Bài tập luyện thi môn toán theo từng chuyên đề

Tìm m để tiếp tuyến bất kỳ của hàm số cắt hai tiệm cận tại A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 64... Tìm các điểm M thuộc đồ thị C sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai đường tiệm cận c

CHUYÊN ĐỀ I : HÀM SỐ - BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO, ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ

 Xác định m để đường thẳng : y  x m cắt đồ thị  C tại hai điểm phân biệt A,

B sao cho AB có độ dài nhỏ nhất

 Xác định m để đường thẳng : yx cắt  Cm tại hai điểm phân

biệt A, B sao cho OA OB 4

 Tìm trên  C hai điểm A, B sao cho tam giác OAB có đường cao xuất phát từ đỉnh

O là đường thẳng : yx và độ dài đoạn AB = 4

y   x  Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I   1;2 với hệ số góc k

 k   3  đều cắt đồ thị hàm số   C tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn AB

 Tìm m để đường thẳng  : 2 mx  2 y m    1 0, cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân

biệt A, B sao cho biểu thức P  OA2 O B2 đạt giá trị nhỏ nhất

m

m

m m

y  x  x  C Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có

đường tròn ngoại tiếp đi qua điểm 3 9;

y  x  x  C Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số   Cm cắt đường tròn tâm I   1; 1 bán kính bằng 1 tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất

m  

Bài 9 Cho hàm số 4 2 4 

y  x  mx  m m C  Tìm m để đồ thị hàm số   Cm có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4

Bài 10

CHUYÊN ĐỀ I : HÀM SỐ - BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN

Bài 1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2  

 , biết tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy tại hai điểm

phân biệt A, B sao cho tam giác OAB thỏa mãn : 1 2 0

 Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận Tìm m để tiếp tuyến bất kỳ của hàm

số cắt hai tiệm cận tại A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 64

 Tìm tọa độ điểm M thuộc   C , sao cho tiếp tuyến của   C tại M cắt các trục Ox,

Oy tại A, B sao cho đường trung trực của AB đi qua gốc tọa độ O

x

 Tìm các điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai đường tiệm cận

của đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài đoạn AB ngắn nhất

 Tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai đường tiệm cận của (C) tại A và B Gọi I là giao

điểm của hai đường tiệm cận Tìm tọa độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất

HD : Tam giác IAB vuông tại I , nên : S   IM2 ĐS : M   1;1 ; M   3;3

 Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận , đường thẳng là một tiếp tuyến bất kỳ

của đồ thị (C) d là khoảng cách từ I đến  Tìm giá trị lớn nhất của d

 Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y= x+m luôn cắt đồ thị (C) tại hai

điểm phân biệt A, B Gọi k k1; 2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A, B Tìm m để tổng k1k2 lớn nhất

Bài 12

CHUYÊN ĐỀ II : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Giải các phương trình lượng giác sau :

9 cot x cot x 2sin 2x 2 x

10

sin x

42

x s 1

44 4sin x2cos x 2 3tan x

45 5 s inx cos x  sin 3x2 22 sin 2x cos x3

46 3sin 2x cos x s inx cos2x 2

47 cos x 22sin x cos x

3cos x

2

2 4

x i

CHUYÊN ĐỀ III : TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG - PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

1

2 2

3 4

2

x cotx cot

x xlnx2x ln

n2xnx

15 1 2  x

x 0

CHUYÊN ĐỀ IV : PP GIẢI TOÁN HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

1 Tham số điểm thuộc đƣợc thẳng

Bài 1 Cho hai đường thẳng 1:x 3 y 1 z

 và mặt phẳng   P : x 2y z    0 Gọi C là giao điểm của

 với mặt phẳng (P), M là điểm thuộc  Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P), biết MC 6

Bài 5 (B-2011) Cho đường thẳng :x 2 y 1 z 5

vuông góc với 1 tại M, cắt 2 tại N sao cho MN nhỏ nhất

Bài 8 Cho đường thẳng x 2 y 1 z 5

Bài 10 Cho mặt cầu   2 2 2

AMB  60 BMC ;  90 ; CMA  120

2 Tham số điểm thuộc mặt phẳng

Bài 1 Cho mặt phẳng (P): x+y-3=0, đường thẳng d :x 1 y 1 z

 và điểm M(1;2;1) Gọi N là giao điểm của

mặt phẳng (P) và đường thẳng d Lập phương trình mặt cầu tâm I thuộc mặt phẳng   Q : 2x 2y z 1 0     , tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại M đồng thời tam giác IMN vuông cân tại M

Bài 2 (A-2011) Cho hai điểm A 2;0;1 , B 0; 2;3      và mặt phẳng (P) : 2x-y-z+4=0 Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MA=MB=3

Bài 3 (B-2011) Cho đường thẳng x 2 y 1 z



 và mặt phẳng (P) : x+y+z-3=0 Gọi I là giao điểm của  và

(P) Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MI vuông góc với  và MI4 14

Bài 4 Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz cho hai điểm A 2;0;1 ; B 0; 2;3 và mặt phẳng     

 P :2x y z 4 0 Tìm tọa độ điểm C thuộc (P) sao cho tam giác ABC cân tại C và có diện tích     S 3 2

Bài 5 Cho hai điểm A   1;0; 4 , B 2;0;7   và mặt phẳng   P : x     y z 3 0 Tìm điểm C thuộc mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABC cân và góc ABC 1200

Bài 6 Cho đường thẳng d :x 1 y 2 z

   

 và mặt phẳng (P) : x+2y-2z=0 Gọi A là điểm trên d sao cho khoảng

cách từ A đến mp(P) bằng 1; B là điểm trên mặt phẳng (P) sao cho AB vuông góc với d và độ dài AB nhỏ nhất Tìm tọa độ các điểm A và B

Bài 7 Cho hai điểm A 2;0;1 , B 0; 2;3      và mp(P) : 2x-y-z+4=0 Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho tam giác MAB cân tại M và có diện tích bằng 18

Bài 8 Cho 4 điểm A 3;1;1 ,B 1;1; 1 ,C        1;2;3 ,D 4; 2;0     và mặt phẳng (P) : 2x 3y z 13     0 Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho  2 MA 2MB MC 2MD    ngắn nhất

Bài 9 Cho hình vuông MNPQ có đỉnh M 5;3; 1 , P 2;3; 4       Tìm tọa độ các đỉnh Q, N biết đỉnh N thuộc mặt phẳng    : x     y z 6 0

Bài 10 Cho đường thẳng :x 1 y 1 z 1

 và mặt phẳng   P : 2x   y 2z 6   0 Xác định tọa độ điểm M trên đường thẳng  và điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MN vuông góc với mặt phẳng (P) và MN=3

Bài 11 Cho hai điểm A   1;1;2 ,B 5; 1;4     và mặt phẳng (P) : 2x     y z 1 0 Xác định tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA MB  nhỏ nhất

3 Tham số điểm thuộc mặt cầu

Bài 1 Cho mặt cầu   2 2 2

S : x    x 4  y  4z  0và điểm A 4;4;0   Xác định tọa độ điểm B thuộc mặt cầu (S), biết tam giác OAB đều

ĐS :  4;0; 4 , 0; 4; 4   

Bài 2 Cho mặt cầu     2  2 2

S : x 2  y 2  z 2 12 và điểm A 4;4;0   Xác định tọa độ điểm B thuộc mặt cầu (S) biết BABO4 2

( Câu hỏi khác : Tam giác BOA cân tại B và có diện tích bằng 4 3 )

CHUYÊN ĐỀ V : SỐ PHỨC

Bài 1 Cho các số phức z ; z1 2 thỏa mãn : z1  z2  1 và z1z2  3 Tính z1 z2

Bài 2 Tìm mô-đun của số phức z biết :  

Bài 5 Cho số phức z thỏa mãn :  z i z i       2i.z Tính z i 

Bài 6 Cho z , z1 2 là hai nghiệm của phương trình z2 4z   1 3 0 Tính z12 z2 2

Bài 14 Cho z , z1 2là hai nghiệm của phương trình : 2

2z  4z 11 0   Tính giá trị của biểu thức :

Bài 15 Cho z , z1 2 là hai nghiệm của phương trình : z2 2z 4   0 Tính giá trị của A  z12 z2 2 3 z1 z23

Bài 16 Tìm các số phức z , z1 2 biết các số phức này đồng thời thỏa mãn các điều kiện :

Hãy tính diện tích tam giác OAB

CHUYÊN ĐỀ VI : HÌNH GT TRONG MẶT PHẲNG

1 Các bài toán liên quan đến tam giác

2 Các bài toán liên quan đến đa giác

Bài 1 Cho hình chữ nhật ABCD, biết phương trình các đường thẳng AD : x    y 2 0; AC : x 3y 6    0 và đường thẳng BD đi qua điểm E    6; 12  Tìm tọa độ tâm I của hình chữ nhật đã cho

Bài 2 Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 6, phương trình đường chéo BD là 2x   y 12  0, đường thẳng AB đi qua điểm M  5;1 , đường thẳng BC đi qua điểm N 9;3   Xác định tọa độ điểm A, biết điểm B có hoành độ lớn hơn 5

Bài 3 Cho điểm A   1;3  và đường thằng   d : x 2y 2    0.Dựng hình vuông ABCD sao cho hai đỉnh B, C nằm trên d và tọa độ đỉnh C dương Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D

Bài 4 Cho tam giác ABC có A       0; 2 , B 2; 4 , C 6;0 và các điểm M trên cạnh AB,N trên cạnh BC , P và Q nằm trên cạnh AC sao cho MNPQ là hình vuông Tìm tọa độ các điểm M,N, P, Q

Bài 5 Cho hình thoi ABCD có đỉnh A 1;3 ; B 4; 1      Viết phương trình đường tròn nội tiếp hình thoi ABCD

Bài 6 Cho hình bình hành ABCD có diện tích S=4, biết A     1;0 , B 2;0 ,giao điểm I của hai đường chéo AC và

BD nằm trên đường thẳng   d : y  x Tìm tọa độ các đỉnh C, D

Bài 7 Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB x :  2 y   1 0,phương trình đường thẳng

BD x  y   , đường thẳng AC đi qua điểm M   2;1 Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật

Bài 8 Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của hai đường thẳng   d : x1    y 3 0

và   d2 : x y 6    0 Trung điểm của một cạnh là giao điểm của   d1 với trục Ox Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật

Bài 9 Cho hình vuông ABCD biết cạnh CD có phương trình 4 x  3 y   4 0.Điểm M 2;3  thuộc cạnh BC,

  1;1

N thuộc cạnh AB.Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AD

3 Các bài toán liên quan đến đường tròn

Bài 1 Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d : x y 1 0    và đường tròn   2 2

Bài 4 Cho đường tròn (C): x2

+ y2 – 2x – 4y – 20 = 0 và điểm M(3; 1) Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm

M cắt đường tròn (C) theo một dây cung có độ dài

a) lớn nhất

b) nhỏ nhất

Bài 5 Cho hai đường tròn (C1): x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 và (C2): x2 + y2 – 6x + 2y – 10 = 0

a) Chứng minh rằng đường tròn (C1) và đường tròn (C2) cắt nhau tại hai điểm A và B

b) Viết phương trình đường thẳng  đi qua A và cắt đường tròn (C1) tại E, cắt (C2) tại F với E,F khác A sao cho EF lớn nhất

Bài 6 Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn

Bài 8 Viết phương trình đường tròn   C có tâm I 1; 2   cắt trục hoành tại A và B Cắt đường thẳng y  3 tại C, D sao cho AB CD 6

Bài 9 Trong mặt phẳng cho đường tròn     2 2

Bài 11 Trong mặt phẳng cho đường tròn  C : x2y24x4y 6 0và đường thẳng    : x my 2m 3     0

.Gọi I là tâm đường tròn   C Tìm m để    cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất

Bài 12 Cho đường tròn    2 2 4

5

   và hai đường thẳng   1 : x   y 0,   2 : x 7y   0.Xác định tọa

độ tâm K và tính bán kính của đường tròn   C1 , biết đường tròn   C1 tiếp xúc với các đường thẳng    1 , 2 và tâm

Bài 14 Cho hai đường thẳng 1: 3x   y 0, 2: 3x   y 0 Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với 1 tại A, cắt 2

tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B Viết phương trình đường tròn (T) biết diện tích tam giác ABC

bằng 3

2 và điểm A có hoành độ dương

Bài 15 Cho đường thẳng  : x    y 2 0 và đường tròn   2 2

C : x y 4x2y0 Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc  Qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB đến (C) ( A, B là các tiếp điểm ) Tìm tọa độ điểm M biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10

Bài 16 Cho đường tròn     2 2

C : x 1  y 3 4 Gọi I là tâm của đường tròn Tìm m để đường thẳng

mx 4y 3m 1 0     cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AIB 120 0

Bài 17 Cho tam giác ABC có các đỉnh A, C thuộc trục Ox, góc 0

BAC30 Gọi M, N là hai điểm trên cạnh AC , biết AM=2, NA =6 Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm M, N và tiếp xúc với cạnh AB

4 Các bài toán liên quan đến Elip

Lý thuyết : Cho Elip   x22 y22  

  , trong đó x0 là hoành độ điểm M

Bài 1 Trong mặt phẳng cho điểm A 2; 3   và Elip   x2 y2

3  2  Gọi F , F1 2là các tiêu điểm của   E (F1 có hoành độ âm) M là giao điểm của có tung độ dương của đường thẳng AF1 với (E) , N là điểm đối xứng của F2 qua M.Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF2

Bài 2 Cho Elip   x2 y2

9  4  và các điểm A   3;0 , I    1;0  Tìm các điểm B,C thuộc   E sao cho I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài 3 Cho Elip  E :x2 y2 1

25 9 với F , F1 2 là hai tiêu điểm M là điểm trên   E sao cho góc F MF1 2900 Tìm bán kính đường tròn nội tiếp MF F1 2

Bài 4 Cho   x2 y2

9  5  Tìm các điểm M thuộc Elip sao cho :

a Bán kính qua tiêu điểm này gấp hai lần bán kính qua tiêu điểm kia

b M nhìn đoạn nối hai tiêu điểm một góc 600

c M nhìn đoạn nối hai tiêu một góc 900

Bài 5 Cho Elip   x2 y2

Bài 1 Giải phương trình : 2

Bài 5 Giải bất phương trình : 2 2

x  x 23 x  5x 4x 6 HD : nâng lên lũy thừa và đặt :

Bài 7 Giải bất phương trình :  

Bài 12 Giải bất phương trình : 2 2

x  x 23 x 5x 4x 6 HD : Bình phương, chia và đặt :

2

2 x t

1 y 1

y x

x

1 4

y 2

y 3

Bài 2 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=BC=2a Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC)

cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trung điểm của AB ; mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt

AC tại N Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và

SN theo a

Bài 3 Cho lăng trụ đứng đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông , AB=BC=a, cạnh bên AA 'a 2 Gọi M là trung điểm của BC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C

Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AB=BC=a, AD=2a Cạnh bên SA vuông góc

với đáy, SA=a 2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB Tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD)

Bài 5 Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) ; ABC900, SA=AB=BC=a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB

Bài 6 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy

(ABC) Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC) theo a Biết rằng SA a 6

2



Bài 7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, AB//CD Tam giác ABC vuông tại A, AB=a, BC=CD=2a,

SA=SB=SC=a 2 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC

Bài 8 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=2a, BC=2a, AA’=a Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho

AM=3MD Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB’C)

2 Tính thể tích

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7 điểm )

Câu I (2 điểm ) Cho hàm số 2x 1 

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó cách đều hai điểm A 2;4   và B    4; 2  Câu II ( 2 điểm )

1 Giải phương trình :     

2 2

4 2x

BD cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại B’, D’ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’

PHẦN RIÊNG ( 3 điểm ) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần A hoặc B )

A Theo chương trình chuẩn

Câu VI.a ( 2 điểm )

2 Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc cho điểm M 1;1;1  , đường thẳng d :x 2 y 1 z

   

và mặt phẳng (P) : x+y-z+3=0 Gọi A là giao điểm của d và (P) Viết phương trình đường thẳng  đi qua M, cắt d và (P) tường ứng tại B, C sao cho tam giác ABC cân tại B

Câu VII.a ( 1 điểm ) Tìm các số phức z ,z biết : 1 2

B Theo chương trình nâng cao

Câu VI.b ( 2 điểm )

1 Cho tam giác ABC vuông tại A Phương trình đường thẳng BC là : 4x 3y 4    0 Các đỉnh A, B thuộc trục

hoành và diện tích tam giác ABC bằng 6 Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

2 Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz đường thẳng x 3 y z 2

H 0; 3; 1   Hãy viết phương trình mặt cầu (S)

Câu VII.b ( 1 điểm ) Cho số phức z thỏa mãn :  