Kiến thức cơ bản: Cho hàm số y = fx có đồ thị C ¾ Hệ số góc của tiếp tuyến là giá trị đạo hàm tại hòanh độ tiếp điểm... CMR không có tiếp tuyến nào của C qua điểm I–1;0.. 4.7 Viết PTTT
Trang 1§ 1 – PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
A Kiến thức cơ bản:
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C)
¾ Hệ số góc của tiếp tuyến là giá trị đạo hàm tại hòanh độ tiếp điểm. ktt = f / (x 0 )
¾ Tiếp tuyến tại điểm M(x0 ;y 0) ∈ (C): y – y 0 = f /(x 0 ).(x – x 0 )
¾ ĐIỀU KIỆN TIẾP XÚC của 2 đồ thị (C) y=f(x) và (C’) y=g(x) LÀ
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x
f x g x
=
⎧
⎩ (*) CÓ NGHIỆM
Nghiệm x của hệ (*) là hòanh độ tiếp điểm.
B Dạng toán cơ bản
1 – Tiếp tuyến tại điểm M(x 0 ; y 0) ∈ (C) y = f(x)
+ y0 = f(x0)
+ ktt = f/ (x0)
+ PTTT y – y 0 = f /(x 0 ).(x – x 0 )
2 – Tiếp tuyến có hệ số góc k tt cho trước
+ Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm.
+ Ta có ktt = f/(x0) → x0 →y0 = f(x0)
+ PTTT (d) y – y 0 = k tt.(x – x0)
+ (d) có hệ số góc ktt: y = ktt.x + m
+ ĐKTX : ( ) / . ( ) có nghiệm
tt tt
⎧⎪
⎨
=
⎪⎩
1 2
+ Giải (2) → x → thế vào (1) → m → (d)
3 – Tiếp tuyến kẻ từ (đi qua) điểm A (x A ; y A )
+ Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm.
+ Ta có ktt = f/(x0) ; y0 = f(x0)
+ PTTT (d) : y – y 0 = f /(x0).(x – x0)
+ (d) qua A → y A – y 0 = f / (x 0 ).(x A – x 0 )
→ x 0 → (d)
+ (d) qua A , có hệ số góc k: y = k.(x‐xA) + yA
+ ĐKTX : ( ) / .( ) ( ) có nghiệm
⎧⎪
⎨
=
⎪⎩
1 2
+ Thế (2) vào (1) → x → thế vào (2) → k → (d)
C Một vài kiến thức bổ sung
1 – Hệ số góc của đường thẳng AB là AB B A
k
−
=
2 ‐ Đường thẳng (d) hợp với trục hoành 1 góc ϕ → hệ số góc (d) là k d = ±tanφ
3 ‐ Đường thẳng (d) cắt trục Ox tại A và trục Oy tại B → hệ số góc (d) là d OB
k OA
4 ‐ Phương trình đường thẳng qua A(xA; yA) có hệ số góc k là : y = k(x – xA) + yA.
5 – Cho hai đường thẳng (d) y = k.x + b ; (d’) y =k’.x + b’
(d) // (d’) ⇔ k = k’ và b ≠ b’
(d) ⊥ (d’) ⇔ k.k’ = –1
Gọi α = góc (d ; d’) → tan '
'
k k α
k k
−
= +
' cos
kk α
+
= + 2 + 2
1
6 – Phương pháp chung để giải bài toán liên quan đến tiếp tuyến:
+ Gọi tiếp điểm M(m;f(m))
+ Viết PTTT tại điểm M
+ Dựa vào giả thiết tìm m
Trang 2
D Bài tập áp dụng:
Bài 1: Phương trình tiếp tuyến tại điểm
1.1) (TN‐07) Viết PTTT của (C) y x= 3−3x+2 tại điểm A(2;4)
1.3) (TN‐04) Viết PTTT của (C) y x= 3−3x2+4tại điểm có hoành độ x = 1.
1.4) (TN‐07) Viết PTTT của (C) y x
x
+
=
−
2 3 tại điểm có tung độ bằng –7
Bài 2: Phương trình tiếp tuyến có hệ số góc cho trước
2.1) (TN‐09) Viết PTTT của (C) x
y x
+
=
−
2 , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng –5
2.2) (B1‐02) Viết p.t.t.t của (C) 1 3 1 2
2
3
= + − − biết tiếp tuyến đó song song với d : y = 4x+2.
2.3) (B‐06) Viết p.t.t.t của (C) y x x
x
+ −
= +
2 , biết tiếp tuyến vuông góc với (d) y= x–1.
Bài 3: Phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước
3.1) (TN‐05) Viết PTTT của (C) y x
x
+
= +
1 , biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(–1;3) 3.2) (TN‐04) Viết PTTT của (C) y=1x3−x
3
2biết tiếp tuyến đi qua điểm A(3; 0)
3.3) (B2‐05) Cho y= ( )
1
2 2 2
C x
x x
+
+ + . CMR không có tiếp tuyến nào của (C) qua điểm I(–1;0).
E Bài tập tự luyện cơ bản:
Bài 4 :
4.1) Viết PTTT của (C) x
y x
−
= +
1 tại điểm có tung độ bằng –2
4.2) Viết PTTT của (C) ( ) x
y f x
x
+
−
2
1 tại điểm có hoành độ bằng –5
4.3) (TN‐06) Viết PTTT của (C) y x= 3−6x2+9x tại điểm có hoành độ là nghiệm của y// =0.
4.4) (TN‐07) Viết PTTT của (C) y=x4−2x2+1 tại điểm có hoành độ là nghiệm của y/
=0 4.5) (TN‐07) Viết PTTT của (C) y x
x
= + −
−
2 1
2 1tại giao điểm của (C) và trục tung
4.6) Viết PTTT của (C) y x x= ( −2)2tại giao điểm của (C) và trục hoành.
4.7) Viết PTTT của (C) tại giao điểm của(C) và đường thẳng y = 3 biết giao điểm
ấy có hoành độ âm.
y= − +x4 2x2+3
1
4.8) Viết PTTT của (C) y x= 3−3x2+3x− tại giao điểm của (C) và (d) y=3x−1
4.9) (D1‐08) Tính diện tích tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến của (C) x
y x
+
= +
1 tại
Bài 5 :
5.1) (D‐10) Viết PTTT của (C) y= − −x4 x2+6biết tiếp tuyến vuông góc với (d) y=1x− 1
5.2) (D1‐04) Viết PTTT của (C) 2 4
1
x x y
x
+ +
= + biết tiếp tuyến đó vuông góc với d : x–3y+3=0.
5.3) (TN‐07) Viết PTTT có hệ số góc lớn nhất của (C) y= − +x3 3x2−2.
5.4) (B‐04) Viết PTTT Δ của (C) 1 3 2
3
y= x − x + x biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất
5.5) (CĐĐL_06) Tìm M∈ (C) 2 3 6
1
x x y
x
+ +
= + sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với (d): y=
1
3x
Trang 36.1) (A2‐04) Viết p.t.t.t của (C) y= x+1
x, biết tiếp tuyến đi qua M(–1;7)
6.2) (CĐSPMGTW3‐06) Viết pttt của (C) y= x 3 –3x 2 +2, biết tiếp tuyến qua A(2,–7)
6.3) Cho (C) y= f(x) = x3 –4x2 +4x. Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến qua B(3;3). Tìm tiếp điểm. 6.4) (B‐08) Viết PTTT của (C)y=4x3−6x2 +1biết tiếp tuyến đi qua M(–1 ;–9)
6.5) Tìm m để đường thẳng (d) y = 8x + m tiếp xúc với (C) y= − −x4 2x2+3
6.6) (D‐2000)Cho (Cm) y= x3 –3x2 +3mx +3m +4. Tìm m để (Cm) tiếp xúc với trục hoành.
F Bài tập tự luyện nâng cao:
1) D‐05) Gọi M∈(Cm) 1 3 2
m
y= x − x +1
3 có hòanh độ bằng –1. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại M song
song với đường thẳng (D): 5x–y=0. ĐS : m = 4
2) A1‐08) Tìm m để tiếp tuyến của (C) y=x3+3mx2+(m+1)x+1tại điểm có hoành độ x = –1 đi qua
8
3) Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) y x= 3−3x2+m tại điểm có hoành độ bằng 1 tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 3
4) Tìm a,b biết (C) 2
1
y x
−
= − đi qua A(–1 ; 5
2) và tiếp tuyến của (C) tại O(0 ;0) có hệ số góc bằng –3.
ĐS : a= –2 ; b= –3
5) D‐2007) Cho 2
1
x y x
= + (C). Tìm M ∈ (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt Ox, Oy tại A, B và ΔOAB có diện tích bằng 1
1
2; –2)
6) Tìm các điểm M∈ (C) y = 2
2
x x
−
− 3 sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2 tiệm cận tại 2 điểm A, B sao cho AB ngắn nhất. ĐS : M(1; 1), M(3; 3))
7) Tìm m để tại giao điểm của (C)
2
(3m 1)x m m y
x m
+ − +
=
+ với Ox, tiếp tuyến song song với (d) y= x–10
5
m= − m= −
8) Gọi M ∈ (C) 1
1
x y x
+
=
− ; tiếp tuyến (Δ) của (C) tại M cắt hai tiệm cận tại A, B
a) Chứng minh M là trung điểm của AB.
b) Δ IAB có diện tích không đổi (I là giao điểm hai tiệm cận)
c) *Tìm M sao cho chu vi Δ IAB nhỏ nhất. ĐS: M(1 ± 2;1 ± 2)
9) Viết PTTT (d) của (C) x
y x
−
=
−
2 1
1
biết (d) cắt trục hoành tại A và trục tung tại B sao cho OA=4OB.
ĐS : x+4y–5=0 ; x+4y–15=0
10) Gọi (d) là tiếp tuyến của (Cm) ( m )x m
y
m x
m
=
−
2
tại giao điểm của (Cm) và trục hoành. Tìm m
để (d) tạo với trục hoành một góc 450. ĐS : m= 1;m=1
5
11) D2‐07) Viết PTTT (d) của (C)
1
x y x
=
− sao cho d tạo với trục Ox một góc 45
0
. ĐS: y= –x; y= –x+4)
12) A‐09) Viết PTTT (d) của (C) y x
x
+
= + 2
2 3biết tiếp tuyến (d) tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân.
Trang 4ĐS: y = –x +2 13) B2‐03) Cho hàm số y=2
1
1
x x
−
− (C). Gọi I (1; 2). Tìm M ∈ (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại điểm M
vuông góc với IM. ĐS : M(0; 1); M(2, 3)
14) Tìm m ≠ –1 để đồ thị (Cm) y= 2
1
x
+
− tiếp xúc với đường thẳng y = –x+7. ĐS :m=1
15) D‐02) Tìm m để (Cm) ( m )x m
y
x
=
−
2
1 tiếp xúc với đường thẳng y = x. ĐS : m ≠ 1
16) D1‐05) Tìm m để (Cm) y= –x 3 +(2m+1)x 2 –m–1 tiếp xúc với (d) y= 2mx–m–1. ĐS : m=0 ; m=1/2
17) A2‐08) Tìm m để y = mx –9 tiếp xúc với (C) y x= 4−8x2+7 ĐS : m=0
18) Gọi A, B là hai điểm thuộc (C)
1
y
x
=
−
2 có hoành độ x
A, xB thỏa xB A+ xB B =2. CMR tiếp tuyến của (C) tại A và B song song nhau.
19) Tìm m để y = 2x +m cắt (C) y = 1
1
x x
+
− tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B
20) Cho (Cm) y=x3−(m+1)x2+(m−1)x+1. CMR với mọi m khác 0, (Cm) luôn cắt trục hoành tại 3
điểm phân biệt A, B, C trong đó B, C có hoành độ phụ thuộc m. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại B
21) * Tìm 2 điểm A, B∈ (C) y = x3 –3x2 +1 sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song nhau và
AB=4 2 ĐS: (3; 1), (–1; –3)
22) Tìm a để từ A(0; a) kẻ được 2 tiếp tuyến tới (C) y = 2
1
x x
+
− sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2
3 a
− < ≠
23) HSG Thanh Hóa) * Với mỗi điểm M∈ (C) y = x3 –3x2 +2 kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với (C)?
ĐS: M(a; a 3 –3a 2 +2) → a = 1: 1 tiếp tuyến; a ≠ 1: 2 tiếp tuyến
24) Tìm m để (Cm)y x2 mx 8
x m
=
a) CMR nếu (Cm) cắt Ox tại điểm có h.đ xo thì tiếp tuyến tại điểm đó có hệ số góc k = 2 o
o
+
b) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tt của (Cm) tại A và tại B vuông góc
25) Tìm k để (d) y = k cắt (C) y = x –2 + 1x. tại 2 điểm A, B mà tại đó 2 tiếp tuyến với (C) vuông góc
26) Tìm m để (C) cắt y =1 tại 3 điểm A(0 ;1), B, C sao cho tiếp tuyến của (C) tại B
y=x3+3x2+mx+1
m=9 ± 65
8
27) Tìm m để đt (d) qua M (3 ;4) có hệ số góc m cắt (C) y x= 3−3x2+4tại 3 điểm M, A, B sao cho tiếp tuyến tại A và B vuông góc nhau. ĐS : m=18 3 35±
28) Tìm m để 2 tiếp tuyến của (Cm) 2
1
y x
= − kẻ từ O(0;0) vuông góc nhau. ĐS : m= 2 ± 3
29) Tìm M ∈ (C) y x
x
−
= +
2 1
1 sao cho khoảng cách từ I(–1 ;2) đến tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất.
ĐS : M(− ± 1 3 2 ; ∓ 3)
30) Viết PTTT của (C) x
y x
=
−1biết khoảng cách từ tâm đối xứng của (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất.
ĐS : y = –x ; y = –x +4