Luyện thi Đại học Chuyên đề Lượng giác

Lưu ý: Nội dung chính của chương này là các công thức biến đổi lượng giác và cách giải các dạng phương trình lượng giác cơ bản.. Đường tròn lượng giác và các giá trị lượng giác – Đường

1 GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC

1 Độ và rađian

– Để đổi từ độ sang rađian hoặc ngược lại, ta cần ghi nhớ rằng: cung tròn có số đo bằng 180 thì sẽ có số đo bằng 1 rad Để tính các giá trị khác, ta dùng quy tắc tam suất là có thể tính được ngay

3 Góc lượng giác

– Để khảo sát việc quay tia Om quanh

điểm O, ta cần chọn chiều quay cho

tia Om Thông thường, ta chọn chiều

ngược kim đồng hồ là chiều dương,

và ngược lại, chiều theo kim đồng hồ

là chiều âm

– Cho hai tia Ou, Ov Nếu tia Om quay

chỉ theo chiều dương (hay chỉ theo

chiều âm) xuất phát từ tia Ou đến

trùng với tia Ov thì ta nói: Tia Om quét

một góc lượng giác có tia đầu Ou, tia

cuối Ov Ta kí hiệu góc lượng giác giữa hai tia Ou, Ov là: (Ou, Ov)

Lưu ý: Nội dung chính của chương này là các công thức biến đổi lượng giác và cách giải các dạng phương trình lượng giác cơ bản Đây là những nội dung thường xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia và chiếm từ 0,5 đến 1 điểm Nội dung này không phải là những phần khó lấy điểm, do đó chúng ta phải học thật tốt chương này để không bị mất điểm oan uổng trong bài thi

+

O

U V

M

v

u

m

– Khi tia Om quay góc a (hay  rad) thì ta nói góc lượng giác mà tia đó quét nên có số đo a (hay  rad)

4 Đường tròn lượng giác và các giá trị lượng giác

– Đường tròn lượng giác

là một đường tròn đơn vị

(bán kính bằng 1), định

hướng, trên đó có một

điểm A gọi là điểm gốc

– Sau này, ta luôn xét

đường tròn lượng giác

trong hệ toạ độ vuông

góc gắn với nó

– Trục Ox trên hệ toạ độ

trong lượng giác được

gọi là trục sin Như vậy,

hoành độ của một điểm

E trên đường tròn lượng giác chính là sin của tia OE hợp với tia Ox

– Trục Oy trên hệ toạ độ trong lượng giác được gọi là trục cos (côsin) Như

vậy, tung độ của một điểm E trên đường tròn lượng giác chính là cos của tia

OE hợp với tia Ox

– Trục tan trên đường tròn lượng giác là trục song song với trục Oy (trục sin) và đi qua điểm có tung độ bằng 1 Để tìm tan của điểm E trên đường tròn

lượng giác, ta tìm giao điểm của OE với trục tan Giao điểm đó chính là

2 CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1 Công thức cơ bản

3 Công thức cộng

 sin(a b ) sin cos a bcos sina b

 cos(a b ) cos cos a bsin sina b

 sin2a2sin cosa a

 cos2a cos2asin2a 1 2sin2a 2 cos2a1

tan2

1 tan

a a

a



 sin3a3sina4sin3a

 cos3a 4cos3a3cosa



3 2

3tan tantan3

2

a a

6 Công thức biến đổi tổng thành tích

 sin sin 2sin cos

1

t a

t





2 2

1cos

1

t a

1

t a

2

t a

t





Hệ quả: Nếu ta đặt ttana thì

2

2sin2

1

t a

t





2 2

1cos2

1

t a

1

t a

2

t a

t





9 Một số biến đổi lượng giác thường gặp

 sin 2a (sinacos )a 2  1 (sinacosa1)(sinacosa1)

 1 sin 2 x (sinxcos )x 2

cot tan 2 cot 2

 sin3 xcos3x (sinxcos ).(1 sin cos )x  x x

 sin3 xcos3 x (sinxcos )(1 sin cos )x  x x

 Với các dạng bậc cao khác, ta cũng làm tương tự

3 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1 Hàm số y  sinx

– Tập xác định: 

– Tập giá trị: [–1; 1], nghĩa là  1 sinx 1

– Là hàm số lẻ

– Hàm số tuần hoàn với chu kì 2π

– Đồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2 ( )

– Tập giá trị: [–1; 1], nghĩa là  1 cosx1

– Là hàm số chẵn

– Hàm số tuần hoàn với chu kì 2π

2 π

π 2

O y

x

– Đồng biến trên mỗi khoảng  k2 ; 2 k (k  )

– Nghịch biến trên mỗi khoảng k2 ;  k2(k  )

– Bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [–π; π]:

– Là hàm số lẻ

– Hàm số tuần hoàn với chu kì π

– Đồng biến trên mỗi khoảng ; ( )

x    k k  làm một đường tiệm cận

– Bảng biến thiên:

2

π π

2

O y

x

x 0

4



2



y = tanx

0 – Đồ thị:

π 3π

2

π 2

O y

x

– Hàm số tuần hoàn với chu kì π

– Nghịch biến trên mỗi khoảng k   ; k (k  )

– Nhận mỗi đường thẳng x  k k( ) làm một đường tiệm cận

– Bảng biến thiên:

x 0

4



2



3π

2

π 2

O y

x

4 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

thì ta viết  arcsin m Khi đó ta viết các

nghiệm của phương trình (1) như sau:

x

thì ta viết  arccos m Khi đó ta viết các

nghiệm của phương trình (2) như sau:

1) cos 3 cos cos 2 4 ( )

cos2 1 2 cos2 cos 0

2 cos 2 cos2 cos 0

2 cos (cos cos2 ) 0

22

thì ta viết  arctan m Khi đó ta viết các

nghiệm của phương trình (3) như sau:

tanx m x arctanm k  (k)

1

-1

O y

x

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

x

x x

O y

x

thì ta viết  arccot m Khi đó ta viết các

nghiệm của phương trình (4) như sau:

cotx marccotm k k ( )

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

– Để tính arcsinm, arccosm  m 1 , arctanm bằng máy tính, ta chọn các phím

sin–1, cos–1, tan–1

– Trong máy tính của chúng ta không có nút cot hoặc nút arccot, do đó để tính được cot của một góc hoặc giải phương trình cot bằng máy tính thì ta dựa vào tan để tính, có thể dùng công thức cơ bản để suy ra cot hoặc dùng cung phụ để chuyển từ tan thành cot

– Không viết kiểu “nửa nạc nửa mỡ” Chẳng hạn viết 30 k.360 chứ không viết 30 k2 

6 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx asinx b cosx  c (1) với

– Điều kiện có nghiệm của phương trình (1) là a2 b2  c2

– Ngoài cách biến đổi theo sin, ta vẫn có thể dùng công thức cộng để biến đổi phương trình theo cos

Ví dụ: Giải phương trình: sinx 3 cosx 1

7 Phương trình bậc hai chứa một hàm số lượng giác

Là phương trình có dạng: aX2 bX c  0

– X là các ẩn sin, cos, tan, cot

– Ta xem phương trình trên như một phương trình bậc hai bình thường theo ẩn

sin, cos, tan và cot

– Lưu ý: Khi đặt sin ( ) ,

cos ( )

u x t

Ví dụ: Giải phương trình: sin2 x2sinx 3 0

8 Phương trình đẳng cấp

– Là phương trình có dạng f(sin , cos ) 0x x  trong đó các số hạng trong phương trình phải cùng bậc với nhau

– Ví dụ: asin2 x b sin cosx x c cos2 x 0 (đẳng cấp bậc 2)

a x b x x c x x d x  (đẳng cấp bậc 3)

– Cách giải: Xét xem cosx  có là nghiệm của phương trình hay không 0Sau đó chia hai vế của phương trình cho cosk x 0 (k là số mũ cao nhất), ta được phương trình ẩn là tanx

Ví dụ: Giải phương trình: 7cos2 x4sin2xsin2 x 0

Giải

Nhận xét: cosx  0 không là nghiệm của chương trình

Xét cosx  0, chia hai vế của phương trình cho cos2 x, phương trình trở thành:

9 Phương trình đẳng cấp dạng asin2 x b sin cosx x c cos2 x d

d  d x x rồi đưa về dạng phương trình đẳng cấp bậc hai

đối với sinx và cosx

Ví dụ: Giải phương trình: 4 cos2 x3 3 sin 2x2sin2 x  4

4 cos 3 3 sin 2 2sin 4

2sin 6 3 sin cos 4 cos 4 sin cos

6sin 6 3 sin cos 0

Nhận xét: cosx  0 không là nghiệm của phương trình

Xét cosx  0, chia hai vế của phương trình cho cos2 x, phương trình trở thành:

10 Phương trình đối xứng dạng a(sinxcos )x bsin cosx x c 0 (3)

– Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ:

– Thay vào (3) ta được phương trình bậc hai theo t

Ví dụ: Giải phương trình: 3(sinxcos ) 2sin cosx  x x 3 0

Giải

3(sinxcos ) 2sin cosx  x x 3 0 (1)

Đặt t sinxcos x  2  t 2

t2  1 2sin cosx x t2  1 2sin cosx x

2

(1)3t t   1 3 0

11 Phương trình đối xứng dạng a sinxcosx bsin cosx x c 0

– Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ:

– Sau đó làm tương tự dạng trên Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu

giá trị tuyệt đối

Ví dụ: Giải phương trình: sinxcosx sin 2x  1 0

Giải

sinxcosx sin 2x  (1) 1 0

Đặt t  sinxcos 0x   t 2

t2  1 sin 2x sin2x t 2 1

2 2

1sin cos

sin 22

– Sau đó bình phương và làm tương tự dạng trên

– Ngoài các phương trình đối xứng trên, ta còn gặp một số dạng phương trình đối xứng như sau:

13 Phương trình dạng sin 2x cos2x sinx cosx   0

 Ta biến đổi phương trình trên về dạng:

cos ( sin ) ( sin )( sin ) 0

Hoặc msin ( cosx a x b )n a( cosx b c )( cosx d ) 0

Ví dụ: Giải phương trình: sin 2x2 cos 2x  1 sinx4 cosx

Giải

2

sin 2 2 cos2 1 sin 4 cos

(2sin cos sin ) (2 cos2 4 cos 1) 0

sin (2 cos 1) 4 cos 4 cos 3 0

sin (2 cos 1) (2 cos 3)(2 cos 1) 0

(2 cos 1)(sin 2 cos 3) 0

1cos

(A F )sin x(B E )cos x(C E)sin xcosx(D F )cos xsinx  0

 Đến đây ta dễ dàng giải phương trình theo dạng đẳng cấp bậc 3

Ví dụ: Giải phương trình: sin3 x3cosx 3sin2 xcosx2sinx

sin 3cos 3sin cos 2sin

sin 3sin cos (2sin 3cos ) sin cos

Nhận xét: cosx 0 không là nghiệm của phương trình Chia hai vế của phương trình trên cho cos3 x, ta được:

00

A

A B

16 Phương pháp loại nghiệm khi giải phương trình lượng giác có điều kiện

 Giả sử nghiệm mà chúng ta tìm được trong phương trình có dạng: k2 ,

n



trong đó , k n   Khi đó ta có n giá trị riêng, nghĩa là khi biểu diễn các

nghiệm này lên đường tròn lượng giác thì ta biểu diễn được n điểm

 Để loại nghiệm, ta lần lượt thay các giá trị k = 0; k = 1;…; k = n – 1 Với mỗi giá trị k ta tìm được một nghiệm Sau đó ta thay các nghiệm này vào

điều kiện để so sánh

 Giả sử ta nhận một nghiệm x i nào đó, như vậy kết luận nghiệm của chúng

ta là x  x i k2 ( k  )

5 BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1 Tính các giá trị biểu thức

1.1 Cho góc  thoả mãn:

(Trích đề thi minh hoạ THPT Quốc gia năm 2015)

1.2 Tính giá trị của biểu thức P (1 3cos2 )(2 3cos2 )    biết sin 2

3

 

(Trích đề thi THPT Quốc gia năm 2015)

1.3 Cho góc  thoả mãn: 3

(Trích đề thi thử lần 3 trường Lương Thế Vinh – Hà Nội năm 2015)

1.4 Tính giá trị của biểu thức P sin4 cos4, biết sin 2 2

3

 

(Trích đề thi dự bị THPT Quốc gia năm 2015)

1.5 Cho góc  thoả mãn tan 2 Tính

3 3

sin 2 cos

.cos 2sin



1.7 Biết rằng số thực ;

biểu thức A  cos2 4 cos 4  sin2 4sin 4

(Trích đề thi thử lần 3 Chuyên Đại học Vinh năm 2015)

1.8 Cho sin 1(90 180 )

3

.tan cot

cos cos5 sin 7 sin 5

sin 4 sin 2 1 2sin 3

2.2 sin sin 2 cos5 cos2 1

sin(x  y)sin(x  y) cos y cos x

2.5 8sin cos cos(30x x  2 )cos(30x  2 ) sin6x  x

2.6 1 cos2 cot

sin 2

x

x x





2.7 8sin4 x  3 4cos2xcos4x

2.8 4 cos15 cos21 cos24 cos12 cos18 1 3

cos 240  x cos 240  x cos x

3.4 tan 9  tan 27 tan 63 tan 81

4 Giải các phương trình sau: (dạng cơ bản)

5.17 3sin 3x 3 cos9x  1 4sin 33 x

5.18 2 cos2x 1 3 (cos xsin )x

5.22 sinxcosx  2 2 sin cosx x

5.23 sin 8xcos6x  3(sin 6xcos8 )x

x x

5.28 cos5xsin3x  3(sin5xcos3 )x

5.29 sinx2sin 2xsin3x 2 2

3 3 sin3

5.32 2 cos3 x2sin3 x2sin2 xcosx2 cos2 xsinx 2  0

5.33 5(cosxsin ) sin 3x  xcos3x  2 2(2 sin 2 ) x

6 Giải các phương trình sau: (dạng phương trình bậc hai, bậc ba)

6.8 tan2 xcot2 x2(tanxcot ) 6x 

6.9 sin3 x3sin2 x2sinx  0

6.13 2sin 22 6sin cos 2 0

x x

6.20 cos 4x12sin cosx x 5 0

x x

x

x x

x



6.27 cos8xsin3 xcosxcos3 xsinx 1 0

6.28 sin4 cos4 2sin 2 3sin 22 0

7 Giải các phương trình sau: (dạng đẳng cấp)

7.1 3sin2 x 4sin cosx x7cos2 x  0

7.2 5cos2 x2sin 2x3sin2 x 2

4sin x3 3 sin 2x2 cos x  4

7.4 2sin3 xsin2 xcosx4sin cosx 2 x2 cos3 x  0

7.5 4sin3 x3cos3 x3sinx sin2 xcosx  0

7.6 4 cos2 x3 3 sin 2x2sin2 x  4

3 sin x  1 3 sin cosx x cos x 1 3 0

3cos x4sin xsin cosx x 4

7.9 2 cos3 x sin cosx 2 x4sin2 xcosx2sin3 x  0

7.10 3cos2 x 2sin 2xsin2 x 2 3

7.11 sin2 3 sin cos 2 cos2 3 2

7.15 sin sin 2x xsin3x 6 cos3 x

7.20 3cos4 x4sin2 xcos2 xsin4 x 0

sin 2x2sin x  2 cos2x

7.25 6sin 2 cos3 5sin 4 cos

6sinx2 cos x  5sin 2 cosx x

8 Giải các phương trình sau: (dạng đối xứng)

8.1 sinxsin 2xcosx  1 0

8.2 cosxsinx6sin cosx x  1

8.3 1 sin3 cos3 3sin 2

8.7 2 2(sinxcos ) 3 sin 2x   x

8.8 1 2 (sin xcos ) sin2x  x 1 2  0

8.9 (1 sin )(1 cos ) 2 x  x 

8.10 4 sinxcosx 9sin 2x  4

8.11 1 2 (sin xcos ) 2sin cosx  x x 1 2  0

8.12 (sinxcos )x 2  cosxsinx

8.13 2(sinxcos ) tanx  xcotx

8.14 2sin3 xsinx  2 cos3 x cosx cos2x

10 Giải các phương trình sau: (phân tích thành tích – tổng hợp – nâng cao)

10.1 cos4 xsin4 xcos4x  0

10.2 sin 2 sin cos5 cos2 1 cos8

2

x

10.3 cos3 tan 5x x sin 7x

10.4 sin6 cos6 2sin2

10.8 cos2x(1 2 cos )(sin x x cos )x  0

10.9 cos3 xsin3 x2sin2 x 1

10.15 tanx cotx4 cos 22 x

10.16 sin5 sin 2sin

cos2

x

10.17 cos2 cos cot 4 cot

10.22 (2sin 1)(cos2 sin 1) 3 2 cos

10.23 2 cos 22 xcos2 sin3x x3sin 22 x 3

10.24 9sinx6 cosx3sin 2xcos2x 8

cos sin

1 sin cotsin sin

10.34 (sinx1)cos2xsin2 x 1

10.35 sin 2x(sinxcosx1)(2sinxcosx3) 0

10.37 (2sinx1)(3cos 4x2sinx4) 4 cos 2 x 3

10.38 sin 2xcosx2sinx  cos2x3sin2 x

10.39 3cos2 xsinx 1 cosxsin 2xsin2 x

10.40 cos cos2 cos 4 cos8 1

16

10.41 cos5 cosx x  cos4 cos2x x3cos2 x1

10.42 5cos3 sin sin5

8 sin xcos x 3 3 cos2x 11 3 3 sin 4 x9sin 2x  0

10.47 2 sin 2 sin 3cos 2

10.48 cos 4x3sin 4x9 cos2x3sin 2x5 0

10.49 1 sin x (sinxcos ) cosx x

10.50 sinxsin 2xsin 3x  cosxcos2xcos3x

10.51 sin 2x 2 cosx 3 sinx 3  0

10.58 2 cos5 cos3x xsinx  cos8x

10.59 2sin3 xcos2xcosx  0

10.60

2

sin sin 2 2sin cos sin cos

6 cos2sin

4

x x

11.8 (A-05) cos 3 cos22 x xcos2 x 0

11.9 (B-05) 1 sin xcosxsin 2xcos2x  0

11.18 (CÑ KTCN TP.HCM-07) cos3 tan 5x x sin 7x

11.19 (CÑ KTCN II-07) sin2 xsin 22 x sin 32 xsin 42 x

11.20 (CÑ KT-07) sin 2 sin cos5 cos2 1 cos8

11.24 (CÑTC-HQ-07) cos cos2 sin3 1sin 2

11.28 (ÑHSG-D-07) sin4 cos4 1 sin 2

11.30 (B-08) sin3 x 3 cos3 x sin cosx 2 x 3 sin2 x.cosx

11.31 (D-08) 2sin (1 cos2 ) sin 2x  x  x  1 2 cosx

11.32 (CÑ-08) sin 3x 3 cos3x 2sin 2x

11.33 (A-09) (1 2sin ).cos 3

11.38 (B-10) (sin 2x cos2 ).cosx x2 cos2xsinx  0

11.39 (D-10) sin2xcos2x3sinxcosx 1 0

11.40 (CÑ-10) 4 cos5 cos3 2(8sin 1)cos 5

11.42 (B-11) sin2 cosx xsin cosx x cos2xsinxcosx

11.43 (D-11) sin 2 2 cos sin 1 0

11.45 (A-A1-12) 3 sin 2xcos2x 2 cosx  1

11.46 (B-12) 1 cos x 3 sinx.cosx  cosx 3 sinx 1

11.47 (D-12) sin 3xcos3xsinxcosx  2 cos2x

11.48 (CĐ-12) 2 cos2xsinx sin3x

11.49 (A-A1-13) 1 tan 2 2 sin

11.53 (A-A1-14) sinx4 cosx 2 sin 2 x

11.54 (B-14) 2(sinx2cos ) 2 sin2x   x

12 Giải các phương trình sau: (trích đề thi dự bị đại học)

12.1 (A2-02) tan cos cos2 sin 1 tan tan

cos2xcosx 2 tan x1  2

12.6 (A2-03) 3 tan (tan x x2sin ) 6 cosx  x  0

12.7 (B1-03) 3cos 4x8cos6 x2 cos2 x 3 0

12.11 (A1-04) 4 sin 3xcos3 xcosx3sinx

12.12 (A2-04) 1 sin x  1 cos x  1

12.14 (B2-04) sin 4 sin 7x x  cos3 cos 6x x

12.15 (D1-04) 2sin cos2x xsin 2 cosx x sin 4 cosx x

12.16 (D2-04) sinxsin2x  3(cosxcos2 )x

12.23 (D2-05) tan 3tan2 cos22 1

12.27 (B2-06) cos2x(1 2 cos )(sin x xcos )x  0

12.28 (D1-06) cos3 xsin3 x2sin2 x  1

12.29 (D2-06) 4sin3x4sin2x3sin2x6 cosx  0

2sin sin 2

12.31 (A2-07) 2 cos2 x2 3 sin cosx x 1 3 sin x 3 cosx

12.35 (D2-07) (1 tan )(1 sin 2 ) 1 tan x  x   x

12.36 (A1-08) tanx cotx4 cos 22 x

12.39 (B2-08) 3sin cos2 sin 2 4sin cos2

12.44 (B1-10) cos2x2 cosxsinx  cos (cos 2x xsin 2 )x

cos

x

12.48 (A1-12) 3 sinx2 cosxcos2x  1 0

13 Giải các phương trình sau: (trích đề thi thử đại học)

13.1 (ĐH Vinh lần 4-15) sin 2x2sin2 x sinxcosx

13.4 (SGD-Thanh Hoá-15) 2 cos2x8sinx 5 0

13.5 (ĐH Vinh lần 1-15) cos3xcosx 2 3 cos 2 sinx x

13.6 (SGD-Quảng Ninh-15) 1 cos2 xcos 4xcos 6x  0

sin 2x2 3 cos x2 cosx  0