Chuyên đề: Ôn thi vào cấp 3Một số bài tập: hàm số bậc nhất – hàm số bậc hai Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn.. tìm hoành độ giao điểm của p với đờng thẳng y= 3x-1.. tìm phơng trình đờn
Trang 1Chuyên đề: Ôn thi vào cấp 3
Một số bài tập: Rút gọn biểu thức
Bài 1 : Cho biểu thức
A=
2
) 1 ( : 1
1 1
1
2
2 2 3
3
−
−
+
+
−
−
x
x x x x
x x x
x
Với x≠ 2;±1
a, Rút gọn biểu thức A
b , Tính giá trị của biểu thức khi cho x= 6+2 2
c Tìm giá trị của x để A=3
KQ: a Rút gọn A=
x
x2 − 2
b.Thay x= 6+2 2 vào A ta đợc A=
2 2 6
2 2 4 + +
c.A=3<=> x2-3x-2=0=> x=
2
17
3 ±
−
+
−
+
+
−
−
−
1
1 2 2 : 1 1
x
x x x
x
x x x x
x x
a,Rút gọn P
b,Tìm x nguyên để P có giá trị nguyên
KQ: ĐK: x ≥ 0 ;x≠ 1
a, P =
1
1
−
+
x
x
b P =
1
2 1 1
1
− +
=
−
+
x x
x
Với x= {0 ; 4 ; 9} thì P có giá trị nguyên
Bài 3: Cho P = 2
1
x
x x
+
− +
1 1
x
+ + + -
1 1
x x
+
−
a/ Rút gọn P
b/ Chứng minh: P < 1
3 với x ≥ 0 và x ≠1.
KQ: a) Điều kiện: x ≥ 0 và x ≠1 P =
1
x
x+ x+
Bài 4: Cho biểu thức
x 1
x 2 x 2
1 2
x 2
1 C
−
+ +
−
−
=
a) Rút gọn biểu thức C
b) Tính giá trị của C với
9
4
x =
c) Tính giá trị của x để
3 1
C =
Trang 2Chuyên đề: Ôn thi vào cấp 3
Bài 5: Cho biểu thức A =
1
1 :
1
−
−
x x
a)Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A
b)Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0
c)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phơng trình A x =m− x có nghiệm
Bài 6 Cho A = − − − + + − 1
2 1
1 :
1
a a
a)Rỳt gọn A
b)Tớnh giỏ trị của A khi a = 3 + 2 2
c)Tỡm a để A < 0
B i 7 à Cho P = +
− +
−
x x
x x
x x
a) Rỳt gọn P
b) Tớnh giỏ trị của P tại x =
3 2
2 +
c) Tỡm x thỏa món P. x = 6 x− 3 − x− 4
Bài 8 Cho A =
1
) 1 2 ( 2 : 1 1
−
+
−
+
+
−
−
−
x
x x x
x
x x x x
x x
a) Rỳt gọn A
b) Tỡm x ∈ Z để A ∈ Z
−
+
−
−
−
a
a a a
a
a a
a
a
1
1 :
1 1
1 2
a) Rỳt gọn P
b) Tỡm a để P 1 −a < 0
Bài 10 Cho biểu thức: P = ( 1 ) ( 1 2 )
1
a
a) Tìm điều kiện của a để P xác định
b) Rút gọn P
c) Tìm các giá trị của a để P > 0 v P < 0.à
Trang 3Chuyên đề: Ôn thi vào cấp 3
Cõu 11: Cho biểu thức:
2
2
P
a) Tỡm điều kiện xỏc định của P? Rỳt gọn P
b) Tỡm x để P 2
x >
Cõu 12: Cho biểu thức
= − ữ + + − ữữ
a) Tỡm điều kiện xỏc định của A? Rỳt gọn A
b) Tớnh giỏ trị của biểu thức A khi x = 3
4
c) Tỡm x để A < 8
a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A
b) Với giá trị nào của xthì A > 1
3 c) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất
a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P
b) Tìm các giá trị của x để P = 5
4 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M x 12 1
P
x 1
+
=
−
Bài 15: Cho biểu thức: x2 x 2x x 2 x 1( )
P
−
a) Tìm ĐKXĐ , rút gọn P
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
c) Tìm x để biểu thức Q 2 x
P
= nhận giá trị nguyên
Trang 4Chuyên đề: Ôn thi vào cấp 3
x 1
−
−
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P
b) Tìm x để P <1
2
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A
b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0
c) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phơng trình A x m= − x có nghiệm
Bài 18: Cho biểu thức: A x 1x x2 x 1( x 1)
−
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của biểu thức A
c) Với giá trị nào của x thì A >A
Bài 19: Cho biểu thức :
P =
x
x x
x x
x
−
+ + +
+
−
+
4
5 2 2
2 2 1
a)Tìm TXĐ rồi Rút gọn
b)Tìm x để P =2
c)Tính giá trị của P khi x = 3-2 2
Bài 20: Cho biểu thức
1
2 2
1 (
: )
1 1
1
−
+
−
−
+
−
a a
a a
a
a)Tìm TXĐ rồi rút gọn P
b)Tìm a để P dơng
c)Tính giá trị của biểu thức biết a= 9- 4 5
Chuực caực em hoùc toỏt!
Trang 5Chuyên đề: Ôn thi vào cấp 3
Một số bài tập: hàm số bậc nhất – hàm số bậc hai
Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn
Bài tập 1: cho parabol y= 2x2 (p)
a tìm hoành độ giao điểm của (p) với đờng thẳng y= 3x-1
b tìm toạ độ giao điểm của (p) với đờng thẳng y=6x-9/2
c tìm giá trị của a,b sao cho đờng thẳng y=ax+b tiếp xúc với (p) và đi qua A(0;-2)
d tìm phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (p) tại B(1;2)
e biện luận số giao điểm của (p) với đờng thẳng y=2m+1
f cho đờng thẳng (d): y=mx-2 Tìm m để :
+(p) không cắt (d) +(p)tiếp xúc với (d) tìm toạ độ điểm tiếp xúc đó? + (p) cắt (d) tại hai điểm phân biệt +(p) cắt (d)
Bài tập 2: cho hàm số (p): y=x2 và hai điểm A(0;1) ; B(1;3)
a viết phơng trình đờng thẳng AB tìm toạ độ giao điểm AB với (P) đã cho
b viết phơng trình đờng thẳng d song song với AB và tiếp xúc với (P)
c viết phơng trình đờng thẳng d1 vuông góc với AB và tiếp xúc với (P)
d chứng tỏ rằng qua điểm A chỉ có duy nhất một đờng thẳng cắt (P) tại hai điểm phân biệt C,D sao cho CD=2
Bài tập 3: Cho (P): y=x2 và hai đờng thẳng a,b lần lợt là: y= 2x-5; y=2x+m
a chứng tỏ rằng đờng thẳng a không cắt (P)
b tìm m để đờng thẳng b tiếp xúc với (P), với m tìm đợc hãy:
+ Chứng minh các đờng thẳng a,b song song với nhau
+ tìm toạ độ tiếp điểm A của (P) với b
+ Lập pt đt (d) đi qua A và có hệ số góc bằng -1/2 tìm toạ độ giao điểm của (a) và (d)
Bài tập 4 : cho hàm số y=2x2 (P) và y=3x+m (d)
a Khi m=1, tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (d)
b Tính tổng bình phơng các hoành độ giao điểm của (P) và (d) theo m
c Tìm mối quan hệ giữa các hoành độ giao điểm của (P) và (d) độc lập với m
Bài tập 5: cho hàm số y=-x2 (P) và đờng thẳng (d) đI qua N(-1;-2) có hệ số góc k
a chứng minh rằng với mọi giá trị của k thì đờng thẳng (d) luôn cắt đồ thị (P) tại hai
điểm A,B tìm k cho A,B nằm về hai phía của trục tung
b gọi (x1;y1); (x2;y2) là toạ độ của các điểm A,B, tìm k đểS=x1+y1+x2+y2 đạt GTLN
Bài tập 6: cho hàm số y=x2 (P) và y=2mx-m2+4 (d)
a.tìm hoành độ của các điểm thuộc (P) biết tung độ của chúng y=(1- 2)2
b.chứng minh rằng (P) với (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt tìm toạ độ giao điểm của chúng với giá trị nào của m thì tổng các tung độ của chúng đạt giá trị nhỏ nhất
Bài tập 7: cho hàm số y= mx-m+1 (d).
a Chứng tỏ rằng khi m thay đổi thì đt (d) luôn đi qua điểm cố định tìm điểm cố định ấy
b Tìm m để (d) cắt (P) y=x2 tại 2 điểm phân biệt A và B, sao cho AB= 3
Trang 6Chuyên đề: Ôn thi vào cấp 3
Bài tập 8 : trên hệ trục toạ độ Oxy cho các điểm M(2;1); N(5;-1/2) và đt (d) y=ax+b.
a Tìm a và b để đờng thẳng (d) đi qua các điểm M, N
b Xác định toạ độ giao điểm của đờng thẳng MN với các trục Ox, Oy
Bài tập 9: Cho hàm số y=x2 (P) và y=3x+m2 (d)
a Chứng minh với bất kỳ giá trị nào của m đt (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt
b Gọi y1, y2 là các tung độ giao điểm của (d) và (P) tìm m để có bthức y1+y2= 11y1.y2
Bài tập 9: Cho hàm số y=x2 (P)
a Vẽ đồ thị hàm số (P)
b Trên (P) lấy 2 điểm A, B có hoành độ lần lợt là 1 và 3 hãy viết phơng trình đờng thẳng AB
c Lập phơng trình đờng trung trực (d) của đoạn thẳng AB
d Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P)
Bài tập 10:
a Viết phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (P) y=2x2 tại điểm A(-1;2)
b Cho hàm số y=x2 (P) và B(3;0), tìm pt thoả mãn điều kiện tiếp xúc với (P) và đi qua B
c Cho (P) y=x2 lập phơng trình đờng thẳng đi qua A(1;0) và tiếp xúc với (P)
d Cho (P) y=x2 lập phơng trình (d) song song với đt y=2x và tiếp xúc với (P)
e Viết pt đthẳng song song với đt y=-x+2 và cắt (P) y=x2 tại điểm có hoành độ bằng (-1)
f Viết pt đthẳng vuông góc với (d) y=x+1 và cắt (P) y=x2 tại điểm có tung độ bằng 9
Bài tập 11 : Cho hệ phơng trình ( )
=
−
= +
− 7
5 3
y x
y x m
a) Giải hệ phơng trình khi m = 1
b) Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình nhận cặp số ( x= 1 ; y =- 6) làm nghiệm
c) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất Tìm nghiệm đó
Bài tập 12 : Cho hệ phơng trình
= +
=
− 3
2
ay x
y ax
a) Giải hệ phơng trình khi a = 1
b) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm đó hệ phơng trình VN
Bài tập 13 : Cho hệ phơng trình
+
= +
−
=
−
1 2
2
a y x
a y ax
a) Giải hệ phơng trình khi a = -2
b) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất, khi đó tính x ; y theo a
c) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất thoả mãn: x - y = 1
d) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất thoả mãn x và y là các số nguyên
Bài tập 14: a) Giải và biện luận hệ phơng trình:
=
−
−
=
− +
80 50 ) 4 (
16 ) 4 ( 2
y x m
y m x
(I) b) Trong trờng hợp hệ phơng trình (I) có nghiệm duy nhất hãy tìm m để x+y lớn hơn 1
Bài tập 15: Xác định a, b để hpt:
= +
=
−
1 by ax
b ay x
a Có nghiệm là x= 2 ; y= 3 b Có VSN
Chuực caực em hoùc toỏt!
Trang 7Chuyên đề: Ôn thi vào cấp 3
Một số bài tập: phơng trình bậc hai phơng trình quy về phơng trình bậc hai
Bài tập 1: Cho phơng trình: x2 - 2(3m + 2)x + 2m 2 - 3m + 5 = 0
a) Giải phơng trình với m lần lợt bằng các giá trị:
b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có một nghiệm x lần lợt bằng
c) Tìm các giá trị của m để phơng trình trên có nghiệm kép.
Bài tập 2: Cho phơng trình: x2 - 2(m + 3)x + m 2 + 3 = 0
a) Giải phơng trình với m = -1và m = 3
b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = 4
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt; Có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x 1 = x 2
Bài tập 3: Cho phơng trình : ( m + 1) x2 + 4mx + 4m - 1 = 0
a) Giải phơng trình với m = -2
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
c) Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho vô nghiệm; Có hai nghiệm thoã mãn x 1 = 2x 2
Bài tập 4: Cho phơng trình : 2x2 - 6x + (m +7) = 0
a) Giải phơng trình với m = -3
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có một nghiệm x = - 4
c) Với giá trị nào của m thì pt có hai nghiệm phân biệt; phơng trình đã cho vô nghiệm
d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x 1 = - 2x 2
Bài tập 5: Biết rằng phơng trình : x2 - (6m + 1 )x - 3m 2 + 7 m - 2 = 0 (Với m là tham số ) có một nghiệm x = 1 Tìm nghiệm còn lại
Bài tập 6: Biết rằng phơng trình : x 2 - 2(m + 1 )x + m 2 - 3m + 3 = 0 ( Với m là tham số )
có một nghiệm x = -1 Tìm nghiệm còn lại.
Bài tập 7: Cho phơng trình: x2 - mx + 2m - 3 = 0
a) Giải phơng trình với m = - 5
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép; Có hai nghiệm phân biệt
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
d)Tìm hệ thức giữa hai nghiệm của phơng trình không phụ thuộc vào m
Bài tập 8: Cho phơng trình bậc hai (m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0
a) Giải phơng trình với m = 3
b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = - 2
c) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép; Có hai nghiệm phân biệt
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
e) Khi phơng trình có một nghiệm x = -1 tìm giá trị của m và tìm nghiệm còn lại
Bài tập 9:Cho phơng trình: x2 - 2(m- 1)x + m 2 - 3m = 0
a) Giải phơng trình với m = - 2
b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = - 2 Tìm nghiệm còn lại
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x 1 và x 2 thảo mãn: x 1 + x 2 = 8
e) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x 12 + x 22
Bài tập 10: Cho phơng trình: mx2 - (m + 3)x + 2m + 1 = 0
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép; có hai nghiệm phân biệt
c) Tìm m để phơng trình có hiệu hai nghiệm bằng 2
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x 1 và x 2 không phụ thuộc m
Trang 8Chuyên đề: Ôn thi vào cấp 3
Bài tập 11: Cho phơng trình: x2 - (2a- 1)x - 4a - 3 = 0
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào a
c) Tìm giá trị nhỏ nhật của biểu thức A = x 1 + x 2
Bài tập 12: Cho phơng trình: x2 - (2m- 6)x + m -13 = 0
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x 1 x 2 - x 1 - x 2
Bài tập 13: Cho phơng trình: x2 - 2(m+4)x + m 2 - 8 = 0
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để A = x 1 + x 2 - x 1 - x 2 đạt giá trị nhỏ nhất
c) Tìm m để B = x 1 + x 2 - 3x 1 x 2 đạt giá trị lớn nhất
d) Tìm m để C = x 1 + x 2 - x 1 x 2
Bài tập 14: Cho phơng trình: ( m - 1) x2 + 2mx + m + 1 = 0
a) Giải phơng trình với m = 4
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x 1 và x 2 thoả mãn: A = x 12 x 2 + x 2 x 1
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
Bài tập 15:Cho phơng trình x2 - 2(m - 2)x + (m 2 + 2m - 3) = 0
Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x 1 , x 2 phân biệt thoả mãn 1 1 1 5 2
2 1
x x x x
+
= +
Bài tập 16: Cho phơng trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m là tham số).
a) Xác định m để các nghiệm x 1 ; x 2 của phơng trình thoả mãn x 1 + 4x 2 = 3
b) Tìm một hệ thức giữa x 1 ; x 2 mà không phụ thuộc vào m
Bài tập 17: Cho phơng trình mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm.
b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn?
c) Xác định m để các nghiệm x 1 ; x 2 của phơng trình thoả mãn: x 1 + 4x 2 = 3.
d) Tìm một hệ thức giữa x 1 , x 2 mà không phụ thuộc vào m.
Bài tập 18: Gọi x1 ; x 2 là nghiệm của phơng trình: 2x 2 + 2(m + 1)x + m 2 + 4m + 3 = 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x 1 x 2 - 2x 1 - 2x 2
Bài tập 19: a) Với giá trị nào m thì hai pt sau có ít nhất 1 nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó
x 2 - (m + 4)x + m + 5 = 0 (1) x 2 - (m + 2)x + m + 1 = 0 (2)
b) Tìm giá trị của m để nghiệm của pt (1) là nghiệm của phơng trình (2) và ngợc lại.
Bài tập 20: Gọi x1 , x 2 là các nghiệm của phơng trình: x 2 - (2m - 1)x + m – 2 = 0
Trang 9Chuyên đề: Ôn thi vào cấp 3
Tìm m để x12 + x22 có giá trị nhỏ nhất
Bài tập 21: Gọi x1 , x 2 là các nghiệm của phơng trình.
x 2 + 2(m - 2)x - 2m + 7 = 0 Tìm m để x12 +x22 có giá trị nhỏ nhất.
Bài tập 22: Cho phơng trình: x2 - m + (m - 2) 2 = 0
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = x 1 x 2 + 2x 1 + 2x 2
Bài tập 23: Cho phơng trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m là tham số) Tìm m sao cho 2 nghiệm x 1 ; x 2 của phơng trình thoả mãn 10x 1 x 2 +x12 +x22 đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị đó.
Bài tập 24: Cho phơng trình : x2 - 2(m - 1 ) x + m + 1 = 0
a) Giải phơng trình với m = 4
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
c) Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho vô nghiệm
d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x 1 = 3x 2
Bài tập 25: Cho phơng trình x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = 0 (1)
Tìm giá trị của tham số m để phơng trình có (1) có nghiệm x 1 = 2x 2
Chuực caực em hoùc toỏt!
Trang 10Chuyên đề: Ôn thi vào cấp 3
Một số bài tập: giải bài toán bằng cách lập phơng trình
Hệ phơng trình
1/ Giải bài toán bằng cách lập HPT
BÀI TOÁN VỀ SỐ - CHỮ SỐ
Bài 1 Tỡm 2 số tự nhiờn biết tổng của chỳng bằng 1006 và nếu lấy số lớn chia số
nhỏ thỡ được thương là 2 và dư là 124
( KQ:712 và 294 )
Bài 2 Tỡm 2 số biết tổng của chỳng bằng 212, nếu lấy số lớn chia số nhỏ thỡ được
thương là 5 và dư 8
( KQ: 178 và 34)
Bài 3 Tỡm hai số tổng bằng hiệu bỡnh phương của chỳng và bằng 23
( KQ: 12 và 11 )
Bài 4 Tỡm số cú hai chữ số biết chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2
và số đú gấp 7 lần tổng cỏc chữ số của nú
( KQ: 42)
Bài 5 Tỡm số tự nhiờn cú hai chữ số, tổng cỏc chữ số bằng 10,nếu đổi vị trớ hai chữ
số cho nhau thỡ số đú giảm đi 54 đơn vị
+ =
Bài 6 Tỡm số tự nhiờn cú hai chữ số , chữ số hàng cghucj lớn hơn chữ số hàng đơn
vị là 2 và nếu viết số 0 vào giữa hai chữ số thỡ số đú tăng thờm 540 đơn vị
y
x y xy
− =
( KQ: 64) Bài 7 Tỡm 1 số cú hai chữ số,biết rằng số đú chia cho tổng hai chữ số của nú thỡ
được thương là 8 khụng dư.Cũn nếu chia số đú cho số viết theo thứ tự ngược lại thỡ được thương là 2 và dư 18
2
y
( KQ: 72) Bài 8 Tìm một số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 7 lần chữ số hàng đơn vị của nó
và nếu số cần tìm chia cho tổng các chữ số của nó thì đợc thơng là 4 và số d là 3
Bài 9 Nếu tử số của một phân số đợc tăng gấp đôi và mẫu số thêm 8 thì giá trị của phân
số bằng
4
1
Nếu tử số thêm 7 và mẫu số tăng gấp 3 thì giá trị phân số bằng
24 5