Từ đó suy ra điều kiện của m.. + vận dụng kiến thức tam thức bậc hai... HỒ LỘC THUẬN 3 – Dạng 3 : Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh bất đẳng thức ta thực
Trang 1BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 – LTĐH 2012 1 ThS. HỒ LỘC THUẬN
§2. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
A – Kiến thức cơ bản :
Hàm số y= f(x) đồng biến ↑ (tăng) trên khoảng K ⊂ tập xác định D
⇔ ∀ x1 < x2 (x1; x2 ∈ K) ⇒ y1= f(x1) < y2 = f(x2)
⇔
/ / /
y = f (x) 0 , x K
f ( )x 0
⎪
⎨
=
⎪⎩ chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K
Hàm số y= f(x) nghịch biến
x
/
f (x)
f (x)
a
+
b
↓ (giảm) trên khoảng K ⊂ tập xác định D
⇔ ∀ x1 < x2 (x1; x2 ∈ K) ⇒ y1= f(x1) > y2 = f(x2)
/ / /
y = f (x) 0 , x K
f ( )x 0
⎪
⎨
=
⎪⎩ chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K
x
f/ (x)
f (x)
a
–
b
# Chú ý:
b1
ax b y
cx d
+
+ ) thì khơng cĩ dấu “ = ”
• Xét tính đơn điệu của một hàm số chính là xét dấu của đạo hàm của hàm số đĩ.
• Nếu khoảng K được thay bằng đoạn hay nửa khoảng thì f phải liên tục trên đĩ
B – Nhắc lại kiến thức về tam thức bậc 2 : ( )g x =ax2+bx c+ (a ≠ 0)
1) Định lí về dấu của tam thức bậc hai :
• Nếu Δ < 0 thì g(x) vơ nghiệm và g(x) luơn cùng dấu với a.
• Nếu Δ = 0 thì g(x) cĩ nghiệm kép x = 2− b a và g(x) luơn cùng dấu với a (trừ x = 2− b a )
• Nếu Δ > 0 thì g(x) cĩ hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 và
trong khoảng hai nghiệm thì g(x) trái dấu với a, ngồi khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.
2) Định lý Viét :
• Nếu x1 và x2 là 2 nghiệm của tam thức thì
b
a c
P x x
a
−
⎧ = + =
⎪⎪
⎨
⎪⎩
1 2
1 2
• x2+x2 =S2− P x; 3+x3=S3− PS; (x −x )2=S2− P;
3) So sánh các nghiệm x 1 , x 2 của tam thức bậc hai với số 0:
0
0
S
⎧ >
⎪
< < ⇔⎨ >
⎪ <
⎩
Δ
0
0
S
⎧ >
⎪
< < ⇔⎨ >
⎪ >
⎩
Δ
• x1< <0 x2 ⇔ < P 0
4) Tam thức khơng đổi dấu trên \:
≥ ∀ ∈ ⇔ ⎨ ≤⎩ 0
≤ ∀ ∈ ⇔ ⎨ ≤⎩ 0
Chú ý: Nếu hệ số a chứa tham số ta phải xét thêm trường hợp a = 0
Trang 2
1 – Dạng 1 : Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.
¾ b1: Tìm miền xác định D
¾ b2: Tính đạo hàm
¾ b3: Tìm nghiệm của đạo hàm và các điểm x0 ∈ MXĐ, nhưng đạo hàm tại xo KXĐ (điểm tới hạn )
¾ b4: Lập bảng biến thiên
¾ b5: Kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến
Ví dụ 1.1 : Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau
a) y = x3 –2x2 + x–2 b) y= − −x4 2x2+3 c) 2 1
5
x y
x −
y
x
=
−
2 3 1
3
= + +
2 2
1
3
2
f) y = x+ 4 −x2 h) y=x −x2
2 i) y= x + 2cosx , x∈(0; π)
Ví dụ 1.2 : Chứng minh hàm số đơn điệu trên K
3
f x = x − x + x+ đồng biến trên \
b) f(x) = –x3 +(m+1)x2 –(m2 +2) x +m (m là tham số) nghịch biến trong toàn miền xác định. c) f x( ) x mx
x m
=
−
(m là tham số) đồng biến trên từng khoảng xác định
d) f(x) = cosx – x nghịch biến trong đoạn [0; 2π]
e) f(x) = sinx –x nghịch biến trên \
2 – Dạng 2 : Tìm m để hàm số đồng biến (hay nghịch biến) trên miền K.
Cho hàm số y f x m= ( , ), m là tham số, có tập xác định D ; K ⊂ D
• Hàm số f đồng biến trên K ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈ K.
• Hàm số f nghịch biến trên K ⇔ y′ ≤ 0, ∀x ∈ K.
Từ đó suy ra điều kiện của m.
Chú ý:
+ y′ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm.
+ vận dụng kiến thức tam thức bậc hai.
Ví dụ 2.1 : Tìm m để hàm số
a) y = x3 –3mx2 +(m+2) x –m đồng biến trên \ ( 2 1
3 m
− ≤ ≤ )
b) y = – x3 +3mx2 +3(1–2m)x –1 nghịch biến trên \ (m = 1)
c) y = 2mx m 10
x m
− + + nghịch biến trên từng khoảng xác định (− < <25 m 2)
2
y
x
=
9 8
Ví dụ 2.2 : Tìm m để hàm số
a) y mx 3m 4
x m
=
− đồng biến trên khoảng (2, +∞). (–1< m ≤ 2) b) y = 13x 3 +mx 2 –mx +1 đồng biến trên (–∞; 0) (m ≤
4
0) c) y= − −x3 3x2 +mx+ nghịch biến trên (0; +∞) (m ≤ 0)
d) y = x 3 + 3x 2 +mx+m nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 1. ( 9
4
m= )
Trang 3BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 – LTĐH 2012 3 ThS. HỒ LỘC THUẬN
3 – Dạng 3 : Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức
Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:
• Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <, ≥, ≤ ). Xét hàm số y = f(x) trên tập xác định do
đề bài chỉ định.
• Xét dấu f′ (x). Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến.
• Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để kết luận.
Chú ý:
1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f′ (x) thì ta đặt h(x) = f′ (x) và quay lại tiếp tục xét dấu h′ (x) … cho đến khi nào xét dấu được thì thôi.
2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f(a) < f(b) ; f(a) > f(b) Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong đoạn [a; b].
Ví dụ 3.1 : Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) Sinx < x, ∀x > 0 và sinx > x, ∀x < 0 b) cos 1 2,
2
x
Ví dụ 3.2 : Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) α –tan α > β –tan β (0< α < β < π
2) b) acosa –bcosb >sina –sinb (0 < a < b < π)
4 – Dạng 4 : Ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình, hệ phương trình
Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau:
• Chọn được nghiệm x 0 của phương trình.
• Xét các hàm số y = f(x) (C 1 ) và y = g(x) (C 2 ). Ta cần chứng minh một hàm số đồng biến và một hàm số nghịch biến. Khi đó (C 1 ) và (C 2 ) giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ x 0
Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*).
Chú ý:
1) Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng.
2) Nếu f u( )=f v( ) mà f x( ) đồng biến (hay nghịch biến) trên K ; u, v ∈ K thì u = v
Ví dụ 4.1 : Giải các phương trình sau :
a) x+ x− = 5 5 b) x2+ =15 3 2x− + x2+8
5 7 1 d) x3+3x2+4x+ =2 (3x+2 3) x+1
Ví dụ 4.2 : Giải các hệ phương trình sau :
⎪
= + + −
⎨
⎪ = + + −
⎩
3 2
3 2
3 2
2 2 2
,
x y
π
⎧
⎪
⎨
⎪
⎪− < <
⎪⎩
5
4
Ví dụ 4.3 : Giải các bất phương trình sau :
a) x2 + x+2 x2+7x<45 b) ( x+ +6 x+2)( 2x− − ≤1 3) 4
D – Bài tập tự luyện
Bài 1 : Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số
1.1) y = x3 + x2 + x–2
1.2) y = 1 4 2 2 1
4x − x −
1.3) y= –6x4 +8x3 –3x2 –1
1.4) 2 1
5
x y
x −
1.5) 2 2 2
2
y
x+ +
=
Trang 41.14) y = 1
3
x x
1.6) 22 1
4
x y
x
−
=
1.7) y 2x2 1
x
−
1 −x
1.16) sin 2 , (0 )
2
x
1.8) 23
1
x y
x
=
1.9) y x= + + 3 2 2 −x
1.10) y= 2x− − 1 3− x
3 2
y= − x − x
1.12) y = x− 16 −x2
1.13) 2
20
y= x − −x
<π
1.17) y = x + 2 cosx , x ∈ (0; π)
1.18) y = cosx (1+ sinx) , x ∈ (0; 2π)
1.19) y = 3 tan , (0 )
4 x x− < <x π2
1.20) y = 4 tan ; [0; ]
4
Bài 2 : Chứng minh hàm số đơn điệu trên K
2.1) f x( )= −1x3+ x2− x+
3 1 nghịch biến trên miền xác định.
2.2) f x( ) x x
x
= +
2 2 3
1 đồng biến trên từng khoảng xác định
2.3) f(x) = x 3 +(m+1)x 2 + (m 2 +2) x +m (m là tham số) đồng biến trong toàn miền xác định.
2.4) f(x) (k 1)x 2
x k
= + (k là tham số) đồng biến trên từng khoảng xác định.
2.5) f(x)=2x2 3ax a 1
a x
− (a là tham số) nghịch trên từng khoảng xác định.
2.6) f(x) = –x 5 + x 3 –x luôn nghịch biến trên \
2.7) f(x) = x 3 +x –cosx –4 đồng biến trên \
2.8) f(x) = sinx + tanx –2x đồng biến trên 0; )
2 π
⎡
2.9) f(x) = cosx +cotx +2x nghịch biến trong (0; ]
2
π
2.10) f(x) = cos2x –2x +3 nghịch biến trên \
Bài 3 : Tìm tham số m để hàm số
3.1) y = – x 3 +3mx 2 –(1+2m)x –1 nghịch biến trên \
3.2)
3
2
3
x
y= + m− x + m+ x− đồng biến trên \
3.3)
2 3 2
x m
x y
x
− +
−
=
3.4)
2
1
x
=
+ đồng biến trên từng khoảng xác định
3.5) mx 4
y
x m
+
=
+ nghịch biến trong (−∞ ;1]
3.6) x m
y
x m
+
=
− đồng biến trong khoảng ( 1; − +∞ )
3.7) y= 2x3 − 3 2 ( m+ 1 )x2 + 6m m( + 1 )x+ 1 đồng biến trong khỏang (2; +∞).
3.8) y= 1x3 − 1mx2 + mx− m+
3.9) y= − +x3 3 (m− 1 )x2 + 3 (m+ 3 )x− 12 đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng 4.
3.10) y = mx 3 + 3(1–m)x 2 +3mx–4 nghịch biến trên (–∞, 0).
3.11) 1( 2 2 ) 3 2 2 1
3
y = m + m x +mx + x+ đồng biến trên \
Trang 5BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 – LTĐH 2012 5 ThS. HỒ LỘC THUẬN Bài 4 : Chứng minh bất đẳng thức
4.1) 1 2 1 1 (
+ − < + < + ∀ > 0)
4.2) tanx > x với 0 < x <
2
π
4.3) tanx > sinx với 0 < x <
2
π
4.4) sinx + tan x > 2x ,∀ x ∈ (0;
2
π )
4.5) x.sinx+cosx > 1 với 0 < x <
2
π
4.6)
x x
x x
≥ +
2 2 2
2
với 0 ≤ x ≤
2
π
4.7)
2
2
x
x> − ∀x ≠ 0
4.8) sinx > x –
3
6
x ,∀x > 0 và sinx < x – 3
6
x
,∀x < 0
4.9) αsinα–βsinβ > 2(cosβ–cosα) với 0< α< β <
2
π
4.10) tan
tanα < α
β β với 0 < α < β <
2
π
Bài 5 : Giải các phương trình – bất phương trình – hệ phương trình
5.1) x+ x− + 4 x+ + 7 x+16 14 =
5.2) x5 +x3 − 1 3 − x+ =4 0
5.3) 3x2 + − 2 3 2x3 − 3x+ = 1 2x3 −x2 − 3x−1
5.4) (x− 5 ) 3 − 5 2 3 x− + 9 3x−16 0 =
5.5) 2x+ x+ x+ + 7 2 x2 + 7x<35
x
−
5
5.7)
,
x y
π
⎧
⎨
⎪
> >
⎪⎩
5
y
5.8)
⎪⎪
⎨⎪
⎪⎩
5.9)
y x
x z y
y x z
z
1 1
1 1
1 1
⎪⎪
⎪⎪
⎨⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎩
5.10)
2
2 2
⎪⎪
Trang 6