Một số ứng dụng của lọc chiều

Lớp môđun Cohen-Macaulay đóng vai trò quan trọng trongphạm trù các môđun Noether và cấu trúc của chúng đã được nghiên cứu thôngqua nhiều lý thuyết quan trọng của Đại số giao hoán như: lý

LÊ THỊ THÚY HẰNG

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LỌC CHIỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2015

LÊ THỊ THÚY HẰNG

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LỌC CHIỀU

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS ĐÀO THỊ THANH HÀ

Nghệ An - 2015

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

Trong suốt luận văn ta luôn kí hiệu (A,m) là vành giao hoán, địa phương,Noether với iđêan cực đại duy nhất m Cho M là A− môđun hữu hạn sinhvới chiều Krull (dimM = d) Nếu depthM = dimM thì ta nói M là môđunCohen-Macaulay Lớp môđun Cohen-Macaulay đóng vai trò quan trọng trongphạm trù các môđun Noether và cấu trúc của chúng đã được nghiên cứu thôngqua nhiều lý thuyết quan trọng của Đại số giao hoán như: lý thuyết chiều, đốiđồng điều địa phương, địa phương hóa, và có ứng dụng trong nhiều lĩnhvực khác nhau của Toán học như Đại số đồng điều, Tổ hợp và Hình học đạisố

Đối với một A− môdun M hữu hạn sinh ta định nghĩa lọc chiều µ ={Mi}0≤i≤d, d = dimAM, trong đó Mi là kí hiệu môđun con lớn nhất của M

có chiều ≤ i Một số tính chất của lọc chiều đã được nghiên cứu Đặc biệt,trong trường hợp vành địa phương(A,m) có phức đối ngẫu thì lọc chiều xuấthiện như là lọc của dãy phổ liên quan tới tính đối ngẫu Hơn nữa, ta gọimột A−môđun M là môđun lọc Cohen-Macaulay nếu như tất cả các môđunthươngMi/Mi−1 hoặc là môđun không hoặc là môđun Cohen-Macaulay chiều

Cohen-Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày lại một số vấn đề “Ứng

dụng của lọc chiều” của P Shenzel (2004) trong [8].

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chiathành hai chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bàymột số khái niệm, tính chất cơ bản như chiều, độ sâu của môđun, môđunCohen-Macaulay, của Đại số giao hoán nhằm mục đích làm cơ sở cho việctrình bày nội dung chính của luận văn ở chương 2

Chương 2 Một số ứng dụng của lọc chiều Trong chương này chúngtôi trình bày những vấn đề sau đây

2.1 Khái niệm lọc chiều Trình bày khái niệm lọc chiều, các tính chất cơbản của lọc chiều, khái niệm về hệ số phân biệt và một số bổ đề liên quan.2.2 Môđun lọc Cohen-Macaulay Trình bày về môđun lọc Cohen-Macaulay;môđun xấp xỉ Cohen-Macaulay và liên hệ giữa chúng Từ khái niệm lọc chiều

ta có một số đặc trưng về hệ tham số Đồng thời ta có một số đặc trưng vềmôđun xấp xỉ Cohen-Macaulay

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn,giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của TS Đào Thị Thanh Hà Tôi xin bày tỏ lòngcảm ơn trân trọng đến cô cùng các thầy giáo, cô giáo khoa Sư phạm Toánhọc, phòng đào tạo Sau đại học trường Đại học Vinh, bạn bè, đồng nghiệp vàgia đình đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiêncứu

Mặc dù đã có nhiều cố gắng song luận văn không tránh khỏi những thiếusót Chúng tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy giáo, côgiáo và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Vinh, tháng 10 năm 2015

Tác giả

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Phổ của vành Giá của môđun

1.1.1 Định nghĩa Cho p là iđêan của vành R, khi đó p được gọi là iđêannguyên tố nếu p 6= R và với mọi a, b ∈ R, ab ∈ p thì a ∈ p hoặc b ∈ p Kíhiệu SpecR là tập tất cả các iđêan nguyên tố của vành R Khi đó, SpecR

được gọi là phổ của vành R

Với mỗi iđêan I của R ta kí hiệu V (I) = {p ∈ SpecR|p ⊇ I}

1.1.2 Định nghĩa Cho p là iđêan của vành R Kí hiệu Rp và Mp tương ứng

là địa phương hóa của R và M Khi đó tập con

SuppM = {p ∈ SpecR|Mp 6= 0} ⊂ SpecR

được gọi là giá của M

Với mỗi x ∈ M ta cũng kí hiệu

AnnR(x) = {a ∈ R|ax = 0}

AnnR(M ) = {a ∈ R|ax = 0, ∀x ∈ M }

Ta có AnnR(x) và AnnR(x) là những iđêan của R, AnnR(x) và AnnR(M )

lần lượt được gọi là linh hoá tử của x và linh hóa tử của môđun M Để đơngiản người ta thường kí hiệu Ann(x) thay cho AnnR(x), Ann(M ) thay cho

AnnR(M )

Nếu M là R− môđun hữu hạn sinh thì

SuppM = V (AnnRM ) = {p ∈ SpecR|p ⊇ AnnRM }

1.2.3 Ví dụ (a) Một không gian vectơ có dãy hợp thành khi và chỉ khi nó

có chiều hữu hạn Một không gian vectơ có dãy hợp thành với độ dài d khi

và chỉ khi nó có chiều d

(b) Vành số nguyên Z là một Z− môđun không có dãy hợp thành

1.2.4 Định lí (Jordan - Holder) Nếu R− môđun có một dãy hợp thành

có độ dài n, thì tất cả các dãy hợp thành của M cũng có độ dài n Hơn nữa,mỗi dãy tăng hoặc giảm thực sự các môđun con của M đều có độ dài khôngvượt quá độ dài của dãy hợp thành, và đều có thể mở rộng thành dãy hợpthành của M

Từ Định lý 1.2.4 ta có định nghĩa sau

1.2.5 Định nghĩa Độ dài của dãy hợp thành tùy ý củaR− môđun M đượcgọi là độ dài của môđun M và kí hiệu là `R(M ) hoặc đơn giản là `(M ).NếuR−môđunM không có dãy hợp thành thì quy ước độ dài`R(M ) = ∞

và gọi nó là môđun có độ dài vô hạn

1.2.6 Ví dụ (a) Với Q là trường các số hữu tỉ thì Q cũng là một không gianvectơ trên Q có chiều là 1 và Q cũng là Q− môđun Ta có `Q(Q) = 1

(b) `Z(Z) = ∞

(c) `Z(Z/6Z) = 2

Z/6Z có dãy hợp thành là

0 ⊂ 2Z/6Z ⊂ Z/6Z

hoặc dãy hợp thành

0 ⊂ 3Z/6Z⊂ Z/6Z.1.3 Chiều Krull của môđun

1.3.1 Định nghĩa Một dãy giảm các iđêan nguyên tố của vành giao hoán

R

p0 ⊃ p1 ⊃ ⊃ pn

được gọi là một xích nguyên tố có độ dài n

Cho p ∈ SpecR, cận trên của tất cả các độ dài của xích nguyên tố với

p0 = p được gọi là độ cao của p Kí hiệu là ht(p), nghĩa là

ht(p) = sup{độ dài các xích nguyên tố với p0 = p}

Cho I là một iđêan của R, khi đó độ cao của iđêan I được định nghĩa

Từ đó ta thấy dimM ≤ dimR

1.3.2 Ví dụ (a) dimK = 0 với K là một trường (Trường K chỉ có 2 iđêan

là 0 và K, 0 là iđêan nguyên tố duy nhất của K Vì vậy chiều Krull của K

(c) Xét vành đa thức 3 biến k[x, y, z] với k là một trường Ta có

dimk[x, y, z]/(x2) ∩ (y, z3) = 2

Tiếp theo ta có định nghĩa sau đây

1.3.3 Định nghĩa (i)Rđược gọi là vành catenary nếu với mọi cặp các iđêannguyên tố p, q và hai dãy tăng ngặt tùy ý các iđêan nguyên tố

p = p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ pn = q

đều được chứa trong các dãy tăng ngặt cực đại từpđến q có độ dài như nhau

Ví dụ, Một vành địa phương là miền nguyên và có chiều 2là vành catenary.(ii) Tập con catenary của SpecA là tập hợp các iđêan nguyên tố của A vàthỏa mãn với mỗi cặp các iđêan nguyên tố trong tập đó đều tồn tại các chuỗităng ngặt các iđêan nguyên tố

1.3.4 Chú ý Cho I là iđêan bất kì của R Ta luôn có

htI + dimR/I ≤ dimR

Vành R và công thức trên là đẳng thức với mọi iđêan I thì đó là vànhcatenary

1.4 Iđêan nguyên tố liên kết

1.4.1 Định nghĩa ChoR là vành giao hoán, có đơn vị và M là R− môđun.Một iđêan nguyên tố p củaR được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếutồn tại phần tử 0 6= x ∈ M sao cho

p = 0 :R x = AnnR(x) = {r ∈ R|rx = 0}.Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu AssRM hay AssM.Như vậy

Ass(M ) = {p ∈ SpecR|p = Annx với x ∈ M nào đó}

Sau đây là một số tính chất cơ bản của tập các iđêan nguyên tố liên kết

1.4.2 Mệnh đề (i) Nếu M là R− môđun Noether thì Ass(M) là tập hữuhạn.

(ii) Nếu N là một môđun con của M thì Ass(N ) ⊆ Ass(M )

(iii) Cho 0 → M0 → M → M00 → 0 là dãy khớp của các R− môđun.Khi đó

AssM0 ⊆ AssM ⊆ AssM0 ∪ AssM00.(vi) Ass(M ) ⊆ Supp(M ) và mỗi phần tử tối thiểu củaSupp(M ) đều thuộc

Phân tích nguyên sơ (*) được gọi là phân tích nguyên sơ thu gọn nếu các

pi từng đôi một phân biệt và không thể bỏ đi môđun Ni nào trong phân tíchtrên

1.4.5 Định lí Nếu N là một môđun con của môđun Noether M thì N cóphân tích nguyên sơ và do đó có một phân tích nguyên sơ thu gọn

1.4.6 Định lí Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên vành Noether R Khi

đó nếu môđun con N của M có dạng phân tích nguyên sơ thu gọn0 =

n

T

j=1

Nj,trong đó Ni là môđun con pi− nguyên sơ với i = 1, , r, thì các pi là duynhất xác định bởi N, và ta có

Ass(M/N ) = {p1, , pr}

1.4.7 Ví dụ Trong Ví dụ 1.3.2 (c) ta có

Ass(k[x, y, z]/(x2) ∩ (y, z3)) = {p1(x), p2 = (y, z)}

trong đó k[x, y, z]/(x2) ∩ (y, z3) là k[x, y, z]− môđun

1.5 Hệ tham số

1.5.1 Định nghĩa Cho (R,m) là một vành địa phương Noether, M là R−

môđun vớidimM = d Hệ các phần tử x1, , xd của m được gọi là hệ tham sốcủa M nếu độ dài `(M/(x1, , xd)M ) < ∞ và khi đó iđêan q = (x1, , xd)R

được gọi là iđêan tham số

1.5.2 Chú ý Hệ tham số của môđun M luôn tồn tại

Sau đây là một số tính chất cơ bản của hệ tham số

1.5.3 Định lí Cho (R,m) là vành địa phương Noether và x1, , xd là một

hệ tham số môđun M Khi đó

(i) Hoán vị của hệ tham số x1, , xd cũng là một hệ tham số của M.(ii) dimM/(x1, , xi)M = d − i, ∀i = 1, 2, , d

(iii) Nếu n1, , nd là các số nguyên dương thì xn1

1 , , xnd

d cũng là một hệtham số của M

1.5.4 Ví dụ x1, , xd là một hệ tham số của vành chuỗi lũy thừa hình thức

k[[x1, , xd]]

1.6 Iđêan m− nguyên sơ Iđêan định nghĩa

1.6.1 Định nghĩa Cho I là iđêan của R, ta nói rằng I là iđêan nguyên sơcủa R nếu

(i) I $ R, có nghĩa là I là iđêan thực sự của R và

(ii) ∀a, b ∈ R với ab ∈ I mà a /∈ I thì b ∈ √

I.Điều kiện (ii) trong Định nghĩa 1.6.1 có thể diễn tả như sau:

∀a, b ∈ R với ab ∈ I thì hoặc a ∈ I, hoặc ∃n ∈ N sao cho bn ∈ I

1.6.2 Ví dụ Mỗi iđêan nguyên tố của vành R là iđêan nguyên sơ.

1.6.3 Mệnh đề Cho I là iđêan nguyên sơ của vành R Khi đó p := √

I làiđêan nguyên tố của vành R Ta nói rằng I là iđêan p− nguyên sơ

Hơn nữa, p là iđêan nguyên tố nhỏ nhất chứa I của R, hay mỗi iđêannguyên tố của R mà chứa I thì phải chứa p

1.6.4 Mệnh đề Giả sử I là iđêan của vành R thỏa mãn √

I = m là mộtiđêan cực đại của R Khi đó I là iđêan nguyên sơ của vành R Ta nói rằng

I là iđêan m− nguyên sơ của R

1.6.5 Ví dụ (a) Mọi lũy thừa dương mn(n ∈ N) của iđêan cực đại m làiđêan m− nguyên sơ

(b) pnZ là iđêan nguyên sơ của vành số nguyên Z, với p là số nguyên tố.1.6.6 Định nghĩa (i) Vành R được gọi là vành địa phương nếu trong R códuy nhất một iđêan cực đại m Kí hiệu là (R,m)

(ii) R được gọi là vành nửa địa phương nếu R có hữu hạn iđêan cực đại.1.6.7 Ví dụ (a) Vành chuỗi lũy thừa hình thức k[[x]] các phần tử của nóbiểu diễn dưới dạng

(b) Người ta chứng minh được rằng vành thương Z/mZ là vành nửa địa

phương (nếu m là lũy thừa của một số nguyên tố thì Z/mZ là vành địa

phương)

Chẳng hạn, Z6 = {¯0, ¯1, ¯2, ¯3, ¯4, ¯5} là nửa địa phương với 2 iđêan cực đại là

2Z6 và 3Z6

(c) Vành đa thức n biếnk[x1, , xn] không phải là vành nửa địa phương vì

có vô hạn các iđêan cực đại

(x1 − a1, , xn − an), ai ∈ k

Đặt m = m1 ∩ ∩mt.

1.6.8 Định nghĩa Một iđêan I của vành nửa địa phương R được gọi làiđêan định nghĩa nếu ∃k ∈ N sao cho mk ⊆ I ⊆ m

Khi t = 1, R là vành địa phương có duy nhất một iđêan cực đại m Khi

đó một iđêan định nghĩa I của R chính là iđêan m− nguyên sơ

I = m, hay I là iđêan m− nguyên sơ

1.6.9 Chú ý Nếu I là iđêan định nghĩa của vành R M là R− môđun Ta

có `(M/(InM )) < ∞

1.7 Vành và môđun Cohen-Macaulay

Trước hết chúng ta cần một số khái niệm sau đây

1.7.1 Định nghĩa Cho R là một vành và M là R−môđun Phần tử a ∈ R

được gọi là M − chính quy nếu ax 6= 0 với mọi 0 6= x ∈ M Hay nói cáchkhác, a không là ước của 0 trên M

1.7.2 Ví dụ M = R = k[x] là vành đa thức 1 biến trên trường k Khi đó x

Giả sử R là vành Noether và M là R− môđun hữu hạn sinh Nếu x1, , xn

là dãy chính quy thì chuỗi (x1) ⊂ (x1, x2) ⊂ ⊂ (x1, x2, , xn) tăng ngặt

Do đó một M − dãy có thể mở rộng thành một dãy cực đại vì R Noether và

1.7.7 Chú ý (i) Nếu x1, , xn là một dãy chính quy của M thì nó cũng làmột phần của hệ tham số của M Do đó depthM ≤ dimM

(ii) Tồn tại phần tử M − chính quy khi và chỉ khi m ∈ AssM/

Ta có định nghĩa môđun và vành Cohen-Macaulay trong trường hợp R làvành địa phương Noether như sau

1.7.8 Định nghĩa Giả sử (R,m) là vành địa phương Noether và M là R−

môđun hữu hạn sinh.M được gọi là môđun Cohen-Macaulay nếudepth(M ) =dimM Nếu R là môđun Cohen-Macaulay trên chính nó thì ta nói rằng R làvành Cohen-Macaulay

Điều gì sẽ xảy ra khi R không phải là vành địa phương?

1.7.9 Định nghĩa Nếu R là một vành Noether, M là một R− môđun hữuhạn sinh Khi đó M được gọi là môđun Cohen-Macaulay nếu với mỗi iđêancực đại m của A, Mm là môđun Cohen-Macaulay Một vành Noether R làCohen-Macalay nếu nó là môđun Cohen-Macaulay trên chính nó

1.7.10 Ví dụ (i) Vành đa thức k[x1, , xn] và vành chuỗi lũy thừa hìnhthức k[[x1, , xn]] là các vành Cohen-Macaulay.

(ii) Cho k[x, y, z]

(x, y3) ∩ (x2, y2, z2) là k[x, y, z]− môđun.

Ta có AssM = {(x, y), (x, y, z)}, m = (x, y, z) ∈ AssM, do đó theo Chú

ý 1.7.7 (ii) M không có phần tử chính quy, hay depthM = 0

Mặt khác dimM = max{dimR/p|p ∈ AssM } = 1 Vì vậy M không phải

là môđun Cohen-Macaulay

1.7.11 Định lí Cho M là R− môđun Cohen-Macaulay chiều d Khi đó tacó

(i) dimR/p = d, ∀p ∈ AssM

(ii) Nếu {x1, , xi} là một dãy M − chính quy thì M/(x1, , xi)M cũng

là môđun Cohen-Macaulay

(iii) Mọi hệ tham số của M cũng là một dãy M − chính quy

1.8 Môđun không trộn lẫn

1.8.1 Định nghĩa Cho M là một R− môđun Noether chiều d M được gọi

là không trộn lẫn (sai khác thành phần m− nguyên sơ) nếu ∀p ∈ AssM,

p 6= m), ta có dimR/p = d Nếu ∃p 6= m, p ∈ AssM sao cho dimR/p 6= d

thì M được gọi là môđun trộn lẫn

1.8.2 Ví dụ (i) Cho k[[x, y, z]]

(x2, y) ∩ (y2, z) ∩ (x4, y3, z5) là k[[x, y, z]]− môđun.AssM = {(x, y), (y, z), (x, y, z)} = {p1, p2, p3}

Ta có dimR/p1 = dimR/p2 = dimR/p3 = dimk[[x, y, z]]

(x, y, z) = dimk = 0

nên

dimM = max{dimR/p|p ∈ AssM } = 1

Ở đây m = (x, y, z) ∈ AssM Vậy ∀p ∈ AssM, p 6= m, dimR/p = d, do đó

M là môđun không trộn lẫn

(ii) Từ Mệnh đề 1.7.11 (i) ta có môđun Cohen-Macaulay là môđun khôngtrộn lẫn.

CHƯƠNG 2

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LỌC CHIỀU

2.1 Khái niệm lọc chiều

Giả sử (A,m) kí hiệu là một vành địa phương Noether Gọi M là một A−

môđun hữu hạn sinh và d = dimAM Đối với số nguyên 0 ≤ i < d, kí hiệu

Mi là môđun con lớn nhất của M sao cho dimAMi ≤ i Vì điều kiện tối đạicủa A− môđun Nother nên môđun con Mi của M được xác định Hơn nữasuy ra được Mi−1 ⊆ Mi với mọi 1 ≤ i ≤ d

2.1.1 Định nghĩa Lọc tăng µ = {Mi}0≤i≤d các môđun con của M được gọi

là lọc chiều của M Đặt µi = Mi/Mi−1 với mọi 1 ≤ i ≤ d

Sự phân tích nguyên sơ Lưu ý rằng M0 = Hm0(M )trong đó Hm0 (.)biểuthị phần hàm tử đối đồng điều địa phương thứ 0 với giá m

2.1.2 Mệnh đề Cho M là một A− môđun hữu hạn sinh Khi đó,

SuppHa0i(M ) = SuppM ∩ V (ai)

Từ đó ta có M1 ⊆ H0

a i(M ) vì bất kì phần tử nào của Mi đều là linh hoán tửcủa iđêan có chiều ≤ i Từ tính cực đại của Mi chứng tỏ sự bằng nhau.Kết quả trên cung cấp một sự phân loại của những iđêan nguyên tố liênkết của M theo các Mi và µi tương ứng

2.1.3 Hệ quả Giả sử M = {Mi}0≤i≤d là lọc chiều của M, khi đó

a) AssAMi = {p ∈ AssM |dimA/p ≤ i}

b) AssAM/Mi = {p ∈ AssM |dimA/p > i}

c) AssAµi = {p ∈ AssM |dimA/p = i} Với mọi 0 ≤ i ≤ d

Chứng minh Hai đẳng thức đầu tiên rõ ràng là đúng theo Mệnh đề 2.1.2, lưu

ý rằng

AssAHa0i(M ) = {p ∈ AssM |p ∈ V (ai)}

Đẳng thức thứ 3 là hệ quả của sự nhúng µi ⊆ M/Mi−1 và dãy khớp ngắn

0 → Mi−1 → Mi → µi → 0

Ở đây chúng ta sử dụng quan hệ bao hàm

AssAMi ⊆ AssAMi−1∪ AssAµi

đối với những iđêan nguyên tố liên kết của các môđun tương ứng

Nhận xét Theo nghĩa nào đó, thương số µi, 0 ≤ i ≤ d của lọc chiều

µ = {Mi}0≤i≤d của M là thước đo cho tính không trộn lẫn của M

Lưu ý rằng, các A− môđun M là không trộn lẫn nếu

dimA/p = dimAM với mọi p ∈ AssAM

Trong trường hợp này µi = 0 với mọi i < dimAM = d và Md = M Vìvậy, lọc là rời rạc trong trường hợp M là không trộn lẫn

Tổng quá hơn, giả sử µ = {Mi}0≤i≤d là lọc chiều của M Khi đó, Mi = 0

với mọi i ≤ depthAM Điều này được suy ra từ Hệ quả 2.1.3 và từ

depthAM ≤ dimA/p với mọi p ∈ AssAM

xem [6, Định lý 17.2] cho bất đẳng thức này

Ta có tính chất cơ bản sau:

2.1.4 Mệnh đề Gọi µ = {Mi}0≤i≤d là lọc chiều của A− môđun M hữuhạn sinh Giả sử rằng, SuppAM là tập hợp con catenary của SpecA Đặt

p ∈ SuppM biểu thị một iđêan nguyên tố Định nghĩa

Mi0 = Mi+dimA/p⊗A Ap với mọi 0 ≤ i ≤ dimApMp = t

Khi đó, µ0 = {Mi0}0≤i≤t là chiều lọc chiều của Ap− môđun Mp

Chứng minh Đầu tiên chúng ta nhắc đến ràng buộc

dimAMi0 ≤ (i + dimA/p) − dimA/p = i

với mọi i ∈ Z Tiếp theo chúng ta nhớ lại mệnh đề sau về các iđêan nguyên

tố liên kết

AssApMp = {qAp|q ∈ AssAM, q ⊆ p}

xem [6, Định lý 6.2] Bây giờ giả sử0 =