
x’ -—5x+4
Gøơi Ý: viết lại (2x-1)(3—x)_
(x—1)(x —4)
` * 1⁄2 1 3 4 +00
mx-1f oo - oO + | + | + | +
(Đápsố: x<V1<x<3V.> 4)
Trang 7
DẠY HỌC BPT CHO HS GIỎI TOÁN LỚP 9C ẤP THCS TAO NGUON CHO LGP CHUYEN TOAN CAP THPT
Ví dụ 5: Giải và biện luận bpt "=! <1
X—i
Dang 3: ax+by<c (1): ax+by<c (2): ax+by>c (3): ax+by>c (4)
(Bất phương trình bậc nhất 2 ẩn)
PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Ta biết (d):ax + by — c = 0 chia mặt phẳng làm 2 miền Khi đó:
a) Miền mp phía dưới đường thẳng (d) là miền nghiệm của bpt (1)
b) Miền mp phía dưới đường thẳng (ả) kết cả các điểm thuộc (đ) là miền
nghiệm của bpt (2)
c) Miền mp phía trên đường thẳng (4) là miền nghiệm của bpt (3)
đ) Miền mp phía trên đường thẳng (4) kể cả các điểm thuộc (4) là miền nghiệm
cua bpt (4)
Dang 3 là cơ sở để chúng ta sẽ dạy học giải hệ bất phương trinh sau nay
PHAN 2: BAT PHUONG TRINH BAC HAI
- DẤU TAM THUC BAC HAI
Định lý: Cho tamthitce f(x) = ax + bx+ c (a#0)và A= b` - 4ac
a) Nếu A< 0 thìƒ(x) cùng dấu vớia, Vx T3 (tức là af(x)>0, Vx eR)
b) Nếu A= 0 thì ƒ(x) cùng dấu vớia, xe \ L4)
+ ` L— 2 ; ——b
(tức là af{x) = 0 chỉ khi x = "a
c)Néu A> 0 thì ƒ(x) có 2 nghiệm, giả sử xị; < x; Khi đó:
® fíx)cùng dấuvớia khix< xị hoặc x> x:
e f(x)trdidduvdiakhix;< x< x>
Ta có bảng tổng kết sau (bảng xétdau):
f(x) cùngdấua O khác dấu a 0 cùng dấu a
Ví dụ 1: Xét các dấu các biểu thức:
a) ƒ(4)=—xÌ+3x—2 b) f(x) =12x° +2(a+3)x+a
Trang 8
DAY HOC BPTCHO HS GIGITOANLGP9CAP THCS TAO NGUON CHO LGP CHUYÊN TOÁN CẤP THPT
Ví dụ 2: Cho tam thức ƒ(x) =(m~1)x” =2(m—1)x + 3m— 3
a) Với giá trị nào cửa mì thì f(x) <0 với mọi x (Đáp số m< -2)
b) Với giá trị nào cửa m thì f(x) =0 với mọi x (Đáp số: m >1)
Ví dụ 3: Giải các bpt:
b) (x? + 4x+10) —7(x?+4x+11)+7<0 d) xP +(x+1) <— 15
, x +x-+l (Ddpsé: a) -3<x<2vl<x<2vx>3; b)-3<x<-Ï
€)x<—7vV—l<x<lVx#ÔOvVx>3; đ)-2<x<l)
- GIẢI BPT BẬC HAI:
Ví dụ 4: Giải và biện luận bptax*+ bx+c>0 (1)
Ta xết các trường hợp sau:
THI:Nếua =0 (1) © bx +c >0 Ta biện luận theo b c như bpt bậc nhất
TH2:Nếua >0và A=ˆ— 4ac Khi đó:
e® A<0: bpt(1) nghiệm đúng vớimo1x
e® A=0:bpt(1) nghiệm đúng với mọi x 2-
a
e A>O: bpt(1)co6 nghiệm x < ~Ẻ— Vô hoặc x > chi ya a
a
TH3: Néua <0 khido:
e A=0O: bpt(1) v6 nghiém
e A>O: bpt(1)conghieém -b~VA _ -b+-ÏA
-
Ap dung:
1) Giải và biện luận bpt: mx* -— 2(m—2)x~mm— 3>0
2) Giải và biện luận bpt: (m~1)xÌ —2imx + 2m <0
3) Tìm m để bpt sau có nghiệm: (+ 2)xÌ — 2mx — m+22<0 _ (Đápsố: |m|> 42) 4) Cho bpt xÌ + 4x + 3~m<0 Với giá trị nào của m thì:
c Bptcó nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 2 (Đáp số: m= -3)
GV Trần Đức Ngọc CỬ ⁄
Trang 9DAY HỌC BPT CHO HS GIỎI TOÁN LỚP 9C ẤP THCS TẠO NGUỒN CHO LỚP CHUYÊN TOÁN CẤP THPT
PHẦN 3: BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI
1) L4|>|B| OS 4° > BY S(4-B)(4+B)>0
B<0
2)|4|>ø©=| [8x0
‘ae v A<-B
B20
3)|4|<ø<©
-B<A<B
Vidu 1: Giai bpt:
b) |x? -2x-3|<3x-3
(Ddpsé:a) 0<x ¬ b)2<x<5;c)x<0Vx>1;đ) |x|<1)
Ap dung cho dang bpt k, 4,| +k, L4: | + +8, L4,
: + + ~“ ` A avs ` : ~“ ` ~ 2
biểu thức chứa dátt giá trị tuyệt đốtva chia trục số thành những khoang sao cho
<* Người ta xét đất: các
trong môi khoảng đó các biểu thức dưới đấu trị tuyệt đối chỉ nhận một đấu xác định, do đó có thể bỏ dấu trị tuyệt đối
Ví dụ 2: Giải bpt:
|x - 2| ¬
a) Ol >3 b) jx-s|-x7+7x-920 e)
x -5x+6
|x' —4x|~3
x' +|x — S| ã
(Đáp số:a) 3<x<< z0) 3—A/5S<x<4+^2;c) x<< v2<x<2)
1) la+ b|< lal + |»| với mọi a, Ðb 3) la- b|> la|— |b| Với mọi a, Ðb
2) |a+b|<|al+|b| = ab <0 4) |a- b|>|a|— |b|©b(a—b)<0
Ví dụ 3: Giải bpt l2x° —3x+1|- l2x° — 5x] <2x+1
(Đáp số: x < =v0 <x< 3)
Trang 10
DẠY HỌC BPT CHO HS GIỎI TOÁN LỚP 9C ẤP THCS TAO NGUON CHO LGP CHUYÊN TOÁN CẤP THPT
Thông thườngta đi đặt biểu thức chứa đấu giá trị tuyệt đối bằng an phụ
Ví dụ 4: Giải bpt
2 > 2
a) ) (2x~1) (2x-1) -3|2x-I1|~2<0 —3|ˆx-1|+ b) |x —-3x-+l|—— )| +1 x?~3x+1|+~1 <0
(Đáp số: a) 5 <x<0v1<x<Š;b) O<x<1lv2<x<3)
- GIẢI VÀ BIỆN LUẬN BPT TRỊ TUYÊT ĐỐI CÓ CHỨA THAM SỐ:
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Bước 1: Đặt điều kiện (nếu cần) cho các biểu thức A, B
Bước 2: Sử dụng một trong các phương pháp sau:
4+ Phương pháp định nghĩa: Biến đổi bpt về một trong ba dạng sau:
1) L4|<|B| 4` < 8` © (4- B)(4+ 8) <0
B<0
2)|4|>ø©=|[ z0
P >B v4<-B 5>0
-B<A<B 4+ Phương phápchia khoảng: Lập bảng xét dấucác biểu thức chứa đấu giá trị tuyệt đốivà chia trục số thành những khoảng sao cho trong môi khoảng đố
các biểu thúc dưới dấtttrị tuyệt đối chỉ nhận một đấu xác định, do đó có thể
bỏ đất trị tuyệt đối
4+ Phương pháp sử dụng tính chất giá trị tuyệt đối: biến đổi pt về một trong 4 tính chất đã biết
4+ Phương pháp điều kiện cần và đủ: Tìm điều kiện cần cho hệ dựa trên việc
đánh giá hoặc tính đối xứng của hệ Kiểm tra điều kiện đủ
Bước 3: Giải và biện luận bpt đã được biến đổi hoặc trên môi khoảng đã chia
Bước 4: Kết luận
3) 4I<ae{
Ví dụ 5: Giải và biện luận bpt
a) x`~2ø + a|> |x° — a| c) Ix? — x|<|x° — ml
b)
x°-4x+3|<a đ) 2|xT— a|< —xÌ + 2ax — 2
Ví dụ 6: Tìm m để bpt sau có nghiệm đúng với mọi x e[1;3]
2x* + mx +m+15|<1 (Đáp số: m=-8)