Nội dung đổi mới

Trong chương trình hình học 11, chương phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng chiếm một vị trí hết sức quan trọng , hơn nữa các phép dời hình và đồng dạng được ứng dụng rộng rải

1.Tên sáng kiến kinh nghiệm:“ Ứng dụng các phép biến hình và đồng dạng vào giải toán hình học 11”

Trong chương trình hình học 11, chương phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng chiếm một vị trí hết sức quan trọng , hơn nữa các phép dời hình và đồng dạng được ứng dụng rộng rải trong thực tế như trong nhiếp ảnh …

Trong thực tiễn sư phạm cho thấy, khi học chương phép dời hình và phép đồng dạng, học sinh thường gặp rất nhiều khó khăn và lúng túng,đồng thời cũng nhiều khi mắc phải sai lầm

Trường THPT Xuân Huy là trường tập trung chủ yếu con em là nông dân,không

có nhiều thời gian giành cho học tập.Hiện nay chất lượng học tập của học sinh còn thấp Các em chưa có điều kiện học tập, đặc biệt chương trình phân hoá học sinh Nhà trường chưa có điều kiện tốt để học sinh khá giỏi, học sinh yếu kém phát triển nhận thức phù hợp với từng đối tượng học sinh Học sinh hổng kiến thức từ lớp dưới rất lớn Nhà trường chưa có đủ phương tiện dạy học theo phương pháp mới Đặc biệt lượng kiến thức đưa ra là nặng đối với học sinh vùng núi

Có lẽ ai cũng nhận thấy điều đó, đội ngũ giáo viên của trường đang trực tiếp giảng dạy, các cấp lãnh đạo, các ngành đã làm gì để khắc phục tình trạng đó Theo tôi đây là vấn đề bức xúc nóng bỏng còn đang tồn tại, sẽ tồn tại nếu ta không có giải pháp hợp lí

Qua giảng dạy tôi nhận thấy học sinh khối 11 khi học về phép biến hình rất khó tiếp thu và áp dụng

Vì vậy để giúp học sinh học tốt môn hình học lớp 11 tôi đã chọn sáng kiến

“ Ứng dụng các phép biến hình và đồng dạng vào giải toán hình học 11”

2 Mô tả ý tưởng:

a) Hiện trạng và nguyên nhân của hiện trạng trên:

Trong thực tế giảng dạy cho thấy nhiều học sinh khi học về các phép biến hình và phép đồng dạng, các em thường có tâm lí: không biết ứng dụng của phép biến hình

để làm gì, nói cách khác các em không gắn được lý thuyết vào thực hành, do đó các

em không muốn học chương này

Nguyên nhân chủ yếu của hiện trạng là:

Trong các giờ học về chương: Các phép biến hình và đồng dạng, ứng dụng của nó học sinh nắm chưa chắc, chưa hiểu bản chất Việc tư duy, suy luận lôgíc, khả năng khaí quát phân tích còn hạn chế, đặc biệt là phần ứng dụng các phép biến hình Vì vậy học sinh còn lúng túng, xa lạ, khó hiểu chưa kích thích được nhu cầu học tập của học sinh

b)Ý tưởng để thay đổỉ hiện trạng trên:

-Rèn luyện cho học sinh thói quen, tính kỉ luật trong việc thực hiện các kĩ năng giải toán thông qua việc luyện tập; nhằm khắc phục tính chủ quan, hình thành tính độc lập, tính tự giác ở người học, thông qua đó hình thành và phát triển nhân cách của các em

-Luôn tạo ra tình huống có vấn đề, kích thích hứng thú tìm tòi học tập ở học sinh -Cho học sinh thấy ứng dụng của lý thuyết vào thực hành

-Đặt ra câu hỏi gợi mở phù hợp với đối tượng học sinh

Mục đích của sáng kiến này là người viết muốn đưa ra phương pháp dạy học

phù hợp với học sinh vùng cao, tạo hứng thú học tập cho học sinh Làm cho học sinh hiểu rõ các phép biến hình và ứng dụng của nó trong việc giải toán Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh trong các tiết học

3.Nội Dung

Trong các giờ học về chương: Các phép biến hình và đồng dạng, ứng dụng của nó học sinh nắm chưa chắc, chưa hiểu bản chất Việc tư duy, suy luận lôgíc, khả năng khaí quát phân tích còn hạn chế, đặc biệt là phần ứng dụng các phép biến hình

Vì vậy học sinh còn lúng túng, xa lạ, khó hiểu chưa kích thích được nhu cầu học tập của học sinh Để các em tiếp thu bài một cách có hiệu quả tôi xin đưa ra một vài ứng dụng của phép biến hình vá đồng dạng cụ thể trong giải toán hình học lớp 11:

1: Định nghĩa phép biến hình:

1.1: Định nghĩa:

Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M’ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng

1.2: Một số phép biến hình trong mặt phẳng:

1.2.1: Phép tịnh tiến:

Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho vectơ vr≠ 0r, phép biến hình biến mỗi điểm

M thành điểm M’ sao cho MMuuuuur'= vr, gọi là phép tịnh tiến theo vectơ vr

Kí hiệu: T vr

Vậy: T vr(M) = M’⇔ MMuuuuur'= vr

1.2.2: Phép đối xứng trục:

Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho đường thẳng d, phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho d là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng MM’ gọi

là phép đối xứng trục d

Kí hiệu: Đd

Vậy: Đd(M) = M’⇔ M Muuuuuur0 ' = −M Muuuuuur0 (M0 là giao điểm của d với đoạn thẳng MM’)

1.2.3: Phép đối xứng tâm:

Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm I, phép biến hình biến mỗi điểm M khác I thành điểm M’ sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM’ gọi là phép đối xứng tâm I

Kí hiệu: ĐI

Vậy: ĐI(M) = M’⇔ IMuuuur' = −IMuuur

1.2.4: Phép quay:

Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm O và góc lượng giác α, phép biến

hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM=OM’, góc lượng giác (OM,OM’) = α gọi là phép quay tâm O, góc quayα .

Kí hiệu: Q(O, α )

Vậy: Q(O, α )(M)=M’⇔ '

( , ')

=





1.2.5: Phép đồng nhất:

Định nghĩa: Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó gọi là phép đồng nhất

1.2.6: Phép vị tự:

Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm O và số k≠0, phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho OMuuuuur' =kOMuuuur, gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k

Kí hiệu: V(O,k)

Vậy: V(O,k)(M)=M’⇔OMuuuuur'=kOMuuuur

1.2.7: Phép dời hình:

Định nghĩa: Phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất

kì gọi là phép dời hình

1.2.8: Phép đồng dạng:

Định nghĩa: Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k(k>0) nếu với

2 điểm M,N bất kì và ảnh M’,N’ tương ứng của chúng ta luôn có M’N’=kMN

2: Một số tính chất của phép biến hình:

Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay thay đổi thứ tự giữa ba điểm đó

Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng

Biến tam giác thành tam giác bằng nó ( hoặc đồng dạng với nó), biến góc thành góc bằng nó

Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính R (hoặc kR)

3 Biểu thức toạ độ của một số phép biến hình:

3.1: Phép tịnh tiến:

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho v a br( , ), M(x;y), M’(x’;y’) Khi đó nếu

v

Tr(M) = M’ thì  = +x y''= +x a y b

3.2: Phép đối xứng trục:

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho , M(x;y), M’(x’;y’) Khi đó nếu

+) ĐOx(M) = M’ thì '

'

=



 = −



+) ĐOy(M) = M’ thì '

'

= −



 =



3.3: Phép đối xứng tâm:

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho I a b( , ), M(x;y), M’(x’;y’) Khi đó nếu

ĐI(M) = M’ thì ' 2

' 2

= −



 = −



4: Các dạng bài tập cơ bản:

Dạng 1: Dựng ảnh của một điểm và hình qua phép biến hình.

Phương pháp : Sử dụng định nghĩa.

Bài 1: Trong mặt phẳng cho đường thẳng

d và các A, B,C Dựng ảnh của A , đoạn AB,

tam giác ABC qua phép đối xứng trục d

Giải: Đd(A) = A’

Đd(B) = B’

Đd(C) = C’ A’B’ là ảnh của AB qua phép đối xứng trục d

Tam giác A’B’C’ là ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng trục d

Bài 2: Trong mặt phẳng cho điểm O và các A, B,C Dựng ảnh của A , đoạn AB,

tam giác ABC qua phép đối xứng tâm O

Giải

ĐO(A) = A’

ĐO(B) = B’

ĐO(C) = C’

A’B’ là ảnh của AB qua phép đối xứng tâm O

Tam giác A’B’C’ là ảnh của tam giác ABC

qua đối xứng tâm O

Bài 3: Trong mặt phẳng cho vectơ vr và các A, B,C Dựng ảnh của A , đoạn AB, tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ vr

Giải

v

Tr(A) = A’

v

Tr(B) = B’

v

Tr(C) = C’

d

A'

C'

B' B

C

A

B

A

C

B' A' C'

B'

C'

A' B

A

C

- A’B’ là ảnh của AB qua phép tịnh tiến theo

vectơ vr

- Tam giác A’B’C’ là ảnh của tam giác qua phép

tịnh tiến theo vectơ vr

Bài 4: Trong mặt phẳng cho điểm O và các A, B,C Dựng ảnh của A , đoạn AB,

tam giác ABC qua phép vị tự tâm O tỉ số k

Giải

A’ =V(O,2)(A)

B’ =V(O,k)(B)

C’ =V(O,k)(C)

A’B’ là ảnh của AB qua phép vị tự tâm O

tỉ số 2

Tam giác ABC là ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự tâm O tỉ số 2

Dạng 2: Xác định ảnh của một điểm và một hình qua phép biến hình đã cho :

Phương pháp chung:

-Sử dụng định nghĩa.

-Sử dụng biểu thức toạ độ của phép biến hình.

-Sử dụng các tính chất của phép biến hình.

Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho véctơ v= (− 1 ; 2 ),hai điểm A(3 ; 5), B(-1 ; -1) và đường thẳng d có phương trình: x -2y+3 = 0

a Tìm tọa độ của các điểm A’,B’ theo thứ tự là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến v b.Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ vr

(Bài 3- Sách giáo khoa Hình học 11 – cơ bản –trang 7)

Giải

a) T vr(A) = A’ thì







=

=

⇔





 +

=

=

7 '

2 ' 2 5 y'

1 -3 '

y

x x

Vậy T vr(A) = A’(2 ; 7)

v

Tr(B) = B’ thì







=

−

=

⇔





 +

=

=

3 '

2 ' 2

1 y'

1 -1

- '

y

x x

Vậy T vr(B) = B’(-2 ; 3)

C'

B' A'

A

B

b) Cách 1: Gọi T vr(d) = d’ Chọn M(-1;1) thuộc d, M’=Tvr(M) =(-2 ;3) M’ ∈ d’.

Vì d’//d nên d’ có phương trình x - 2y+C=0 M’∈ d’-2 -2.3 +C = 0  C = 8

Vậy phương trình đường thẳng d’ là:x- 2y + 8=0

Cách 2: Gọi M( x ; y) ∈ d, M’ = T vr(M) =(x’ ; y’)

Khi đó







−

=

+

=

⇔







+

=

−

=

2 '

1 ' 2

'

1 '

y y

x x y

y

x x

Ta có M ∈d ⇔ x - 2y +3 = 0 ⇔ x’+1-2(y’- 2) +3 = 0

⇔ x’ - 2y +8 = 0 M’ ∈ d’ có phương trình x- 2y +8 =0

Vậy d’ có phương trình x -2y +8 = 0

Cách 3: Lấy M,N bất kì thuộc d, tìm ảnh M’,N’ tương ứng của M và N qua phép tịnh tiến theo vectơ vr Khi đó đường thẳng d’ là đường thẳng M’N’

Bài 2:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho M(1;5), đường tròn (C) có phương

trình x2+y2-2x+4y-4=0, đường thẳng d có phương trình x-2y+4=0

a)Tìm ảnh của M,(C), d qua phép đối xứng trục Ox

b)Tìm ảnh của M qua phép đối xứng trục d

( ví dụ2 – Sách bài tập hình học 11- cơ bản – trang 12)

Giải:

a) Gọi M’,(C’),d’ lần lượt là ảnh của M, (C), d qua phép đối xứng trục Ox

Ta có M’ (1;-5)

(C) có tâm I(1;-2), bán kính R=3 Đường tròn (C’) có tâm là I’=ĐOx(I)=(1;2) và bán kính R=3 Vậy phương trình (C) là: (x-1)2+(y-2)2=9

Gọi N’(x’;y’) là ảnh của N(x;y) qua phép đối xứng trục Ox, ta có

 = −  = −

  Thay vào phương trình của d ta được: x’+2y’+4=0.

Vậy phương trình của d’ là x+2y+4=0

b) Đường thẳng d1 đi qua M và vuông góc với d có phương trình là: 2x+y-7=0

Gọi M0 là giao điểm của d và d1 thì toạ độ của M0 là nghiệm của hệ:

 + − =  =

Vậy M0(2;3)

Gọi M1 là ảnh của M qua phép đối xứng trục d thì M0 là trung điểm đoạn thẳng

MM1 nên M1(3;1)

Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A( -1;3) và đường thẳng d có phương

trình x -2y +3 = 0 Hãy tìm ảnh của A và qua phép đối xứng tâm O

( Bài 1- Sách giáo khoa hình học 11- cơ bản- trang – 15)

Giải

Gọi A’ = ĐO(A) = (1 ; -3)

Cách 1: d đi qua B( -3 ; 0) và d’ = ĐO(d) nên d’ //d Do đó d’ có phương trình

x – 2y + C = 0

Hơn nữa d’ đi qua B’( -3 ; 0) là ảnh của B qua phép đối xứng tâm O

Do đó 3 +C = 0 ⇔ C = -3

Vậy ảnh của d qua phép đối xứng tâm O là dường thẳng d’ có phương trình: x- 2y -3 =0

Cách 2: Gọi M( x ; y) ∈ d, M’ = ĐO(M) Khi đó







−

=

−

= '

'

y y

x x

thay vào phương trình d ta được: - x’ +2y’ +3 =0 ⇔ x’ – 2y’ -3 = 0

Vì M’ ∈d’ nên có phương trình: x – 2y -3 = 0

Vậy d’ có phương trình là : x – 2y -3 = 0

Cách 3: Lấy M,N bất kì thuộc d, tìm ảnh M’,N’ tương ứng của M và N qua phép

phép đối xứng tâm O Khi đó đường thẳng d’ là đường thẳng M’N’

Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A( 2; 0) và đường thẳng d có phương

trình x + y -2 = 0.Hãy tìm ảnh của A và d qua phép quay tâm O góc quay 900

( Bài 2 – Sách giáo khoa hình học 11- cơ bản – trang 19)

Bài 5 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng d có phương

trình:3x+2y-6=0.Hãy viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép vị

tự tâm O tỉ số k=-2

( Ví dụ - sách bài tập hình học 11- cơ bản – trang 30)

Giải:

Cách 1: V(O,k)(d)=d’ =>d’//d => d’ có phương trình:3x+2y+C=0 Lấy M(0;3) thuộc

d.Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép vị tự đã cho, ta có OMuuuuur' = − 2OMuuuur⇔ x y' 0'== −6



Vậy M’(0;-6), M’ thuộc d’ =>C=12

Do đó phương trình d’ là:3x+2y+12=0

Cách 2: Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M(x;y) qua phép vị tự tamO tỉ số k=-2, ta có

1 '

' 2

 = −



= −

 = − 



Điểm M thuộc d 3 ' 6 0 3 ' 2 ' 12 0

⇔ − − − = ⇔ + + =

Vậy phương trình d’ là:3x+2y+12=0

Cách 3:

Lấy M,N bất kì trên d, tìm ảnh M’,N’ của M,N qua phép vị tự tâm O tỉ số k=-2 Khi

đó d’ là đường thẳng M’N’

Dạng 3: Dùng phép biến hình để giải một số bài toán dựng hình:

Giải: Gọi B là ảnh của A Khi đó B(0;2)

Hai điểm A và B(0 ; 2) thuộc d Ảnh của B

qua phép quay tâm O góc 90o là A’( - 2; 0)

Do đó ảnh của d qua phép quay tâm O góc

90o là đường thẳng BA

Vectơ chỉ phương của BA’ là u =BA= ( 2 ; 2

), VTPT của BA’ là n= ( 1 ; − 1 )

Phương trình đường thẳng BA’ là: x-y +2 = 0

6

4

2

-2

-4

-6

A B

A'

Phương pháp: Để dựng điểm M ta làm như sau:

Cách 1: Xác định M như ảnh của một điểm đã biết qua một phép biến hình Cách 2: Xem M như là giao điểm của một đường cố định với ảnh của một đường đã biết qua một phép biến hình.

Bài 1: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm Xác định ảnh của tam giác ABC qua

phép tịnh tiến theo vectơAG Xác định điểm D sao cho phép tịnh tiến theo vectơ

AG biến D thành A

(Bài 2 – Sách giáo khoa hình học 11- cơ bản – trang 7)

Giải:

Dựng các hình bình hành ABB’G và ACC’G

Khi đó ảnh của tam giác ABC qua

phép tịnh tiến theo véctơ AG là tam giác GB’C’.

Dựng điểm D sao cho A là trung điểm của GD

Khi đó DA= AG

Vậy T (D) A.

AG =

Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A(-1;-1),B(3;1),C(2;3) Tìm toạ độ

điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành

(Ví dụ 1- sách bài tập hình học 11- cơ bản- trang 8)

Giải:

Giả sử điểm D(x;y) Ta có T BAuuur ( )D =C, mà BAuuur= − − ( 4; 2)

Do đó: x y= −= −2 43 2⇔x y= −=12

không thuộc hai đường thẳng đó sao cho đương thẳng AB khôg song song hoặc trùng với d( hay d1) Hãy tìm điểm M trên d và M’ trên d1 để tứ giác ABMM’ là hình bình hành

Giải :

G

C

B'

C' B

A D

Xem M'=T BA(M) Khi đó M’∈d1

vừa M’∈d’là ảnh của d qua phép tịnh tiến

theo vectơ BA Từ đó suy ra cách dựng

- Dựng d’ là ảnh của d qua phép tịnh

tiến theo vectơ BA

- Dựng M’ = d1∩ d’.-Dựng điểm M

là ảnh của diểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ AB

Dễ thấy tứ giác ABMM’ chính là hình bình

hành thỏa mãn yêu cầu của đầu bài

Bài 4.

Cho hai đường thẳng c, d cắt nhau và hai điểm A, B không thuộc đường thẳng đó Hãy dựng điển C trên c , điển D trên d sao cho tư giác ABCD là hình thang cân nhận AB là một cạnh đáy ( không cần biên luận)

(Bài 1.9 – sách bài tập hình học- cơ bản trang – 16)

Giải.

Ta thấy B,C theo thứ tự là ảnh của

A, D qua phép đối xứng qua đường trung

trực của cạnh AB Từ đó suy ra cách dựng:

- Dựng đường trung trực a của đoạn AB

- Dựng d’ là ảnh của d qua phép đối xứng

trục a

Gọi C = d’∩c

- Dựng D là ảnh của C qua phép đối xứng trục a

Dạng 4: Dùng phép biến hình để giải một số bài toán tìm tập hợp điểm.

Phương pháp: Chứng minh tập hợp điểm cần tìm là ảnh của một hình đã biết qua một phép biến hình.

d'

d1

d B

M'

A

M

d a

d'

B

C D

A

Bài 1: Cho đường tròn (O) và tam giác ABC Một điểm M thay đổi trên đường

tròn(O) Gọi M1 là điểm đối xứng của M qua A, M2 là điểm đối xứng của M1 qua B,

M3 là điểm đối xứng của M2 qua C Tìm quỹ tích của điểm M3

Giải:

Gọi D là trung điểm của MM3 thì

ABCD là hình bình hành Do đó

điểm D cố định Phép đối xứng

qua điểm D biến M thành M3

Do đó Quỹ tích điểm M3 là ảnh

của đường tròn (O) qua phép đối

xứng tâm D

D M3

M2

M1

M

O C

B

A

Bài 2:

Cho hai điểm phân biệt B,C cố định (BC không phải là đường kính) trên đường tròn (O), điểm A di động trên (O) Chứng minh rằng khi A di động trên (O) thì trực tâm tam giác ABC di động trên một đường tròn

(Ví dụ- Sách bài tập hình học 11- cơ bản- trang 9)

Giải:

Cách 1:

Gọi H là trực tâm tam giác ABC, M là trung

điểm của BC Tia BO cắt đường tròn (O) tại D

Ta có ·BCD=900 nên DC//AH, AD//CH => tứ

giác ADCH là hình bình hành =>

2

AH =DC= OM

uuur uuur uuuur

Vì OMuuuurkhông đổi => T2OM

uuuur

(A) =H

Vậy khi A di chuyển trên đường tròn (O) thì H

di chuyển trên đường tròn (O’) là ảnh của (O)

qua phép tịnh tiến theo 2OMuuuur

H

M O

B

C

A

D

Cách 2: