Bất Đẳng Thức

ĐẲNG THỨC – BẤT ĐẲNG THỨC .I... 2 Trước hết Cm các mẫu thức đều dương.

ĐẲNG THỨC – BẤT ĐẲNG THỨC

I ĐẲNG THỨC :

Bài 1 : Cho x + y + z = 0

Chứng minh : x3 + y z y2 + 3 +x z xyz2 − = 0

Hướng dẫn :

Vế trái : x3 + y3 +x z y z xyz2 + 2 − = +x3 y3 +z x( 2 +y2 −xy)

hay :

(x y x+ ) ( 2 +y2 −xy) (+z x2 + y2 −xy) (= x2 +y2 −xy x y z) ( + + )

=(x2 +y2 −xy) ( )0 = 0

Bài 2 : Cho x + y + z = 0

Chứng minh : 2 12 2 2 12 2 2 12 2 0

x y z +x z y + y z x =

Hướng dẫn :

Từ giả thiết : x + y + z = 0 ⇒ x + y = - z

Bình phương 2 vế :( ) ( )2 2

x y+ = −z ⇔ x2 + 2xy y+ 2 =z2 hay x2 +y2 − = −z2 2xy (1) Tương tự cho : x2 + −z2 y2 (2) và y2 + −z2 x2 (3)

Bài 3 : Cho xyz = 1

Chứng minh : 1

xy x + yz y + xz z =

Hướng dẫn :

Từ giả thiết : xyz = 1 ⇒ x 1

yz

= thay vào vế trái

Bài 4 : Cho ba số x , y , z đôi một khác nhau và x y z 0

y z + z x+ x y =

Chứng minh : ( x ) (2 y ) (2 z )2 0

y z + z x + x y =

Hướng dẫn :

+ Từ gt : x y z 0

y z +z x+ x y =

⇒ x y z

y z = x z − x y

− − − (1) , nhân hai vế (1) với :

1

y z−

+ y x z ( )2

z x = z y − x y

− − − , nhân hai vế (2) với :

1

z x−

+ z y x

x y = x z − y z

− − − (3) , nhân hai vế (3) với :

1

x y−

Cộng vế theo vế của (1) , (2) ,(3) ta được đpcm

Bài 5 : Cho xy≠ 0 và x + y = 1

Chứng minh : ( )

xy

−

Hướng dẫn : Từ gt : x + y = 1 ⇒ x = 1 – y thay vào vế trái được đpcm

Bài 6 : Cho x , y , z đôi một khác nhau

Chứng minh : (z x z y x y) ( ) (x y x z y z) ( ) (y z y x z x) ( ) x y2 y z2 z x2

Hướng dẫn :

Biến đổi : (z x z y x y) ( ) ( (z y z x z y) ( ) ( z x) ) z x1 z y1

+ Biến đổi tương tự ta được (2) và (3)

+ cộng vế theo vế của (1) , (2) và (3) ta được đpcm

Bài 7 :

Cho a + b + c + d = 0

Chứng minh : a3 + + =b3 c3 3(b d ac bd+ ) ( − )

Hướng dẫn :

+ Từ gt : a + b + c + d = 0 ⇒ a + b = - ( c + d ) (1)

+ Lập phương cả hai vế của (1) và biến đổi , ta được đpcm

Bài 8 :

Cho 1 1 1 0

a b c+ + = và a , b , c đôi một khác 0

Chứng minh : b c c a a b 3

Hướng dẫn :

Từ giả thiết : 1 1 1 0

a b c+ + = ⇒ 1 1 1

b c a

− + = ……

Bài 9 :

Cho a , b , c là các số thực dương thỏa mãn đk : 2 2 2 ( ) (2 ) (2 )2

a ) Tính a + b + c biết rằng ab + bc + ca = 9

Hướng dẫn :

+ Từ 2 2 2 ( ) (2 ) (2 )2

a + + =b c a b− + −b c + −c a ⇒ a2 + + =b2 c2 2(ab bc ca+ + )

+ mà ( )2 2 2 2 ( )

2

a b c+ + =a + + +b c ab bc ca+ + ⇒ đpcm

Bài 10 :

Cho x , y , z là các số dương thỏa mãn : xy + yz + xz = 1

1 ) Chứng minh rằng : 1 x+ 2 =(x y x z+ ) ( + )

2 ) Tính giá trị biểu thức :

( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2)

Hướng dẫn :

+ Biến đổi vế phải : (x y x z+ ) ( + =) x2 +(xy yz xz+ + ) = + 1 x2

+ Biến đổi tương tự cho ( x + y )( y + z ) và ( y + z )( z + x )

+ Thay vào tính P

II BẤT ĐẲNG THỨC :

Bài 1 : Cho ba số dương a , b , c thỏa mãn 2 2 2 5

3

Chứng minh rằng 1 1 1 1

a b c+ − < abc

Hướng dẫn :

+ Từ : ( )2 2 2 2 ( )

a b c+ − ≥ ⇒a + + +b c ab bc ca− − ≥

+ kết hợp giả thiết : 2 2 2 5

3

a + + =b c ( lưu ý : 5 1

6 < ) + Chia 2 vế cho abc ta được đpcm

Bài 2 : Cho a1 <a2 <a3 và b1 < <b2 b3

Chứng minh rằng : a b1 2 +a b2 3 +a b3 1 <a b1 1 +a b2 2 +a b3 3

Hướng dẫn :

+ Từ giả thiết ta có : a1 − <a2 0 , a2 − <a3 0 , b2 − >b1 0 , b3 − >b2 0

+ Tính : (a1 −a2) (b2 −b1) (+ a2 −a3) (b3 −b2) < 0 ⇒ đpcm

Bài 3 : Chứng minh rằng với 4 số a , b , c , d tùy ý ta có :

a2 + + +b2 c2 d2 ≥ab ac ad+ +

Hướng dẫn :

+ Từ BĐT : ( )2 ( )2 ( )2

a− b ≥ , a− c ≥ , a− d ≥ và a2 ≥ 0

+ Cộng các BĐT suy ra đpcm

Bài 4 : Cho abc= 1 , a3 > 36 Chứng minh rằng :

2

2 2

3

a

b c ab bc ca

Hướng dẫn : + Cm : 2 2 2 0

3

a

b c ab bc ca

+ bằng cách viết :

2 2

a a

b bc c ab ac bc

( 2 ( 2 2 2) ( ) 2 3

2

12

a bc

− > ( kết hợp gt ) )

1 Bất đẳng thức cô si ( cau chy )

+ Với hai số a , b không âm thì :

2

a b

ab

+ ≥

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

+ Với ba số a , b , c không âm thì : 3

3

a b c

abc

+ + ≥

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

2 Bất đẳng thức Bu nhia kovski :

Cho 2n số thực a ,a , ,a ; b ,b , ,b1 2 n 1 2 n

Khi đó : ( )2 ( 2 2) ( 2 2)

a b + a b+ ≤ a + a+ b + b+

Dấu đẳng thức xảy ra 1 2

1 2

a a

b b

Bài 5 : Cho x > y , xy = 1 Chứng minh rằng :

( )

( )

2

2 2

2 8

x y

x y

+

≥

−

Hướng dẫn :

+ Đặt x2 =a , y2 =b ⇒ab= 1, a≥ 0, b≥ 0 ⇒ + ≥a b 2 ab = 2 ⇒ + − ≥a b 2 0

Nhưng do x > y nên a + b -2 > 0

+ Thay các giá trị vào b.thức và cm : ( )

( )

2

2 2

2 8 0

x y

x y

+

− ≥

−

( )

2

8

x y

Bài 6 :

a ) Cho a≥ 1, b≥ 1 Chứng minh : a b− +1 b a− ≤1 ab

b ) Cho ba số a , b , c đôi một khác nhau Chứng minh :

( )

( ) ( ( ) ) ( ( ) )

Hướng dẫn :

a ) BĐT cần cm tương đương với : b 1 a 1 1

− + − ≤ ( vì a≥1, b≥1 )

bằng cách cm : 1 1 1 1

,

− ≤ − ≤ bằng phép biến đổi tđ hoặc BĐT cô si

cho hai số không âm : ( 1) 1 2 1 1 1

2

a

a

−

b ) + Đặt : x a b , y b c , z c a

− − − dễ dàng cm được :

( x + 1 )( y + 1 )( z + 1 ) = ( x – 1 )( y – 1 )( z – 1 )

+ Khai triển và rút gọn lại : xy + yz + zx = -1

+ Từ : ( )2

0

x y z+ + ≥ biến đổi suy ra đpcm Bài 7 :

a ) Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện :

x 1 −y2 +y 1 −x2 = 1 (1)

Chứng minh rằng : x2 + y2 = 1 (2)

b ) Từ đẳng thức (2) có thể suy ra đẳng thức (1) được hay không ? giải thích

Hướng dẫn :

a ) BĐT BuNhia :( )2 ( 2 2) ( 2 2)

1 1 2 2 1 2 1 2

a b +a b ≤ a +a b +b dấu đẳng thức xảy ra 1 2

1 2

a a

b b

dấu đẳng thức xảy ra

2 2

1 1

y y

−

− biến đổi suy ra đpcm

b ) từ (2) suy ra (1) không được chẳng hạn : chọn ( x ; y ) = ( 0 ; -1 ) hoặc ( -1 ; 0 )

Bài 8 :

Cho các số thực a , b , c thỏa mãn cả 3 điều kiện :

0 0 0

a b c

ab bc ca abc

+ + >



 + + >



 >



Chứng minh rằng cả ba số a , b , c đều là số dương

Hướng dẫn :

Vì abc > 0 nên trong ba số a , b , c phải có ít nhất là một số dương ( giả sử ngược lại cả

ba số đều âm ⇒ abc < 0 vô lý )

Không mất tính tổng quát , ta giả sử a > 0

Mà : abc > 0 ⇒ bc > 0

Nếu : b < 0 , c < 0 ⇒ b + c < 0

Từ : a + b + c > 0 ⇒ b + c > - a ⇒ ( )2 ( )

b c+ < −a b c+

⇒ b2 + 2bc c+ < − − 2 ab ac

⇒ ab bc ca+ + < − − −b2 bc c2

⇒ ab + bc + ca < 0 , vô lý ; trái với giả thiết : ab + bc + ca > 0

Vậy : b > 0 , c > 0 ⇒ đpcm

Bài 9 :

1 ) Cho x , y dương Chứng minh rằng : 1 1 4

x+ ≥y x y

+

Dấu đẳng thức xảy ra lúc nào ?

2 ) Trong tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c ( a , b , c là độ dài ba cạnh )

Chứng minh rằng : 1 1 1 2 1 1 1

p a p b p c a b c

Dấu bằng trong bất đẳng thức xảy ra lúc tam giác ABC có đặc điểm gì ?

Hướng dẫn :

1 ) Dùng BĐT cô si cho x , y (1) , 1 1

x+ y (2) nhân vế theo vế (1) và (2)

2 ) Trước hết Cm các mẫu thức đều dương

a b c b c a

p a− = + + − =a + − >

( tổng độ dài 2 cạnh > cạnh thứ 3 ) + Áp dụng câu 1 cho : 1 1 ; 1 1 ; 1 1

p a+ p b p b+ p c p c+ p a

Bài 10 : Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a , b , c , chu vi là 2p

Chứng minh : abc8 ≥( p a p b p c− ) ( − ) ( − )

Cô si : ( p a− +) ( p b− ≥) 2 ( p a p b− ) ( − ) ⇒ c≥ 2 ( p a p b− ) ( − ) ( 1 )……

Bài 11 :

Cho x , y , z là các số thực thỏa mãn điều kiện : 2 2 25

9

x y z

x y z

+ + =



 + + =



Chứng minh rằng : 1 7

3

x, y,z

Hướng dẫn :

+ Tạo giả thiết : Từ : x + y + z = 5 ( ) (2 )2

+ Từ BĐT sẵn có : ( 2 2) ( )2

2 y +z ≥ y z+ (2) , thế (1) vào (2) + giải bpt ta được : 1 7

3

x

≤ ≤ chứng minh tương tự ta được y , z Bài 12 :

1 ) Chứng minh rằng : với x > 1 ta có : 2

1

x

x ≥

−

2 ) Cho a > 1 , b > 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

E

Hướng dẫn :

1 ) Cách 1 : + Biến đổi từ x > 1 ⇒ x− >1 0 và cm : 2 0

1

x

x − ≥

−

+ Bằng cách 2 2 1

1

x

Cách 2 : sử dụng BĐT cô si cho 2 số ( x – 1 ) và 1 : x=(x− + 1) 1

2 ) Áp dụng câu 1 và ( cô si ) :

2 2 2 2 2 2

Bài 13 :

Chứng minh bất đẳng thức sau đây đúng với x , y là các số thực bất kỳ

Khác không :

2 2

2 2 4 3

  (1)

Hướng dẫn :

(1)

2 2

 

Đặt : a x y a x y x y 2

= + ⇒ = + = + ≥ ( cô si ) ⇒ a≥ 2 hoặc a≤ − 2

Và

2 2

2

x y

a

y + x = − , (1) ⇔ a2 − 3a+ ≥ 2 0 ( lập luận thêm )

Bài 14 :

Cho a , b , c là các số thuộc đoạn [− 1 2; ] thỏa mãn : a + b + c = 0

Chứng minh : a2 + + ≤b2 c2 6

Hướng dẫn :

Ta có : − ≤ 1 a,b,c≤ 2 ⇒ a+ ≥ 1 0 và a− ≤ 2 0 Tính : ( a + 1 )( a – 2 ) ……

Bài 15 :

Chứng minh các bất đẳng thức :

a ) a4 + ≥b4 a b ab3 + 3 với mọi a , b

b ) 2 2 1

2

a + ≥b với a b+ ≥ 1

c ) a2 + + ≥b2 c2 ab bc ca+ +

d ) a2 + + ≥b2 1 ab a b+ + với mọi số thực a , b

Hướng dẫn :

a ) Cm : (a4 −a b3 ) (+ b4 −ab3) ≥ 0

b ) Từ a b+ ≥ 1 ⇒ ( )2 2 2

a b+ ≥ ⇒a + ab b+ ≥ (1)

mà : ( )2

0

a b− ≥ ⇒ a2 − 2ab b+ ≥ 2 0 (2) , cộng vế theo vế (1) và (2)

c ) nhân 2 vế BĐT cần Cm cho 2 và biến đổi ⇒ đpcm

d ) cách làm tương tự câu c )

Bài 16 :

Cho a , b , c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh :

a2 + + <b2 c2 2(ab bc ca+ + )

Hướng dẫn :

Sử dụng BĐT về cạnh : a b c< + ⇒ a2 <a b c( + =) ab ac+ (1) …

Bài 17 :

Với a > 0 , b > 0 Chứng minh bất đẳng thức : a a b b

b − ≥ − a

Hướng dẫn :

Dùng phép biến đổi tương đương :

a a b b

b − ≥ − a ⇔ (a a b b+ ) − ab( a+ b) ≥ 0

Bài 18 :

Cho ba số thực bất kỳ x , y , z

a ) Chứng minh : ( ) (2 ) (2 )2 ( 2 2 2)

3

x y− + y z− + −z x ≤ x +y +z

Hướng dẫn :

a ) với mọi x , y , z ta có :

( )2 2 2 2

x y z+ + ≥ ⇒ x +y + +z xy+ yz+ zx≥

2 2 2

= ( ) (2 ) (2 )2

x y− + y z− + −z x

Bài 19 :

Cho ba số dương x , y , z thỏa mãn điều kiện : x2 = y2 +z2

a ) Chứng minh rằng : x3 − − =y3 z3 y x y2( − )+z x z2( − ) Từ đó suy ra : x3 > y3 +z3

b ) So sánh x với y + z

Hướng dẫn :

a ) Biến đổi vế trái :

x3 − − =y3 z3 x y( 2 +z2)− −y3 z3 ( vì x2 = y2 +z2 )

=(xy2 −y3) (+ xz2 −z3) = y x y2( − )+z x z2( − )

Vì : x2 = y2 +z2 với x , y , z > 0 ⇒ x2 > y2 , x2 > z2

⇒ x > y và x > z ⇒ x – y > 0 , x – z > 0

⇒ y x y2( − )+z x z2( − >) 0 ⇒ x3 > y3 +z3

b ) ta có : x2 = y2 +z2 < y2 + 2yz z+ 2