chuyên đề hàm số đặng việt hùng

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại giao điểm của đồ thị và + = − Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm

Trang 1

Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95

I SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ

Dạng 1 Sự biến thiên của hàm không có tham số

Phương pháp:

+ Tìm tập xác định của hàm số

+ Tính ' y và giải phương trình ' y =0 để tìm các nghiệm

+ Lập bảng biến thiên (hoặc chỉ cần bảng xét dấu ' y ) và kết luận trên cơ sở các điểm tới hạn

Chú ý: Quy tắc xét dấu của hàm đa thức và phân thức

y − 0 + 0 − 0 + Hàm số đồng biến trên (−1; 0) và (1; +∞); hàm số nghịch biến trên (−∞; −1) và (0; 1)

x+ ≥ ∀x nên dấu của 'y chỉ phụ thuộc vào biểu thức (x − 1)(x − 2)

Bảng xét dấu của đạo hàm:

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ - P1

Thầy Đặng Việt Hùng

Trang 2

x −∞ −1 1 2 +∞'

y + 0 + 0 − 0 + Hàm số đồng biến trên (−∞; 1) và (2; +∞); hàm số nghịch biến trên (1; 2)

Ví dụ 2: Xét sự biến thiên của các hàm số cho dưới đây:

x x y

x

=+

y + 0 − || − 0 + Hàm số đồng biến trên (−∞; 2) và (0; +∞); hàm số nghịch biến trên (−2; −1) và (−1; 0)

y − 0 + Hàm số đồng biến trên (1; +∞) và nghịch biến trên (−∞; 1)

Trang 3

x 0 1 2 '

y + 0 − Hàm số đồng biến trên (0; 1) và nghịch biến trên (1; 2)

x y x

−

=+

x x y

x

=+

Dạng 2 Sự biến thiên của hàm có tham số

Phương pháp: Sử dụng các tính chất của tam thức bậc hai để giải

00

2 1

00

α β

0, α;β :

x x a

x

y= −x + m− x+m đồng biến trên R

Trang 4

Hàm số đồng biến trên R khi y′≥ ∀ ∈ ⇔ ∆ ≤ ⇔ −0, x R ′ 0 1 (m− ≤ ⇔ ≥1) 0 m 2

Vậy hàm số đồng biến trên R khi m ≥ 2

+ Lập bảng biến thiên và dựa vào bảng biến thiên để kết luận về điểm cực đại, cực tiểu của hàm số

Chú ý: Với một số dạng hàm đặc biệt (thường là hàm vô tỉ) thì ta phải tính giới hạn tại các điểm biên để cho bảng biến thiên được chặt chẽ hơn

Các ví dụ điển hình:

Ví dụ 1: Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau:

a) y=2x3+3x2−36x−10 b) y=x4+2x2−3

Trang 5

y + 0 − 0 +

y

71 +∞

−∞ −54

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên (−∞; 3) và (2; +∞); hàm số nghịch biến trên (−3; 2)

Hàm số đạt cực đại tại x = −3; y = 71 và đạt cực tiểu tại x = 2; y = −54

y − 0 +

y

+∞ +∞ −3

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên (−∞; 0) và nghịch biến trên (0; +∞)

Trang 6

x −∞ 0 3 +∞'

+

=+

y − 0 + 0 −

y

0 1

2 1

Trang 7

x −∞ 2

5

− +∞'

y − 0 + 0

y

+∞ +∞

x x

Bảng biến thiên:

x −3 +∞'

y +

y

+∞

+ Tính '' y tại các giá trị nghiệm tìm được ở trên rồi kết luận

Chú ý: Quy tắc II tìm cực trị thường được áp dụng cho các hàm số khó lập bảng biến thiên như hàm lượng giác,

hàm siêu việt, hàm vô tỉ

Các ví dụ điển hình:

Ví dụ mẫu: Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau:

Trang 8

2 2

12

02

Trang 9

Tìm cực trị của các hàm số sau bằng quy tắc II:

x y x

+ Hàm số có cực trị khi ' y =0 có nghiệm và đổi dấu qua các nghiệm

+ Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x1; x2 thì khi đó x1; x2 là hai nghiệm của ' y =0

+ Hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x0 khi ( )

( )

0 0

00

b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = 3

c) hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 2

d) hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = –1

Lời giải:

a) Ta có y′ =3x2−6mx+2

Hàm số đã cho có cực trị khi 'y =0 có nghiệm và đổi dấu khi qua các nghiệm

m> m< − thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu

b) Gọi x1; x2 là hoành độ các điểm cực đại, cực tiểu Khi đó x1; x2 là nghiệm của phương trình 'y =0

Theo định lí Vi-ét ta có

1 2

223

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn đề bài

m= thỏa mãn điều kiện tồn tại cực trị nên là giá trị cần tìm

d) Hàm số đạt cực đại tại x = –1 khi ( )

( )

5

.6

Trang 10

b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thỏa mãn 2x1 + 3x2 = –2

c) hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = 0

d) hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = –2

x x

+

c) hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = 1

d) hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0

Bài 3 Tìm m để các hàm số sau không có cực trị ?

Trang 11

DẠNG 1 TIẾP TUYẾN TẠI MỘT ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ

+) Phương trình tiếp tuyến ∆ là: y = f′(x o).(x – x o) + y o

Dạng toán trọng tâm cần lưu ý :

+) Tiếp tuyến tại điểm M thuộc đồ thị hàm phân thức y ax b

cx d

+

=+ cắt các trục tọa độ Ox, Oy tại các điểm A, B thỏa mãn các tính chất

cx d

+

=+ đến tiếp tuyến tại điểm M thuộc đồ thị đạt giá trị

lớn nhất, hoặc bằng một hằng số cho trước

BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH] Cho hàm số y=2x3− +x2 6x−3 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại giao điểm của đồ thị và

+

=

−

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A

và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 50

3 (với O là gốc toạ độ) Đ/s: M(2; 4)

Bài 4: [ĐVH] Cho hàm số 2 3

1

x y x

+

=

−

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A

và B sao cho OB = 5OA (với O là gốc toạ độ)

Đ/s: y= − +5x 17;y= − −5x 3

Bài 5: [ĐVH].Cho hàm số

1

x y x

=+

Tìm điểm M thuộc đồ thị sao cho khoảng cách từ điểm ( 1;1) E − đến tiếp tuyến tại M với đồ thị bằng 2

01 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P1

Trang 12

Đ/s: M(0;0),M( 2; 2).− −

Bài 6: [ĐVH].Cho hàm số 2

1

x y x

+

=

− Tìm điểm M thuộc đồ thị sao cho khoảng cách từ điểm ( 1;1) E − đến tiếp tuyến tại M với đồ thị lớn nhất

Đ/s: dmax = 2⇔M(0; 2),M( 2;0).−

Bài 7: [ĐVH] Cho hàm số 3

x y x

−

=+

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị sao cho khoảng cách từ điểm 1 1;

2 2

I− 

  đến tiếp tuyến tại M bằng

7 2.10Đ/s: y=7x+11

Bài 8: [ĐVH].Cho hàm số 2 5

2

x y x

+

=

− (1) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân

biệt A và B sao cho OA = 9OB (với O là gốc toạ độ)

Bài 9: [ĐVH] Cho hm số 3

1

x y x

−

=+ (C)

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến cắt trục Ox tại A, cắt trục Oy tại B sao cho OA = 4OB

Bài 10: [ĐVH] Cho hàm số 2

x y x

+

=+ (1)

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm

phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O

Bài 11: [ĐVH] Cho hàm số y=x3+x2+2x+2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại

a) giao điểm của đồ thị và Ox

b) điểm uốn của đồ thị

Bài 12: [ĐVH] Cho hàm số y=x3+3x2+ +x 1 Tìm diểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại M với đồ thị

đi qua gốc tọa độ O

− Tìm diểm M thuộc đồ thị hàm số (C) sao cho tiếp tuyến tại M với đồ thị

cắt các trục tọa độ Ox, Oy tại A, B sao cho OA = 3OB, với O là gốc tọa độ

E đến tiếp tuyến tại M với đồ thị bằng 1

Trang 13

DẠNG 1 TIẾP TUYẾN TẠI MỘT ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ (tiếp theo)

+ Phương trình tiếp tuyến ∆ là: y = f′(x o).(x – x o) + y o

Dạng toán trọng tâm cần lưu ý :

Tiếp tuyến tại điểm M thuộc đồ thị hàm phân thức y ax b

cx d

+

=+ cắt các tiệm cận tại A, B Khi đó ta có các tính chất sau: +) M là trung điểm của AB

+) Diện tích tam giác IAB luôn không đổi, với I là giao điêm của hai tiệm cận

+) Chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất

+) Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác IAB dạt gái trị lớn nhất

− Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các

tiệm cận tại A, B Tìm điểm M đề đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất, với I là tâm đối xứng của

đồ thị hàm số

Đ /s: M(3;3),M(1;1)

Hướng dẫn: Tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có đường kính là AB, suy ra diện tích

đường tròn ngoại tiếp là

2 2

tiệm cận tại A, B Viết phương trình tiếp tuyến tại M đề bán kính đường trỏn ngội tiếp tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất

− Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các

tiệm cận tại A, B Viết phương trình tiếp tuyến tại M biết chu vi tam giác IAB bằng 2(2+ 2)

Bài 5: [ĐVH] Cho hàm số y= +x3 3x2−1 Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt

01 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P2

Trang 14

các trục tọa độ tại A, B Tìm tọa độ điểm M biết OB = 3OA, với O là gốc tọa độ

Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các tiệm cận tại A, B

a) Chứng minh rằng M là trung điểm của AB

b) Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB không đổi, với I là tâm đối xứng của đồ thị (I là giao của hai tiệm cận)

Trang 15

DẠNG 2 TIẾP TUYẾN BIẾT HỆ SỐ GÓC

Hệ số góc của một đường thẳng là tang (tan) của góc hợp bởi đường thẳng đó và chiều dương trục Ox

Kí hiệu k = tanα

Nếu đường thẳng d hợp với trục Ox (không nói rõ chiều dương của trục Ox) thì k = ± tanα

Đường thẳng d đi qua hai điểm M, N thì hệ số góc của đường d được tính bởi = −

−

M N d

M N

y y k

x x

Đường thẳng d đi qua điểm M(x1 ; y1) và có hệ số góc k thì có phương trình d y: =k x( −x1)+y 1

Trong trường hợp tổng quát, đường thẳng d có hệ số góc k thì luôn viết ở dạng d: y = kx + m.

Cho hai đường thẳng 1 1 1

::

a) tại điểm có hoành độ x = –3 song song với đường thẳng d : 5x – y + 3 = 0

b) tại điểm có hoành độ x = 1 vuông góc với đường thẳng d’ : x – 2y + 3 = 0

a) tại điểm có hoành độ x = 0 vuông góc với đường thẳng d : 4x – 3y + 1 = 0

b) tại điểm có hoành độ x= −1 song song với đường thẳng d’ : 2x – 3y + 2 = 0

Ví dụ 5: [ĐVH] Cho hàm số 2 1

1

+

=+

x y

x Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến cách đều (2; 4), ( 4; 2)A B − −Đ/s : x−4y+ =5 0;y= +x 1;y= +x 5

TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P3

Trang 16

x có đồ thị là (C) Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C) Tìm điểm M thuộc

(C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM

a) Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ x = 1 song song với đường (d): y = 2x – 1

b) Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ x = 0 vuông góc với đường (d): 4x – 3y = 0

Bài 2: [ĐVH] Cho hàm số y = –x4 + 2mx2 – 2m + 1

Tìm m để các tiếp tuyến với đồ thị tại A(1; 0), B(–1; 0) vuông góc với nhau

Bài 3: [ĐVH] Cho hàm số y= +x3 3x2+ +x 2, có đồ thị là (C) và một đường thẳng d đi qua A(−1; 3) có hệ

số góc k

a) Tìm k để đường thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt cùng có hoành độ âm

b) Tìm k để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tiếp tuyến với (C) tại hai điểm B, C vuông góc với

Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox song song với đường thẳng (d): y = –x –5

Bài 6: [ĐVH] Cho hàm số y= −x3 3x2+ +x 3 Một đường thẳng d đi qua A(2 ; 1) và có hệ số góc k

Tìm k để đường thẳng d và đồ thị hàm số đã cho

a) cắt nhau tại duy nhất một điểm

b) cắt nhau tại ba điểm phân biệt

c) cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương

Bài 7: [ĐVH] Cho hàm số y=2x3−3mx2+mx+1

a) Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm uốn song song với đường thẳng ∆: 4x + y + 1= 0

b) Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm x = −2 vuông góc với đường thẳng ∆′: 2x + 3y + 2= 0

Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(1 ; 2) và có hệ số góc k Tìm k để d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt

A, B, C sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại B, C vuông góc với nhau

Trang 17

Bài 10: [ĐVH] Cho hàm số 2 1

1

x y x

−

=+ Tìm trên đồ thị (C) các điểm A, B sao cho tiếp tuyến với (C) tại A và

B song song với nhau và khoảng cách AB=2 10

Bài 11: [ĐVH] Cho hàm số y= +x3 (2m−3)x2−2mx+2 Tìm m để đồ thị cắt Ox tại ba điểm phân biệt A,

B, C (với A cố định) sao cho

a) CMR: M là trung điểm của AB

b) CMR: Diện tích tam giác IAB không đổi

c) Tìm M để IA + IB = 3

d) Tìm M để chu vi IAB∆ nhỏ nhất, khi đó tính bán kính đường tròn ngoại tiếp IAB∆

e) Tìm M để bán kính đường tròn nội tiếp IAB∆ lớn nhất

f) Tìm trên (C) 2 điểm P,Q sao cho PQ= 8 và tiếp tuyến tại 2 điểm này song song với nhau

Trang 18

DẠNG 2 TIẾP TUYẾN BIẾT HỆ SỐ GÓC (tiếp theo)

x

x Gọi A, B là hai điểm phân biệt trên đồ thị sao cho tiếp tuyến

tại A, B song song với nhau Chứng minh rằng AB ≥ 4 2.

Ví dụ 4: [ĐVH, tham khảo] Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1 có đồ thị là (C m ); (m là tham số)

Xác định m để (C m ) cắt đường thẳng: y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (C m ) tại D và E vuông góc với nhau

Trang 19

x có đồ thị là (C) Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị (C)

Tìm điểm M trên đồ thị sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại M vuông góc với đường thẳng IM

x

x Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của (C) tại M với đường thẳng đi qua M và giao điểm hai đường tiệm cận có

tích hệ số góc bằng −9

Bài 3: [ĐVH] Cho hàm số y= − +x3 2x2−3 Một đường thẳng d đi qua M(1 ; −2) và có hệ số góc k

a) Tìm k để đường thẳng d và đồ thị hàm số đã cho cắt nhau tại ba điểm phân biệt M(1 ; − 2) ; A và B

b) Tim k để tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm A, B vuông góc với nhau

Bài 4: [ĐVH] Cho hàm số y=x3– 3x+1 có đồ thị là (C) và đường thẳng d: y = mx + m + 3

Xác định m để d cắt (C) tại M(−2; 3), N, P sao cho các tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau

Bài 5: [ĐVH] Cho hàm số 3 2

y x x có đồ thị là (C) và đường thẳng d đi qua A(2; 0) có hệ số góc k

Xác định k để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tiếp tuyến của (C) tại B và C vuông góc với nhau

Bài 7: [ĐVH] Cho hàm số y=x3+ −(1 2 )m x2+ −(2 m x) + +m 2 (1) với m là tham số

Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + y + 7 = 0 góc α, biết cos α 1

x y

x có đồ thị là (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến

đó cắt trục hoành tại A, cắt trục tung tại B sao cho OA = 4OB

x

x và đường thẳng d y: = +x m Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt

A, B sao cho hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại A, B thỏa mãn 17

x

x và đường thẳng d y: = +x m Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt

A, B sao cho hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại A, B thỏa mãn k B =16k B

x có đồ thị là (C) Chứng minh rằng đường thẳng d: y = x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi giá trị của m Gọi k1 ; k2 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại A, B Tìm k để tổng k1+k 2

đạt giá trị nhỏ nhất

Đ/s: m= −1;(k1+k2 min) = −2

Trang 20

DẠNG 3 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐI QUA MỘT ĐIÊM CHO TRƯỚC

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) Điểm A(x A ; y A) không thuộc đồ thị

Viết viết các phương trình tiếp tuyến kẻ từ A đến đồ thị ta thực hiện như sau

+) Gọi d là đường thẳng đi qua A và có hệ số góc k →d y: =k x( −x A)+y A

+) Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi hệ sau có nghiệm ( ) ( )

+) Ta giải hệ phương trình trên bằng cách thế (2) lên (1) Giải (1) được x rồi thay lại vào (2) tìm k, từ đó ta

được phương trình dường d chính là tiếp tuyến cần tìm

Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hàm số y= − −x3 x 6

Viết phương trình tiếp tuyến biêt tiêp tuyến

a) tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 2x – y + 1 = 0

b) tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d’: 4x – y + 2 = 0

c) biết tiếp tuyến đi qua A(2; 0) đến đồ thị hàm số

Ví dụ 2: [ĐVH] Cho hàm số y= − +x3 9x

Viết phương trình tiếp tuyến biêt tiêp tuyến

b) tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: 3x + 23y + 2 = 0

c) biết tiếp tuyến đi qua A(3; 0) đến đồ thị hàm số

Ví dụ 3: [ĐVH] Cho hàm số y= − +x3 9x

Viết phương trình tiếp tuyến biêt tiêp tuyến kẻ từ O(0; 0) đến đồ thị hàm số

Ví dụ 4: [ĐVH] CMR không có tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số

1

=+

x y

x đi qua giao điểm I của 2 đường

Bài 3: [ĐVH] Viết PTTT kẻ từ điểmA(0; 1− ) đến đồ thị hàm số y=x3+x2− +x 2

Trang 21

Bài 5: [ĐVH] Viết PTTT kẻ từ điểm A(3; 4) đến đồ thị hàm số y= − +x3 2x+5

x y x

Trang 22

Ví dụ 1: [ĐVH].Cho hàm số y=3x x− 3 (C)

Tìm trên đường thẳng (d): y= −x các điểm M mà từ đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C)

Hướng dẫn giải:

Gọi M m m( ;− ∈) d PT đường thẳng ∆ qua M có dạng: y=k x m( − )−m

∆ là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ PT sau có nghiệm: x x k x m m

x k

3 2

2( )

Gọi M m( ;4)∈d PT đường thẳng ∆ qua M có dạng: y=k x m( − ) 4+

∆ là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ PT sau có nghiệm: x x k x m

3 2

YCBT ⇔ (3) có đúng 2 nghiệm phân biệt

+ TH1: (4) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng –1 ⇔ m= −1

+ TH2: (4) có nghiệm kép khác –1 ⇔ m 2 m

23

Trang 23

Do đó (*) có đúng 2 nghiệm phân biệt ⇔ B Ox A Ox m

m

4310981

Gọi M m( ;2) ( )∈ d PT đường thẳng ∆ đi qua điểm M có dạng : y=k x m( − ) 2+

∆ là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ PT sau có nghiệm x x k x m

Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)⇔ hệ (*) có 3 nghiệm x phân biệt

32

Ta có y=x4−2x2+1 PT đường thẳng d đi qua A a( ;0) và có hệ số góc k : y=k x a( − )

d là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ phương trình sau có nghiệm: x x k x a I

+ Từ hệ (A), chỉ cho ta một tiếp tuyến duy nhất là d1:y=0

+ Vậy để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với (C) thì điều kiện cần và đủ là hệ (B) phải có 2 nghiệm phân biệt ( ; )x k với x≠ ±1, tức là phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác ±1 ⇔

+

=

− (C)

Cho điểm A(0; )a Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về

2 phía của trục hoành

Hướng dẫn giải:

Phương trình đường thẳng d đi qua A(0; )a và có hệ số góc k: y=kx a+

d là tiếp tuyến của (C) ⇔ Hệ PT

x

kx a x

k

x 2

213( 1)

Trang 24

Gọi M(0; )y o là điểm cần tìm PT đường thẳng qua M có dạng: y=kx y+ o (d)

(d) là tiếp tuyến của (C)

2

2 2

Gọi M m m( ;2 + ∈1) d PT đường thẳng ∆ qua M có dạng: y=k x m( − ) 2+ m+1

PT hoành độ giao điểm của ∆ và (C): k x m m x

Trang 25

Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95

I BIỆN LUẬN SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Trong trường hợp này hàm số có 1 cực trị

Nếu a ≠ 0 thì dấu của y’ phụ thuộc vào dấu của biệt thức ∆

+) Hàm số không có cực trị khi y′ không đổi dấu, tức là phương trình y′ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép, tức là ∆≤ 0

+) Hàm số có 2 điểm cực trị khi y′ đổi dấu hai lần, tức là phương trình y′ = 0 có hai nghiêm phân biệt

Từ đó ta có điều kiện để hàm số có hai cực trị là ∆ > 0

Vậy, với hàm bậc ba thì hàm số chỉ có hai cực trị hoặc không có cực trị

Ví dụ 1: [ĐVH] Biện luận số cực trị của hàm số 3 ( ) 2

+) Tìm điều kiện tồn tại cực đại, cực tiểu

+) Giải điều kiện về tính chất K nào đó mà đề bài yêu cầu

+) Kết hợp nghiệm, kết luận về giá trị của tham số cần tìm

Dạng 1 Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm có hoành độ x = x0 cho trước

0

00

Phương pháp 2: (Sử dụng điều kiện cần và đủ)

+) Hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x=x0 ⇔ y x′( )0 = 0 →m

+) Với m tìm được, thay vào hàm số rồi khảo sát, từ bảng biến thiên ta có kết luận về hàm số đạt cực đại, hay cực tiểu tại điểm x0 hay không

02 CỰC TRỊ HÀM BẬC BA – P1

Trang 26

Ví dụ minh họa: [ĐVH] Cho hàm số y=x3+(m−2)x2+(m+1)x+ −3 m

a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu

b) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = –1

c) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0

Dạng 2 Một số dạng câu hỏi về hoành độ điểm cực đại, cực tiểu

Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho x1− x2 = k

Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho ax1+bx2 =c

Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho

α β

Trang 27

y x mx mx , với m là tham số thực Xác định m để hàm số đã cho đạt

cực trị tại x1, x sao cho 2 x1−x2 ≥8

Bài 10: [ĐVH] Cho hàm số y = x3+ − (1 2 ) m x2+ − (2 m x ) + + m 2, với m là tham số thực

Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x sao cho 2 1 2 1

3

− >

Bài 11: [ĐVH] Cho hàm số y = 4 x3+ mx2− 3 x Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1, x thỏa 2 x1= −4x 2

Bài 12: [ĐVH] Cho hàm số y = ( m + 2) x3+ 3 x2+ mx − 5, m là tham số Tìm các giá trị của m để các điểm

cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương

Bài 13: [ĐVH] Cho hàm số y = x3+ − (1 2 ) m x2+ − (2 m x ) + + m 2 (m là tham số) (1) Tìm các giá trị của m

để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1

Trang 28

II MỘT SỐ CÁC TÍNH CHẤT CỰC TRỊ THƯỜNG GẶP

Phương pháp chung :

+) Giải điều kiện về tính chất K nào đó mà đề bài yêu cầu

Dạng 3 Bài toán cực trị khi phương trình y’ = 0 giải được nghiệm

b) hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho x13+ 2 x23< 9.

c) hàm số có cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ nhỏ hơn 2

d) hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho x12+ 4 x22= 13.

b) hàm số có cực đại tại x1 , cực tiểu tại x2 sao cho x12+ 2 x22 = 6.

c) hàm số có cực đại tại x1 , cực tiểu tại x2 sao cho 2 x13− x23= − 11.

Ví dụ 3: [ĐVH] Cho hàm số y=x3−3x2+m2− +m 1

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho diện tích tam giác ABC bằng 7, với C(–2 ; 4)

Ví dụ 4: [ĐVH] (Trích đề thi Đại học khối B – 2012)

Trang 29

Bài 7: [ĐVH] Cho hàm số y= −x3 3m x2 2+2 (với m là tham số thực)

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho 2 + 2 = 3

Trang 30

II MỘT SỐ CÁC TÍNH CHẤT CỰC TRỊ THƯỜNG GẶP

Phương pháp chung :

+) Giải điều kiện về tính chất K nào đó mà đề bài yêu cầu

Dạng 4 Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu

Phương pháp:

Thực hiện phép chia đa thức y cho ' y ta được y= y h x' ( )+r x trong đó r(x) là phần dư của phép chia ( )

Khi đó y = r(x) được gọi là phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số

Ý nghĩa : Phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có tác dụng giúp ta lấy ra tọa độ của các điêm

cực đại, cực tiểu, trong các bài toán xử lí có liên quan đến tung độ cực đại và cực tiểu

Ví dụ 1: [ĐVH] Viết phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của hàm số y=x3−3x2+1 bằng hai cách

Ví dụ 2: [ĐVH] Viết phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của hàm số y=x3−3x2+m 2

Dạng 5 Bài toán về tính đối xứng của các điểm cực trị

Phương pháp:

Gọi hai điểm cực trị của hàm số là A x y( ;1 1), ( ;B x y2 2) Ta có một số kết quả sau :

+) A, B nằm về hai phía của trục Oy khi x x1 2 <0

+) A, B nằm cùng phía với trục Oy khi x x1 2 >0

+) A, B nằm về hai phía của trục Ox khi y y1 2 <0

+) A, B nằm cùng phía với trục Ox khi y y1 2 >0

+) A, B nằm đối xứng qua đường thẳng d khi  ⊥ ,



∈



I d với I là trung điểm của AB

+) A, B cách đều đường thẳng d khi AB // d hoặc trung điểm I của AB thuộc đường thẳng d

Chú ý :

Trong một số bài toán có đặc thù riêng (nếu phương trình y = 0 nhẩm được nghiệm) thì với yêu cầu tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu nằm hai phía trục Ox ta có thể sử dụng điều kiện là phương trình y = 0 có ba nghiệm phân biệt

Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hàm số y=x3+3x2+mx+ −m 2

a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu

b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm cùng phía với Oy

c) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm cùng phía với Ox

d) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm khác phía với Oy

Ví dụ 2: [ĐVH] Cho hàm số y = − + x3 (2 m + 1) x2− ( m2− 3 m + 2) x − 4 (m là tham số) có đồ thị là (C m)

Xác định m để (C m) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung

02 CỰC TRỊ HÀM BẬC BA – P3

Trang 31

Bài 8: [ĐVH] Cho hàm số y=x3−3mx+m Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu Khi đó chứng minh

rằng các điểm này nằm về hai phía của trục Oy

Trang 32

Dạng 6 Một số ứng dụng cơ bản của phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu

Phương pháp:

+) Tìm đk để hàm số có cực đại, cực tiểu

+) Viết được phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu (chú ý cách chứng minh nhanh) Giả sử

đường thẳng viết được có dạng ∆:y=ax b Ta có một số trường hợp thường gặp +

∆ song song với đường thẳng d : y = Ax + B khi  =

∆ vuông góc với đường thẳng d : y = Ax + B khi a A= −1

∆ tạo với đường thẳng d : y = Ax + B một góc φ nào đó thì

.cos φ

Trang 33

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu tiếp xúc với đường tròn

y= x −mx − + +x m

Chứng minh rằng với mọi m hàm số đã cho luôn có cực đại, cực tiểu Xác định m sao cho khoảng cách giữa

các điểm cực đại, cực tiểu là nhỏ nhất

Bài 9: [ĐVH] Cho hàm số y= − +x3 3m x2 2+1 (với m là tham số thực)

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho

a) đường thẳng qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng d: 2x+ + =y 1 0

b) AB=2 5, với A, B là tọa độ các điểm cực trị

c) 2 + 2 = 8

Bài 10: [ĐVH] Cho hàm số y= −x3 3mx2+2 (với m là tham số thực)

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho đường thẳng đi qua hai điểm cực trị cắt các trục tọa độ tạo

thành một tam giác có diện tích bằng 4

Bài 11: [ĐVH] Cho hàm số y= −x3 3mx2+3(m2−1)x m− 3+1 (với m là tham số thực)

Tìm m để hàm số có đạt cực trị tại A, B sao cho AMB=900 với M( 2; 2)−

Bài 12: [ĐVH] Cho hàm số y = x3− 3 x2+ ( m − 6) x + − m 2 (1), với m là tham số thực

Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ điểm (1; 4) A − đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị bằng 12

265

Trang 34

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm này cắt các trục tọa độ tạo thành một

tam giác cân

giá trị nhỏ nhất

Ví dụ 5: [ĐVH] Cho hàm số y= −x3 3x2+mx+1, với m là tham số thực

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách từ điểm 1 11

Trang 35

PT luôn có 2 nghiệm phân biệt nên hàm số luôn có 2 cực trị tại A, B

Trang 36

Tìm m>0 để hàm số có CĐ tại A, CT tại B sao cho tứ giác ABDO là hình thang có đáy lớn AB=2OD

Biết D thuộc đường thẳng x− =y 3

Trang 37

III ĐIỂM UỐN, TÍNH LỒI LÕM

Quy tắc xét tính lồi lõm, tìm điểm uốn:

Tính đạo hàm ' y rồi tính tiếp '' y

Giải phương trình '' y =0, từ đó tìm được tọa độ điểm uốn

Xét dấu của '' y để kết luận:

Bài 1: Tìm m để tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm số

a) y = x3 + 3x2 – mx + 2 song song với đường thẳng d: y = 3x – 5

b) y = x3 + 3mx2 – 2mx + 3 vuông góc với đường thẳng ∆: y = x – 3

a) y = x3 – 3mx2 + 9x + 1 có điểm uốn thuộc đường thẳng d: y = x + 1

b) y = 3x3 – 9x2 + 6x + m – 2 có điểm uốn nằm trên trục hoành

c) y = x3– 3mx2 + (3 + 2m2)x + m2 + 3 có điểm uốn cách đều hai trục tọa độ Ox, Oy

IV TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1) Nhắc lại một số giới hạn quan trọng

0

1lim1

lim

1lim

x

x x

x

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ - P2

Trang 38

x x

+

=+ −

Hướng dẫn giải :

a) Ta có

2 3

2 5

2lim

1; 52

x x m

Hướng dẫn giải :

Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là số nghiệm khác 2 của phương trình x2 + 3x + m = 0

Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi x2 + 3x + m = 0 vô nghiệm 0 9 4 0 9

x a

3) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Định nghĩa: Đường thẳng y = b được gọi là tiệm cận ngang (TCN) của đồ thị y = f(x) khi lim ( )

Trang 39

Đồ thị hàm phân thức chỉ có tiệm cận ngang khi bậc của tử số không lớn hơn bậc của mẫu số Thông thường, với hàm phân thức ta thường chia cả tử và mẫu số cho lũy thừa mũ cao nhất của x để tìm tiệm cận ngang

Chú ý: Với các giới hạn mà hàm số có chứa căn thì chúng ta thực hiện theo quy tắc sau:

−

=+

x y

1

+

=+

x y x

Hướng dẫn giải : a) Ta có

3 2

11

33

Trang 40

Khi x→+∞ thì |x| = x nên ta được

11

Cách tìm tiệm cân xiên:

Đồ thị hàm phân thức chỉ có tiệm cận xiên khi bậc của tử số phải lớn hơn bậc của mẫu số một bậc

Cách 1:

+ Tìm hệ số lim ( )

x

f x a

x x y

x

+ +

=+

Hướng dẫn giải : a)

2

1.2

Định dạng
Số trang	123
Dung lượng	4,68 MB