Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Chương 7 - Mai Cẩm Tú

Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Chương 7 - Mai Cẩm Tú Chương 7 Ước lượng các tham số của biến ngẫu nhiên, trong chương này người học sẽ đi vào tìm hiểu kiến thức về phương pháp ước lượng điểm và phương pháp ước lượng bằng khoảng tin cậy.

Trang 1

ƯỚC LƯỢNG CAC THAM SO CUA BIEN NGAU NHIEN

Trang 2

Nội dung chương ?7

@ Phương pháp ước lượng điểm

Trang 3

Nội dung chương ?7

@ Phương pháp ước lượng điểm

@ Phương pháp ước lượng bằng khoảng tin cậy

Trang 4

gốc X với quy luật phân phối xác suất đã biết xong chưa biết tham số 0 nào đó của nó Phải ước lượng (xác định một cách gần đúng) giá trị 0

Trang 5

Để giải quyết bài toán này cần lập một mẫu ngẫu

nhiên kích thước n rồi từ đó xây dựng một thống kê

0 để ước lượng 0

Trang 6

Để giải quyết bài toán này cần lập một mẫu ngẫu

nhiên kích thước n rồi từ đó xây dựng một thống kê

0 để ước lượng 0

Có hai phương pháp ước lượng là phương pháp ước lượng điểm và phương pháp ước lượng bằng khoảng

tin cậy

Trang 7

2.1 Phương pháp hàm ước lượng

Lập một mẫu cụ thể và tính được giá trị cụ thể của 6

la 6 = (x1, Xo, .,Xn) chính thì ước lượng điểm của 0

Vì thống kê ổ là hàm của các biến ngẫu nhiên nên

gọi phương pháp này là phương pháp hàm ước

lượng

Trang 8

b Các tiêu chuẩn lựa chọn hàm ước lượng

e Ước lượng không chệch

Định nghĩa: Thống kê ổ của mẫu được gọi là ước

lượng không chệch của tham số 9 của biến ngẫu

nhiên gốc X nếu:

E(ô) = 0

Nếu E(0) z 0 thì Ô gọi là ước lượng chệch của 0

Trang 9

e Ước lượng không chệch

Trang 10

e Uớc lượng không chệch

Định nghĩa: Thống kê ở của mẫu được gọi là ước

Trang 11

e Ước lượng hiệu quả

+ Định nghĩa: Thống kê của mẫu được gọi là ước lượng hiệu quả nhất của tham số 0 của biến ngẫu

nhiên gốc X nếu nó là ước lượng không chệch và có phương sai nhỏ nhất so với mọi ước lượng không chệch khác được xây dựng trên cùng mẫu đó

Trang 12

+ Định nghĩa: Thống kê của mẫu được gọi là ước lượng hiệu quả nhất của tham số 0 của biến ngẫu

nhiên gốc X nếu nó là ước lượng không chệch và có phương sai nhỏ nhất so với mọi ước lượng không chệch khác được xây dựng trên cùng mẫu đó

+ Néu 6, va 62 déu là các ước lượng không chệch

của 0 thì ước lượng nào có phương sai nhỏ hơn là ước lượng hiệu quả hơn

Trang 13

+ Định nghĩa: Thống kê của mẫu được gọi là ước

lượng hiệu quả nhất của tham số 0 của biến ngẫu nhiên gốc X nếu nó là ước lượng không chệch và có phương sai nhỏ nhất so với mọi ước lượng không chệch khác được xây dựng trên cùng mẫu đó

+ Néu 6, va 62 déu là các ước lượng không chệch

của 0 thì ước lượng nào có phương sai nhỏ hơn là ước lượng hiệu quả hơn

+ Gia str V(O,) < V(62) thì độ hiệu quả của ổ: so với

V(0›)

ô; được xác định bằng biểu thức: EF =

V(04)

Trang 14

Thí dụ 7.2 Từ mẫu ngẫu nhiên kích thước n=3 ta xét hai ước lượng sau đây của trung bình tổng thể m

X= s1 + Xe + X3); G= sXI + 5X2 t+ GX

Ước lượng nào hiệu quả hơn

Trang 15

Thí dụ 7.2 Từ mẫu ngẫu nhiên kích thước n=3 ta

xét hai ước lượng sau đây của trung bình tổng thể m

X= s1 + Xe + X3); G= sXI + 5X2 t+ GX

Ước lượng nào hiệu quả hơn

Thí dụ 7.3 Từ tổng thể với biến ngẫu nhiên gốc X (có trung bình là m, phương sai 1a o) lap 2 mẫu

ngẫu nhiên độc lập kích thước m, nạ với các trung

bình mẫu X:, Xa Xét họ ước lượng

G„=oX:+(1—a)X;;0< ø< 1

Chứng minh G,, là ước lượng không chệch của m

Với giá trị nào của a thì G,„ là UL hiệu quả nhất

Trang 16

Bất đẳng thức Cramer - Rao: Nếu biến ngẫu nhiên

Trang 17

Bất đẳng thức Cramer - Rao: Nếu biến ngẫu nhiên

Thí dụ 7.4 Trung bình mẫu X là ước lượng hiệu

quả nhất của kì vọng toán /; của biến ngẫu nhiên

gốc X ~ N(ụu, ø )

Trang 18

e Udc lượng vững

lượng vững của tham số 0 của biến ngẫu nhiên gốc

X nếu ổ hội tụ theo xác suất 0 khi n —› oo

Nghĩa là với mọi < > 0 bé tùy ý ta luôn có:

ñ-_>co

Trang 19

Jim P(|é —6|<e)=1

Thí dụ 7.5 Từ tổng thể với biến ngẫu nhiên gốc

X ~ N(u, 07) Chứng minh rằng trung bình mẫu là ước lượng vững của trung bình tổng thể

Trang 20

ñ-_>co

Thí dụ 7.5 Từ tổng thể với biến ngẫu nhiên gốc

X ~ N(u, 07) Chứng minh rằng trung bình mẫu là ước lượng vững của trung bình tổng thể

e Ước lượng đủ

Trang 21

+ Tần suất mẫu f là ƯL không chệch, hiệu quả nhất

và vững của tần suất tổng thể p và đồng thoi la UL

tuyến tính không chệch tốt nhất, do đó nếu chưa

Trang 22

2.2 Phương pháp ước lượng hợp lý tối đa

Biết hàm mật độ xác suất f(x, 0) của BNN gốc X

Cần ước lượng tham số 0 nào đó của X

Lap mau ngau nhién : W = (X;, Xo, ., Xn)

Ta xây dựng hàm hợp lý L của tham s6 6 nhu sau:

L(O) = L{X Xa, , Xn, 9) —= f{x, 0)fxa, 9) f(Xn, 0)

trong đó (x4 xa xạ) là một giá trị cụ thể của mẫu

Giá trị của thống kê j tại điểm đó là

6 — g(X,Xa, .; Xn)

được gọi là ước lượng hợp lý tối đa của 0 nếu ứng với giá trị này của 0, hàm hợp lý đạt cực đại

Trang 23

Các bước tìm giá trị của 9 để hàm hợp lý đạt cực đại

Vì hàm L và lnL đạt cực đại tại cùng một giá trị

của 0 nên ta sẽ tìm 9 để InL đạt cực đại như sau:

Trang 24

+ Tim L va InL, rut gon

Trang 25

+ Tìm đạo hàm bac nhat va bac hai cua InL theo 0

Trang 26

+ Tìm đạo hàm bac nhat va bac hai cua InL theo 0 + Giai phuong trinh a = 0

Giả sử nó có nghiệm 14 6 = 6 = g(x1, x2, ., Xn)

Trang 27

+ Tìm đạo hàm bac nhat va bac hai cua InL theo 0

dinL

+ Giải phương trình "ap = 0

Giả sử nó có nghiệm 14 6 = 6 = g(x1, x2, ., Xn)

+ Néu om lạ_¿ < 0 thì tại @ ham InL đạt cực đại

Khi d6 6 = g(x1, X2, , Xn) la ude luong hợp lý tối đa

cần tìm của 0

Trang 28

Chú ý: đối số của hàm hợp lý là 0 chứ không phải là

(X¡ Xa , Xa) nên nếu thay giá trị của mẫu bằng bản thân mẫu ngẫu nhiên (X:,X¿, , Xa) thì kết quả vẫn

đúng và nó chính là hàm ước lượng hợp lý tối đa

Trang 29

đúng và nó chính là hàm ước lượng hợp lý tối đa Thí dụ 7.6 Tìm ước lượng hợp lý tối đa của tham

số À trong quy luật phân phối Poisson P(A)

Trang 30

đúng và nó chính là hàm ước lượng hợp lý tối đa Thí dụ 7.6 Tìm ước lượng hợp lý tối đa của tham

số À trong quy luật phân phối Poisson P(A)

Thí dụ 7.7 Tìm ước lượng hợp lý tối đa của tham

số của biến ngẫu nhiên X ~- N(u,ø2)

Trang 31

KHOẢNG TIN CẬY

3.1 Khái niệm

Định nghĩa: Khoảng ngẫu nhiên (G, Ga) được gọi

là khoảng tin cậy của tham số 0 nếu với xác suất

(1 — a) cho truéc thì khoảng (G+ Gạ) thỏa mãn điều

kiện

Trang 32

KHOẢNG TIN CẬY

Định nghĩa: Khoảng ngẫu nhiên (G, Ga) được gọi

là khoảng tin cậy của tham số 0 nếu với xác suất

(1 — a) cho truéc thì khoảng (G+ Gạ) thỏa mãn điều

kiện

Xác suất (1 — a) duoc goi 1a độ tin cậy của ước

lượng

I = Gp — G, 1a do dai khoang tin cay

Cơ sở của phân phối ước lượng bằng khoảng tin cậy chính là nguyên lý xác suất lớn

Trang 33

Các bước tìm khoảng tin cậy (G¡, G¿):

z Lập mẫu ngẫu nhiên : W = (X+.,X¿ , Xn)

và xây dựng thống kê G = X\,Xa, Xa, 0) sao cho quy luật phân phối xác suất của G không phụ thuộc vào các đối số của nó và hoàn toàn xác định

Trang 34

Các bước tìm khoảng tin cậy (G¡, G¿):

z Lập mẫu ngẫu nhiên : W = (X+.,X¿ , Xn)

và xây dựng thống kê G = X\,Xa, Xa, 0) sao cho quy luật phân phối xác suất của G không phụ thuộc vào các đối số của nó và hoàn toàn xác định

b Với độ tin cậy (1 — a) cho trước, tìm được cặp giá trị không âm a; va a2 sao cho a; + a2 = a Tu

đó tìm được cặp gia tri t6i han g;_,, va g,, thoa

Trang 35

c Bằng các phép biến đổi tương đương bao giờ

cũng có thể đưa biểu thức trên về dạng

P(G:;<0<G;)=1-—-œ

Trang 36

c Bằng các phép biến đổi tương đương bao giờ

cũng có thể đưa biểu thức trên về dạng

W = (X4.Xa , Xa) ta tìm được các giá trị cụ thể của

G1, Go tuong ung là 91, Qo

Kết luận: với độ tin cậy (1 — œ) tham số 9 của biến

ngẫu nhiên gốc X sẽ nằm trong khoảng (gi g›)

Trang 37

3.2 Ước lượng kì vọng toán của biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuân

Giả sử biến ngẫu nhiên gốc X ~- N(¡¡,ø^) với chưa biết Để ước lượng /; ta lập mẫu ngẫu nhiên

W = (X4, Xo, - , Xn)

Để chọn thống kê G ta xét các trường hợp sau:

Trang 38

3.2 Ước lượng kì vọng toán của biến ngẫu nhiên

phân phối theo quy luật chuẩn

Giả sử biến ngẫu nhiên gốc X ~ N(¿¡.øZ) với chưa biết Để ước lượng /; ta lập mẫu ngẫu nhiên

W = (X4, Xo, - , Xn)

Để chọn thống kê G ta xét các trường hợp sau:

a Nếu đã biết phương sai oˆ

Ta chọn thống kê

G=U=LẾ=!)X” _ N(0,1)

Trang 39

Với độ tin cậy (1 — a) ta tìm được cặp giá tri a va œ¿ Sao cho œ+ + a¿ = œơ từ đó tìm được hai giá trị tới

hạn chuẩn tương ứng là ư_„„ và u„„ thỏa mãn

P{(uU+_.„.< U< u„„)=1—œ

vn Ung < [b< X+ Va O

Trang 40

P{(uU+_.„.< U< u„„)=1—œ

Trang 41

P{(uU+_.„.< U< u„„)=1—œ

Ø

PUK = “EM << K+ eas) = 10

Ta có KTC ngẫu nhiên cua p la

> O VG O

X — —=U,,,X + Kua, 1

Với mẫu cu thé w = (x), Xo, .,X,) ta sé tim duoc

khoang tin cay cu thé

Trang 42

b Chưa biết phương sai oˆ

Với độ tin cậy (1 — a) cho trước ta tìm được khoảng

tin cậy ngẫu nhiên cua p 1a

Ss vn

X- 0Š Xi ĐỘ)

Trang 43

b Chưa biết phương sai oˆ

Với độ tin cậy (1 — a) cho trước ta tìm được khoảng

tin cậy ngẫu nhiên cua p 1a

Với mẫu cu thé w = (x), Xo, .,X,) ta sé tim duoc

trung bình mẫu X và phương sai mẫu s từ đó ta có khoảng tin cậy của ¿ là

S44 S49)

Chú ý: Nếu n > 30 thì #" ” ~ u„

Trang 45

trong đó e = Sgn ") goi 1a sai s6 cua UL g vn °/2 g

+ ơi =0,a¿ = œ — khoảng tin cậy tối thiểu:

X- (Vs +00)

Trang 46

+ a2 = 0,a; =a — khoang tin cậy tối đa:

S

(—00;X + tf Ti )

Trang 47

+ a2 = 0,a; =a — khoang tin cậy tối đa:

S

vn

+ Độ đài khoảng tin cậy I là ngắn nhất khi khoảng

tin cậy là đối xứng Khi đó

(-œ;X+ m1) )

S ứn-1)

|— 2c — “VN e/2

Trang 48

+ Muốn giữ nguyên độ tin cậy (1 — œ) mà độ dài khoảng tin cậy không vượt quá giá trị /p (hay sai số của ước lượng không vượt quá eo) cho trước thì kích thước mẫu mới n' phải thỏa mãn

S? (n—1) S? —

h = eR tí /2 ) ( hay h = 2 tí /2 ) )

Trang 49

+ Muốn giữ nguyên độ tin cậy (1 — œ) mà độ dài khoảng tin cậy không vượt quá giá trị /p (hay sai số của ước lượng không vượt quá eo) cho trước thì kích thước mẫu mới n' phải thỏa mãn

S? (n—1) S? —

h = eR tí /2 ) ( hay h = 2 tí /2 ) )

Thí dụ 7.8 Điều tra thu nhập của 41 nhân viên

công ty A thì thấy trung bình (mẫu) là 5,4 triệu

đồng/tháng và độ lệch chuẩn (mẫu) là 0,78 triệu

đồng/ tháng Với độ tin cậy 0,95, hãy cho biết thu

nhập trung bình tối thiểu của nhân viên công ty

này Giả thiết thu nhập phân phối chuẩn

Trang 50

Thí dụ 7.9 Để định mức thời gian (phút) gia công

một chi tiết máy người ta theo dõi ngẫu nhiên quá trình gia công 25 chi tiết và thu được kết quả sau

Giả sử rằng thời gian gia công chỉ tiết là biến ngẫu

nhiên phân phối chuẩn

a Với hệ số tin cậy 0,95 hãy ước lượng thời gian trung bình gia công chi tiết đó bằng khoảng tin cậy đối xứng

b Nếu muốn giữ độ tin cậy 95% và độ chính xác của ước lượng tăng gấp đôi thì phải theo dõi thêm bao nhiêu chi tiết

Trang 51

3.3 Ước lượng phương sai của biến ngẫu nhiên

phân phối chuẩn

Giả sử biến ngẫu nhiên gốc X ~- N(¿¡,ø2) với øˆ

chưa biết Để ước lượng ø? ta lập mẫu ngẫu nhiên

W = (X.Xạ Xa)

a Nếu đã biết kì vọng toán 1:

Với độ tin cậy 1 — œ, khoảng tin cậy ngẫu nhiên của

ơ? là S2 ng?

ns**< ns*

( 2(n)' am) (3)

Naz 1-ay

Tiêu đề	Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Chương 7 - Mai Cẩm Tú
Tác giả	Mai Cẩm Tú
Trường học	Universidad Ficticia (ví dụ: Đại Học Bách Khoa Hà Nội)
Chuyên ngành	Lý thuyết xác suất và thống kê toán
Thể loại	Bài giảng
Năm xuất bản	2012
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	69
Dung lượng	3,97 MB