Hệ phương trình Maxwell vĩ mô
Hệ phương trình Maxwell thứ nhất
Hệ phương trình Maxwell thứ nhất được thiết lập trên cơ sở phương trình Maxwell - Ampe:
Hình 1.1: Tương tác của ánh sáng với hạt ˛
Để mô tả mối liên hệ giữa từ trường, dòng điện dẫn và điện trường biến thiên, cần bổ sung phương trình liên hệ giữa vector điện dịch D và các điện tích tự do, cụ thể là định lý Ostrogradski-Gauss.
DdS=q, (1.3) q là điện tích tự do có trong mặt kín S.
Giữa vector điện dịchD và vector cường độ điện trường E liên hệ với nhau theo công thức:
Nếu môi trường xét là dẫn điện, thì có tồn tại dòng điện dẫn J, liên hệ với cường độ điện trường E bằng định luật Ohm:
Các phương trình (1.2)-(1.5) lập thành hệ các phương trình Maxwell thứ nhất dưới dạng tích phân Còn dạng vi phân của hệ phương trình Maxwell thứ nhất là:[1]
Hệ phương trình Maxwell thứ hai
Hệ phương trình Maxwell thứ hai được xây dựng dựa trên phương trình Maxwell - Faraday, nhằm mô tả mối quan hệ giữa điện trường và từ trường biến thiên.
Kết hợp với phương trình của định lý Ostrogradski-Gauss cho từ trường: ˛
BdS= 0, (1.8) và hệ thức liên hệ giữa cảm ứng từ và từ trường:
B=àà 0 H, (1.9) thì thu được hệ phương trình Maxwell thứ hai dưới dạng vi phân[1]
(1.10) ε ,à, và σ tương ứng hàng số điện mụi, độ từ thẩm và điện dẫn suất chỳng đặc trưng cho tính chất của môi trường điện từ trường.
Sử dụng các biểu diễn phức của điện trường E và từ trường H, hệ phương trình Maxwell mô tả sự tương tác của sóng ánh sáng với một hạt cầu.
∇ ×H = −iωεE, (1.14) trong đóω là tần số dao động của ánh sáng.
⇔ ∇(∇E)− ∇(∇E) = ω 2 εàE, (1.16) thay (1.12) vào (1.16) thu được
Biến đổi như trên thu được
∇ 2 H+ω 2 εàH= 0, (1.18) ở đõy đặtk m 2 =ω 2 εà gọi là vector súng trong mụi trường xung quanh Khi đú phương trỡnh (1.17) và (1.18) viết dưới dạng
Bây giờ ta đi tìm lời giải vector của phương trình sóng.
Xét một hàm sóng ψl,m trong hệ tọa độ cầu với các tọa độ (r,θ,φ), vàr vector không đổi. Hàm sóng ψ l,m thỏa mãn phương trình:
Khi đó các đại lượng vectorM l,m ,N l,m xác định bởi
∇ ×M l,m , (1.23) ở đây M l,m , N l,m chúng thỏa mãn phương trình (1.19) và có quan hệ với nhau như các đại lượngE,H, cònL đặc trưng cho sóng theo phương dọc nên không xét đến.
Hệ số tán xạ, hấp thụ
Lời giải vô hướng
Phương trình (1.20) có nghiệm ψ l,m viết trong hệ tọa độ cầu với các tọa độ (r,θ,ϕ) sẽ thỏa mãn phương trình
Phương trình đạo hàm riêng trở thành các phương trình vi phân một biến Các thành phần m,Q là các hằng số tách:
Thành phầnΦ(ϕ) thỏa mãn phương trình: d 2 Φ d 2 ϕ 2 +m 2 Φ= 0, (1.26) có nghiệm Φ=e ±imϕ (1.27)
Thành phầnΘ(θ) thỏa mãn phương trình:
= 0, (1.28) vớiQ=l(l+ 1), khi đó nghiệm của nó viết dưới dạng: Θ = P l m (η)
2 l l! d l+m (η 2 −1) l d(η) l+m , (1.29) ở đâyη =cosθ và để đơn giản ta viết P l m =P l m (η).
Thành phầnR(r) thỏa mãn phương trình: r 2 d 2 R dr 2 + 2rdR dr + k m 2 r 2 −Q 2
Nghiệm của phương trình xác định bởi:
R r2 πZ l (p), với p = k m r, trong đó Z l (p) biểu thị cho hàm Bessel hình cầu j l (p) và hàm Hankel bậc đầu tiên h l (p) Việc lựa chọn các hàm xuyên tâm là quan trọng, vì j l (p) có giá trị hữu hạn tại tâm, chính vì vậy nó mô tả chính xác các tương tác và quá trình truyền tải tương tác Ngược lại, h l (p) vô hạn ở các trường xa, tương ứng với mô hình sóng hình cầu lan truyền đến các khu vực rải rác.
Từ các nghiệm ở phương trình (1.27), (1.29), (1.31) ta xác định được ψ l,m ψ l,m (r, θ, ϕ) r2 πZ l (kmr)P l m e imϕ (1.32)
Biểu thức trên chỉ nhận các giá trị lẻ của sinθ và chẵn của cosθ, do đó (1.32) có thể được viết lại thành: ψ l,m e o (r, θ, ϕ) = r² π Z l (kmr) P l m cos sin mϕ Các ký hiệu trong biểu thức này biểu thị tính chẵn và lẻ của các đại lượng tương ứng.
Phương trình (1.33) được sử dụng để mở rộng phương pháp vô hướng cho các biểu diễn của các thành phần điện trường và từ trường.
Lời giải vector
1.2.2.1 Dao động tử cầu vector
Từ phương trình (1.22) và sử dụng biểu thức vô hướng (1.33) vectorM l,m viết dưới dạng:
M l,m e o =∇ ×r(rψˆ l,m e o ), (1.34) ở đâyr= ˆrr Lấy trung bình các kết quả chẵn và lẻ của M l,m ta được:[5]
=∓Z l P l m sinθ sin cos mϕθˆ−Z l dP l m dθ cos sin mϕϕ.ˆ
Từ phương trình (1.36) và (1.22) ta thu được có:[5]
= l(l+ 1) kmr ZlP l m cos sin mϕˆr+1 r d(pZl) dp
Chú ý rằng hàm xuyên tâm củap được thay thế bởiNp = Ns
Nm để thể hiện các thông số của môi trường xung quanh.
1.2.2.2 Phương trình hồi quy và hệ thức liên hệ
Dựa vào các hệ thức xuyên tâm và liên kết hàm số Legendre, Mie đã phân tích chi tiết vùng sóng rộng hình cầu và đưa ra hệ số xuyên tâm, được biểu diễn bằng công thức: z l+1 (p) = (2l+ 1) p j l (p)−jl−1(p).
Lấy đạo hàm với các đối số Bên cạnh đó biểu thị θtheo hàm Legendre ta thu được.
, (1.42) thực hiện phép biến đổi: d dθ =−p
Ngoài ra, phần âm củam trong đa thức liên kết Legendre được biểu thị
Trong lý thuyết Mie hai đại lượng góc phụ thuộc vào điều kiện biên theo hệ thức[5] Π l,m =m P l m sinθ, (1.45)
Các hàm góc θ đóng vai trò quan trọng trong việc mô tả trường và cường độ, với các giá trị bậc nhất (l = 1 đến l = 4) được so sánh với các giá trị bậc cao hơn (l = 15 đến l = 18) cho cả Π l,m và T l,m, như thể hiện trong hình 1.2 và hình 1.5 Đầu tiên, tính chất của các góc được xác định, sau đó là ký hiệu thứ tự cựcl cho từng trường hợp Những đường đối cực được xác định bằng cách xem xét θ từ 0° đến 360° với m = 1, tương tự như trường hợp sóng phẳng Các tính chất của hàm góc sẽ ảnh hưởng đến sự biến thiên của phân bố cường độ xung quanh một hạt trong khoảng θ.
Tán xạ tia sáng trong trường điện môi
Một hàm sóng tùy ý được xác định bằng thế véc tơAđược xác định tuyến tính bởi các hàm véc tơ đặc trưng.
Hình 1.2: Góc θphụ thuộc vào đại lượng bậc thấp l= 1 tới 4,m= 1
Hình 1.3: Gócθ phụ thuộc vào đại lượng bậc caol= 15tớil= 18cho m= 1
Hình 1.4: Gócθ phụ thuộc vào đại lượng thứ tự thấpl= 1 tới4,m= 1
Hình 1.5: Gócθ phụ thuộc vào đại lượng bậc caol= 1 tớil= 18cho m= 1
Từ phương trình (1.12) và sử dụng véc tơA từ trường được viết dưới dạng[5]
Từ phương trình (1.13), (1.48) điện trường được viết dưới dạng:[5]
X[Al,mMl,m+Bl,mNl,m], (1.49) ở đâyA l,m vàB l,m là các hệ số mở rộng đặc trưng cho chùm tia tới được xác định:
(1.50) vàBl,1 =iAl,1,với Ω= 4πr 2 là diện tích bề mặt thay vào (1.50) thu được:
Xét trường hợp: góc tới θ = 0 và các điều kiện biên đều mất trừm = 1 Từ phương trình (1.41), (1.42),Π l,1 = 1 vàT l,1 = 1 2 l(l+ 1) thực hiện biến đổi khi đó (1.51), (1.52) trở thành
Từ những điều trên ta xác định được các thành phần tán xạ của điện từ trường như sau.[5]
(1.56) trong đó:a l ,b l là các hệ số tán xạ.c l ,d l là các hệ số trường trong m, tương ứng là hằng số điện môi của môi trường xung quanh và của vật.
1.2.3.2 Xác định hệ số Mie từ điều kiện biên
Các hệ số khai triển Mie al, bl, cl và dl của sự tán xạ trong điện trường được xác định theo điều kiện biên Điện từ trường cần tuân theo các phương trình Maxwell với các hằng số điện môi và độ từ thẩm đẳng hướng và không đổi Tuy nhiên, khi truyền qua mặt phân cách giữa hạt và môi trường, các tính chất này sẽ thay đổi Sự thay đổi này xảy ra trong một vùng chuyển tiếp có độ dày tương đương kích thước nguyên tử, và tại bề mặt phân cách, các thành phần tiếp tuyến của E và H luôn duy trì tính liên tục.
[H inc +H scat −H int ]×r= 0, (1.58) do đó
Einc,θ+ Esca,θ=Eint,θ; Hinc,θ+ Hsca,θ =Hint,θ, (1.59)
E inc,ϕ + E sca,ϕ =E int,ϕ ; E inc,ϕ + E sca,ϕ =E int,ϕ (1.60) Khi áp dụng các véc tơ sóng hình cầu kết quả thu được j l (N χ) +h l (χ)b l =j l (χ), [N χj l (N χ )] 0 c l + [χh l (χ)] 0 b l = [χj l (χ)] 0 ,
Tạir =agiải phương trình (1.61) ta xác định được các hệ số tán xạ Mie a l ,b l ,c l vàd l [5] a l =N 2 j l (N χ ) [χj(χ)] 0 −j l (χ) [N χj l (N χ)] 0 , b l = N j l (χ) [χh(χ)] 0 −N h(χ) [χj l (χ)] 0
N 2 j l (N χ ) [χh(χ)] 0 −h(χ) [N χj l (N χ)] 0 , c l = j l (χ) [χh(χ)] 0 −h(χ) [χj l (χ)] 0 jl(Nχ) [χh(χ)] 0 −h(χ) [N χjl(N χ)] 0 , dl= N jl(χ) [χh(χ)] 0 −N h(χ) [χjl(χ)] 0
Sự tắt dần và tán xạ theo phương ngang
Áp dụng định lý vecto Poynting giúp xác định sự thay đổi mức năng lượng ánh sáng khi nó đi qua một hạt cụ thể Khi đó, tiết diện tán xạ và hấp thụ trong một đơn vị diện tích được tính toán thông qua công thức σs = Wsca.
I inc , (1.64) ở đây Iinc, Wsca, Wext tương ứng là cường độ trên bề mặt của hạt, năng lượng hấp thụ và năng lượng tán xạ.
Năng lượng hấp thụWsca và năng lượng tán xạWext được xác định bởi:
E sca, ×H ∗ sca,ϕ −E sca, ×H ∗ sca,θ r 2 sinθdϕdθ, (1.65)
E inc,θ ×H ∗ sca,ϕ −E sca,ϕ ×H ∗ sca,θ −E sca,θ ×H ∗ inc,ϕ −E sca,θ ×H ∗ inc,ϕ r 2 sinθdϕdθ (1.66)
Năng lượng phản xạ được xác định qua năng lượng tán xạ và hấp thụ:W abs = W ext −W scat
Từ các biểu thức (1.63)-(1.66) ta xác định được tiết diện hấp thụ và tiết diện tán xạ tương ứng: σs = 2π k m 2
Các hàm gócF l,m vàH l,m liên hệ vớiΠ l,m vàT l,m qua hệ thức:
(l+m)!|Π l,m | 2 (1.70) Với trường hợpm= 1 các phương trình (1.67), (1.68) trở thành: σ s = 2π k 2 m
Các hiệu suất hấp thụ và hiệu suất tán xạ được xác định bởi:[5]
Trong đóσ g =πa 2 là diện tích cắt ngang bề mặt, vớialà bán kính mặt cầu.
Tổng quan về cấu trúc Nano
Vật liệu nano là gì?
Nano đề cập đến một phần tỷ của một đơn vị, ví dụ như nano giây, tương đương với một phần tỷ của một giây Trong ngữ cảnh này, nano mét (nm) là một phần tỷ của một mét, đặc biệt liên quan đến vật liệu rắn có kích thước ở cấp độ nano Vật liệu nano là một thuật ngữ phổ biến nhưng không phải ai cũng hiểu rõ Để nắm vững khái niệm vật liệu nano, chúng ta cần tìm hiểu về khoa học nano và công nghệ nano, hai khái niệm liên quan thiết yếu.
Hình 1.6: Tiết diện tán xạ σ t của quả cầu có chiết suất N s = 1.59 đặt trong không khí và λ= 1 àm.
Hình 1.7: Hiệu suất tán xạ Q ext của quả cầu có chiết suất N s = 1.59 đặt trong không khí và λ= 1àm
Hình 1.8: Hiệu suất tán xạ Q ext của quả cầu khil= 1tớil= 5
Khoa học nano, theo Viện hàn lâm hoàng gia Anh quốc, là lĩnh vực nghiên cứu các hiện tượng và can thiệp vào vật liệu ở quy mô nguyên tử, phân tử và đại phân tử Ở những quy mô này, các tính chất của vật liệu thể hiện sự khác biệt rõ rệt so với khi chúng ở quy mô lớn hơn.
Công nghệ nano liên quan đến việc thiết kế, phân tích, chế tạo và ứng dụng các cấu trúc và thiết bị ở quy mô nano mét Vật liệu nano, với kích thước từ vài nm đến vài trăm nm, là cầu nối giữa khoa học nano và công nghệ nano Để hình dung rõ hơn, một quả cầu có bán kính bằng quả bóng bàn có thể chứa đủ thể tích để tạo ra hàng triệu hạt nano kích thước 10 nm, và nếu xếp chúng thành hàng, chiều dài sẽ gấp một ngàn lần chu vi của trái đất.
Tại sao vật liệu nano lại có các tính chất thú vị?
Vật liệu nano có những tính chất thú vị do kích thước rất nhỏ bé của chúng, có thể so sánh với các kích thước tới hạn của nhiều tính chất hóa lý Kích thước này đủ nhỏ để tạo ra sự khác biệt giữa tính chất lượng tử của nguyên tử và tính chất khối của vật liệu Trong khi đối với vật liệu khối, độ dài tới hạn của các tính chất thường rất nhỏ so với kích thước vật liệu, thì ở vật liệu nano, điều này không đúng, dẫn đến sự xuất hiện của các tính chất khác lạ.
Chúng ta hãy lấy một ví dụ trong bảng 1.1 Vật liệu sắt từ được hình thành từ những đô
Vật liệu Tính chất Tính chất Độ dài tới hạn (nm)
Xúc tác Hình học topo bề mặt 1−10
Siêu phân tử Độ dài Kuhn 1−100
Miễn dịch Nhận biết phân tử 1−10 Điện
Quãng đường tự do trung bình 1−100
Quãng đường tán xạ spin 1−100
Hố lượng tử 1−100 Độ dài suy giảm 10−100 Độ sâu bề mặt kim loại 10−100
Siêu dẫn Độ dài liên kết cặp Cooper 0.1−100 Độ thẩm thấu Meisner 1−100
Tương tác bất định xứ 1−1000
Bán kính khởi động đứt vỡ 1−100
Sai hỏng mầm 0.1−10 Độ nhăn bề mặt 1−10
Bảng 1.1 trình bày độ dài tới hạn của một số tính chất của vật liệu, trong đó các nguyên tử có từ tính trong lòng một đômen sắp xếp song song nhưng không nhất thiết phải đồng hướng với moment từ của đômen khác Giữa các đômen tồn tại một vùng chuyển tiếp gọi là vách đômen, có độ dày phụ thuộc vào bản chất vật liệu, thường từ 10−100nm Khi vật liệu được hình thành từ các hạt có kích thước tương đương với độ dày vách đômen, các tính chất của nó sẽ khác biệt so với vật liệu khối do sự tương tác giữa các nguyên tử ở các đômen khác nhau.
Phân loại vật liệu nano
Vật liệu nano có thể được phân loại theo nhiều cách khác nhau, dẫn đến sự xuất hiện của nhiều loại nhỏ và dễ gây nhầm lẫn về các khái niệm Dưới đây là một số phương pháp phân loại phổ biến.
1.3.3.1 Phân loại theo hình dáng của vật liệu
Người ta đặt tên số chiều không bị giới hạn ở kích thước nano.
•Vật liệu nano không chiều (cả ba chiều đều có kích thước nano), ví dụ đám nano, hạt nano;
•Vật liệu nano một chiều là vật liệu trong đó một chiều có kích thước nano, ví dụ dây nano, ống nano;
Vật liệu nano hai chiều là loại vật liệu có kích thước nano ở hai chiều, chẳng hạn như màng mỏng Những vật liệu này có kích thước tính bằng nanomet (nm) hoặc có cấu trúc nano với sự kết hợp giữa các chiều không gian khác nhau, bao gồm một chiều, hai chiều và ba chiều.
Theo phân loại hình dáng vật liệu, hạt nano được coi là vật liệu nano 3 chiều, dây nano là vật liệu nano 2 chiều, và màng mỏng là vật liệu nano 1 chiều Phân loại này ít được sử dụng so với cách phân loại ban đầu.
1.3.3.2 Phân loại theo tính chất vật liệu thể hiện sự khác biệt ở kích thước nano
•Vật liệu nano kim loại;
•Vật liệu nano bán dẫn;
•Vật liệu nano từ tính;
•Vật liệu nano sinh học.
Nhiều khi, người ta kết hợp hai phương pháp phân loại hoặc kết hợp các khái niệm nhỏ để hình thành những khái niệm mới Chẳng hạn, "hạt nano kim loại" là một ví dụ, trong đó "hạt" được phân loại theo hình dáng và "kim loại" theo tính chất Tương tự, "vật liệu nano từ tính sinh học" cũng thể hiện sự phân loại theo tính chất, với cả hai yếu tố "từ tính" và "sinh học" được xem xét.
Chế tạo vật liệu nano như thế nào?
Các vật liệu nano có thể được sản xuất thông qua bốn phương pháp phổ biến, mỗi phương pháp mang lại những ưu điểm và nhược điểm riêng Một số phương pháp chỉ phù hợp với một số loại vật liệu nhất định.
Các phương pháp chế tạo vật liệu trong hóa keo bao gồm thủy nhiệt, sol-gel và kết tủa, trong đó các dung dịch chứa ion được trộn theo tỷ lệ thích hợp và kết tủa nano dưới tác động của nhiệt độ và áp suất Sau khi lọc và sấy khô, ta thu được vật liệu nano Ưu điểm của phương pháp hóa ướt là khả năng chế tạo đa dạng vật liệu vô cơ, hữu cơ và kim loại với chi phí thấp và sản lượng lớn Tuy nhiên, nhược điểm của phương pháp này là sự liên kết của các hợp chất với phân tử nước, và phương pháp sol-gel thường không đạt hiệu suất cao.
Bao gồm các phương pháp tán, nghiền và hợp kim cơ học, trong đó vật liệu dạng bột được nghiền đến kích thước nhỏ hơn Hiện nay, máy nghiền phổ biến được sử dụng là máy nghiền kiểu hành tinh và máy nghiền quay.
Phương pháp cơ học có ưu điểm là đơn giản, dụng cụ chế tạo không đắt tiền và có thể chế tạo với một lượng lớn vật liệu.
Mặc dù phương pháp này hiệu quả trong việc tạo ra vật liệu không hữu cơ như kim loại, nhưng nó cũng có nhược điểm như các hạt bị kết tụ, kích thước hạt không đồng nhất, dễ bị nhiễm bẩn từ dụng cụ chế tạo và khó đạt được kích thước hạt nhỏ.
Gồm các phương pháp quang khắc, bốc bay trong chân không vật lí, hóa học.
Các phương pháp này không chỉ hiệu quả trong việc chế tạo màng mỏng hoặc lớp bao phủ bề mặt, mà còn có thể được sử dụng để chế tạo hạt nano thông qua việc cạo vật liệu từ đế.
Tuy nhiên phương pháp này không hiệu quả lắm để có thể chế tạo ở quy mô thương mại.
1.3.4.4 Phương pháp hình thành từ pha khí
Các phương pháp tạo ra vật liệu nano từ pha khí bao gồm nhiệt phân, nổ điện, đốt laser, bốc bay nhiệt độ cao và plasma Trong số đó, nhiệt phân là phương pháp lâu đời, thường được sử dụng để sản xuất các vật liệu đơn giản như carbon và silicon.
Phương pháp đốt laser thì có thể tạo được nhiều loại vật liệu nhưng lại chỉ giới hạn trong phòng thí nghiệm vì hiệu suất của chúng thấp.
Phương pháp plasma một chiều và xoay chiều có khả năng tạo ra nhiều loại vật liệu khác nhau Tuy nhiên, phương pháp này không phù hợp cho việc sản xuất vật liệu hữu cơ do nhiệt độ có thể lên đến 900°C.
Phương pháp hình thành từ pha khí chủ yếu được sử dụng để sản xuất lồng carbon (fullerene) và ống carbon Nhiều công ty hiện nay áp dụng phương pháp này trong quy trình chế tạo với mục đích thương mại.
Ứng dụng của Công nghệ Nano
Công nghệ Nano đã mang lại sự tiến bộ vượt bậc cho nhiều lĩnh vực như công nghiệp, nông nghiệp, y tế, hàng tiêu dùng và thực phẩm Đồng thời, khoa học nano vẫn là một trong những lĩnh vực chưa được khám phá hoàn toàn, hứa hẹn nhiều phát minh kỹ thuật thú vị trong tương lai.
Công nghệ nano đang được ứng dụng rộng rãi trong ngành điện tử, với các bộ vi xử lý làm từ vật liệu nano ngày càng phổ biến Nhiều sản phẩm như bàn phím và chuột hiện nay được phủ lớp nano kháng khuẩn Trong tương lai, pin nano sẽ có cấu trúc ống nanowhiskers, giúp tăng diện tích bề mặt của các cực pin, từ đó nâng cao khả năng lưu trữ điện năng mà vẫn giữ kích thước pin ngày càng nhỏ gọn.
Y tế là một trong những ứng dụng lớn nhất của công nghệ nano.
Trong điều trị ung thư, nhiều phương pháp đã được thử nghiệm nhằm hạn chế sự phát triển và tiêu diệt khối u ở cấp độ tế bào Nghiên cứu gần đây cho thấy việc sử dụng hạt nano vàng để chống lại nhiều loại ung thư mang lại kết quả khả quan Các hạt nano này được đưa vào khối u trong cơ thể và được làm nóng bằng tia laser hồng ngoại từ bên ngoài, giúp tiêu diệt các khối u hiệu quả.
Các nhà khoa học đang phát triển một dự án nanorobot đặc biệt, với những robot siêu nhỏ có khả năng đi vào cơ thể con người để cung cấp thuốc điều trị trực tiếp đến các bộ phận cần thiết Phương pháp này hứa hẹn sẽ nâng cao hiệu quả và khả năng điều trị bệnh.
Trong tương lai gần, công nghệ Nano hứa hẹn sẽ revolution hóa việc điều trị ung thư, bao gồm cả những loại ung thư khó chữa như ung thư não Các bác sĩ sẽ có khả năng điều trị hiệu quả mà không cần phải phẫu thuật mở hộp sọ hay sử dụng các phương pháp hóa trị độc hại.
Việc sử dụng hạt nano bạc trong quần áo mang lại khả năng diệt khuẩn hiệu quả, giúp loại bỏ mùi hôi khó chịu Các hạt này có khả năng thu hút và tiêu diệt tế bào vi khuẩn, tạo ra sản phẩm quần áo thể thao, quần lót khử mùi và tất với tính năng vượt trội.
Công nghệ nano không chỉ có khả năng diệt khuẩn và khử mùi mà còn có thể biến áo thành trạm phát điện di động, cho phép sạc smartphone mọi lúc mọi nơi nhờ vào năng lượng mặt trời và gió Ứng dụng này đang được mở rộng với ý tưởng chế tạo buồm từ vật liệu nano, có khả năng chuyển hóa năng lượng tự nhiên thành điện năng, mặc dù hiện tại vẫn đang trong quá trình thử nghiệm.
1.3.5.4 Nông nghiệp Ý tưởng ứng dụng vật liệu nano bạc với khả năng siêu diệt khuẩn vào việc phòng và trị các nguồn bệnh do vi khuẩn, vi rút và nấm gây ra trên cây trồng, vật nuôi, bảo quản nông sản đã được các nhà sáng chế nghiên cứu và sản xuất thành công Những sản phẩm dung dịch – gel nano bạc đã mang đến giải pháp mới cho ngành nông nghiệp sạch.
Ngoài ra, công nghệ nano còn được ứng dụng rộng rãi trong sản xuất các mặt hàng chăm sóc sức khỏe, gia dụng, mỹ phẩm .
Đặc tính của các cấu trúc nano dạng cầu, trụ, đĩa
Nano dạng cầu là các hạt có kích thước ba chiều ở cấp độ nanomet (nm) Chúng được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như màn hình điện tử, xúc tác, dược phẩm, chấm lượng tử và các hạt từ như TiO2.
Nano dạng trụ là các hạt có kích thước 2 chiều ở cấp độ nanomet (nm), với chiều thứ ba dài hơn Ví dụ điển hình bao gồm ống nano cacbon, sợi nano nitrua bo (BN), và sợi kẽm oxit có đường kính 3 nm và chiều dài 80 nm, cùng với ống nano cacbon có kích thước 1 nm.
Nano dạng đĩa là hạt có kích thước một chiều ở cấp độ nanomet, trong khi hai chiều còn lại dài hơn Chẳng hạn, silicat lớp (phyllosilicat) có thể được kết hợp với các polymer để tạo ra nanocomposit với những đặc tính vượt trội như chịu nhiệt, chống cháy, chịu mài mòn, và khả năng biến đổi các tính chất điện và quang, tùy thuộc vào loại polymer được sử dụng.
Điện từ trường và điều kiện biên
Hệ số tán xạ
Do sự đối xứng của hình cầu ta chọn phương truyền tới của sóng phẳng là dọc theo theo trục
Trong tọa độ cầu với các tọa độr,θ,ϕ thì phương trình(∇ 2 +k 2 )φ= 0 có nghiệm Φ e onm(r, θ, ϕ) =zn(kr)Pnm(cosθ)cos(mϕ) sin(mϕ) (2.1)
Vớin = 1,2 ∞ và m = 0,±1,±2, ±n được xác định từ phương pháp tách biến Zn là một trong bốn loại hàm Bessel hình cầu n, bao gồm hàm Bessel hình cầu Neumann và hàm cầu Hankel loại nhất (1)n hoặc loại hai (2)n Ngoài ra, hàm Pnm(cosθ) cũng thuộc các đa thức liên kết Legendre Kí hiệu "o" đại diện cho số lẻ và "e" cho số chẵn, thể hiện sự đối xứng của các hàm này khi thay đổi góc từ -ϕ sang ϕ.
Trong tọa độ hình cầu, vector xuyên tâm r = re được chọn làm hằng số vector a để tạo ra tán xạ cho phương trình vector sóng Lựa chọn này cho phép xác định một bộ các vector sóng tuyến tính độc lập và trực giao hình cầu, ký hiệu là M e o nm và N e o nm.
Các biểu thức khai triển của (2.2), (2.3)[4]
−sin(mϕ)mPnm(cosθ) sinθ zn(ρ)
Hình 2.1: Ánh sáng tán xạ bới một hình cầu.
−cos(mϕ)mPnm(cosθ) sinθ zn(ρ)
−sin(mϕ)dP nm (cosθ) dθ zn(ρ)
cos(mϕ)n.(n+ 1).P nm (cosθ)z n (ρ) ρ cos(mϕ)mP nm (cosθ) dθ
sin(mϕ)n.(n+ 1).Pnm(cosθ)z n (ρ) ρ sin(mϕ)mPnm(cosθ) dθ
1 ρ d dρ[ρzn(ρ)] cos(mϕ)mPnm(cosθ) cosθ
Trong bài viết này, ký hiệu ρ = kr được sử dụng để mô tả sự tán xạ của điện từ trường qua các hàm chuỗi vô hạn Đối với các thành phần ngang của từ trường và điện trường, không có thành phần xuyên tâm (Hr = 0 và Er = 0) Sự đối xứng xuyên tâm của hình cầu cho phép xác định giá trị m = ±1, được biểu thị bằng vector cầu Chỉ số khúc xạ p của hạt có thể là số phức, bao gồm cả sự hấp thụ trong hình cầu Các hạt được giả định nằm trong môi trường không hấp thụ với chỉ số khúc xạ M, được chiếu sáng bởi sóng ngang với số sóng kM = (2πnM)/λ Chiết suất tương đối của các hạt được xác định qua tham số m = np/nM Các thông số kích thước x được định nghĩa là x = KMR, dẫn đến mx = k1R Cuối cùng, các trường điện từ trong sóng phẳng truyền dọc theo trục z và được phân cực dọc theo trục Ox.
(2.7) Đối với sóng tán xạ:
X n=1 i n (2n+ 1) n(n+ 1) h bnM on1 (3) (kM)−ianN en1 (3) (kM) i
(2.9) Đối với sóng hấp thụ trong hạt:
, (2.11) ở đâya n vàb n là các hệ số mở rộng của chế độTM vàTEcủa sóng tán xạ.
Việc sử dụng hàm jn của hình cầu Bessel trong mở rộng trường điện từ bên trong hạt và sóng tới đảm bảo tính liên tục của các trường tại tâm hạt hình cầu Hàm h(1)n của hình cầu Hankel được áp dụng trong việc mở rộng sóng tán xạ, xem xét sóng hình cầu đi Đối với exp(iωt), chỉ số khúc xạ được xác định là en(ω) = n(ω) - iK(ω) Làn sóng cầu đi được đặc trưng bởi h(2)n thay vì h(1)n Tổng theo n trong phương trình thể hiện các đại lượng mở rộng tuyến tính độc lập theo thứ tự n, bắt đầu với các lưỡng cực vớin = 1 Áp dụng điều kiện biên của Maxwell ở bề mặt của hạt.
(E inc +E sca )×e r | r=R =E 1 ×e r | r=R , (2.12) (Hinc+Hsca)×er| r=R =H1×er| r=R (2.13)
Để xác định các hệ số αn, βn, an và bn cho mỗi giá trị n riêng, ta thực hiện các biến đổi bằng cách nhân mỗi vế của bốn phương trình với hàm P q 1 /sin(θ) và tích phân từ −1 đến 1 với x = cos(θ) Tiếp theo, ta nhân các phương trình với hàm dPq 1/dθ và cũng tích phân trong khoảng từ −1 đến 1 với x = cos(θ), sử dụng các mối quan hệ trực giao của các đa thức Legendre Từ điều kiện biên của Maxwell, ta có thể tìm ra tất cả các hệ số tán xạ an và bn, với các công thức cụ thể cho an và bn được trình bày như sau: a n = ψ n (x)ψn , (mx)−mψn , (x)ψ n (mx) ξ n (x)ψ n , (mx)−mξ n , (x)ψ n (mx) và b n = mψ n (x)ψn , (mx)−ψ , n(x)ψ n (mx) mξ n (x)ψ n , (mx)−ξ n , (x)ψ n (mx).
Trong các phương trình (2.14) và (2.15) thì ψ n (x) =χj n (x),χ n (x) =xy n (x), và ξ n (x) xh (1) n (x) tương ứng là các hàm Riccati-Bessel, Riccati-Neu-mann và Riccati-Hankel.
INFO - bức xạ đa cực của hình cầu
Để minh họa sự mở rộng đa cực của các trường điện từ trong tọa độ cầu mà không làm mất tính tổng quát, ta có thể xem xét giới hạn của một phần sóng TM trong mặt phẳng tới (ϕ = 0) Các tính toán cho một phần sóng TE cũng tương tự.
Trong trường hợp này sự tán xạ bên trong hình cầu viết gọn như sau:[4]
Sóng phân tán an kM h (1) n
Hàm Bessel với các thông số kích thước đóng vai trò quan trọng trong việc mô tả sự phân bố của điện từ trường Để hiểu rõ hơn, chúng ta cần xem xét các chức năng z n (x) và z n (x) x, cùng với P n1 (θ) và P n1 (θ).
∂θ khi điện từ trường tán xạ chỉ xác định cho r ≥ R, chúng ta có thể hạn chế các phân bố trong hạt đểzn=jn và cho ánh sáng tới.
Hàm Bessel j n (x) và j n (x) / x
Hình 2.2 trình bày các hàm jn(x) và jn(x) với các giá trị x = 0, 1, 2 và 20 So sánh được thực hiện giữa các hàm với x = k incident r và mx = k interior r, trong đó m = 1.5 Tất cả các hàm đều hữu hạn tại x = 0, ngoại trừ jn(x) Tuy nhiên, hàm này không quan trọng trong các phương trình lĩnh vực Đối với n = 1, các thành phần điện trường đạt giá trị tối đa tại x = 0, trong khi các thành phần từ trường và các đóng góp bậc cao hơn n > 1 bằng 0 tại x = 0 và đạt giá trị lớn nhất tại các giá trị x lớn hơn, tương ứng với kích thước hạt lớn hơn.
Hàm Bessel j20(x) và j20(1.5x) có sự tương đồng ở những giá trị nhất định của x, đặc biệt là x = 6,2 Sự so sánh này cho thấy rằng các đối số mx phù hợp với hàm Bessel trong một số điều kiện nhất định.
Điện trường
Sử dụng sự liên hệ của hàm Bessel với đa thức Legendre, các thành phần trường được xác định và ở đây thành phầnE θ được xác định:[4]
Hình 2.3: Hình biểu thị theo mầu sắc của E θ theo các giá trị n= 1,2,3 và20
# thìn= 1,2,3 và20 Như trong hình 2.3.
Thành phần điện trường hoạt động như một đa cực, và với thứ tự tăng dần của đa cực n, các vùng cường độ cao trở nên rất nhỏ, đặc biệt là khi n đạt giá trị lớn nhất là 20.
Sự tán xạ
Ảnh hưởng của môi trường xung quanh và sự hấp thụ
Hiệu suất hấp thụ của cầu biến đổi theo chiết suất của môi trường xung quanh, với các giá trị N m = 1,1.1, 1.2 và N m = 1.3 như thể hiện trong hình 2.9 Sự thay đổi của chiết suất cũng dẫn đến sự biến đổi trong hiện tượng cộng hưởng của hạt.
Khi chỉ số N m của môi trường tăng, ánh sáng trở nên yếu hơn, dẫn đến hiện tượng tán xạ và hấp thụ ít hơn trong các hạt Sự cộng hưởng tắt dần diễn ra, tạo ra các tính năng mở rộng Việc chọn chỉ số N m = 1.33 cho môi trường nước là quan trọng, như thể hiện rõ trong hình 2.9, nơi hiệu suất hấp thụ trở nên 'mượt' hơn với chỉ số Nm lớn hơn Đặc biệt, sự giảm mạnh được ghi nhận ở nước với Nm = 1.33, cho thấy các cấu trúc tinh giảm hơn so với chỉ số cao hơn Cần lưu ý rằng sự cộng hưởng trở nên sắc nét hơn khi kích thước hạt lớn hơn hoặc khi bước sóng giảm.
Một phương pháp hiệu quả để giảm thiểu hiện tượng cộng hưởng quang học trong hạt là nâng cao khả năng hấp thụ của chúng Việc gia tăng hệ số hấp thụ có thể được minh họa qua bốn ví dụ cụ thể.
Hệ số K = 10−4, 10−3, 10−2 và 10−3 cho quả cầu cao su được minh họa trong hình 2.10 Tại khu vực hấp thụ nhỏ với K = 10−4 (hình 2.10(d)) và K = 10−3 (hình 2.10(c)), hiện tượng cộng hưởng vẫn mạnh mẽ Tuy nhiên, khi giá trị K tăng lên, sự cộng hưởng có thể thay đổi.
Hình 2.10 minh họa hiệu suất hấp thụ của quả cầu latex với chỉ số khúc xạ N s = 1.59 và các hằng số hấp thụ khác nhau Các hình (a), (b), (c), (d) tương ứng với các giá trị khác nhau của K Đặc biệt, trong hình 2.10 (b), các đỉnh nhọn giảm mạnh, trong khi hình 2.10 (a) cho thấy hạt hấp thụ mạnh với K = 10 −1 không còn cấu trúc cộng hưởng và quang phổ trở nên mượt mà hơn khi χ > 10 Kết luận rút ra là M DR được tăng cường cho hạt có hệ số hấp thụ nhỏ và chỉ số khúc xạ của môi trường xung quanh.
Cấu trúc nano dạng cầu
Tán xạ Mie là hiện tượng tán xạ sóng điện từ khi tương tác với quả cầu có bán kính và hằng số điện môi nhất định Đặt kp = ω√ε, với gốc tọa độ tại tâm của quả cầu.
Do tính đối xứng của hình cầu, việc thể hiện biên độ tán xạ được thực hiện thông qua các hệ thống mặt phẳng tán xạ trực giao Điều này giúp tối ưu hóa quá trình phân tích và đo lường tán xạ.
Sóng tới được truyền đến theo hướngzˆvàkˆi = ˆz Để cho quan sát được theo hướngkˆs trong mặt phẳng y−z, với φ= 90 ◦ , sau đó Θ = θ, (3.1) ˆ1i = ˆ1s = xˆ = −φ ,ˆ (3.2) ˆ2 i = y,ˆ (3.3) ˆ2 s = kˆ s × ˆ1 s = θ.ˆ (3.4) Điện trường tới xác định bởi[3]
" ˆ ei.C−mn(0,0) γ mn RgMmn(kr, θ, φ)
−ieˆi.B−mn(0,0) γ mn RgNmn(kr, θ, φ)
(3.5) Để thỏa mãn điều kiện biên, điện trường tán xạ xác định bởi[3]
−ieˆi.B−mn(0,0) γmn anNmn(kr, θ, φ)
Hình 3.1: Sóng truyền theo hướng+ˆz tới một hình cầu có bán kínhavà hằng số điện môi p và các trường hấp thụ là
" ˆ e i C−mn(0,0) γmn d n RgM mn (kr, θ, φ)
−iˆe i B−mn(0,0) γmn c n RgN mn (kr, θ, φ)
Lưu ý rằng trường hấp thụ thỏa mãn phương trình vector sóng với số sóngkp Các điều kiện biên là sự liên tục của ˆn×E và ˆn×H thỏa mãn hệ thứcnˆ× ∇ ×E.
Tạir =athì ˆr×(Ei+Es) = ˆr×Eint.
Cân bằngrˆ×Mvà rˆ×Nmang lại các thành phần tương ứng. j n (ka)−b n h n (ka) = d n j n (k p a), (3.8) [kaj n (k p a)] 0 ka −a n [kah n (ka)] 0 ka = c n [k p aj n (k p a)] 0 k p a (3.9)
Vớir=a ˆ r×(∇ ×Ei+∇ ×Es) = ˆr× ∇ ×Eint (3.10) Với trường bên trong thìk thay thế bởikp khi đó có∇ ×M=kNvà∇ ×N=kM.
Biến đổi từ các phương trình (3.5), (3.7), (3.10) thu được
[kaj n (ka)] 0 −b n [kah n (ka)] 0 = d n [k p aj n (k p a)] 0 , (3.11) kaj n (ka)−a n kah(ka) = c n k p j n (k p a) (3.12) Giải (3.8) và (3.11) thu đượcbn vàdn, còn giải (3.9) và (3.12) thu được an vàcn Khi đó: an = −T n (N) , (3.13a)
Sử dụng các hàm Wronskian jn(z)h 0 n (z)−hn(z)j n 0 (z) =i[jn(z)yn−1(z)−yn(z)jn−1(z)] = i z 2 , (3.15) ở đâyy n (z) là hàm cầu Neumann, do đó xác định được c n = ikpa k 2 p a 2 j n (k p a) [kah n (k p a)] 0 −k p 2 a 2 h n (ka) [k p aj n (k p a)] 0 , (3.16) dn = i ka
1 j n (k p a) [kah n (k p a)] 0 −h n (ka) [k p aj n (k p a)] 0 , (3.17) và xác định được trường tới
X m=−1,1 i n (2n+ 1) n(n+ 1){b n [ˆei.C−mn(0,0)]Cmn(θ, φ) +an[ˆei.B−mn(0,0)]Bmn(θ, φ)].
Vớim= 1;−1 biến đổi (3.18) trở thành[3]
(3.19) Để có đượcf11(Θ)vàf21(Θ)đi giải phương trình (3.1)-(3.4) và thiết lậpˆei = ˆx, φ= 90 0 , để ˆ1i = ˆ1s= ˆx=−φˆvàˆ2s= ˆks׈1s=θˆthay vào (3.19) xác định được
(2n+ 1) n(n+ 1)[−a n πn(cosθ) +bnτn(cosθ)] (3.20) Vớiθ=Θ, từ (3.20) xác định được f 11 (Θ) = i kS 1 (Θ) (3.21) f21(Θ) = 0 (3.22) ở đây
(2n+ 1) n(n+ 1)[−a n π n (cosθ) +b n τ n (cosθ)] (3.23) Để có được f 12 (Θ) và f 22 (Θ) chúng ta thiết lập ˆe i = ˆy, φ = 90 0 , để ˆ2 i = y , ˆ1 s = −θˆvà ˆ2 s =θ, thay vào (3.19) ta đượcˆ
(2n+ 1) n(n+ 1)[anτn(cosθ) +bnπn(cosθ)] (3.24) Như vậy f 22 (Θ) = i kS 2 (Θ), (3.25) f12(Θ) = 0 (3.26) với
(2n+ 1) n(n+ 1)[a n τ n (cosθ) +b n π n (cosθ)] (3.27) Khi đó xác định được các ma trận biên độ tán xạ
(3.28) Để có được phần tán xạ xuyên tâm thì phải thỏa mãn
Giả sử ˆks= ˆxsinθcosφ+ ˆysinθsinφ+ ˆzcosθ (3.30) ˆ1i = ˆ1s = −φˆ = xˆsinφ + yˆcosφ, (3.31) ˆ2 = zˆ × ˆ1i = xˆcosφ + yˆsinφ, (3.32) ˆ2 s = ˆk s ×
E2i = ˆ2i.ˆx= cosφ (3.36) Khi đó (3.28) trở thành
, (3.37) và phần tán xạ xuyên tâm được tính toán bằng cách tích phân năng lượng tán xạ trên một góc4π dẫn đến σs= π k 2 ˆ π
Thay các phương trình (3.23) , (3.27) vào (3.38) và sử dụng các mối quan hệ trực giao của hàmπ n và τ n ˆ π
0 dθsinθ(π n 0 τn+τ n 0 πn) = 0, (3.40) thu được tiết diện hấp thụ σs= 2π k 2
Hiệu suất hấp thụQsca được xác định [3]
Áp dụng các định lý về tán xạ và các kết quả đã biết, với tiết diện ngang của hạt được xác định là σg = πa², ta có thể tính toán các thông số liên quan Cụ thể, từ các biểu thức (3.24) và (3.27), ta thu được kết quả với ˆθ = ˆxcosφ + ˆysinφ và φˆ = −ˆxsinφ + ˆycosφ.
Từ công thức (3.37) xác định được
Từ hệ quả định lý tán xạ σt = 4π k Imf ×x và thực hiện các phép biến đổi thì thu được kết quả là σ t = 2π k 2
Từ đó xác định được hiệu suất tán xạ [3]
Suất phân chiếuωe xác định như sau: ˜ ω= Q sca
Figure 3.2:Sự phụ thuộc của hiệu suất hấp thụ, tán xạ và phản xạ vào tham số kích thước nhỏ kacủa quả cầu có hằng số điện môiεp = 3.2 (1 +i0.1)
Cấu trúc nano dạng trụ
Tính toán tán xạ bởi một hình trụ có chiều dài L, bán kính a, và hằng số điện môi p tâm được đặt tại gốc hình 3.6.
Tán xạ của sóng bởi một hình trụ chiều dài hữu hạn có thể được giải quyết chính xác bằng phương pháp số, chẳng hạn như phương pháp moment Khi một làn sóng chiếu đến một hình trụ dài vô hạn, theo nguyên lý Huygens, hiện tượng tán xạ này có thể được coi như tán xạ vào một hình trụ dài hữu hạn.
Thành phần của điện trường xác định dưới dạng
Ei ˆ viEvi+ ˆhiEhi e ik i r , (3.49) ở đâyki = ˆxksinθicosφi+ ˆyksinθisinφi+ˆzkcosθi. Để chok iz =kcosθ i vàk iρ =ksinθ i Sóng tới có thể được biểu diễn dưới dạng vector sóng hình trụ.
Figure 3.3:Sự phụ thuộc của hiệu suất hấp thụ, tán xạ và phản xạ vào tham số kích thước lớnkacủa quả cầu có hằng số điện môi εp = 3.2 (1 +i0.1)
Figure 3.4:Sự khác nhau của|f 11 | 2 /σ g và|f 22 | 2 /σ g theo cách tính của tán xạ Mie và f 11 B
Kết quả tính toán 2/σ g được thực hiện theo phương pháp gần đúng Borm cho hình cầu với kích thước ka = 20 và hằng số điện môi εp = 1.001 Hình 3.5 thể hiện sự khác biệt giữa |f 11|²/σ g và |f 22|²/σ g theo cách tính của tán xạ Mie và f 11 B.
2/σ g là kết quả theo tính toán theo phương pháp gần đúng Borm của hình cầu với kích thước ka= 20, hằng số điện môiεp = 10[3]
Hình 3.6: Sóng truyền theo hướngˆki tới hình trụ có chiều dài L, bán kính a, và hằng số điện môi p.
X n=−∞ i n e−inφ i k iρ [iEhiRgMn(kiρ, kiz,r)−EviRgNn(kiρ, kiz,r)] (3.50) Đối với hình trụ dài vô hạn để cho trường tán xạ là [3]
X n=−∞ i n e−inφ i kiρ h a (M n ) Mn(kiρ, kiz,r)−a (N n ) Nn(kiρ, kiz,r) i
, (3.51) và để cho trường hấp thụ bên trong là [3]
X n=−∞ i n e−inφ i kiρ h c (M n ) RgMn(kipρ, kiz,r)−c (M n ) RgNn(kipρ, kiz,r) i , (3.52) thì là ở đây k ipρ q k 2 p −k iz 2 (3.53)
Lưu ý rằngEs vàEint là các trường tán xạ và trường hấp thụ của một hình trụ.
Các điều kiện biên là sự liên tục của ρˆ×E vàρˆ× ∇ ×E biến đổi được ˆ ρ×(E inc +E s ) =ρˆ×E inc , khi đó thu được [3] i n e −inφ i kiρ h
+E v i nk iz ka J n (k iρ a)−nkiz ka Hn (1) (k iρ a)a (N) n
=−k ipρ J n 0 (k ipρ a)c (M n ) −nk iz kpaJ n (k ipρ a)c (M) n ,
= k ipρ 2 k Jn(kipρa)c (M) n , (3.55) kết hợp với ρˆ× ∇ ×(Einc+Es) =ρˆ×` ×E inc tại ρ = avà sử dụng ∇ ×Mn(kρ, kz,r) kN n (k ρ , k z ,r) khi đó thu được: i n e −inφ i kiρ k
−nkiz ka Jn(kiρa)iEh i−kiz kaH n (1) (kiρa)a (M n ) +kiρJ 0 (kiρa)Ev i−kiρH n (1) 0 (kiρa)a (N n ) i
−nkiz k p aJn(kipρa)c (M n ) −kipρJ n 0 (kipρa)c (M) n
Với bốn phương trình từ (3.54) đến (3.57), chúng ta có thể dễ dàng giải bốn ẩn số a (M) n, a (N n), c (M) n và c (N) n Bằng cách biến đổi các phương trình này, chúng ta có thể tìm ra giá trị của a (M) n và a (N n) Sau đó, tiếp tục biến đổi vế trái của hai phương trình theo hai ẩn số c (M) n và c (N) n, dẫn đến việc hai phương trình sẽ chuyển đổi về dạng mới.
E hi kiρ i n+1 e −inφ i =A M M n (k iρ , k iz , k ipρ , k iz , a)c (M n ) +A M N n (k iρ , k iz , k ipρ , k iz , a)c (M) n , (3.58)
−E vi kiρ i n e −inφ i =A N M n (k iρ , k iz , k ipρ , k iz , a)c (M n ) +A N N n (k iρ , k iz , k ipρ , k iz , a)c (M) n , (3.59) với các hệ số tương tác được xác định [3]
= −iaπ 2k 2 op e ikr 4πr kkoρ k p k 0 2 pρ Jn k pρ 0 a
Trong đó hàm Wronskian được xác định
Jn(koρa)H n (1) 0 (koρa)−J n 0 (koρa)H n (1) (koρa) = 2i πk0ρa (3.64)
Để xác định các thành phần hấp thụ, ta cần thay thế các hệ số c (M) n và c (N) n vào công thức (3.52) Đối với việc xác định các thành phần tán xạ của một hình trụ có chiều dài hữu hạn L, chúng ta sẽ áp dụng một biểu thức khác thay vì sử dụng công thức (3.52).
(3.65) để tìm thấy trường tán xạ bằng cách tính tích phân trên bề mặt hữu hạn của hình trụ theo hàm mũ e ikr
0 dφ 0 eik iz z 0 +inφ 0 kpe−ik sρ acos φ 0 −φ s
−ˆznkiz kpaJn(kipρa)−φˆ 0 k ipρ 2 kp
0 dφ 0 eik iz z 0 +inφ 0 k p e−ik sρ acos φ 0 −φs
−ˆznk iz kpaJ n 0 (k ipρ a)−φˆ 0 k 2 ipρ kp
, (3.66) trong đók sz =kcosθ s ,k sρ =ksinθ s
Sử dụngvˆ s ×zˆ=−sinθ s ˆh s ×zˆ= 0,ˆv s ×φˆ 0 =−cosθ s sin (φ 0 −φ s ),ˆh s ×φˆ 0 = cos (φ 0 −φ s ) và các hệ thức tích phân
0 dφsinφe −iω cos φ+inφ = −n ω(−i) n J n (ω), (3.69) thu được kết quả[3]
Hình 3.7: Sóng truyền theo hướng ˆk i tới đĩa tròn có độ dàyt, bán kính a, và hằng số điện môi p.
RgA M M n (k sρ , k sz , k ipρ , k iz , a)c (M) n +RgA N N n (k sρ , k sz , k ipρ , k iz , a)c (M n ) i +RgA N N n (ksρ, ksz, kipρ, kiz, a)c (M) n io
(3.70) Ở đây RgA M M n ,RgA M N n , RgA N M n , RgA N N n tương ứng trong các biểu thức (3.60) - (3.63). VớiH n (1) thay thế bởiJ n và sincx= sinx x
Cấu trúc nano dạng đĩa
Để tính toán tán xạ của một đĩa tròn với độ dày và bán kính a, sử dụng hằng số điện môi ep và gốc tọa độ tại tâm đĩa, một phương pháp xấp xỉ gần đúng được áp dụng Phương pháp này coi đĩa như một đĩa có bán kính vô hạn khi sóng tới tán xạ, nhưng thực tế lại tán xạ như một đĩa có bán kính hữu hạn Điện trường của sóng tới được xác định theo công thức nhất định.
= E v i (ˆxcosθ i cosφ i + ˆycosθ i sinφ 1 −zˆsinθ i )eiki⊥r⊥+ik iz z +E h i (−ˆxsinφ i + ˆycosφ 1 )eiki⊥r⊥+ikizz , (3.71)
Hi = 1 η ˆhiEv i−vˆiEhi eiki⊥r⊥+ikizz
Để giải các điều biên cho đĩa vô hạn, ta sử dụng các thành phần Hz và Ez Các thành phần H lz được xác định cho khoảng l, trong khi các thành phần vuông góc được xác định theo công thức đã nêu.
E l⊥ = iωà k 2 ⊥ ∇ ⊥ ×[H lz z], (3.74) do cùng pha, các thành phần véc tơ sóngk⊥ đều giống nhau ở các vùng.
Trước hết xem xét tỷ lệ phân cực theo chiều ngang.
Tại khu vực bên dưới đĩa (z 2 t )
Hz =− r àE h i sinθiT T E eiki⊥r⊥+ik iz z , (3.81) do đó
E⊥ = −ωàik i⊥ ìz k 2 i⊥ Hz (3.83) Để thỏa mãn sự liên tục của điện trường và từ trường tiếp tuyến ở biên: tạiz=−t
Giải phương trình (3.86) và (3.87) cho
R op T E = kiz−kipz k iz +k ipz (3.89)
Từ (3.80) và (3.81) ta có kiz k ipz e−ik iz t
Từ (3.84), (3.85) có k iz kipz e−ik iz t
1−R T E op e2ik ipz t, (3.91) biến đổi thu được
R TE eik ipz t= R T E op (1−e2ik ipz t)
1−R T E op 2 e2ik ipz t (3.92) Giải các phương trình (3.84), (3.85) sẽ cho
Sử dụng công thức (3.92) để tính toán R T E, và áp dụng các công thức (3.93) và (3.94) để tính toán A p và B p Đối với sóng TM, cần sử dụng các thành phần Ez, trong khi các thành phần Elz được áp dụng cho khu vực l Các thành phần vuông góc có thể được diễn đạt như sau.
Tại khu vực bên dưới đĩa z t/2)
Ez =−E v i sinθiT T M eik iz z+iki⊥r⊥ (3.103) Sau đó
E⊥ = −E v i sinθ i k i⊥ 2 ik ipz T T M eik iz z+iki⊥r⊥iki⊥, (3.104)
H⊥ = ω k ⊥ 2 ki⊥×zEˆ z (3.105) Để điện trường và từ trường tiếp tuyến liên tục tại tại z=−t/2thì[3]
(3.107) Để điện trường và từ trường tiếp tuyến liên tục tạiz=t/2 thì
Giải phương trình (3.106), (3.109) cho nghiệm
R T M eik iz t= R T M op (1−e2ik ipz t)
R op T M = pkiz−kipz p k iz +k ipz (3.111)
Sử dụng (3.110) để tính toánR TM và sử dụng (3.112) và (3.113) để tính toán C p vàD p
Từki⊥=ksinθi, (3.80), (3.101) và (3.102) xác định được điện trường hấp thụ[3]
E int = −ωàk i⊥ ìzˆ k i⊥ 2 r àE h i sinθ i
A p eik ipz z+B p e−ik ipz z e ik i⊥ r ⊥
E s C p eik ipz z−D p e−ik ipz z ik i⊥ e ik i⊥ r ⊥
C p eik ipz z+D p e−ik ipz z eiki⊥r⊥, (3.114) ở đâyki⊥= ˆxksinθicosφi+ ˆyksinθisinφi. Để xác định đượcE s thay (3.113) vào
E int r 0 e−ikˆk s r 0 và sử dụng tích phân ˆ z
J1(kd⊥a), (3.116) ở đây k d = k i −k s = ˆxk dx + ˆyk dy + ˆzk dz , (3.117) kd⊥ q k dx 2 +k dy 2 (3.118)
Lấy tích phândz 0 theo chiều dày của đĩa cận từ −t/2đến t/2 thu được[3]
J1(kd⊥a)ˆks×n ˆks×[E h i (ˆxsinφi−yˆcosφi)
Bài viết này tổng quan về lý thuyết Mie và các cấu trúc nano, đồng thời xây dựng các phương trình và tính toán hệ số tán xạ theo lý thuyết Mie.
Tôi đã đạt được một số kết quả chính của luận văn như sau:
1 Trình bầy về lý thuyết Mie.
2 Tìm hiểu về đặc tính và ứng dụng của các cấu trúc nano.
3 Xác định sự tán xạ của ánh sáng lên cấu trúc nano.
4 Tính sự tán xạ của ánh sáng lên các cấu trúc nano cầu, trụ, đĩa.
Luận văn "Tương tác của điện từ trường với các cấu trúc nano" đã đóng góp quan trọng vào việc xây dựng lý thuyết lượng tử, tạo nền tảng cho các sáng kiến khoa học nhằm thúc đẩy sự phát triển trong sản xuất.