Công thức nghiệm phương trình bậc 3

Tài liệu tham khảo về công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc 3 dành cho những người đam mê khám phá Toán học, được biên soạn bởi VNCASIOer Team Admin. Theo dõi thêm nhiều tài liệu hay khác tại: vietnamcasioerteam.blogspot.com

VNCASIOer Team Research by Admin n

vietnamcasioerteam.blogspot.com

Công thức nghiệm phương trình bậc 3

0

ax  bx  cx  d 

Đặt

3

b

a

  , đưa PT về dạng 3

0

y  pyq Đến đây có 2 cách làm:

 Cách 1: Áp dụng CT Cardano – Tartaglia Đặt

3

2 4 27

u    ta thu được

nghiệm thực

  

 Cách 2: Lượng giác hóa Đặt tiếp ykt (k 0), PT trở thành

3 3

0

k t  pktq Nếu p 0 ta chọn k sao cho

2

4 3

 , ngược lại p 0 thì 2

  , đưa PT về dạng 3

4t 3tq' Đến đây xảy ra 2 trường hợp:

+ TH1 Với 3

4t 3tq', nếu ' 1q  ta đặt t cos, PT chuyển về dạng lượng giác cos3q' Còn ngược lại, ta giải PT 6 3

2 ' 1 0

r  q r   tìm r, khi đó ta thu

được nghiệm 1 1

2

r

   

  là nghiệm duy nhất

+ TH2 Với 3

4t 3tq', ta chỉ có thể tìm r thông qua PT 6 3

2 ' 1 0

r  q r   , khi

đó 1 1

2

r

   

  cũng là nghiệm duy nhất

Sau đây là công thức nghiệm dạng lượng giác tổng quát cho mọi trường hợp:

Đầu tiên, đặt 2

3

   và

3

2



, ta được:

VNCASIOer Team Research by Admin n

vietnamcasioerteam.blogspot.com

 Nếu  0:

1) Với k 1, PT có 3 nghiệm: 1

arccos

2 cos

3 3

k b x

a

23

arccos 2

2 cos

3

k

b x

a





2) Với k 1, PT có 1 nghiệm duy nhất:

 Nếu  0, PT có 1 nghiệm bội:

3 27 3

x

a

  



 Nếu  0, PT có 1 nghiệm duy nhất:

b

       

 Nguồn: Wikipedia