Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn đã cho kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến d1 và d2 lần lượt tại C và D.. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau ở N.
Trang 1Năm học 2003 − 2004
Bài 1 (1,5 điểm): Cho biểu thức M x 1 x 1 : 2x
x 1 x 1 5x 5
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức M xác định
b) Rút gọn M
HD: a) ĐK: x ≠ 0 và x ≠ ±1; b)
2 2
(x 1) (x 1) 5(x 1) 4x.5(x 1) 10
(x 1)(x 1) 2x (x 1)(x 1).2x x 1
Bài 2 (1,5 điểm): Cho phương trình x2 − 4x + k = 0
a) Giải phương trình với k = 3
b) Tìm tất cả các số nguyên dương k để phương trình có hai nghiệm phân biệt
HD: b) Δ’ = 4 – k > 0 và k nguyên dương ⇔ k ∈ {1; 2; 3}
Bài 3 (2 điểm): Một hội trường có 300 ghế được xếp thành từng dãy Nếu thêm vào
mỗi dãy 2 ghế nữa và bớt đi 3 dãy thì hội trường chỉ còn 289 ghế Hỏi hội trường lúc đầu có bao nhiêu dãy ghế?
HD: Gọi số dãy ghế lúc đầu là x dãy (x∈ N*, x > 3), số dãy ghế sau đố là x – 3 dãy
Số ghế trên một dãy lần lượt là 300
x ghế và
289
x 3− ghế
Ta có pt 289 300 2
x 3− x =
− 2x 2 + 5x – 900 = 0 => x 1 = - 22,5(loại) ; x 2 = 20 (t/m)
Bài 4 (4 điểm): Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Từ A và B kẻ hai tiếp
tuyến d1 (Ax) và d2 (By) Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn đã cho kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến d1 và d2 lần lượt tại C và D Các đường thẳng AD và BC cắt nhau ở N Chứng minh rằng:
a) Tứ giác OACM là tứ giác nội tiếp
b) CD = AC + BD
c) MN // AC
d) CD.MN = CM.DB
HD: a) Dễ thấy: M, A thuộc đường tròn đường kính CO
b) CD = CM + MD = AC + BD (Vì AC = CM và BD = DM)
c) AC // BD ⇒ ACBD = ANND hay: CM AN
MD = ND ⇒ MN // AC d) MN // BD ⇒ MNBD = CMCD ⇒ CD.MN = CM.DB
Bài 5 (1 điểm): Chứng minh rằng nếu số có dạng xyz mà chia hết cho 37 thì các số hạng có dạng yzx cũng chia hết cho 37
Giải: Ta có: xyz 11.yzx + = 100x + 10y + z + 1100y + 110z + 11x
= 111x + 1110y + 111z = 111(x + 10y + z) M 37 Suy ra: Vì xyz M 37 nên: yzx M 37
………
y
x
D' N
C
D
O
M