Dao động lượng tử và một số ứng dụng (LV01424)

………...42 3.4 Phổ năng lƣợng của dao động tinh thể biến dạng khi thông số biến dạng là toán tử cho chuỗi nguyên tử cùng loại... Dao động biến dạng được xem như là một sự biến dạng của dao

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS NGUYỄN THỊ HÀ LOAN

HÀ NỘI, 2014

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Thị Hà Loan, người đã giảng dạy, tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này Cô đã cung cấp tài liệu và truyền thụ cho tôi những kiến thức và phương pháp nghiên cứu khoa học Sự quan tâm bồi dưỡng của cô đã giúp tôi vượt qua những khó khăn trong quá trình hoàn thiện luận văn cũng như trong quá trình học tập và nghiên cứu

Nhân dịp này cho phép tôi bày tỏ lòng cảm ơn Ban Chủ Nhiệm Khoa Vật Lý – Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 và các thầy cô giáo đã tận tình giảng dạy, tạo mọi điều kiện giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè và đồng nghiệp

đã luôn sát cánh bên tôi trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu để hoàn thành luận văn này

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn này được hoàn thành là do sự nỗ lực của bản thân cùng với sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình và hiệu quả của PGS TS Nguyễn Thị

Hà Loan Đây là đề tài không trùng với các đề tài khác, các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, kết quả đạt được không trùng với kết quả của các tác giả khác

Học viên

VŨ THỊ NGA

MỤC LỤC

Lời cảm ơn ………1

Lời cam đoan ………2

MỞ ĐẦU ……… 5

NỘI DUNG ……… 7

CHƯƠNG 1 DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG KHI THÔNG SỐ BIẾN DẠNG LÀ C – SỐ ………7

1.1 Dao động tử biến dạng tổng quát c – số ………7

1.1.1 Dao động tử biến dạng tổng quát c – số ……….7

1.1.2 Thống kê của dao động tử biến dạng tổng quát c – số ……….10

1.2 Dao động tử biến dạng c – số q ……… 12

1.2.1 Dao động tử biến dạng c – số q ………12

1.2.2 Thống kê của dao động tử biến dạng c – số q ……… 16

1.3 Dao động tử biến dạng c – số Q ……… 17

1.3.1 Dao động tử biến dạng c – số Q ……… 17

1.3.2 Thống kê của dao động tử biến dạng c – số Q ……….22

1.4 Dao động tử biến dạng – (q, R) ……… 23

1.4.1 Dao động tử biến dạng – (q, R) ………23

1.4.2 Thống kê của dao động tử biến dạng – (q, R) ……… 26

CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG KHI THÔNG SỐ BIẾN DẠNG LÀ TOÁN TỬ ……… 28

2.1 Tính ưu việt của dao động tử biến dạng khi thông số biến dạng là toán tử ……….28

2.2 Dao động tử biến dạng khi thông số biến dạng là toán tử ……… 30

2.3 Thống kê của dao động tử biến dạng khi thông số biến dạng là toán tử 34

CHƯƠNG 3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA DAO ĐỘNG LƯỢNG TỬ … 36

3.1 Tính phi tuyến của dao động lƣợng tử ………36 3.2 Phổ năng lƣợng của dao động mạng tinh thể biến dạng – q cho chuỗi nguyên tử cùng loại ……… 39 3.3 Phổ năng lƣợng của dao động mạng tinh thể biến dạng – (q, R) cho chuỗi nguyên tử cùng loại ……… 42 3.4 Phổ năng lƣợng của dao động tinh thể biến dạng khi thông số biến dạng là toán tử cho chuỗi nguyên tử cùng loại ……… 45 KẾT LUẬN……… 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO ……….50

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Vật lý được xem như là ngành khoa học cơ bản bởi vì các định luật vật

lý chi phối tất cả các ngành khoa học tự nhiên khác Trong lịch sử vật lý, các nhà khoa học đã nhiều lần biến dạng các quy luật vật lý cơ bản để tạo nên các

lý thuyết mới đáp ứng nhu cầu thực tiễn

Khi nghiên cứu các hệ vật lý, ta thường gặp các tính chất đối xứng của chúng Đối xứng đóng một vai trò quan trọng trong vật lý hiện đại Đối xứng chuẩn dẫn đến những lý thuyết chuẩn, đối xứng không gian tinh thể là cơ sở của vật lý chất rắn, đối xứng conform là đối xứng quan trọng trong lý thuyết dây Vì vậy, sự phát triển của vật lý hiện đại gắn liền với việc nghiên cứu đối xứng

Khi dùng biểu diễn dao động cho các đại lượng vật lý sẽ giúp giải các bài toán vật lý đơn giản hơn Vì vậy trong vật lý cũng thường dùng các biểu diễn dao động để giải quyết các bài toán vật lý

Dao động biến dạng được xem như là một sự biến dạng của dao động thông thường phụ thuộc vào một hoặc nhiều thông số biến dạng và khi thông

số biến dạng tiến đến một giá trị nào đó thì dao động biến dạng trở về dao động thông thường Vì vậy dao động biến dạng tổng quát hơn dao động chưa biến dạng [7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, …]

Đặc biệt hình thức luận dao động biến dạng rất có hiệu quả trong việc nghiên cứu môi trường đậm đặc, sự rung động của hạt nhân, dao động mạng tinh thể, … [1, 2, 3, 4, 5, 6]

Trong luận văn này tôi nghiên cứu dao động lượng tử và một số ứng dụng của chúng trong vật lý lượng tử [1, 2, 3, 4, 5, 6]

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu một số kiến thức tổng quan về dao động tử biến dạng

và một số ứng dụng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu dao động tử biến dạng khi thông số biến dạng là c - số và toán tử, tính thống kê của các dao động lượng tử và một số ứng dụng của nó

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu dao động tử biến dạng phụ thuộc vào một hoặc nhiều thông

số, khi thông số biến dạng là c - số và khi thông số biến dạng là toán tử Nghiên cứu dao động mạng tinh thể biến dạng khi thông số biến dạng là c - số

và khi thông số biến dạng là toán tử cho chuỗi nguyên tử cùng loại

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp lý thuyết nhóm đối xứng

- Phương pháp lý thuyết trường lượng tử

- Phương pháp toán lý

6 Những đóng góp mới của đề tài

Cung cấp tài liệu tham khảo về các dao động tử biến dạng và một số ứng dụng của nó

NỘI DUNG

CHƯƠNG 1 DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG KHI THÔNG SỐ BIẾN DẠNG LÀ C – SỐ

1.1 Dao động tử biến dạng tổng quát c – số [13]

1.1.1 Dao động tử biến dạng tổng quát c – số

Hệ các dao động tử Boson biến dạng tổng quát c – số thỏa mãn hệ thức:

cNq a qa

aa   

(1.1) Với : q và c là những tham số biến dạng, N là toán tử số dao động tử biến dạng

Toán tử số dao động tử biến dạng N thỏa mãn các hệ thức giao hoán:

N

a a

N

,

,

(1.2) Trong không gian Fock với cơ sở là vector riêng của toán tử số dao động đã chuẩn hóa n có dạng:

 

 ( )! 0

) (

c q

n c

q

n

a n



 (1.3)

Với:   n c cn

c q

q q

q q n







) (

 ( )      ( ) ( ) ( )

2 1

c q c q

c q c q

n E n

    Với: n0,1,2, (1.12)

Vậy ta thu được phổ năng lượng của dao động tử biến dạng tổng quát

c – số có dạng (1.12) Tức là phổ năng lượng của dao động tử biến dạng tổng quát c – số phụ thuộc vào thông số biến dạng

1.1.2 Thống kê của dao động tử biến dạng tổng quát c – số

Hàm Green của đại lượng vật lý F tương ứng với toán tử ˆF được định nghĩa như sau:

N H

1

1

0 0

Phân bố thống kê của dao động tử Boson biến dạng tổng quát c – số

là phân bố thống kê của aa :

1 1

c N

q n

c n

q n

n cn n

c n

c c

q q e

e a



(1.14)

Biểu thức (1.14) cho phép chúng ta tính được thống kê của dao động

tử biến dạng tổng quát c – số Thống kê của dao động tử biến dạng tổng quát

c – số phụ thuộc vào thông số biến dạng

aa     (1.15)

Trong đó: q là thông số biến dạng; N là toán tử số dao động tử

Toán tử số dao động tử N thỏa mãn các hệ thức giao hoán:

N

a a

N

,

,

(1.15a) Phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử số N là:

n n n

N  (1.16)

Đưa vào toán tử mới N có dạng như toán tử số trong trường hợp 0

không biến dạng, nghĩa là:

a a

n q q

q q n N

n n

Toán tử số N được biểu diễn thông qua các toán tử sinh hủy theo biểu thức:

 a a f(N0)

f

N   

(1.24) Gọi F N là hàm ngược của hàm f N0 thì ta có:

 N F

Trong đó F x gọi là hàm cấu trúc của lý thuyết biến dạng

Từ (1.16) và (1.25) ta thu được:

  N n F   n n F

q q x F

x x

(1.27) Công thức (1.27) xác định hàm cấu trúc của hàm q – biến dạng thông thường

Trong không gian Fock với vector cơ sở là vector riêng của toán tử số

dao động chuẩn hóa n có dạng:

q q n

n n q

Tác dụng của aa và aa lên trạng thái riêng n : 

 n n n

a

 n n n

H  n (1.33)

Thay (1.32) vào (1.33) ta đƣợc :

1.2.2 Thống kê dao động tử biến dạng c – số q

Phân bố thống kê của dao động tử Boson biến dạng c – số q là phân

1 1

N

q n

n

q n

n n

Biểu thức (1.36) cho phép chúng ta tính đƣợc thống kê của dao động

tử biến dạng c – số q Thống kê của dao động tử biến dạng c – số q phụ thuộc vào thông số biến dạng

1.3 Dao động tử biến dạng c - số Q [9]

1.3.1 Dao động tử biến dạng c - số Q

Để cho hệ thức giao hoán (1.15) không phụ thuộc vào toán tử N, khi q

là số thực, Aril-Coon làm một số biến đổi nhƣ sau:

 Đƣa vào các toán tử A, A+

có liên hệ với toán tử a, atheo hệ thức sau:

a q

A  N 2/ , N/ 2

q a

A   (1.37)

Và biểu diễn a, a thông qua A, A + :

A q

q A

Từ hệ thức giao hoán (1.15) và công thức (1.37) ta có:

AA (1.41) Dao động tử biến dạng với các toán tử sinh, hủy (A+, A) như trên còn được là dao động tử Boson biến dạng c – số Q

Như vậy dao động tử Boson biến dạng c – số Q thỏa mãn các hệ thức giao hoán sau:

 N , A    A,  N, A  A (1.42) Phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử số N là :

n n n

N  (1.43)

Đưa vào toán tử mới N0 có dạng như toán tử số trong trường hợp không biến dạng, nghĩa là:

A A

1

1

n n

n n

1 1

n n

q q

  

 (1.49)

Thay (1.49) vào (1.45) ta đƣợc:

n q

q n N

n

1

12

 N F

N0  (1.52)

Trong đó F x gọi là hàm cấu trúc của lý thuyết biến dạng

Ta có:

 N n F n n F

x

(1.54) Công thức (1.54) xác định hàm cấu trúc của hàm Q – biến dạng

Trong không gian Fock với vector cơ sở là vector riêng chuẩn hóa n :

n Q

Tác dụng của AAvà AAlên trạng thái riêng n :

  n n n

A

 n n n

H  n (1.60)

Thay (1.59) vào (1.60) ta đƣợc :

1.3.2 Thống kê của dao động tử biến dạng c - số Q

Phân bố thống kê của dao động tử Boson biến dạng c – số Q là phân

2 2

N

Q n

n

Q n

n n n

Thay giá trị của hàm phân bố nhiệt động Z từ (1.13) vào (1.62) ta thu đƣợc :

A A







 (1.63) Biểu thức (1.63) cho phép chúng ta tính đƣợc thống kê của dao động

tử biến dạng c – số Q Thống kê của dao động tử biến dạng c – số Q phụ thuộc vào thông số biến dạng

 n 0

n

n  C a (1.67)

Với: Cn là hệ số chuẩn hóa, 0 là trạng thái chân không

Trạng thái chân không 0 thỏa mãn các điều kiện sau:

n n

a n

   

1

1 2

E   n   n  (1.77)

Như vậy chúng ta đã xây dựng cơ lượng tử biến dạng – (q, R), giải phương trình đề tìm phổ năng lượng của dao động biến dạng - (q, R), phổ năng lượng phụ thuộc vào cơ chế biến dạng

1.4.2 Thống kê dao động tử biến dạng - (q, R)

Phân bố thống kê của dao động tử Boson biến dạng – (q, R) là phân

N

q n

n

q n

n n

- Khi q1 và  0 thì:

1 1

a a

e 



CHƯƠNG 2 DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG KHI THÔNG SỐ BIẾN DẠNG LÀ TOÁN TỬ

Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày về nhu cầu mở rộng q – biến dạng thành ˆg - biến dạng hay nói cách khác chính là tính ưu việt của dao động biến dạng khi thông số biến dạng là toán tử

Thật vậy, như chúng ta đã biết hệ thống quon đa mode được xác định bởi một hệ thức giao hoán:

ij i

j j

(2.1) Khi q = 1, q – thống kê trở về thống kê Bose – Einstein, còn khi

1





q thì nó trở về thống kê Fermi – Dirac Như vậy có thể coi hệ thức này

như một phép nội suy giữa thống kê Bose và Fermi khi q chạy từ 1 đến – 1 trên trục thực

Nếu hệ này là đơn mode thì nó đã được phát triển trong lý thuyết nhóm lượng tử biến dạng SU q 2 và lần đầu tiên được đề cập đến bởi

Biedenham và Macfarlane Điều quan trọng cần nhắc đến trong q – thống kê này là sự không liên quan giữa toán tử a (cũng nhƣ a) của các đa mode khác nhau trong hệ đa mode không thể biểu diễn đƣợc bằng một hệ thức giao hoán kiểu q nào Thực vậy, giả sử ta có:

0a k j  a a a j i j a a a j  j i 0

a ) không là kiểu q được mà chỉ là giao hoán tử bình thường

Để giải quyết khó khăn trên, ta thay c – số q bằng toán tử ˆg Khi đó

hệ thức (2.2) cho ta:

2

ˆ 1

g  (2.8)

Nhưng điều này không yêu cầu: g ˆ   1

Từ đó các nhà vật lý đã mở rộng nghiên cứu đại số biến dạng khi thông số biến dạng trở thành toán tử Đặc biệt khi thông số biến dạng trở thành toán tử thì lý thuyết biến dạng lượng tử có nhiều ưu thế hơn, ví dụ có sự thống nhất cao giữa lý thuyết trường biến dạng khi thông số biến dạng là toán

tử với lý thuyết trường không biến dạng Lý thuyết biến dạng tỏ ra rất hữu hiệu trong nghiên cứu sự rung động của hạt nhân, quang lượng tử, môi trường đậm đặc, vật lý chất rắn …

2.2 Dao động tử biến dạng khi thông số biến dạng là toán tử

Đại số Heisenberg biến dạng ˆg đƣợc sinh ra bởi những toán tử dao

động a, a thỏa mãn những hệ thức giao hoán sau:

  N g  aa (2.16)

Toán tử số dao động tử N đƣợc thực hiện trong không gian Fock với

cơ sở là vector riêng đã chuẩn hóa n :



Với :   1 ˆ

ˆ1

n g

g n

g





 (*)

        n g!  1 g 2 g n g

0 là trạng thái nền thỏa mãn điều kiện :

1 0 0

0 0

n g

g g

a a a n

N

a a

n

1 1 ˆ

Thay (2.24) và (2.25) vào phương trình trên ta thu được:

a a aa     N g N g

2

12

g g

n n

E

n E n

N N

12

1

12

a  1 N 

(2.32) Trong đó Z là hàm phân bố :

N H

1

1

0 0

(2.33)

1

N n

N

g n

n g n

n

n e a a n Z

CHƯƠNG 3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA

DAO ĐỘNG LƯỢNG TỬ

3.1 Tính phi tuyến của dao động lượng tử [6]*

Dao động lượng tử biến dạng được xem như dao động lượng tử phi tuyến với tần số dao động phụ thuộc vào thông số biến dạng Trong phần này tôi sẽ xây dựng dao động phi tuyến và xem xét tần số dao động phụ thuộc vào thông số biến dạng

Dao động tử bình thường dao động với tần số thì toán tử sinh, hủy dao động  , thỏa mãn hệ thức giao hoán:

p m i x m

p m i x m

2

1 2

Dao động tử phi tuyến ( dao động – q với tần số W) Nhƣ đã biết, toán

tử sinh, hủy dao động (a , a) của dao động điều hòa biến dạng q thỏa mãn hệ

thức giao hoán:

Nq a qa

aa     (3.11)

Toán tử số N thỏa mãn hệ thức:

  N q  aa;   N , a   a;   N a ,    a (3.12)

q q x

x x

liên hệ với a , a theo hệ thức:

Bằng vài phép biến đổi đơn giản chúng ta sẽ thu đƣợc:

một dao động phi tuyến với tần số phụ thuộc vào thông số biến dạng theo công thức:



1

1 1

q q

W

N N

(3.18) Vậy dao động biến dạng được xem như dao động phi tuyến với tần số

W

Như chúng ta đã biết, trong dao động tử điều hòa, hằng số  đặc trưng cho sự thay đổi theo mọi quỹ đạo Còn với dao động tử điều hòa biến dạng q thì tần số W lại là một hàm hằng cho mỗi quỹ đạo Dựa vào điều này

ta có thể giải thích dao động tử biến dạng q như là một hệ thống với một sự phi tuyến đặc thù

Như vậy trong phần này chúng tôi chứng minh dao động biến dạng –

q là dao động phi tuyến với tần số dao động phụ thuộc vào thông số biến dạng

mở ra hướng ứng dụng dao động lượng tử vào việc nghiên cứu quang phi tuyến

3.2 Phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể biến dạng – q cho chuỗi nguyên tử cùng loại [2]

Hamitonian của chuỗi nguyên tử cùng loại có dạng:

Trong đó:  là tần số dao động ,uk là tọa độ suy rộng,Pk là xung

lượng suy rộng tương ứng của chuỗi nguyên tử cùng loại ứng với vector sóng

Toán tử sinh, hủy dao động tương ứng với vector sóng k có dạng:

1 2 1 2

Trong đó: M là khối lượng của mỗi nguyên tử

Toán tử tọa độ và toán tử xung lượng được biểu diễn qua toán tử sinh, hủy dao động ak, ak như sau: