Về cơ sở grobner của iđêan trong đại số ngoài

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINHNGUYỄN THỊ KHUYÊN CỦA IĐÊAN TRONG ĐẠI SỐ NGOÀI Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ KHUYÊN

CỦA IĐÊAN TRONG ĐẠI SỐ NGOÀI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ KHUYÊN

CỦA IĐÊAN TRONG ĐẠI SỐ NGOÀI

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS THIỀU ĐÌNH PHONG

Nghệ An - 2015

MỤC LỤC

1.1 Tích ngoài của các vectơ 6

1.2 Đại số tenxơ 8

1.3 Đại số ngoài 10

1.3.1 Xây dựng đại số ngoài 10

1.3.2 Tính chất cơ bản 10

1.3.3 Cơ sở và số chiều 12

2 CƠ SỞ GR ¨OBNER CỦA IĐÊAN TRONG ĐẠI SỐ NGOÀI 15 2.1 Iđêan trong đại số ngoài 15

2.2 Thứ tự đơn thức và iđêan khởi đầu 16

2.3 Cơ sở Gr¨obner của iđêan trong đại số ngoài 20

2.4 Tiêu chuẩn Buchberger 23

có liên hệ một cách tổng quát tới lý thuyết đại số của các mở rộng lượng tử.Ngoài ra nó là một trong những khởi nguồn của khái niệm không gian vectơhiện đại và việc tìm hiểu đề tài này còn giúp người học phát triển tư duy, cókiến thức sâu rộng hơn về toán học.

Trên cơ sở đó, chúng tôi chọn đề tài "Về cơ sở Gr¨obner của iđêantrong đại số ngoài" nhằm tìm hiểu các khái niệm và tính chất một cách

có hệ thống và cơ bản về đại số ngoài và iđêan trong đại số ngoài Đặc biệt

là trình bày chi tiết lý thuyết về cơ sở Gr¨oebner của iđêan trong đại số ngoài

để từ đó xây dựng một tài liệu tham khảo nội bộ cho sinh viên và học viênngành Đại số - Lý thuyết số về đại số ngoài và cơ sở Gr¨obner của iđêan trongđại số ngoài

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính củaluận văn được chia thành 2 chương

Chương 1 Đại số ngoài Chương này trình bày các khái niệm,cách xâydựng và tính chất cơ bản của đại số tenxơ và đại số ngoài nhằm làm cơ sởcho nội dung của chương sau

Chương 2 Cơ sở Gr¨obner của iđêan trong đại số ngoài Đây là nộịdung chính của luận văn trình bày về cơ sở Gr¨obner của iđêan trong đại sốngoài Về cơ bản trong đại số ngoài và trong vành đa thức, lý thuyết cơ sởGr¨obner là gần tương tự nhau, tuy nhiên có một số yếu tố, tính chất khácnhau đã được chỉnh sửa lại một cách phù hợp.

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS ThiềuĐình Phong Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS ThiềuĐình Phong đã hướng dẫn tận tình giúp tác giả hoàn thành luận văn này.Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô giáo khoa Sư phạm Toánhọc trường Đại học Vinh về những bài giảng và những hướng dẫn chỉ bảotrong suốt quá trình học tập Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới toàn thể bạn bè

và người thân đã giúp đỡ, tạo điều kiện và động viên tôi trong suốt quá trìnhhọc tập và làm luận văn này

Nghệ An, tháng 09 năm 2015

Tác giả

CHƯƠNG 1ĐẠI SỐ NGOÀI

Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm, cách xây dựng vàtính chất cơ bản của đại số tenxơ và đại số ngoài nhằm làm cơ sở cho nộidung chương sau Đầu tiên chúng tôi nhắc lại một số kiến thức phổ thông vềtích ngoài của các vectơ như là một ví dụ của phép toán tích ngoài trong đại

số ngoài

Trong toán học, tích ngoài của các vectơ là một công cụ đại số được sửdụng trong hình học Euclide để nghiên cứu diện tích, thể tích, và các tương

tự cao chiều hơn Tích ngoài của hai vectơ u và v, ký hiệu là u ∧ v, được gọi

là một song vectơ Độ lớn của u ∧ v có thể được hiểu như là diện tích hìnhbình hành có cạnh u và v, mà trong không gian ba chiều cũng có thể đượctính bằng cách sử dụng các tích chéo của hai vectơ Cũng giống như các tíchchéo, tích ngoài là phản giao hoán, có nghĩa là u ∧ v = −(v ∧ u) cho tất cảcác vectơ u và v Cụ thể hơn một song vectơ như là một họ tất cả các hìnhbình hành nằm trong cùng một mặt phẳng, có diện tích như nhau, và vớicùng một định hướng của biên lựa chọn chiều kim đồng hồ hoặc ngược chiềukim đồng

Diện tích của một hình bình hành là định thức của ma trận tọa độ củahai trong số các cạnh của nó Chú ý rằng mặt phẳng Descartes R2 là mộtkhông gian vector được trang bị một cơ sở bao gồm một cặp vectơ đơn vị

v ∧ w = (ae1 + be2) ∧ (ce1 + de2)

= (ace1 ∧ e1 + ade1 ∧ e2 + bce2 ∧ e1 + bde2 ∧ e2

= (ad − bc)e1 ∧ e2,

trong đó các đẳng thức đầu tiên sử dụng luật phân phối cho các tích ngoài,

và đẳng thức cuối cùng sử dụng tính chất các tích ngoài là thay phiên, và đặcbiệt e2 ∧ e1 = −e1 ∧ e2

Trong R3, tích ngoài liên quan chặt chẽ đến tích chéo của các vectơ Sử dụng

cơ sở chuẩn {e1, e2, e3}, tích ngoài của một cặp vectơ u = u1e1+ u2e2+ u3e3

và v = v1e1 + v2e2 + v3e3 là

u ∧ v = (u1v2− u2v1)(e1∧ e2) + (u3v1− u1v3)(e3∧ e1) + (u2v3− u3v2)(e2∧ e3),

trong đó {e1 ∧ e2, e3 ∧ e1, e2 ∧ e3} là cơ sở cho ba chiều không gian Λ2(R3).Với w là một vector thứ ba w = w1e1 + w2e2 + w3e3 tích ngoài của bavectơ là

u∧v∧w = (u1v2w3+u2v3w1+u3v1w2−u2v1w3−u3v2w1−u1v3w2)(e1∧e2∧e3),

trong đó {e1 ∧ e2 ∧ e3} là cơ sở cho không gian Λ3(R3)

1.2 Đại số tenxơ

Để xây dựng đại số ngoài với phép toán tích ngoài một cách tổng quáttheo lý thuyết đại số, đầu tiên chúng tôi trình bày trong mục này các kháiniệm, tính chất cơ bản về đại số tenxơ

Cho V là một K-không gian vectơ Với một số nguyên không âm k, tađịnh nghĩa lũy thừa tenxơ thứ k của V là tập

Tk(V ) = V ⊗ V ⊗ ⊗ V,

là tích tenxơ của k lần V Với k = 0, ta quy ước T0(V ) = K

Tổng trực tiếp của các lũy thừa tenxơ này được ký hiệu là

u.v = u1 ⊗ u2 ⊗ ⊗ up⊗ v1 ⊗ v2 ⊗ ⊗ vq ∈ Tp+q(V )

Sau đó ta mở rộng bằng phép tổ hợp tuyến tính tới phép nhân tất cả cácphần tử trên T (V )

Bằng cách kiểm tra các điều kiện trong định nghĩa của một đại số, chúng

ta chứng minh được định lý sau

Định lí 1.2.1 T (V ) cùng với phép toán "." là một đại số trên K

Định nghĩa 1.2.2 Đại số T (V ) được gọi là đại số tenxơ của không gianvectơ V trên trường K

Nhận xét 1.2.3 i) Bởi định nghĩa phép toán nhân ở trên, ta suy ra ngayrằng đại số tenxơ là một đại số phân bậc Tức là T (V ) = L

Tk(V ) và phéptoán nhân thỏa mãn tính chất của đại số phân bậc (đẳng cấu chính tắc (*) ởtrên), tập tất cả các thành phần bậc d của T (V ) là Td(V ), d = 0, 1, ii) Phép toán nhân trong T (V ) là không giao hoán và đơn vị 1 của T (V )

là khác với đơn vị 1K của trường K

Đại số Tenxơ thỏa mãn tính chất phổ dụng, từ đó ta có đại số Tenxơ là xácđịnh duy nhất sai khác đẳng cấu Để đơn giản ký hiệu, đặt ι : V → T (V ) làphép nhúng tự nhiên chính tắc từV vàoT (V )xác định bởiι(v) = v ∈ T1(V ).Tính chất phổ dụng của T (V ) được phát biểu như sau

Định lí 1.2.4 Cho A là một K-đại số kết hợp với đơn vị e và một ánh

xạ tuyến tính ϕ : V → A Khi đó tồn tại duy nhất một đồng cấu đại số

h : T (V ) → A sao cho h(1) = e và h ◦ ι = ϕ, tức là sao cho ta có biểu đồgiao hoán:

Chứng minh Đồng cấu h được xác định một cách tự nhiên như sau:

Đầu tiên, với v = v1 ⊗ v2 ⊗ ⊗ vm ∈ Tm(V ), ta định nghĩa

1.3 Đại số ngoài.

1.3.1 Xây dựng đại số ngoài

Định nghĩa 1.3.1 Vớip ∈ N, ta kí hiệu Bp(V ) là không gian con củaTp(V )

sinh bởi các tenxơ có dạng v1⊗ · · · ⊗ vp, trong đó vi = vj đối với ít nhất mộtcặp chỉ số i 6= j nào đó Đặt B(V ) = L∞

p=0Bp(V ).Không gian thương

∧p(V ) = Tp(V )/Bp(V )

được gọi là lũy thừa ngoài bậc p của V Các phần tử của ∧p(V ) được gọi là

p-véctơ Ảnh của v1 ⊗ · · · ⊗ vp trong ∧p(V ) được kí hiệu là v1 ∧ · · · ∧ vp.Đại số thương

được gọi là đại số ngoài của V

Tích của ω và η trong ∧(V )được kí hiệu là ω ∧ η và được gọi là tích ngoài

1.3.2 Tính chất cơ bản

Định nghĩa 1.3.2 Ta gọi ánh xạ đa tuyến tính ϕ : Vp → U là thay phiên,nếu

ϕ(v1, , vn) = 0

khi vi = vj đối với ít nhất một cặp chỉ số i 6= j nào đó

Ví dụ 1.3.3 a) Cho v1, vp ∈ Kp là các vectơ cột Khi đó ánh xạ địnhthức

(v1, , vp) 7−→| v1, , vp |

là ánh xạ đa tuyến tính thay phiên

b) Ánh xạ

∧p : Vp −→ ∧p(V ); (v1, , vp) 7−→ v1 ∧ · · · ∧ vp

là một ánh xạ đa tuyến tính thay phiên

Đại số ngoài cũng có tính chất phổ dụng giống đại số Tenxơ Tính chấtnày được phát biểu như sau

Định lí 1.3.4 (Tính phổ dụng) Cho cặp (∧p(V ), ∧p) gồm một không gianvectơ và một ánh xạ p-tuyến tính thay phiên Khi đó với mọi ánh xạ đatuyến tính thay phiên ϕ : Vp → U tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính

Chứng minh Trước hết xét trường hợpω = α ∈ ∧1(V ) = V, η = β ∈ ∧1(V ).

Ta sẽ chứng minh rằng α ∧ β = −β ∧ α Thật vậy, theo định nghĩa của ∧2(V )

thành β1 ∧ ∧ βr ∧ α1 ∧ ∧ αq, ta tráo đổi lần lượt từ phải sang trái các

αi, i = q, q − 1, , 1 với lần lượt βj, j = 1, , r Do đó ta cần thực hiện qr

lần tráo đổi như thế Mệnh đề được chứng minh

Ta có hệ quả hiển nhiên của mệnh đề trên như sau

Hệ quả 1.3.7 Với mọi v1, , vq ∈ V và mọi phép thế σ ∈ Sq ta có:

Chứng minh Do tính đa tuyến tính của tích ∧, không gian vectơ ∧q(V ) đượcsinh bởi các vectơ ei1 ∧ ∧ eiq, với 1 ≤ i1 < < iq ≤ n.

(i) Nếu q > n thì trong mỗi phần tử như vậy có ít nhất hai chỉ số nào đóbằng nhau, giả sử is = it với s 6= t Khi đó eis ∧ eit = 0 Suy ra tất cả cácphần tử nói trên đều bằng 0 Do đó ∧q(V ) = 0

(ii) Nếu q = n, theo lý thuyết định thức, có duy nhất một ánh xạ đa tuyếntính thay phiên det : Vq → K sao cho det(e1, , en) = 1 Do đó, tồn tạiduy nhất ánh xạ tuyến tính det : ∧n(V ) → K sao cho det(e1∧ ∧ en) = 1

Từ đó suy ra hệ chỉ gồm một vectơ e1∧ ∧ en là một cơ sở của không gianvectơ ∧n(V ) Như thế dim ∧n(V ) = 1

Bây giờ xét trường hợp 1 ≤ q < n Giả sử có một ràng buộc tuyến tính

số trùng lặp, loại trừ một số hạng duy nhất với các chỉ số không trùng lặp

a(i)ei1 ∧ ∧ eiq ∧ ejq+1 ∧ ∧ ein = 0 Hay là ±a(j)e1 ∧ ∧ en = 0 Do đó

a(j) = 0 Như vậy, hệ vectơ ei1 ∧ ∧ eiq : 1 ≤ i1 < < iq ≤ n
độc lậptuyến tính trong ∧q(V ) Định lý được chứng minh

Chú ý 1.3.9 i) Cho V là K-không gian vectơ với cơ sở {e1, , en} Đại sốngoài T (V ) trên V còn được ký hiệu là Khe1, e2, , eni

ii) Đại số ngoài T (V ) là đại số phân bậc tự nhiên với tập tất cả các thànhphần bậc d ∈ N là Td(V ) Đặc biệt deg ei = 1, i = 1, , n

Mỗi ánh xạ tuyến tính f : V → M cảm sinh một đồng cấu đại số ∧(f ) :

∧(V ) → ∧(M ) Đó là tổng trực tiếp của các đồng cấu thành phần ∧q(f ) :

∧q(V ) → ∧q(M ), (0 ≤ q < ∞) được định nghĩa như sau Xét ánh xạ đatuyến tính thay phiên

∧q(f ) : ∧q(V ) → ∧q(M ); ∧q(f )(α1, , αq) = f (α1) ∧ ∧ f (αq)

Do tính phổ dụng của ∧q(V ) Tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính ∧q(f ) :

∧q(V ) → ∧q(M ) sao cho ∧q(f ) = ∧q(f ) ◦ ξ, trong đóξ : V q → ∧q(V ) là ánh

xạ đa tuyến tính thay phiên chính tắc Ta thu được biểu thức tường minhcho ∧q(V ) như sau:

∧q(f )(α1, , αq) = f (α1) ∧ ∧ f (αq), với mọi α1, , αq ∈ V

Dễ dàng kiểm tra lại rằng ∧(gf ) = ∧(g)V

∧(f ) với mọi cặp ánh xạ tuyếntính f : V → M, g : M → N Hơn nữa ∧(idV) = id∧(V )

CHƯƠNG 2

CƠ SỞ GR ¨OBNER CỦA IĐÊAN TRONG ĐẠI SỐ NGOÀI

Trong chương này, chúng tôi trình bày lý thuyết về cơ sở Gr¨obner củaiđêan trong đại số ngoài Về cơ bản trong đại số ngoài và trong vành đa thức,

lý thuyết cơ sở Gr¨obner là giống nhau, tuy nhiên có một số yếu tố, tính chấtkhác nhau cần được chỉnh sửa phù hợp Nội dung này chúng tôi tham khảochủ yếu ở tài liệu [6, Section 5.2]

2.1 Iđêan trong đại số ngoài

Cho E = Khe1, e2, , eni là đại số ngoài trên trường K với n biến

e1, e2, , en trong đó deg ei = 1, i = 1, , n Khi đó bản thân E là mộtmôđun trái và phải trên chính nó

Định nghĩa 2.1.1 Một môđun con trái và phải của E được gọi là một idêancủa E Với một tập chỉ số F = {i1, i2, , ik} ⊆ [n] = {1, 2, 3, , n} , ta kýhiệu eF = ei1 ∧ ei2 ∧ eik và có thể viết tắt là eF = ei1.ei2 eik Khi đó eF

được gọi là một đơn thức Nếu iđêan I ⊆ E được sinh bởi các đơn thức thì

I được gọi là iđêan đơn thức Một phần tử x ∈ E tùy ý luôn biểu diễn đượcdưới dạng

x = a1.eF1 + a2.eF2 + + am.eFm,

trong đó F1, F2, , Fm ⊆ [n] ; a1, a2, , am ∈ K, ai 6= 0 Ta ký hiệu

supp (F ) = {eF1, , eFm}

Phần tử x ∈ E được gọi là thuần nhất nếu tất các đơn thức của nó cùng bậc,tức là |F1| = |F2| = · · · = |Fm| Iđêan I = hf1, f2, , fsi ⊆ E được gọi làiđêan thuần nhất nếu các phần tử sinh f1, , fs của nó là thuần nhất Khi

đó với mỗi f ∈ I tồn tại g1, g2, , gs ∈ E sao cho f = Ps

i=1gi ∧ fi

Ví dụ 2.1.2 Xét đại số ngoài E = Khe1, e2, , e5i Ta có eF = e1∧ e3∧ e4

là một đơn thức, trong đó F = {1, 3, 4} ⊆ [5]

Phần tử f = e1 ∧ e3 ∧ e4 + 2.e2 ∧ e4 ∧ e5 − e3 ∧ e4 ∧ e5 là thuần nhất.Iđêan I = he1 ∧ e2, e2 ∧ e3 ∧ e5, e1 ∧ e4 ∧ e5i ⊆ E là đêan đơn thức

Chú ý 2.1.3 Để tiện cho trình bày, từ nay trở về sau chúng ta có thể xóa

ký hiệu phép toán đại số ngoài “∧ ” trong tích các phần tử thuộc E Tức là

e1 ∧ e2 ∧ e3 được viết gọn là e1e2e3 Ta viết gọn F = {i1, i2, , ik} ⊆ [n] ,

với i1 < i2 < < ik, trong đơn thức eF bằng cánh bỏ dấu ngoặc “{}” vàdấu “,” Tức là với F = {1, 2, 3} thì eF = e1e2e3 được viết gọn là e123

Cho E = Khe1, , eni là đại số ngoài trên K Ta ký hiệu Mon(E) là tậphợp tất cả các đơn thức thuộc E Tức là Mon(E) = {eF|F ⊆ [n]}

Định nghĩa 2.2.1 Một thứ tự đơn thức < trên E là thứ tự toàn phần trêntập Mon(E) thỏa mãn tính chất

(i) 1 < u với mọi u 6= 1, u ∈ Mon(E);

(ii) Nếuu, v ∈ Mon(E) vàu < v, khi đóu ∧ w < v ∧ w với mọiw ∈ Mon(E)

sao cho u ∧ w 6= v ∧ w 6= 0

Với mỗi đơn thức u = eF ∈ Mon(E) chúng ta có thể liên kết với mộtđơn thức không chính phương (bình phương tự do) trong vành đa thức

S = K [x1, x2, , x3] xác định bởi u∗ = xF = xi1.xi2 xik trong đó

F = {i1, i2, , ik} ⊆ [n] Thứ tự từ điển <lex trên E cảm sinh bởi e1 >

e2 > > en được định nghĩa như sau:

eF <lex eG ⇔ xF <lex xG

Thứ tự từ điển ngược <rev trên E cũng được định nghĩa một cách tương tự.Nhận xét 2.2.2 Mọi thứ tự đơn thức trên vành đa thức S đều cảm sinh ramột thứ tự đơn thức trên đại số ngoài E bằng cách thu hẹp thứ tự đó trêncác đơn thức bình phương tự do Điều đó ngược lại vẫn đúng Tức là chotrước một thứ tự đơn thức < trên E Do chỉ có hữu hạn các đơn thức trong

E nên tồn tại thứ tự đơn thức <0 trên S cảm sinh ra < bằng cách mở rộngthứ tự < lên toàn bộ các đơn thức khác trong S theo tính chất của thứ tựđơn thức

Thứ tự từ điển (từ điển ngược) trên S cảm sinh bởi x1 > x2 > > xn

có thể được mô tả chính xác hơn bởi bổ đề sau

Bổ đề 2.2.3 Cho <lex (<rev) là thứ tự từ điển (ngược) trên F cảm sinh bởi

Tức là với f = a1eF1 + a2eF2 + + ameFm; ai 6= 0, Fi 6= Fj.

Ta có

in<(f ) = max {eFi|eFi ∈ supp(f )} = max {eFi|i = 1, , m}

Ta có thể kiểm tra trực tiếp được bổ đề sau

Bổ đề 2.2.5 Cho 0 6= g ∈ E và u ∈ Mon (E) khi đó ta có:

Bổ đề 2.2.7 Cho J ⊆ E là iđêan thuần nhất Khi đó:

(i) Chỉ có hữu hạn iđêan đơn thức khởi đầu phân biệt của J;

(ii) Với mọi thứ tự đơn thức < trên E, các đơn thức của E không thuộc vào

in<(J ) tạo thành một cơ sở của K-không gian vectơ E/J

Chứng minh i) Hiển nhiên vì chỉ có hữu hạn đơn thức (2n đơn thức) trong

E nên chỉ cũng có hữu hạn iđêan đơn thức trong E, không chỉ là iđêan đơnthức khởi đầu của J

ii) Ký hiệu: U = {u ∈ Mon (E) |u /∈ in<(J )} Ta có thể kiểm tra được U

là độc lập tuyến tính và các lớp của U trongS/J là một hệ sinh của S/J.Mệnh đề 2.2.8 Cho <, <0 là các thứ tự đơn thức trên E và J, J0 ⊂ E là cáciđêan thuần nhất Khi đó ta có: