Nhóm lie và trường vectơ bất biến trái trên nhóm lie luận văn thạc sỹ toán học

Nhóm Lie là một trong những cấu trúchữu hiệu được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học hiện đạiHình học, Đại số, lí thuyết số, Tôpô,….. Không những vậy, nhóm Lie còn cónhi

LỜI NÓI ĐẦU

Trong Tôpô nói riêng và Toán học nói chung thì lí thuyết về nhóm Lieđóng một vai trò cực kì quan trọng Nhóm Lie là một trong những cấu trúchữu hiệu được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học hiện đại(Hình học, Đại số, lí thuyết số, Tôpô,…) Không những vậy, nhóm Lie còn cónhiều ứng dụng trong Vật lí (đặc biệt là lí thuyết hạt), Hóa học, …

Trong Toán học, một nhóm Lie, được đặt tên theo nhà Toán học người Na

Uy là Sophus Lie, là một nhóm, cũng là một đa tạp trơn, với tính chất là cáctoán tử nhóm tương thích với cấu trúc khả vi Nhóm Lie đại diện cho lýthuyết phát triển nhất của các lí thuyết đối xứng liên tục của các cấu trúc Toánhọc Điều này đã làm cho nhóm Lie là công cụ cho gần như tất cả các nghànhToán học hiện đại và Vật lý lý thuyết hiện đại, đặc biệt là trong Vật lý hạt Bởi vì các nhóm Lie là các đa tạp, chúng có thể được nghiên cứu sử dụnggiải tích vi phân, tương phản với trường hợp các nhóm tôpô tổng quát hơn.Một trong những ý tưởng chính trong lý thuyết về nhóm Lie, đề ra bởi SophusLie, là thay thế cấu trúc toàn cục, nhóm, với phiên bản mang tính địa phươngcủa nó hay còn gọi là phiên bản đã được làm tuyến tính hóa, mà Lie được gọi

là một nhóm cực nhỏ mà bây giờ được biết đến như là đại số Lie

Nhóm Lie đã cung cấp một phương tiện tự nhiên để phân tích các đối xứngliên tục của các phương trình vi phân, trong một cách thức như các nhómhoán vị được sử dụng trong lý thuyết Galois để phân tích các đối xứng rời rạccủa các phương trình đại số

Trong luận văn này, chúng tôi trình bày một số tính chất cơ bản nhất vềnhóm Lie và trường vectơ bất biến trái trên nhóm Lie Do đó, luận văn được

mang tên: Nhóm Lie và trường vectơ bất biến trái trên nhóm Lie Luận

văn được trình bày trong hai chương:

Chương 1: Đa tạp khả vi.

Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về đa tạpkhả vi, vectơ tiếp xúc, ánh xạ tiếp xúc, 1-dạng vi phân trên đa tạp và ánh xạđối tiếp xúc trên đa tạp Chương này được xem như là phần cơ sở cho việctrình bày ở chương 2

Chương 2: Nhóm Lie và trường vectơ bất biến trái trên nhóm Lie

Chương 2 là nội dung chính của luận văn Ở đây chúng tôi trình bày mộtcách có hệ thống về nhóm Lie, nhóm Lie con, trường vectơ bất biến trái trênnhóm Lie Luận văn được hoàn thành vào tháng 12 năm 2011 tại Khoa Sau

đại học Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS.Nguyễn Hữu

Quang Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với sự hướng dẫn tận

tình của Thầy

Nhân dịp hoàn thành luận văn này, tác giả xin chân thành cảm ơn cácthầy, cô giáo trong tổ bộ môn Hình học - Tôpô, các thầy cô giáo trong KhoaToán, Khoa Sau đại học, Trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy, đã tạođiều kiện cho tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

Cũng nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệuTrường THCS Đa Phúc, bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã động viên, giúp

đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

Vinh, tháng 12 năm 2011

Tác giả

Ch¬ng 1

®a t¹p kh¶ vi

Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về đa tạp khả

vi, vectơ tiếp xúc, ánh xạ tiếp xúc, 1-dạng vi phân trên đa tạp M và ánh xạ đốitiếp xúc trên đa tạp

I ®a t¹p kh¶ vi

1.1 Định nghĩa (xem  5 )

Chứng minh tương tự ta được (U2 ; φ2) là bản đồ của S1.

Ta đi chứng minh (U1 ; φ1) và (U2 ; φ2) là phù hợp của S1

Tương tự ta cũng chứng minh được (U3 ; φ3) và (U4 ; φ4) là hai bản đồ của M

và (Ui ; φi), (UJ ; φJ) là phù hợp với mọi iJ, i,J = 1;4 Dễ thấy U

Vậy: M = S1 là một đa tạp khả vi 1-chiều

II Vect¬ tiÕp xóc trªn ®a t¹p.

Giả sử M là đa tạp khả vi m-chiều với cấu khả vi  U;  

Trong đó (t) là đường cong đi qua p, (t0) = p

Nếu v tiếp xúc với đường cong (t) tại p thì ta nói v là vectơ tiếp xúc với Mtại p

1.8 Ví dụ

a, Ví dụ 1 giả sử (p1;p2;…;pm) là toạ độ của p trong bản đồ (U;φ)

Trong đó p p p( 1 ; 2 ; ;p m) M và 0(a;b) Khi đó i(0) p

Giả sử v tiếp xúc với M tại p, ta có:

p

f xi

f v x

: ( ; )

Trước hết ta thấy f là ánh xạ khả vi

vectơ tiếp xúc Ảnh của đường cong  ( )t qua ánh xạ f là:

1 /

Nếu f M:  N khả vi tại pM thì f p là ánh xạ tuyến tính (đặc biệt nếu

f là vi phôi thì f p là đẳng cấu tuyến tính,  p U p

là ánh xạ tuyến tính thì  được gọi là 1-dạng vi phân trên U, với mọi p U

Nếu U = M thì ta nói  là 1-dạng vi phân trên M.

trong đó,  U = {các trường vectơ khả vi trên U}  được gọi là khả vi trên

U nếu (X) khả vi với mọi X  U

ii, Kí hiệu  1 ( )U = {,  là 1-dạng vi phân khả vi trên U}

Ta trang bị cho  1 ( )U các phép toán sau:

a, 1 ( )U cùng hai phép toán (1) và (2) lập thành một môđun trên F U

b,  1 ( )U cùng hai phép toán(1) và (3) lập thành một không gian vectơ thực trên trường số thực R

Vậy:  1 ( )U cùng hai phép toán (1) và (2) lập thành một môđun trên F U

b, Ta kiểm tra hai phép toán (1) và (3) của  1 ( )U thỏa mãn 8 tiên đề vềkhông gian vectơ:

- Theo câu a, ta có:  1 ( )U cùng với phép cộng là một nhóm Abel

Cho (U;) là bản đồ trên M, cho hệ tọa độ địa phương (x1,x2,…,xn) và

trường mục tiêu song song tương ứng {E1,E2,…,En} ; Ei =

* 1 

* Với i = 1,2,…,m ta coi x i là hàm số xác đinh như sau:

Từ (1) và (2) ta kết luận được  dx dx1 ; 2 ; ;dx m là cơ sở cuả môđun 1 

f*: 1 3

    f *

1.25 Mệnh đề (xem  5 )

i, Giả sử f M:  N khả vi Khi đó f*là một ánh xạ tuyến tính.

ii, Giả sử g N:  G khả vi Khi đó  g  f * f* g*

  g f * = f *  g*

Ch¬ng 2

nhãm lie vµ trêng vect¬ bÊt biÕn tr¸I

thông thường là một nhóm Lie

ii n là một đa tạp khả vi n chiều

Do đó: A.B-1  GL(n;) nên GL(n;) là nhóm con của Mat n  ; 

ii, GL(n;) có cấu trúc đa tạp

Thật vậy, xét ánh xạ:

det: Mat n ;   

X  det X

Ánh xạ det là khả vi Ta lại có: det( Mat n  ; \GL(n;)) =  0 là tập đóng trong

với tôpô tự nhiên, suy ra det-1  0  = Mat n  ; \GL(n;) là tập đóng trong

i j

a a



Từ Cij là đa thức hay (Cij) là ma trận hàm đa thức, do đó có thể lấy đạo

Từ các điều kiện trên ta suy ra GL(n;) là một nhóm Lie

Ta có: (ac + bd)2 + (bc - ad)2 = a2c2 + b2d2 + 2abcd + b2c2 +a2d2 - 2abcd = a2(c2 + d2) + b2(c2 + d2)

ii S 1 là một đa tạp khả vi.

Chứng minh tương tự ta được (U2;φ2), (U3;φ3), (U4;φ4) cũng là bản đồ của S1.

Ta đi chứng minh (U1;φ1) và (U2;φ2) là phù hợp của S1

Vậy: f là vi phôi Do đó (U1;φ1) và (U2;φ2) là phù hợp của S1.

Tương tự ta cũng chứng minh được (U3;φ3) và (U4;φ4) là phù hợp của S1

Dễ thấy i I U i



 S1 Do đó {(Ui;φi)} là một cấu trúc của S1

Vậy: S1 là một đa tạp khả vi

iii Kiểm tra hai phép toán trên S 1 khả vi

Với y G thì tồn tại a-1y G sao cho La (a-1y ) = aa-1y = y.

Theo mệnh đề 2.3 thì các ánh xạ La, Ra,  là vi phôi, mà F là tập đóng trong G.

 aF, Fa, F-1 là các tập đóng trong G

b, Ta có PU = p P pU. , UP = p P U p. Cũng vì các ánh xạ Lp, Rp,  là

Hệ quả 2

Đối với bất kì hai phần tử p, q thuộc nhóm Lie G đều tồn tại phần tử a

G sao cho qua phép tịnh tiến phải a thì p biến thành q.

Phần tử nghịch đảo của (a, b) là (a 1, b 1), trong đó a 1, b 1 là các phần

tử nghịch đảo của a, b trong G, G’

+) G  G’ là đa tạp khả vi với tập bản đồ là: {(U  V, 

((a, a’), (b, b’))  (ab, a’b’).

i, H là nhóm con của G (theo nghĩa đại số)

ii, H là một đa tạp con đóng của G với cấu trúc khả vi cảm sinh từ G

2.6 Ví dụ

X = { z.x | x ; z } là nhóm Lie con của 

Chứng minh:

Ta có 0 = z.0,   z  0X  X 

Với mọi z.x1; z.x2  X, ta có: z.x1 + z.x2 = z.(x1 + x2)  X.

Ta có: -(z.x) = z(-x)  X, với mọi x X, mọi z  

Vậy : f là vi phôi Mà  là một đa tạp khả vi  X là một đa tạp khả vi

2.7 Định lí (xem  4 )

Giả sử H là một nhóm con của G và H mở trong G Khi đó H cũng đóng trong G

Chứng minh:

Giả sử H là một nhóm con của G và H mở trong G

 G/H = x G xH x e   cũng là tập mở trong G

Hệ quả.

a, H là nhóm Lie con trong G, H mở thì H cũng đóng trong G.

b, Nếu G là một nhóm Lie biến thông, V là một lân cận mở của điểm đơn vị

e  G Khi đó G = Ve  V

III TRƯỜNG VECTƠ BẤT BIẾN TRÁI TRÊN NHÓM LIE.

Cho : G  H là đồng cấu giữa các nhóm Lie, kí hiệu g, h theo thứ tự

là đại số Lie G và đại số Lie H, X  g, Y  h Nếu  e X e  Y e'

Với X  g, Y  h, theo định nghĩa ta có: L ae X e  X a (1)

Theo giả thiết, ta có: Y a =

Vậy:  X là trường vectơ bất biến trái trên G.

Hệ quả: Nếu : G  G là tự đẳng cấu của nhóm Lie G thì  là tự

đẳng cấu của đại số Lie g của G.

KẾT LUẬN

Luận văn đã đạt được những kết quả chính sau:

lí 1.9.1, định lí 1.9.2, định lí 1.9.3, định lí 1.9.4), ánh xạ tiếp xúc trên

đa tạp (định lí 1.12, định lí 1.14, định lí 1.15,định lí 1.16

đối tiếp xúc và chứng minh chi tiết một số tính chất cơ bản của chúng

Lie và chứng minh chi tiết một số tính chất cơ bản về trường vectơbất biến trái, cũng như một số ví dụ 2.2; 2.3; 2.4; 2.9

Trong thời gian tới, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu về các dạng vi phân bấtbiến trái trên nhóm Lie và ứng dụng của nó

TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt

[1] Nguyễn Việt Dũng (1997), Bài giảng đại số Lie và nhóm Lie, Đại học Vinh [2] Trần Việt Dũng (1995), Đại số Lie, Bài giảng chuyên đề cao học

chuyên ngành Hình học – Tôpô, Đại học Vinh

[3] Nguyễn Hoàng Phương (2004), Lý thuyết nhóm và ứng dụng vào vật lý

lượng tử, Nhà xuất bản Khoa học Kỹ thuật.

[4] Nguyễn Hữu Quang (2005), Bài giảng Đại số Lie và nhóm Lie, Đại học Vinh [5] Nguyễn Hữu Quang (2005), Đa tạp khả vi, Đại học Vinh.

[6] Thái Viết Thảo (2005), Về đại số Lie lũy linh và đại số Lie giải được,

Luận văn thạc sĩ, Đại học Vinh

Tiếng Anh

[7] Alexander A Kirillov (2008), An introduction to Lie groups and Lie

Algebras, Cambridge University Prees.

[8] Nathan Jacobson (1971), Lie Algebras, Courier Dover Publications.