Về iđêan cạnh của siêu đồ thị và một số ứng dụng trong tổ hợp

Các nhà toánhọc đã nghiên cứu các tính chất của đồ thịG thông qua các tính chất của iđêansinh bởi các cạnh với phần tử sinh là các đơn thức được đồng nhất với các cạnhcủa siêu đồ thị nói

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐÀO VĂN THOẠI

VỀ IĐÊAN CẠNH CỦA SIÊU ĐỒ THỊ

VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG TỔ HỢP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐÀO VĂN THOẠI

VỀ IĐÊAN CẠNH CỦA SIÊU ĐỒ THỊ

VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG TỔ HỢP

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS THIỀU ĐÌNH PHONG

Nghệ An - 2015

MỤC LỤC

1.1 Iđêan đơn thức 6

1.1.1 Khái niệm cơ bản 6

1.1.2 Đối ngẫu Alexander của iđêan đơn thức 9

1.2 Phân tích nguyên sơ và iđêan nguyên tố liên kết 10

1.2.1 Iđêan đơn thức bất khả quy 10

1.2.2 Phân tích nguyên sơ 12

1.3 Siêu đồ thị 14

2 SỐ MÀU VÀ CHU TRÌNH LẺ TRONG ĐỒ THỊ 18 2.1 Số màu đồ thị 18

2.2 Chu trình lẻ 23

3 IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT VÀ ĐỒ THỊ HOÀN HẢO 29 3.1 Đồ thị hoàn hảo 29

3.2 Iđêan nguyên tố liên kết và đồ thị hoàn hảo 38

MỞ ĐẦU

Cho V = {x1, , xn} là tập các đỉnh và E là tập các cạnh của siêu đồ thịG,viết G = (V, E) Đặt S = K[V ] = K[x1, , xn], trong đó K là một trường Ta cóthể đồng nhất đơn thức không chính phương xi1 xis với tập {xi1, , xis} củacác đỉnh Mỗi cạnh của G tương ứng với một đơn thức m ∈ S theo cách này, vìvậy ta có thể biểu thị các cạnh của siêu đồ thị bởi các đơn thứcm Các nhà toánhọc đã nghiên cứu các tính chất của đồ thịG thông qua các tính chất của iđêansinh bởi các cạnh với phần tử sinh là các đơn thức được đồng nhất với các cạnhcủa siêu đồ thị nói trên và được gọi là iđêan cạnh của siêu đồ thị G = (V, E), kýhiệu I(G) = (m | m ∈ E) ⊂ S.

Với mỗi siêu đồ thị G, số màu và chu trình của G đặc trưng những tính chất

tổ hợp của đồ thị Các nhà toán học đã chỉ ra các mối liên hệ chặt chẽ giữa cáckhái niệm tổ hợp này với các tính chất của iđêan liên kết của đồ thị như iđêancạnh, iđêan phủ cũng như mối liên hệ của đồ thị đầy đủ với chúng

Trên cơ sở đó, chúng tôi chọn đề tài "Về iđêan cạnh của siêu đồ thị vàmột số ứng dụng trong tổ hợp" để tìm hiểu một cách có hệ thống về cáctính chất đại số của iđêan cạnh của siêu đồ thị và các ứng dụng của chúng trongviệc đặc trưng các tính chất tổ hợp của một siêu đồ thị

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của luậnvăn được chia thành 3 chương

Chương 1 Iđêan đơn thức và siêu đồ thị Trong chương này, chúng tôitrình bày các khái niệm cơ bản về iđêan của vành đa thức nhiều biến (tập trung

là iđêan đơn thức) Chúng tôi còn trình bày một số tính chất quan trọng vềiđêan đơn thức cũng như đối ngẫu Alexander của iđêan đơn thức, sự phân tíchiđêan đơn thức thành các iđêan đơn thức bất khả quy và iđêan nguyên tố liênkết của iđêan đơn thức Mục 1.3 đề cập đến các khái niệm cơ bản về siêu đồ thị,iđêan cạnh và iđêan phủ của siêu đồ thị cũng như mối liên hệ giữa chúng.Chương 2 Số màu và chu trình lẻ trong đồ thị Nội dung của chương

này là trình bày các khái niệm về số màu, chu trình lẻ của đồ thị G, các định

lý, các thuật toán đại số để tính toán số lượng màu sắc χ(G) dựa trên bất biếnđại số và tính chất của iđêan cạnh I(G), iđêan phủ J (G) cũng như xác định cácchu trình lẽ cảm sinh dựa vào iđêan nguyên tố liên kết của J (G)2

Chương 3 Iđêan nguyên tố liên kết và đồ thị hoàn hảo Chương nàychúng tôi trình bày các khái niệm liên quan đến đồ thị hoàn hảo và làm rõ một

đồ thị có đặc điểm như thế nào thì được gọi là đồ thị hoàn hảo thông qua định

lý đồ thị hoàn hảo mạnh Trong chương này, chúng tôi cũng trình bày về mởrộng thứs của siêu đồ thị, cách xác định iđêan nguyên tố kiên kết của lũy thừacủa iđêan phủ Từ đó, trình bày cách xác định đồ thị hoàn hảo dựa vào một đồthị cảm sinh từ các đỉnh là các biến của iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừacủa iđêan phủ

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo TS ThiềuĐình Phong đã hướng dẫn tận tình giúp tôi hoàn thành luận văn Sự chỉ bảo

ân cần của thầy trong suốt quá trình viết luận văn đã giúp tôi có ý thức tráchnhiệm và quyết tâm cao khi hoàn thành luận văn Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo trong Khoa Sư phạm Toán học, Trường Đạihọc Vinh về những bài giảng, những ý kiến đóng góp sâu sắc cụ thể, cùng toànthể đồng nghiệp bạn bè người thân đã góp ý, giúp đỡ, động viên trong suốt quátrình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này

Mặc dù đã hết sức cố gắng, song do năng lực và thời gian còn hạn chế nênchắc chắn luận văn không thể tránh khỏi thiếu sót Vì vậy tác giả rất mong được

sự góp ý, chỉ bảo của các Thầy cô, bạn bè đồng nghiệp và các độc giả quan tâm.Xin chân thành cảm ơn!

CHƯƠNG 1

IĐÊAN ĐƠN THỨC VÀ SIÊU ĐỒ THỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về iđêan củavành đa thức n biến Chúng tôi còn trình bày một số tính chất quan trọng vềiđêan đơn thức cũng như đối ngẫu Alexander của iđêan đơn thức, sự phân tíchiđêan đơn thức thành các iđêan đơn thức bất khả quy và iđêan nguyên tố liênkết của iđêan đơn thức Chúng tôi cũng đề cập đến các khái niệm cơ bản về siêu

đồ thị, iđêan cạnh và iđêan phủ của siêu đồ thị cũng như mối liên hệ giữa chúng

1.1 Iđêan đơn thức

1.1.1 Khái niệm cơ bản

Cho K là một trường và x 1 , , x n , (n ≥ 1) là các biến Ta gọi đơn thức là biểuthức có dạngxa1

n , trong đó α ∈ K gọi là hệ số của từ

Để cho tiện ta ký hiệu x = (x1, , xn),a = (a1, , an) và xa = xa1

1 xan

n Đơnthức xa = xa1

Phép cộng đa thức được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.1.1 Vành S = K [x1, x2, , xn] được xây dựng như trên được gọi

là vành đa thức n biến trên trường K

Định nghĩa 1.1.2 Cho I là một vành con của vành R Khi đó I được gọi làiđêan của vành R nếu ar ∈ I với ∀r ∈ R, ∀a ∈ I Một iđêan I $ R được gọi làmột iđêan thực sự của vành R

Định nghĩa 1.1.3 Cho I 6= R là một iđêan của vành R Khi đó

(i) I được gọi là iđêan nguyên tố nếu ∀x, y ∈ R mà xy ∈ I và x / ∈ I thì y ∈ I.(ii) I được gọi là iđêan nguyên sơ nếu ∀x, y ∈ R mà xy ∈ I và x / ∈ I thì tồn tại

số tự nhiên m sao cho ym ∈ I

Ví dụ 1.1.4 Cho I = mZ là một iđêan của vành các số nguyên Z Khi đó

1 I là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi m = 0 hoặc m là số nguyên tố

2 I là iđêan nguyên sơ khi và chỉ khi m = 0 hoặc m = pk, trong đó p là sốnguyên tố và k ∈N∗

Dựa vào định nghĩa cũng như qua ví dụ này ta có thể thấy ngay rằng Một iđêan

I của vành R nếu là iđêan nguyên tố thì cũng là iđêan nguyên sơ

Ví dụ 1.1.5 Cho iđêan I = (x1, x2) ⊂ K[x1, x2, x3] Khi đó I là một iđêannguyên tố Thật vậy, để chứng minh I là iđêan nguyên tố ta sẽ chứng minh

∀f, g ∈ K[x 1 , x 2 , x 3 ] mà f, g / ∈ I thì f g / ∈ I Do ∀f, g ∈ K[x 1 , x 2 , x 3 ] mà f, g / ∈ Inên ta có thể phân tích như sau:

(

f = f1(x1, x2, x3) + f0(x3)

g = g1(x1, x2, x3) + g0(x3)trong đó f 1 (x 1 , x 2 , x 3 ), g 1 (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ I và f 0 (x 3 ) 6= 0, g 0 (x 3 ) 6= 0 Từ đó suy ra

f g / ∈ I Vậy I là một iđêan nguyên tố của vành

Trong trường hợp vành đa thức 1 biến K[x]trên trường K Iđêan I = (f ), với

f = f (x) là đa thức theo biếnx có degf ≥ 1 bất khả quy trên trường K và iđêan

Ví dụ 1.1.7 Iđêan I = (x1x2, x2x3, x4) ⊂ S là iđêan đơn thức không chínhphương của vành S

Các iđêan đơn thức có thể được đặc trưng bởi một số tính chất sau

Bổ đề 1.1.8 Cho I ⊂ S là một iđêan Các điều kiện sau đây là tương đương:(a) I là một iđêan đơn thức;

(b) Với mọi f ∈ S ta có: f ∈ I ⇔ supp(f ) ⊂ I

Mệnh đề 1.1.9 Cho {u 1 , , u m } là một hệ các đơn thức sinh của iđêan đơnthứcI Khi đó đơn thức v ∈ I nếu và chỉ nếu tồn tại một đơn thứcw và 1 ≤ i ≤ msao cho v = wui

Mệnh đề 1.1.10 Mỗi iđêan đơn thức có một hệ sinh đơn thức tối tiểu duynhất Chính xác hơn, ký hiệu G là tập các đơn thức là tối tiểu với quan hệ chiahết Khi đó, G là tập các đơn thức sinh tối tiểu duy nhất

Ta biểu thị tập các đơn thức sinh tối thiểu của I bởi gens(I)

1.1.2 Đối ngẫu Alexander của iđêan đơn thức

Định nghĩa 1.1.11 Với một iđêan đơn thức không chính phương I ⊂ S, đốingẫu Alexander của I là iđêan xác định bởi

I∨ = \

m∈gens(I)

pm,

trong đó pm = (x i | x i ∈ m) là iđêan nguyên tố được tạo ra bởi các biến của m

Ví dụ 1.1.12 Cho I = (x 1 x 2 , x 1 x 3 ) ⊂ K[x 1 , x 2 , x 3 ] Khi đó đối ngẫu AlexandercủaI là

I∨ = (x1, x2) ∩ (x1, x3) = (x1, x2x3).

Ngoài đối ngẫu Alexander ở trên, chúng ta còn có đối ngẫu Alexander suyrộng cho một iđêan đơn thức bất kỳ Chúng tôi trình bày khái niệm này ở đâydựa theo tài liệu tham khảo [8] của Miller và Sturmfels

Cho a và b là các vectơ trong Nn mà bi ≤ aivới mỗii Như trong [8, Definition5.20], ta định nghĩa vectơ a\b là vectơ có tọa độ thứ i được cho bởi

ai\ bi =

(

ai+ 1 − bi nếu bi≥ 1

Định nghĩa 1.1.13 Cho a ∈ Nn, và cho I là một iđêan đơn thức sao cho tất

cả các phần tử sinh tối thiểu củaI chia hết xa Đối ngẫu Alexander của I tươngứng với a là iđêan

Thật vậy, với một iđêan đơn thức không chính phương I ⊂ S và a=1, tức làcác thành phần đều bằng 1 thì tất cả các đơn thức sinh tối thiểu xb của I đều

chia hếtx, tức là tập các đơn thức sinh tối thiểu đều là tập các đơn thức khôngchính phương Điều này dẫn đến các bi của b nhận giá trị 0 hoặc 1 Theo cáchxác định ai\ bi ta thu được nếu bi = 0 thì ai\ bi = 0 (đơn thức sinh không chứabiến xi) còn nếu bi = 1 thì ai\ bi= 1 Do đó các iđêan sinh bởi các lũy thừa cácbiến trong Định nghĩa 1.1.13 là các iđêan nguyên tố ở Định nghĩa 1.1.11 Vậy

I[1]= I∨

Theo Định nghĩa 1.1.11, ta thấy rằng đối ngẫu Alexander đồng nhất các phần

tử sinh tối tiểu của iđêan không chính phương với các iđêan nguyên tố liên kếtvới đối ngẫu của nó Tương tự, đối ngẫu Alexander suy rộng đồng nhất các phần

tử sinh tối tiểu của iđêan đơn thức không chính phương với các thành phần bấtkhả quy của đối ngẫu của nó

1.2 Phân tích nguyên sơ và iđêan nguyên tố liên kết

1.2.1 Iđêan đơn thức bất khả quy

Định nghĩa 1.2.1 Một iđêan đơn thức gọi là bất khả quy nếu nó có dạng

I = xe1

1 , , xen

n
với ei∈Z>0∪ {∞} (quy ước x∞i = 0)

Định nghĩa 1.2.2 Cho I là một iđêan đơn thức Một phân tích bất khả quycủaI là một phân tích thu gọn có dạng

I =\Q j ,với Qj là các iđêan bất khả quy Chúng ta gọi Qj là các thành phần bất khả quycủaI Bằng Hệ quả 1.2.5 dưới đây ta sẽ thấy rằng không có sự lựa chọn cho sựphân tích Vì vậy, các thành phần bất khả quy là một bất biến của iđêan.Đối ngẫu Alexander có một tính chất đặc biệt được suy ra trực tiếp từ [9,Corollary 2.6 ] của Sturmfels and Sullivant và được phát biểu bằng mệnh đề sau.Mệnh đề 1.2.3 ChoI là một iđêan đơn thức, và a là một vectơ với thành phần

đủ lớn mà tất cả các phần tử sinh tối thiểu củaI chia hết xa Khi đó(I[a])[a] = I

Ví dụ 1.2.4 ChoI = (x21, x22, x1x2) ⊂ S Với 2= (2, 2, , 2) ∈Nn, khi đó các đơnthức sinh tối thiểu của I là gens(I) = {x21, x22, x1x2} đều chia hết x2 = x21x22 x2n.Theo định nhĩa Alexander tương ứng với a của I ta có:

I[2] = (x21, x22) ∩ (x 1 ) ∩ (x 2 ) = (x21, x22) ∩ (x 1 x 2 ) = (x21x 2 , x 1 x22).

I = J[a] cũng có một phân tích bất khả quy duy nhất.

Ví dụ 1.2.6 Cho I = x21x2, x21x23, x22, x2x23
Khi đó

I = x21, x21x23, x22, x2x23
∩ x2, x21x23, x22, x2x23
= x21, x22, x2x23
∩ x2, x21x23

= x21, x22, x2
∩ x21, x22, x23
∩ x2, x21
∩ x2, x23

= x21, x22, x23
∩ x21, x2
∩ x2, x23
.

Nếu I là một iđêan đơn thức không chính phương, phương pháp trên cho

ta tất cả các iđêan đơn thức bất khả quy xuất hiện trong giao của I có dạng(xi1, , xik) Các iđêan đơn thức sinh bởi các biến này là các iđêan đơn thứcnguyên tố Do đó, ta có tính chất sau

Hệ quả 1.2.7 Một iđêan đơn thức không chính phương là giao của các iđêanđơn thức nguyên tố

Ví dụ 1.2.8 Cho I = (x1x2, x2x3, x1x3), là một iđêan đơn thức không chínhphương Bằng phương pháp nêu trên ta phân tích được:

1.2.2 Phân tích nguyên sơ

Cho R là vành Noetherian và M là một R- môđun hữu hạn sinh Một iđêannguyên tố P ⊂ R gọi là một iđêan nguyên tố liên kết của M, nếu tồn tại mộtphần tử x ∈ M, x 6= 0 sao cho P = Ann(x) Ở đây Ann(x) là tập các linh hóa

tử của x, được xác định bởi Ann(x) = {a ∈ R : ax = 0} Tập các iđêan nguyên tốliên kết của M ký hiệu là Ass(M ).

Một iđêan nguyên tố P ⊂ R được gọi là một iđêan nguyên tố tối giản của M,nếu MP 6= 0 và với mỗi iđêan nguyên tố Q chứa thực sự trong P ta có MQ = 0.Quan sát rằngP là một iđêan nguyên tố tối giản củaR/I nếu và chỉ nếu I ⊂ P,

và không có iđêan nguyên tố I ⊂ Q mà chứa thực sự trong P Chúng ta biếtrằng Ass(M ) là một tập hữu hạn bao gồm tất cả các iđêan nguyên tố tối giảncủaM

Nhắc lại rằng một iđêan I trong một vành Noetherrian R là P- nguyên sơ,nếu Ass(R/I) = {P } Để tiện trong việc trình bày, người ta thường viết Ass(I)thay vì Ass(R/I)

tố tối giản củaQ, suy ra rằng P ∈Ass(Q)

Chú ý rằng Pm ⊂ Q, vì m = Pki=1a i Cho nên P là iđêan nguyên tố tối giảnduy nhất chứaQ Do đó nếuP0 là một iđêan nguyên tố liên kết củaQthìP ⊂ P0.Chúng ta có P0 = Q : (g), với đa thứcg nào đó Giả sửP0 6= P Khi đóP0 chứamột đa thức f với tính chất là không có đơn thức u ∈Supp(f ) nào chia hết chocác biến số xij Bởi vậy f là chính quy trên S/Q Từ f g ∈ Q, chúng ta kết luậnrằng g ∈ Q và như thế Q : (g) = S, một sự mâu thuẫn

Một biểu diễn của một iđêan I như là giao I = Tr

i=1 Qi, trong đó mỗi Qi làmột iđêan nguyên sơ, thì được gọi là một phân tích nguyên sơ củaI Lưu ý rằng

I được gọi là iđêan nguyên sơ nếu nó có tập con X các biến; sao cho các đơnthức sinh tối thiểu của I chỉ chứa các biến trong X, đồng thời I phải chứa lũythừa nào đó của mỗi biến trong X

Cho {Pi} = Ass(Qi) Một phân tích nguyên sơ được gọi là một phân tíchnguyên sơ thu gọn nếu không một Q i nào có thể bị bỏ đi trong giao này và

nếu P i 6= P j với mọi i 6= j Nếu I = Tri=1Q i là một phân tích nguyên sơ thugọn của I, khi đó Qi được gọi là thành phần Pi-nguyên sơ của I, và ta cóAss(I) = {P1, , Pr} Các thành phần nguyên sơ tương ứng với một iđêan nguyên

tố tối giản của I là xác định duy nhất Thật vậy, nếu P ∈ Ass(I) là một iđêannguyên tố tối giản của I, thì thành phần P-nguyên sơ của I là hạt nhân củađồng cấu vành tự nhiên R → (R/I)P

Mệnh đề 1.2.9 ngụ ý rằng sự phân tích của một iđêan thành các iđêan bấtkhả quy là một phân tích nguyên sơ Nhưng dĩ nhiên nó có thể không phải làphân tích nguyên sơ thu gọn Tuy nhiên, từ giao của các P-iđêan nguyên sơ lại

là P-nguyên sơ, chúng ta có thể xây dựng một sự phân tích nguyên sơ thu gọncủa iđêan đơn thức I từ giao I = Tr

i=1 Qi, bằng cách lấy thành phần P-nguyên

sơ của I là giao của tất cả các Qi với Ass(Qi) = {P } Ví dụ tiếp sau đây minhhọa cho điều đó

Ví dụ 1.2.10 Iđêan I = x31, x32, x21x32, x1x2x23, x22x23
có biểu diễn thu gọn như làgiao của các iđêan bất khả quy

I = x31, x32, x23
∩ x21, x2
∩ x1, x22
.Chúng ta có

Ass x21, x2
=Ass x1, x22
= {(x1, x2)} Lấy giao x21, x2
và x1, x22
chúng ta thu được(x1, x2)-iđêan nguyên sơ x21, x1x2, x22

và ta có phân tích nguyên sơ thu gọn

I = x31, x32, x23
∩ x21, x 1 x 2 , x22
.

Từ sự phân tích nguyên sơ chuẩn, chúng ta có các hệ quả hiển nhiên sau

Hệ quả 1.2.11 Các iđêan nguyên tố liên kết của một iđêan đơn thức là cáciđêan nguyên tố đơn thức

Hệ quả 1.2.12 Cho I ⊂ S là một iđêan đơn thức, và cho P ∈Ass(I) Khi đótồn tại đơn thức v sao cho P = I : v

Chứng minh Từ P ∈ Ass(I), nên tồn tại f ∈ S sao cho P = I : f Như vậyvới mỗi xi ∈ P chúng ta có xif ∈ I Từ I là một iđêan đơn thức, có nghĩa là

x i u ∈ I, ∀u ∈Supp(f ) Từ đó suy ra rằng

P = I : f ⊂\

u∈supp(f ) I : u.

Mặt khác, nếu g ∈ u∈supp(f )I : u, khi đó ug ∈ I, ∀u ∈supp(f ) và do đó gf ∈ I :

Ví dụ 1.2.13 Cho iđêan I = (xy, xz) ⊂ S = K[x, y, z] Để tính lũy thừa hìnhthứcI(5)trước hết ta tìm tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết củaS/I dựa vàođịnh lý phân tích nguyên sơ Lasker - Noerther của vành Để ý rằngI = (xy, xz)làiđêan không chính phương nên có sự phân tích thành giao của các iđêan nguyên

tố (Hệ quả 1.2.7):

I = (xy, xz) = (x) ∩ (y, z).

Do đó,I = (x)∩(y, z)là một phân tích nguyên sơ Đặt p1 = (x);p2 = (y, z) Khi đó(x)là - p1 nguyên sơ và (y, z)là - p2 nguyên sơ Từ đó suy ra Ass(S/I) = {p1 ,p2 }.Vậy ta xác định lũy thừa hình thức thứ 5 của I là:

I(5) =p15∩p25= (x5) ∩ (y5, y4z, y3z2, y2z3, yz4, z5).

1.3 Siêu đồ thị

Định nghĩa 1.3.1 Một siêu đồ thị (hypergraph) là một cặp G = (V, E), trong

đó V là một tập, được gọi là tập các đỉnh của G, và E là một tập hợp con của

2V, được gọi là tập các cạnh của G Một siêu đồ thị được gọi là đơn nếu không

có cạnh nào chứa cạnh khác; các cạnh của một siêu đồ thị đơn có thể chỉ chứa

một đỉnh (ví dụ, cạnh bội) Tất cả các siêu đồ thị trong luận văn này đều đượcgiả thiết là đơn.

Một đồ thị là một siêu đồ thị trong đó mỗi cạnh có lực lượng đúng bằng hai(có hai đỉnh) Các kiến thức của siêu đồ thị thường được đặc biệt hóa lên đồ thị

để kiểm tra các lớp đặc biệt, chẳng hạn như các chu trình và đồ thị đầy đủ.Nếu W là một tập hợp con của V, thì một siêu đồ thị con cảm sinh của Gtrên W là cặp (W, EW), trong đó EW = E ∩ 2W là tập hợp các cạnh của G chỉchứa các đỉnh trong W.

Ví dụ 1.3.2 Cho đồ thị G = (V, E) gồm tập các đỉnh V = {a, b, c, d, e} vàtập các cạnh E = {ab, bc, cd, de, ae, ac, ce} Đây là một đồ thị đơn Xét tập cácđỉnh W = {a, c, d, e} ⊂ V và tập các cạnh của G chỉ chứa các đỉnh trong W là

EW = {ac, cd, de, ae, ce} Khi đó, GW = (W, EW) là đồ thị con cảm sinh của Gtrên W

Hình 1 Đồ thị GCho V = {x1, , xn} là tập các đỉnh Đặt S = K[V ] = K[x1, , xn], trong đó

K là một trường Để thu gọn các ký hiệu, ta sử dụng ký hiệu sau bằng cáchđồng nhất các đơn thức không chính phương xi1 xis với tập {xi1, , xis} củacác đỉnh Nếu đơn thứcm tương ứng với một cạnh của Gtheo cách này, ta cũng

sẽ ký hiệu cạnh đó bởi m

Định nghĩa 1.3.3 Iđêan cạnh của một siêu đồ thịG = (V, E), ký hiệu bởiI(G),

là iđêan sinh bởi các đơn thức tương ứng với các cạnh của siêu đồ thị Tức là

I(G) = (m | m ∈ E) ⊂ S.

Mặt khác, cho một iđêan đơn thức không chính phươngI ⊂ S, ta cho G(I) = (V, gens(I)) là siêu đồ thị liên kết vớiI, trong đógens(I) là tập các đơn thức sinhtối thiểu của I

Đơn thức mT = x

i ∈T x i là một đơn thức tiêu chuẩn củaI(G) nếu và chỉ nếu

T là một tập con độc lập của các đỉnh của G (tập các đỉnh không được nối vớinhau bởi bất kỳ cạnh nào)

Nếu k đơn thức tiêu chuẩn mTi, i = 1, , k củaI(G)thìQk

i=1mTi là đơn thứctiêu chuẩn của I(G){k}

Một phủ đỉnh của siêu đồ thịG là một tập con w các đỉnh của đồ thị sao chomỗi cạnh của đồ thị đều nối đến một đỉnh nào đó của w, tức là, w ∩ e 6= ∅ vớimọi cạnh e của G

Chú ý là nếu w là một phủ đỉnh của G thì thêm một biến vào w ta có mộtphủ đỉnh khác của G Đặc biệt, nói một cách tối giản thì các phủ đỉnh sẽ hìnhthành một iđêan của S bởi định nghĩa sau

Định nghĩa 1.3.4 Iđêan phủ của một siêu đồ thị G là iđêan xác định bởi

J (G) = (w | w phủ đỉnh của G).

Ví dụ 1.3.5 Iđêan cạnh của đồ thị G ở Ví dụ 1.3.2 là

I(G) = (ab, bc, cd, de, ae, ac, ce).

Tất cả các phủ đỉnh tối tiểu (số đỉnh trong phủ đỉnh là nhỏ nhất) của đồ thị G

là ace, acd, bce, bdc, abde nên iđêan phủ của đồ thị G là

J (G) = (ace, acd, bce, bdc, abde).

Trong thực tế, iđêan phủ thường được tính toán bằng cách sử dụng các tínhchất của đối ngẫu Chẳng hạn, việc tính iđêan phủ của đồ thị G ở Ví dụ 1.3.5,

ta tính I∨ với I = I(G) Khi đó, ta cũng thu được kết quả

J (G) = I∨ = (ace, acd, bce, bdc, abde).

Đây cũng là nội dung của Mệnh đề 1.3.6 sẽ trình bày dưới đây

Để ý rằng, nếu I = I(G) là một iđêan đơn thức không chính phương thì đốingẫu Alexander I∨ của nó cũng là iđêan đơn thức không chính phương Chúng

ta ký hiệu G∗ là siêu đồ thị ứng với I∨, và gọi G∗ là siêu đồ thị đối ngẫu của

G Khi đó I∨ = I(G∗) Iđêan cạnh và iđêan phủ của một siêu đồ thị liên hệ vớinhau bởi kết quả sau

Mệnh đề 1.3.6 Iđêan cạnh và iđêan phủ của một siêu đồ thị là đối ngẫu vớinhau, tức là J (G) = I(G)∨ = I(G∗) (và I(G) = J (G)∨) Hơn nữa, tập sinh tối

thiểu của J (G) tương ứng với tập phủ đỉnh tối thiểu của G (các phủ mà không

Một k-phủ a là khả quy nếu tồn tại một i-phủ b ∈ Nn và một j-phủ c ∈ Nnsao cho a = b + c và k = i + j Nếu không tồn tại, chúng ta nói a là tối giản

Ví dụ 1.3.8 Cho đồ thị đơn G gồm các cạnh {x1x2, x1x3, x2x3, x2x4, x3x4} Khi

đó, a = (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ) là 2-phủ của G nếu

a 1 + a 2 ≥ 2; a 1 + a 3 ≥ 2; a 2 + a 3 ≥ 2; a 2 + a 4 ≥ 2; a 3 + a 4 ≥ 2.

Chẳng hạn, a = (1, 1, 1, 1) hoặc b = (1, 3, 3, 2) là các 2-phủ của G Nhưng a là2-phủ tối giản, b là 2-phủ khả quy (do b = (1, 3, 3, 2) = (0, 2, 2, 1) + (1, 1, 1, 1)phântích thành tổng của hai 1-phủ)

Hình 2 2-phủ và 1-phủ

CHƯƠNG 2

SỐ MÀU VÀ CHU TRÌNH LẺ TRONG ĐỒ THỊ

Trong chương này, chúng ta xem xét việc làm thế nào để liên kết các tínhchất tổ hợp của lý thuyết đồ thị đơn của một siêu đồ thị G với các tính chấtcủa (lũy thừa của) iđêan cạnh và iđêan phủ củaG Chú ý rằng các kết quả liênquan đến số màu trong chương này là giống nhau cho đồ thị và siêu đồ thị, vìvậy ta có thể bỏ qua trường hợp siêu đồ thị và chỉ xem xét G là một đồ thị

Nhận xét 2.1.2 Với các cạnh bội (loop) chỉ chứa một đỉnh, chúng không thểchứa hai đỉnh có màu sắc khác nhau Do đó trong định nghĩa trên ta chỉ xemxét các cạnh với số đỉnh ít nhất là 2 Hơn nữa, do sự có mặt hay vắng mặt củacác cạnh bội không ảnh hưởng vào số màu của đồ thị, chúng ta giả sử trong suốtphần này là tất cả các cạnh của đồ thị có số đỉnh ít nhất là hai

Ví dụ 2.1.3 Cho G là đồ thị thu được bằng cách dán một hình ngũ giác vớimột hình vuông dọc theo một cạnh, thể hiện trong Hình 3 Các iđêan cạnh của

G là I(G) = (ab, bc, cd, de, ae, ef, f g, dg) Rõ ràng G không thể là 2-tô màu được

Và số tô màu của G là χ(G) = 3 Chẳng hạn, chúng ta có thể tô màu các đỉnh

a, c, g màu đỏ (Đ), đỉnh b, d, f màu vàng (V) và đỉnh e màu xanh (X)

Hình 3 Đồ thị GChú ý rằng đồ thị không là k-tô màu được khi và chỉ khi mọi phép gánk màucho các đỉnh của nó đều tồn tại ít nhất một cạnh đơn màu (có 2 đỉnh cùng màu).

Vì vậy, chúng ta cần phải kiểm tra đồng thời mọi phép gán màu lên đồ thị Đểthực hiện công việc đó, ta giả sử Y1, , Yk là bản sao riêng biệt của các đỉnh:

Yi= {yi,1, , yi,n} Ta xem Yi như là màu sắc thứ i, và các đỉnh của Yi được tômàu với màu sắc này Bây giờ ta đặt I(Yi) là iđêan cạnh I = I(G), nhưng là vớicác biến trong Yi thay vì trong V Khi đó, một phép gán màu của G sẽ tươngứng với một cách chọn sao cho mỗi đỉnh xj có màu của đỉnh yi,j, hay tươngđương với một đơn thức có dạngyi1,1.yi2,2 yin,n Đơn thức này là một cách tômàu nếu và chỉ nếu nó không thuộc iđêan đơn thức I = I(Ye 1) + + I(Yk).Ví

dụ, nếu G có cạnh x 2 x 5 thì x 2 và x 5 không cùng màu, suy ra y i 2 ,2 6= y i 5 ,5 hay

i 2 6= i 5 Suy ra đơn thức u không chia hết cho y i,2 y i,5 ∈ I(Y i ) với ∀i = 1, , k.Hay u 6∈ I(Y1) + + I(Yk) = ˜ I Đặc biệt, ta có G là một k-tô màu được khi vàchỉ khi tổng của tất cả các đơn thức như thế không nằm trong Ie

Ký hiệu đơn thức m= x1 xn, Tk = K[Y1, , Yk], và đặtφk : S → Tk là đồngcấu biến mỗi xi thành y1,i + + yk,i Khi đó φk(m) là tổng của tất cả các tômàu Với kí hiệu như trên, ta có một tính chất quan trọng về liên quan giữa sốmàu và iđêan đơn thức như sau

Bổ đề 2.1.4 G là một k-tô màu được khi và chỉ khi φk(m) / ∈ I.e

Định nghĩa 2.1.5 Cho I ⊂ S là một iđêan bất kỳ, và tiếp tục sử dụng tất cảcác ký hiệu trên Đặt T = K[V, Y 1 , , Yk] và coi S và Tk như các vành con của

T Khi đó, ta định nghĩa lũy thừa cát tuyến thứ k của I là

I{k} = S ∩ I + ({xe i− φk(xi)})
.

Từ Bổ đề 2.1.4 ta có định lí sau

Định lí 2.1.6 G là một k-tô màu được nếu và chỉ nếu m∈ I(G) / {k} Đặc biệt,

χ(G) = min{k |m∈ I(G) / {k}}.Cho tập con các đỉnh T ⊆ V, ký hiệu mT = Qx

i ∈T xi Định lý 2.1.6 có thểđược suy ra trực tiếp từ mệnh đề sau

Mệnh đề 2.1.7 Số tô màu χ(G) của đồ thị G là số nguyên dương k nhỏ nhất

mà lũy thừa cát tuyến thứ k của I là I(G){k} = (0)

Chứng minh Đơn thức mT =Q

x i ∈T xi là một đơn thức tiêu chuẩn của I(G)nếu

và chỉ nếu T là một tập con độc lập của các đỉnh của G Một k-tô màu là mộtphân vùng T1, , Tk của các đỉnh của G mà mỗi Ti là một tập con độc lập củacác đỉnh của G Một k-tô màu tồn tại nếu và chỉ nếu x1x2 xn = Qki=1mTi làmột đơn thức tiêu chuẩn của I(G){k} nếu và chỉ nếu I(G){k} = (0)

Chứng minh của Mệnh đề 2.1.7 cho chúng ta một cách mô tả các phần tửsinh tối tiểu của iđêan cát tuyếnI(G){k} [9, Theorem 3.2]

Định lí 2.1.8 Iđêan cát tuyến I(G){k} thứ k của I(G) được sinh bởi các đơnthức không chính phương mT mà GT không là k-tô màu được

I(G){k} = (mT | χ(GT) > k).

Ví dụ 2.1.9 ChoGvàI như trong Ví dụ 2.1.3 Khi đó,I{1} = I vàI{2} = (abcde)

cả hai đều chứa các đơn thứcabcdef g Tuy nhiên, I{3}= 0 Do đó G là 3-tô màuđược

Ví dụ 2.1.10 Cho G và I(G) = (ab, bc, cd, de, ae, ac, ce) như trong Ví dụ 1.3.2

cảm sinh ra k phủ đỉnh khác nhau, với mỗi phủ đỉnh tương ứng với việc bỏ đitất cả các đỉnh cùng tô một màu Ngoài ra nếu chúng ta biểu thị các phủ đỉnh

đó làw1, , wk, chúng ta có w1 wk =mk−1 Đặc biệt, chúng ta có các kết quảsau đây của Francisco, Hà và Van Tuyl

Định lí 2.1.11 G là k-tô màu được khi và chỉ khi mk−1 ∈ J(G) k Đặc biệt,

χ(G) = min {k | mk−1 ∈ J(G)k}.

Chứng minh Giả sử J = J (G) Cho một k-tô màu Giả sử wi là tập các đỉnhđược gán cùng một màu ngoại trừ i Sau đó, mk−1 = w1 wk ∈ J k Ngược lại,nếu mk−1 ∈ J k, ta có thể viết mk−1 = w1 wk với mỗi wi là đơn thức khôngchính phương trongJ Phép gán màu iđến phần bù của những wi mang lại mộtk-tô màu Khi đó

Ví dụ 2.1.12 Trong Ví dụ 2.1.3, cho m= abcdef g Iđêan phủ của G là

J (G) = (abdf, acdf, bdef, aceg, bceg, bdeg).

Bởi vì J không chứa m0 = 1, G là không thể là 1-tô màu được Tất cả 21 phần

tử sinh của J2 có thể chứa các bình phương của một biến, do đó G cũng khôngphải là 2-tô màu được Như vậy J2 không chứa m, vì vậy J không là 2-tô màuđược Tuy nhiên, J3 chứa m2, do đó G là 3-tô màu được

Chú ý 2.1.13 Người ta có thể dựa vào chứng minh Định lý 2.1.11 để xác định

b-lần số tô màu (b-fold chromatic number ) của một đồ thị Kí hiệu χb(G), là sốlượng màu sắc tối thiểu cần thiết khi mỗi đỉnh được gán bộ b màu sắc, và haiđỉnh liền kề phải có bộ màu rời nhau

Định lí 2.1.14 Cho G là một đồ thị đơn hữu hạn với iđêan phủ J Khi đó

χb(G) = min {k |mk−b ∈ Jk}.

Chứng minh Chúng ta sẽ chỉ ra χb(G) ≤ k nếu và chỉ nếu mk−b ∈ J k

Giả sử, mk−b ∈ Jk Như vậy, tồn tại k phủ đỉnh W1, , Wk sao cho mk−b =

mW1 mWk.M Với mỗi i = 1, , k, đặt Ci = V \ Wi Với mỗi j = 1, , n, xjxuất hiện nhiều nhất k − b lần của các W i hoặc tương đương với x j xuất hiện ít

nhất b lần của các C i Ta nói rằng x j xuất hiện trong C i 1 , , C i b , C i b+1 , , C i a.Chúng ta có thể liên kết xj đến bộ màu {i1, , ib} Chúng ta cần các tô màunày là một b-lần tô màu của G Thật vậy, mỗi đỉnh vừa nhận b màu dẫn đến

nó thỏa mãn những đỉnh kề nhau nhận các tập màu phân biệt Giả sử, cạnh

xjxk ∈ E(G), xi được tô màu {i1, , ib} và xk được tô màu {l1, , lb} Nếu cómột p ∈ {i1, , ib} ∩ {l1, , lb} thì xj ∈ Cp và xk ∈ Cp Nhưng Cp = V \ Wp làtập độc lập Điều này hoàn toàn đúng do Wp là một phủ đỉnh Dẫn đến khôngtồn tại cạnh xjxk (trái với giả thiết đặt ra) Vì thế, hai đỉnh xj, xk có bộ màurời nhau Như vậy, χb(G) ≤ k

Ngược lại, giả sử χb(G) = a ≤ k và G đã nhận một b-lần tô màu sử dụng amàu, chọn {1, , a} Với mỗi i = 1, , a, đặt

Wi = {xj ∈ V | xj không nhận màu i}.

Từ đây, tập các đỉnh trong một b-lần tô màu nhận màu i có dạng là một tậpđộc lập và dạng của Wi là một phủ đỉnh Do đó mWi ∈ J với mỗi i = 1, , a.Như vậy mW1 mWa ∈ Ja Từ đó, mỗi xj nhận đúng b màu phân biệt và mỗi

xj không thuộc b trong các Wi hoặc tương đương xj thuộc đúng a − b trong các

W i Nhưng điều này ngụ ý rằng mW1 mWa =ma−b ∈ Ja. Mà m∈ J, ta suy ra

mk−a∈ Jk−a Do đó

ma−bmk−a =mk−b ∈ JaJk−a = Jk.

Ví dụ 2.1.15 ChoG = C5 là một chu trình 5 Một 2-lần tô màu của G cho bởi

Hình 4 Chu trình C 5 với χ 2 (C 5 ) = 5Chúng ta thấy rằng cần ít nhất 5 màu được kí hiệu{1, 2, 3, 4, 5} Ta có χ2(G) = 5.Như vậy, theo Định lý 2.1.14, ta có (x1x2x3x4x5)3 ∈ J(G) 5

2.2 Chu trình lẻ

Trong mục này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về chu trình lẻcủa đồ thị và liên hệ với các tính chất đại số của iđêan cạnh và các tính chất tổhợp khác

Định nghĩa 2.2.1 Chu trình lẻ trong đồ thị là một chu trình có độ dài lẻ,nghĩa là số cạnh mà chu trình đi qua (tính cả bội) là một số lẻ

Khi nghiên cứu các tính chất đại số về số màu của đồ thị, một vấn đề cơ bảnđặt ra như sau:

Vấn đề 2.2.2 Tìm thuật toán đại số để tính toán số lượng màu sắc χ(G) dựatrên bất biến đại số và tính chất của iđêan cạnh I(G)

Chúng ta sẽ giới hạn xét trường hợp khi G là một đồ thị (tức là, không phải

là một siêu đồ thị), và xem xét vấn đề xác định chu trình lẻ và lỗ lẻ trong G

Để thuận tiện việc trình bày, tương tự các phần trước, chúng ta đặtI = I(G) và

J = J (G)

Đầu tiên, ta định nghĩa một đồ thị song tuyến tính là một đồ thị 2-tô màuđược hoặc tương đương một đồ thị không có chu trình lẻ Từ đó ta có hai hệquả của Định lý 2.1.11 như sau:

Hệ quả 2.2.3 G là một đồ thị song tuyến tính khi và chỉ khi m∈ J 2

Chứng minh Về trực quan, đồ thị G là đồ thị song tuyến nếu tập các đỉnh của

nó có thể chia thành hai tập rời nhau sao cho mỗi đỉnh của tập này chỉ được nốivới các đỉnh của tập kia, nghĩa là không có cạnh nào nối hai đỉnh trong cùngmột tập Cũng vì thế nên đồ thị song tuyến tính còn có định nghĩa là đồ thị2-tô màu được hoặc đồ thị không có chu trình lẻ Áp dụng Định lý 2.1.11 với

k = 2, J = J (G), ta có: Glà một đồ thị song tuyến tính khi và chỉ khi m∈ J2

Hệ quả 2.2.4 Nếu G là một đồ thị, thì G chứa một chu trình lẻ khi và chỉ khi

m6∈ J 2

Chứng minh Dựa vào Hệ quả 2.2.3 và định nghĩa đồ thị song tuyến tính dễdàng suy ra: Đồ thị G chứa một chu trình lẻ khi và chỉ khi G không là đồ thịsong tuyến tính khi và chỉ khi m6∈ J 2