Đại số và Số học Tập 2 Ngô Thúc Lanh

Giáo trình Đại số và Số học Giáo sư Ngô Thúc Lanh, giúp sinh viên đại học bổ sung thêm kiến thức về đại số, số học và các kiến thức liên quan. Giáo trình này được rất nhiều bạn sinh viên khoa Toán nói chung và sư phạm nói riêng.

Đã được hội đòìtq thấm âịnh sủa Bộ giảo dục

giới thiệu làm sách dùng chung

cho cấc trường đại học S!C phạm)

NHÀ XUẤT B Ả N GIÁO D i

Biên soạn : N G Ô THỨC L A N H BU* tập : N G U Y Ề N K I M T H Ư

huật : T R Ầ N T H U NGA Trình Mỹ bid í

Sưa bản in

đ ạ i số m ê n h đẽ và logic vi t ừ hep, h ì n h t h à n h VÈO nửa sau Cua t h ế kỷ X I X trong các công t r ì n h của Bun (G.Boo­

le 1805 — 1864), B c m o o c g ă n g (A Eeroorgan l&'G — 1871)

Poretsky (n c riopeuKni 1846 - í%7) F r c g ơ (G f r e g e

1849 - 1925), Peano (G.Pearo 1858 — 1932)

Cách t r ì n h b à y ở đííy là sơ lượt: và phu cộp K ỏ nhằm

giời t h i ệ u nhũng khái n i ệ m cơ bốn của logic toán l à m

Ìíồa cho Sự suy luận và nhũng kí h i ệ u logic t h ô n g dờng

t f o n g n e giáo trình loến h é c hiện đ ạ i

§ I Đ Ạ I S Ổ MÌNH Đ Ì 1.1 Mệnh đi v à các p h é p t o á n logic

ỉ 1.1 Mệnh đề : K h ả i n i ệ m n ờ n h đ ề là m ộ t k h á i n i ê m

B|uyén t h ủ y Ta có thề quan n i ệ m mệnh đi n h ư một l á u

trong lít ôn ngữ thông t h ư ờ n g b i ê u thị n ộ i ý t r ọ n vẹn

làà khi nói lên hoặc v i ẽ t ra, ta co the k h ỉ n g định m ộ t Jẻẫth k h í c h quan là r ó rtđủng » hoặc (' tai » > hí ng ỉ an câu

(•(Hai n ă m rổ mười).) là một m ệ n h đ ề đ ủ n g , c â u (Kít l i

m ộ t số nguyên » là một mệnh đ ề sai

Không phải m ọ i câu trong ngón ngCr t h ò n g t h ư ơ n g ỉh\

l à một mệnh đ ề xét trong logic toán Các c â u h ỏ i , câu than, câu m ệ n l i lệnh, c á c đ ị n h nghĩa trong t o á n học, và

nói chung các CUI k h ô n g n h ú n p h á n á n h tỉnh đ ú n g , sai của thực te khách quan, đ ề Ì k h ô n g phải l à n h ữ n g mệnh

đ ề của logic t o á n

Trong logic loàn, k h i xét m ộ t mệnh đ ề , ta k h ô n g quan

t à m đến cấu t r ú c ngữ p h á p cũng n h ư ỳ nghĩa n ộ i dung của nở, m à chỉ quan tà n đ ế n tính đ ú n g sai của nỏ mà

t h ó i Giá t r ị cc đúng;!) hay ( t s a i » của m ộ t mệnh đề g ọ i là

giá tri chăn li của t i T m h đ ề đ ó Ta quy ưỏrc kí h i ệ u giá

trị chân lí (-(đúng).) bồng sá Ì, gin trị ((sai » bồng số 0

| Ị ' M ộ t mệnh đ ì m à k h ô n g m } t bộ p h ậ n thực sự n à o của

n ỏ cũng là raện'i đ ề , g ọ i là một mệnh đề đơn giàn Ta

sẽ k i h i ệ u các ra ánh đồ đ ơ n giản b ồ n g các c h ữ cái la tinh n h ỏ (có t h ề v ớ i các chỉ sổ) a, b, c, p, q, r

X, y , z Hi, b i , CI, p i , qt, r i , Đày l à các b i ế n l ấ y g i ả

trị Ì hoặc 0 k h i ta thay c h ú n g bồng các m ệ n h đ ề cụ thề,

Vì vậy ta g ọ i c h ú n g là c á c biên mệnh đầ

T ừ các mệnh đ i đơn g i ả n , n h ờ cúc liên kết logic, cũng

g ọ i là cúc phép toán logic ta l ậ p đ ư yc những mênh 4ầ phức tạp Gác m i n h đề phức tạp cũng có m ộ t và chỉ m ộ t trong hai giá t r ị «dúng» hoặc « s a i » Tính « đ ú n g » ,

e) phép tương đu ang t h o Yâi ir.ệnh đ ề a và b a

ítiơTK/ đương b, k í h i ệ u là a -H> 1), xà đọc tìlur the, l à một

m ệ n h đi- đ ú n g k h i a và b cùng đ ú n g , hoặc cùng sai, và

1.2 Công thức của dẹt số mệnh đ ề

1.2.1 N h ờ các p-lép toán logic t r o ' t ó mệnh đề đ ơ m

g i ả n , ta có thì dựng dược những m ; n ' i đồ m ớ i , ngà\y

càng phức tạp h ơ n , bằng cách tuực hiện trên các m ộ ni-1

đề đ à cho m ộ t sổ hữu hạn tùy Ỷ n h t h i j p h ' p toán logiic Các mệnh d ề dựng đirọc theo cách ợ y , k? cả cúc mệnh ố p

x u ợ t phút, ịiọi là các; công thức của đại số mệnh đĩ

1.2.2 Bề đ!n'ì nghĩa một c'xch chính x-'tc khái niệ n

n à y , ta sẽ xu'it p h á t t ừ m ộ t l ậ o hợp kí hiệu cơ han fị(;.)i

hi bảng chữ cái

Bảng chừ cúi trong đ ạ i số m ệ n h đ'ĩ ba Ì gôm

( i ) 0 Ì lù kí hiệu của các mệnh đ ồ cỏ giá t r ị chím lí

t ư ơ n g ú n g tà sai, hoặc đ ú n g Ta gọi chúng là các lìằiVỊ

cả các t ừ , ta xét lỏrp t ừ gọi là công ì hức và đ ư ợ c địịnhi

nghĩa bằng quy nạp n h ư sau :

( i ) Các hằng, các b i ế n mệnh đ è l à nìiững công thán-'., ( l i ) Nếu A là một ( ô n g thức t h i ( " I A ) là m ộ t công thávc.-( i ỉ i ) Nếu A và B la những công thức thì ( A V B),> (A A B) (A =»B) và (A «4 B ) là những công thức

( i v ) Mọi l ừ k h á c , k h à n g được xác định theo các q u w tắc ( i ) , ( ị i ) v à ( i ỉ i ) , t h ì không phải là công thức

Ta c h ú ý r ằ n g cúc dợu ngoặc trong đính nghĩa t r ộ m Ì

đ â y là cần thiết đ ề chỉ r ằ n g một công Ihửc đ ã cho đĩirọcc ĩ

t h i ế t l ậ p n ê n l ừ các công thức xiíẩt phút n h ư thế nĩâo),,

6

"Và đe đó ta cỏ thề khẳng định được một từ đ ã cho c ỏ phái là một công thức hay không

Chẳng hạn, xét từ ((X Ả y) => ((x V y) V X- ) ) Vì X, y, X

lù những cồng thức theo (i), (ỉi) và (x V y), (x A y ) , í((x V y) V x) là những công thức theo (iii), nên vẫn theo l(iii) từ đ ã cho là một công thức Trái lại, từ (x A v ) =>

=>• ((x V y) không phải là một công thức vì nó dược thiết ìlập không phải chỉ theo các quy tắc (ỉ) (ii) và (iii)

Có thề đua ra một sấ quy ước cho phép lu'Ọ"0 bỏ một ỈSỐ dấu ngoặc, khi viết các công thức Nhưng điều này không tỉiật cằn thiết, nên ta sẽ không trình bày tỉ mĩ ử đây

T a sẽ chỉ quy ước k'Ịỏng viết các dấu ngoặc ngoài cùng

<của các công thức và không viết các dấu ngoặc đ ấ i với phép phủ định các biến mệnh đề

1 3 G i á t r ị của c ỏ n J t h ứ c - C ô n g t h ứ : h ã n g đ ú n g - C ô n g nhức h ã n g s a i T ư ơ n g đ t r v n g iogic- p h é p t h ế t r o n g m ộ t

với cúc biển mọn li đ ề cỏ mặt 'vong còng thức A

Giá trị cùa cỏny thức A trên dãy giá (rị e, kí hiệu

ỉ à Ale, được địnn nghĩa như sau;

— Nếu A là một biên mệnh đồ Pi thi A lo == ei

thức, và nếu giá t r ị của B và c t r ê n e đ ã được xác định

t h ì giả t r ị của A t r ê n e cũng được xảo định v à việc Xi'cli

định giá trị của công thức  t r ê n dãy giá trị e phù

h ợ p v ớ i định nghĩa của các p h é p toán V , A, =*, <h> đi!

Thỉ dụ Cho A là cô.ig thức p =*• (p V (ỉ ) v*à là cố:g thức) q A r) =» s Công thức nhận được l ừ A n h ờ \)hfiỊ)

Thụt vậy, già hử e la một dãy tùy ý những giá irị (.'lia

c X hií',1 mệnh đ ề cỏ mặt trong s i A Khi d ó giá trị V V

se A iron e là giá trị củ i c trên e đ ê u (hv-/o xáo ui,;!!

N ế u ta gựi e' là d ã y giũ i n của các biến nv;nh ú ' I r o p j i

A đirự-c chựn tương ứng nlnr t r o n g e, t r ừ gi;'), trị của bít',í

mệnh d ề Ị) được chựn bằng c ị e, thì biến nhiên A Ị é' =

— Sp A I e ư ơ n g tự la có Bịe' = Sp i í / e Tíieo giá i ! ũ ế

A ị e = B ị é' Vì vậy s£ A le = Sịr tì Ị e V ớ i m ự i dãy g i ;

t r ị của cúc b i ế n mệnh d ề Do đ ó Sp Ả = s i B

T ư ơ n g tự ta c'u'mg m i n h đưc/c t í n h c'ltit

b) Giả sử A là một công thức chứa biền mệnh đề Ị)

vá lì và c lá hai công thức tươnq đương lotjtc Khi đó

A = Sp A

c) Gia sử A lờ mội vông thức chứa Liên mệnh đ ề 1>

và B là một công thức tùy ỳ Khi đó nếu 1= A thì

| = S > A

Thật v ậ y , g i ả sử e là m ộ t dãy bíỈL k i những giá trị của cốc b i ế n mệnh l ề có mặt trong công thức A N ế u

t ừ d ỏ suy ra rằng sị? À l ấ y giá trị Ì trên m ọ i d ã y giá trị của các b i ế n mệnh ớ?, vì vậy 1= Sp A

ả) Giã sử A ưa B là hai còng thức Khi đồ, A = B nén và ch' nêu 1= (.1 ±= B)

(=*) Giả s ử A — B Khi đu A Ị e = B I e v ớ i m ọ i dãy giá trị e của các biến mệnh đ ề cỏ m ạ i trong A và B Theo

định nghĩa của p h é p toán 4=>, ta có ( A B) ị e == Ì t r ê n

m ọ i d ã y giá trị e Vì v ậ y 1 = (A 4=> B )

{«=) Đảo lại.,, n í u (A •*"•> B) thì ( \ ^ B|e = Ì , v ò i lấiọi dãy giá trị e Theo định ag'ũa (A 4= B ) Ị e = 1 nếu

vá c ! - f h i l l A | e — B ị * T ừ đ ó suy ra A = lí •

í.3.6 Mót sô cóm/ thức hằng đúng đơn gián

Dựa vào cúc dị nil nghĩa và các t ú f i C i ĩ í l trên, ta có Lhê đe dàng chửng m i n ' i m ộ t sợ công 1'ìửc hằng dứng

đ ư a giản sau đây :

X ^ X L u ậ t đỏng nhất

X A I « x Luật lũy đấng của h ộ i

X V X *Ạ X L u ậ t l ũ y dẳng của tuyên

( ĩ A y ) ^ ( j A x ) • L u ậ t giao Iioản của h ộ i

(X V y ) ^ ( y V x) Luật giao hoán của tuyên ( X A (y A z j ) ^ ( ( X A y) V z) L u ậ t kết họp của h ộ i

(x V (y V z) ( (x V y) V z L u ậ t kết hợp của t u y ê n

X A (y V ( (x A y ) V (x ^ z) ) L u ậ t p h â n p h ợ i của hội

đ ợ i v ớ i tuyền (x V ( y A z)) ^ ( (x V y) V z)) L u ậ t phàn p h ợ i của ì uyển

đ ợ i v ớ i hội

l l x ^ x L u ậ t phủ định kép

( x ^ y ) ệ * (y ^» x) L u ậ t giao ho Ún củía lưo-ng

đ ư ơ n g (x => y ) ("Ì y => "Ì x) L u ậ t phản đảo

ì ( x A y ) ^ ( l x v " l y ) L u ậ t phủ định h ộ i

l i

f ( e i , Ẽ2, , en) = A I e vói m ọ i d ã y giá trị e

Ta nói r ằ n g h à m f định nghĩa n h ư vậy là h à m hợp nhất vói công thức A Còn công thức A thì gọi là c ò n g thức thề hiện h à m f Bằng cách định nghĩa n h ư t r ê n ,

m ọ i công thức đ ề u có một h à m h ọ p nhất vói n ó

N h ư vậy b á m f ( x i , X 2 , X a ) nhận giá trị Ì hoặc 0 k h i

các biế n nhận các giá t r ị Ì hoặc 0 Nhũn g h à m f như thế

gọi là hàm Bun hay hàm dụi số logic,

Đối v ớ i một h à m Bun n hiến, số róc dãy giá Irị của các biến bằng 2n \ ó ' i m ỗ i dày giá trị của các b i ế n , hàm f

nhấn g i ả t r ị 0 hoặc 1 Do đ ó số c á c hầm Bun khúc n^au chứa lì biến bẵng 22 n

12

ÍÂ.2, Vài hám Bun sơ cấp

Trôn k i a ta đ ã thấy rằng m ỗ i còng thức của đ ạ i số

một công t h ứ c của đ ạ i số mệnh trô the h i ệ n n ó

M ệ n h d è Giả sử f(xi, %2> Xa) là một hàm Ban n

biín, và e= Cei, e>, ea> vời e, 6 ịo, lị (( =t,2, ,n)

13

và le < tì -Khi đó f(Xi, to) có the bưu duĩn

t r o n g t r ư ờ n g h ọ p n à y X j ' = Ì k h i v à c h ỉ k h i X i = Ì =

= ei V ậ y t r o n g cả hai t r ư ờ n g h ọ p , xt e i nhận £>iầ trí? Ì

k h i v à chi k h i X i n h ậ n giá t r ị bằng ei T ừ đ ó suy ra rẳ»ng lích sơ cấp X j ' , x f2 xị k n h ậ n giả t r ị Ì k h i và chỉ kklii

' T h ậ t vậy, giả sử < et, e2, ek > là m ộ t dãy b ấ t k ì

n h i ting giũ t r ị của các b i ế n X I , X 2 , Xk Dĩiy này trùng

v ố n m ộ t duy số mũ trong các tích so- cấp ở vế phải của

(1)) K h i thay dãy giá t r ị này vào các b i ế n x2, Xít

troong đ*ng t h ú c (1), thí c h ỉ một tích sơ cấp nhận íịià

trịt Ì, còn c;'\c tích so- cấp khúc nhận giá t r ị 0, cho nên ta cỏ

ĩ(eữị, ek, X k + 1 , ••• x » ) = 1 • f ( e i , ek, Xk+1, x ) ==

= f ( e 1 } ek, X k + 1 , , X n )

^Vì ( e i de) là mót d ã y b ấ t k ì , nê;i đẳng thức (1) đ ã đin-ọc chứng minh Q]

ĩHệ q u à 1 Đổi với mỗi hàm Bun khàng dòng nhốt ớ

rỏm tại một còng thức chỉ chứa cái- ph<''p toán logic A

' V ế phải của đ ẳ n g thức (2) chinh là công thức chỉ chứa

'Me p h é p toàn A, V , "Ì thề hiện hàm Bun f ( xl t X 2 , X n ) Q

Tà c h ú ỷ r ằ n g trong v ể phải của đẳng thức ( 2 ) , m ỗ i

í c ì h s ơ c ấ p c h ứ a đ u n g n b i ê n va m ỗ i b i ế n c h ỉ x u ấ t h i ệ n

m ệ ộ t l ầ n t r o n g m ỗ i l í c h s ơ c ấ p L á c t í c h s ơ c ấ p d ì u k h á c

íihiau, v i chúng c ó d ã y số m ũ khỉiC nhau

Vè' p h ả i của đẳng thức (2) g ọ i là dạng clìiiằn lắc tuyên hoàn loàn của hàm Bun / " ( t i , x 2 , X n )

Thí dụ: T i m dạng chuẵn t á c tuyên h o à i l o à n của ' â m hun f ( x i , x2, x3) cho bời bảng sau

k h ô n g thề biếu d i ễ n đir.ro d ư ớ i dạng chuầu tấc t u y ê n

h o à n toàn Còn m ộ i h à m Bun n biến đ ò n g nhất b ằ n g Ì

t h i hiền d i ễ n được d ư ớ i dạng clmần tảe t u y ê n h o à n toàn

chứa đ ú n g 2n tích sơ cấp

Bày g i ờ g i ả sử f ( x i , X 2 , X n ) là một h à m Bun n b i ế n

k h ô n g đỏng n h ấ t bằng 1 K h i đó h à m f ( x i , X 2 , xn) không đ ò n g nhất bằng 0 V ậ y theo đ ị n h lí t r ê n , ta cỏ

f ( x i , X 2 M ! * ) = V x ® l x * 2 X *DT ( e i , e i , e « )

í?6

V ế phải của đ ẳ n g thức (3) g ọ i là dạitCỊ chuàn lắc hội

hoàn toàn cùa hàm Bun f(xi, x 2 , Xa)

N h ư vậy ta đ ã chửng m i n h đ ư ợ c

H ệ quả 2 Đỗi với mọi hàm Ban khónq đòng nhát

bằng í , lỏn lụi một cống thức dụng chuồn tắc hội hoàn

toàn thì hiện nỏ [ j

Thỉ dụ Công thức dạng chuẫn tác h ộ i hoàn loàn thế

h i ệ n h à m Boole x2, x 3 ) đ ã cho trong thí dụ i r ê n l à :

f ( n , x2, X j ) = :

= ( x i v x2v x3) A (XIVX2VX3) A (Xivx7vx 3 ) A ( X i V X 2 V X 3 )

-b i ê u d i ê n i t i r / Y f r l i i - T r i r l n n r r f i l l ! f

2 - 1 2 9

h ọ p nhất v ớ i hai công thức t ư ơ n g đ ư i r n g : logic đ ư ọ c

biêu d i ễ n hỏi cung m ộ t công thức dạng chuần tắc t u y ề n

( h ộ i ) hoàn l o à n

1.5 Hệ quả logic

1.5.1 a) Định n g h í a Già sử A và B là hai công Ihức

Ta nói công thức B là hệ quả logic của công thức A , k í

h i ệ u là A ỗ = B, nếu và chỉ nếu v ớ i m ọ i d ã y giả t r ị của

các biến mệnh đ ề có m ặ t trong A và B, m ỗ i k h i giá t r ị

của À bằng Ì t h ì giả {rị của B cũng b ằ n g 1

T ừ đ ị n h nghĩa suy ra ngay rằng nếu B l à hệ quả logic của A thì l ậ p h ọ p các d ã y giá trị của các biển m ệ n h

đ ề l à m cho g i á trị của A bằng Ì b ị chửa trong tập hợp các giá t r ị của các biến mệnh đ ề làm cho giá t r ị của B

bằng 1

Thí dụ : p =• q là hệ quả logic của q, vì m ỗ i k h i q

bằng Ì thì ỗ) => q cũng bằng 1

G i ả sử A = ( A i , A 2 , A m ) là một d ã y h ữ u h ạ n

những công thức Ta nói r ằ n g cócg thức B i a hệ quả

logic cùa dãy A, k i h i ệ u là A 1 = B, n ế u v à chỉ nếu B l à

h ệ quả logic của công (hức A i A A2 A A Am

BỊe a= 1 N h ư vậy, M o theo A =* B nhận gù', trị Ì t r ê n m ọ i

d ã y giá t r ị e Do đ ó 1 = (A =» B )

(«=•> Đảo l ạ i giả sử 1 = ( A =* B) Nếu B không phải là

h è quả logic của A thì tồn t ạ i ít nhất một dãy giá trị e của các b i ế n mệnh đ ề chửa trong A v à B sao cho AỊe 3= Ì và B | e = 0

Khi đ ỏ theo đỉnh nghĩa của giá Irị của m ộ i công thức,

ta có ( A =» B ) | e — 0 Do đ ó A =* B không ị h ả i là m ộ t công thức hằng đ ú n g •

b) Mọi công thức đêa là hệ quả logic cùa một công thức hằng sai

— Mọi công thức hăng đúng đều lồ hệ quả logic của một công thức bát kì

Ta k i h i ệ u m ộ t công Ihức hằng sai là s v à m ộ t công thức hằng đ ú n g là Đ Ta phải chửng minh rằng nếu A l à một công thức bất kì thì s 1 = A và A Ị = Đ

T h ậ t v ậ y vì 1 = (S =» A ) và 1 = ( A ri Đ) theo đỉnh nghĩa

của p h é p =», nén theo tính chất a, ỉa có S | = A v à

A 1 = Đ •

c) Giả sử A — ( A u Á 2 , , A m ) lá một dãy hữu hợn

những công thức Khi đỏ, mọi cồng Ihức trong Á đều

là hệ quá logic của A

Theo t i n h chai a), ta sẽ chửng m i n h rằng

1 = A i A Ả 2 A A A m =* A i ( i = Ì, 2 , , m )

Gỉả sử e là m ộ t dãy b ấ t kì nhờng giả trị của tóc biển

m ệ n h đ ề có m ã i trong các cóng thức của d â y A Theo

đ ị n h nghĩa (ủa p h é p kéo theo ta chỉ cần X<H t r ư ờ n g h ọ p

Ai|e = 0 N ế u Ai'e = 0 t h i hiền nhiên ( A i A A ỉ A Ai

Am) | e = 0, v ì vậy giá trị của cong thức ( A i , A Â 2 A

A Am) ==* A i t r ê n d ã y e bằng 1 Do đ ó công thức ( A i A

A2 A A Am ) =» A i là hằng đ ú n g •

19

d) Nến A I = 4 thi với mọi cõng thức B, ta có A | =

(B => A), tức là nhi A là hệ quả lo'jic của A / A i B =* 1

là hệ quả logic cũn A, vời mọi cônq thức B

Ta g ọ i l ậ p hợp dãy giũ trị e của các biến mệnh (tồ

có m ặ t trong một công thức làm cho công thức đ ó nhím

giũ t r ị Ì là miền đúng của còng thức đ ó

Theo g i ả thiết A 1 = A , v ạ y miền đ ú n g của còng thức A b ị

c h ử a trong micii đ ú n g của công thức A N h ư n g v ử i m ỗ i Ả

d ẫ y g i á trị e, nếu A''e = Ì t h ì (B => A)|e = 1 , tức là m i ề n

đ ú n g của công thức A bị chứa trong m i ề n đ ú n g của công

e) Nếu A \=A ihì A, B \— Ả, tức là nhi A là hệ quả - í

logic của A thì Ả cũng là hệ quả logic của mọi tập hợp

/ ) Nếu công thức hằng sai s là hệ quả logic cùa các

công thức Ai, A 2 , An, ~1 B thì cổng ihửc B là hệ

quả logic cùa các công thức Ai, A 2 , ,Ả D

T h ậ t vậy, theo giả t h i ế t ta có Ai, A2, An, ì B 1 = s,

do đ ó theo t í n h chất g) : A i , A 2 , A n 1 = ( H B =» S ) Già

sử e là một d ã y giũ t r ị của các biế n mệnh đ ề chứa trong

các công thức trên sao cho ( A i A A2 A Ả An)Ị = 1

K h i đ ó vì A i , A2 An 1 = ( - | ú =>S) nen ( 1 B = > S ) | e = 1

T ừ đ ỏ suy ra ~1 H|e = í), do đ ó B|e = 1 Nhu- v ậ y miÊn

đ ú n g của A i A A ỉ \ A An bị chứa trong m u n đ ú n g của công thức B Do đ ó theo đ ị n h nghĩa, ta có A i ,

1.6- L ư ơ e đ ồ chứng minh

1.(5.1 Xét một dãy h ữ u hạn cổng thức, m ỗ i cóng thức hoặc l à hằng đúng, hoặc đước suy ra từ các công t h ú c

đ ú n g t r ư ó c nhờ n h ù n g quy tác nhất đ ị n h Ta n ó i d ã y

công thức đ ó là íược đỏ chứncỊ minh của cồnP thức c u ố i

cùng trong dãy đ ã cho

1.6.2 D ư ớ i đây là một số quy tắc t h ư ờ n g d ù n g Thay

cho Ci.ch v i ế t A 1 = lì ta ghi l i ề n đe A trên d ấ u gạch

li) • quy tác đưa tương đương vào

dễ dàng, nhất là khi số biến mệnh đ ề là khá lớn

22

Đe chứng m i n h một còng thức là hằng đ ú n g ta cũng cỗ

t h ề dựa v à o đ ị n h nghĩa và các tinh chất của k h ả i n i ệ m

hệ quả logic Ta hãy xét m ấ y thí d ụ sau :

Thỉ dụ í : Chứng minh răng công {hức p => (q => Ị)) là

công thức c sao cho c A n e (công thúc hằng sai) là h ệ

q u ả logic của cúc công thức A i , A2, Am, ~1B Dựa v à o

t í n h c l ' ấ t k) của h ệ quả logic, ta k ế t luận r ằ n g B là hệ

q u ả logic của các cóng thức A i , A2, Am

1.7.2 Phương pháp chứng minh bâng tuyền các

Cơ sở của lập luận n à y l à công thức hằng đ ú n g sau5

Cơ sở của l ậ p luận này là luật bắc cầu

1= (p =* q) A (q =* r ) => (p => r ) Ngoài các p h ư ơ n g p h á p chửng minh t r ê n , còn nhiều

p h ư ơ n g p h á p chứng minh khác Song v i c h ú n g ít t h ò n g dụng hon, nên ta không đ ề r ậ p đạn

§ 2 L O G I C V Ị T ừ

B ạ i sạ mệnh đ è lá bộ phận cư bản v à sơ cấp nhất

của logic toán Các phượng tiên của nỏ là ríu cần t h i ế t

n h ư n g c h ư a đ ủ dề phân tích nhiêu suy l u ậ n loàn học Chẳng hạn, chỉ trong khuôn k h ạ của d ạ i sạ m ệ n h đ ề thì không thế thiết l ậ p được tính đúng đản của suy l u ậ n sau:

M ọ i sạ h ữ u tỉ đ ề u là sạ thực, 3/5 là m ộ t sạ h ữ u tỉ, v ậ y 3/5 là một hạ thực

Nguyên nhân của tình hình này là các mệnh de đ ơ n

g i ả n đưọ-c xem là không pliíin tích được, v á c h ú n g k h ô n g

V ì m ọ i mAi ự i đ è chì n h ậ n ruột trong hai g i ả trị Ì hoặc 0 nên ta c ó thề xem F(x) là m ộ t h à m xác định t r ê n t ậ p hợp M v à lây giá trị trong t ậ p hợp ì = Ị 0 Ì Ị Ta g ọ i

F(x) là một oi từ một ngôi xác định trên M Trong Hú

d ụ t r ê n , F ( x ) là vị l ừ « X lá m ộ i số nguyên ló», M là tập

hợp số tự nhiên

T ư ơ n g tự, ta có thê định nghĩa các vị t ừ hai ngôi, ba

ngôi n ngôi t r ê n một tập b ợ p M : Một oi từ lì ngôi trên

m ộ t t ậ p h ọ p M là một h à m xúc định trên H y thừa Đêcác (Descarles> Mn và l ấ y giá trị trong tập hợp ì == ị 0, l ị

Bản t iân các mệnh đ ề cũng đ ư ợ c xem là những vị từ không nqôi Các vỉ t ừ một n g ô i b i ế u thị tính chai cằa các đ ổ i t ư ợ n g , các vị t ừ hai n g ồ i , , l i ngòi biêu thị quan

hệ giữa các đói t ư ợ n g Ta k í h i ệ u cúc vị t ừ hai n g ô i ,

t ừ M ộ t dụng mệnh đ ề là một biíhi thức chứa biế n và

t r ở t h à n h m ộ t mệnh đ ề khi ta thay các giá trị thuộc

£7

M v à o các b i ế n N h i ề u đạitg m ệ n h đ ề khác nhau cỏ th?

ứ n g v ó i cùng m ộ t vị t ừ Chẳng hạn cúc dạng mệnh đì*

t r ê n R : X 1 > 0 v à X 4 > 0 r ổ ràng là khác nhím, song chúng ú n g với cùng một VỊ t ử , lấy giá trị Ì v ó i tất cả

cúc số thực khác không

Cần c h ú ý r ằ n g k h i cho m ộ t vị t ừ t h i p h ả i chỉ l õ l ậ p

h ọ p M t r ẽ n đ ỏ n ó đ i r ọ c xr.c đ ị n h , vì các vị t ừ xúc định

h ở i cấng m ộ t b i ê u thức, n h ư n g t r ê n những tập họp khác

nhau, n ó i chung l à k h á c nhai} Chẳng hạn vị t ừ cho b ả i •*

phirong t r ì n h X 2 -Ị- Ì — 0 t r ê n R không l ấ y giá trị Ì v ớ i

bất ki phần tử X n à o thuộc, R Cũng vị từ ấy trên L thì lấy giá trị Ì tại X = H- i

Íi2, > an) Mệnh đ ì1 n à y c ỏ giá t r ị hằng Ì hoặc bììiiq (ì

VỊ t ử F(xi» x 2 X n ) gọi là hằriịỊ đúng trên M nếu và

c h ỉ n ế u F ( X 1 , x2, x„) n h ậ n giá t r ị Ì trên m ọ i h ộ giá trị cấa các h i ế n đ ố i t ư ợ n g

VỊ t ừ F ( x s x2, X n ) gọ>i là hằng sai trên M, n ế u và

chỉ n í u n ó n h ậ n giá t r ị <() trên m ọ i L ộ giá t r ị cấa cúc

b i ế n đ ố i ttrọ-ng

Vị t ừ F(x ít *2> •••» X n ) g ' ọ i l à thực hiện được trên lí

nếu và c h ỉ nếu tòn t ạ i íit n h ấ t m ộ t bộ giá trị cấi) Ci'.c

b i t n đ ố i l ư ợ n g đồ cho F(X|1» x 2 , X n ) nhận giá trị bằng 1

Tấ' đ ị n h nghĩa n à y suy ra ngay r ằ n g m ộ t vị l ừ hằng

sai t r ẽ n t ậ p hợp M thì khiỏng thực h i ệ n đ ư ợ c trên t ậ p

h ạ p Ẵy

2.1.5 F a i vị t ừ F ( x i , x2 í, sn) v à G x j , x2, X n ) chửa

c ù n g m ộ t số l m n đ ố i t ư ọ m g n h ư nhau v à xúc định trên

28

cùng một t ậ p hợp M g ọ i lỉi lương dương logic, kí h i ệ u

ca các bộ giá t r ị của cúc biến đ ố i t i r ợ n g sao cho t r ê n

các bộ giá trị đ ó F(xi X a ) l ấ y giá t r ị 0, v à n h ậ n giá

t r ị 0 t r ê n t ấ t cả các bộ giá trị sao cho t r ê u đ ò F ( x i , , xn)

l ấ y giá t r ị 1

b) Hội của hai vị tù- F ( x ị , X n ) và G ( x i , X n ) là

m ộ i vị t ừ , k í h i ệ u l à F ( x i , X a ) A G ( v i , X a ) , xác đ ị n h

t r ê n M , \ à nhận giá t r ị Ì t r ê n t ấ t cả các bộ giá t r ị

của các biến đ ó i tiro-rig sao cho t r ê n đ ó F ( x i , X a ) và

G ( X ỉ , Xa) cùng lấy giá t r ị Ì, v à nhậu g i ' i trị 0 t r o n g

các t r ư ờ n g hợp còn l ụ i

c) Tuyên của hai oi lừ F ( M , X a ) v à G ( x i , X n ) , l à

m ộ t vị t ừ , kí h i ệ u là F ( x i , xn) V G ( x i , X a ) , xác đ ị n h

trên M , và n h ậ n giá t r ị 0 t r ê n l ấ t cả các bộ giá t r ị

của cúc biến đ ố i t ư ợ n g sao cho t r ê n đ ó F ( x i , X a ) vù

G ( x i , S n ) cùng l ấ y giá trị 0, và nhận gi'1 trị Ì trong

của cốc Liến đ ố i tượng taic^Ịip trên đ ó F ( x j , , x n ) lấy gi;' 1 , trị Ì còn G(xi, X i ) l ẫ ỳ - ^ i á h i 0, và nhận giá (rị

Ì trong các trường họp CÒI lạpi

e) Tương đương của hai vị từ F ( x i x„) và

G(xi, X n ) là một vị tt, k í hiệu là F(xi X o ) <!=>

G ( x l 5 Xn), xác định trênM v à nhận g i á trị Ì trên t í í t

cả các bộ giả trị của các liến đ ố i tượng sao cho trên đó hai vị từ đ ã cho lấy cùng" m ộ t giá trị như nhau, và nhận giả trị u trong các trrờiỊg h ợ p còn l ạ i

Tron g o í c định nghĩa írêr tả đ ã giử thiết F(xi, , x n ) và

G ( x l f X o ) chúa cùng i r ộ t s ố biển đối tượng n h ư nhau Nhưng trong trường hợp t&ig quát các tập hợp biến

đ ố i tượng trong hai 7ị fx đ à cho cò thề không trùng

nhau Khi đ ó hội, tuy^n, kk> theo hoặc t u ô n g đ ư ơ n g của hai vị từ là nhũng vị từ chửa các biến đ ố i tượng có mặt trong các vị từ đ ã ch*

Chẳng hạn, giả sử F ( x i là một vị từ một ngôi và G(x, y ) là mội vị từ hai ngôi xác định trên một tập h ọ p

M Khi đ ỏ F(x) A G(x, y) là một vị từ hai ngoi N ê u

M = ịa, bị, và trên M giá trị của cúc vị tử đã cho đ ư ọ c xác định, thì giả trị của F ( x ) AG(x, y ) cũng đ ư ọ c xác định Chẳng hạn :

lượng từ- Các p h é p n à y đ ỏ n g m ộ t vai t r ò bết sức quan

trọng Chinh n h ờ cỏ chúng i r à logic vị t ừ t r ở nên phong

p h ú h ơ n n h i ề u so v ớ i đ ạ i s<ổ mệnh đ ề

Cỏ hai l ư ợ n g l ừ , lượng t ừ tồn tại, k i h i ệ u l à 3, v à

l ư ợ n g t ừ phô biên, k í hiệu Hà V Hai l ư ợ n g t ừ n à y g ọ i l à

đối nqẫu v ó i nhau Chúng; ứ n g v ó i đ i ề u đ ư ợ c biÊu thị

trong n g ô n n g ữ thông thưòcmg b ở i các t ừ «cỏ rr.ột» và

VỊ t ừ (1) n h ậ n gi.'-, t r ị Ì, t r ê n bộ giá t r ị (ai a i - u

ai, a„>, k h i v à c h ì k h i vị t ừ m ộ t ngôi F(aj a u i ,

X, a i + 1 , a n ) l à h ằ n g đ ú n g t r ê n M

N h ư vậy, đ ố i v ớ i m ộ t VỊ t ừ m ộ t ngôi F(x) xác định

l i ê n M V ĩ F ( x ) l à m ọ i V Ị t ừ k h ô n g ngoi, íưc là m ộ t

31

b) Lượnq từ tòn tại Giả sư F ( x i , X2, Xn) là m ộ t

vị t ừ n ngôi xúc đ ị n h trên m ộ t tập hợp M Xét một biển

đ ố i t ư ợ n g X i ( i = Ì , n) Á p dọng lượng l ừ tòn tại váo

t h ô n g p h ụ thuộc v à o b i ế n đ ố i t i r ợ n g X ị M ộ t b i ế n đ ố i

t ư ợ n g n h ư t h ế gọi là m ộ t biến rđ/ỉ;7 buộc, còn c:'ic b i ế n

đ ố i t ư ợ n g X i , , X i _ i , Xi+1, x „ t h ì g ọ i l à biên tự do

2.2.3 Một số l i n h c h á t

à) Vị từ Tì — í ngôi Y X i F ( T j , Xo) (ì = 1 , n ) là

hằng đủng trên một tập hợp M khi vá chỉ khi ui từ n

ngôi F(xu x a ) là hằng đúng trên tập hợp đó

b) VỊ từ lĩ — í ngòi 3 r i F(Xị, Xa) ( ĩ = / , lĩ) là

hằng sai trên mội tập hợp M khi và chỉ khi vị lử n

ngôi F(x it , T o ) là hẵng sai trên tập hợp đỏ

Thi dụ: (3y (V xF(x) A B(y)) t * C) là một công thức

Miền tấc dụng (.-lìa lượng tứ V theo biến X là F(x), còn

m i ề n tảc dụng của lượng tử 3 theo biến y là V xF(x) A

A B(y)

2.3.2 Các công thức tương đương logic

Giả sử A và B là hai công thửc bệt k i trong loigic vị

l ừ và M là một tập họp bất kì Ta nói etc công thức A

v à B là tuông đương logic trên tập hợp M, và kí h i ệ u

A , E B, nếu và chỉ nếu khi tjHay cệc biến V Ị từ có mặt

34

Hai cộng thức A và B gọi là lương đương logic k i

h i ệ u A = B, nếu v à c h i nfai, v ớ i m ọ i t ậ p h ọ p M la đ ê u cồ* A = B

a) Nếu A = B t h i V XA = V x B , 3 X À = 3 xB

b ) -ị (V XA) = 3 x ( 1 A )

c ) 1 ( 3 x A ) = v x ( 1 A )

d ) Nếu A chửa b i ế n l ự (Bo X và k h ô n g chửa b i ế n y ,

v à nếu À' là công t h ú c n h ậ n đ ư ủ c t ừ A k h i thay m ỗ i

x u ấ t h i ệ n của biến X hởi bíẽp y, t h ì

2.3.3 Công / A r c hằn 7 đán J, cốnj ỉỉvic hằn] sai

G i ả sử A là m ộ t c â n g thức trong logic vị t ừ Ta nói

Cóng thức A gọi là hãng sai trên tập hợp ít/, nếu và

chỉ nếu, v ' r i m ọ i cách thay t h í cúc b i ế n vị t ừ trong A

bổng các vị t ừ xúc định t r ê n M , các biến đ ố i t ư ợ n g b ằ n g các đ ố i tượng cụ thề thuộc M , ta đ ì u nhận dư/vi m ộ t

công thức sai Công thức A gọi là hări'1 sai nếu và c h i

nếu n ó l à hằng sai t r ê n m ọ i tập h ợ p

D ư ớ i đ ì y ta nêu, k h ô n g chứng m i n h , một sổ còng t h ứ c hang đúiig Itniờng dùng trong cúc l ậ p l u ậ n toún h ọ c

2.4.5 Bi'.y g i ờ ta xét đ ế n ý ngVTa của các lượng l ừ theo

M , sao cho v ớ i m ỗ i p h à n t ử c ó , t ò n tại m ộ t cỗp (x, V )

^ Cp Đối v ớ i m ỗ i cọp ( x0, y ) , x 0 gọi là hình chiếu t h ử

n h ấ t của n ó Đ ố i VÓI m ộ t t ậ p Lựp cỗp ( \ , y), hình c h i ế u

thứ nhĩít của nó là t ậ p họp cúc h ì n h chiêu t h ư nhất của

tất cả các cỗp thuộc no N h ư vậy ta thấy r ằ n g Cự là hình

chiĩu thứ nhất cùa Cp Ta viết :

tức là miên đúng của F(x) = V y p(x, ly) là phân bù

trong M của hình chiêu thứ nhất của phần bù trong Si 2 1

của Cp

2.5 Áp dụng logic vị từ v à o việc viết các mệnh đề

toán họe dưới dạng công thức

T ấ t nhiên các phương t i ệ n ít ỏ i m à ta đ ã cỏ cho t ớ i nay không cho p h é p la f i ế t b ổ i kì mệnh đ ề toán học n à o

d ư ớ i dạng những công thức n h ư t h ế Song c h ú n g c ữ r g tam đ ủ cho các vêu càu của ta

Đề xây dựng ngón ngừ kí h i ệ u của p h é p tính vị l ừ

(theo nghĩa h ẹ p ) , nhằm mò tả các tính chất, các quan

hệ v à di n tả cúc mệnh (tề của một lí thuyết toán học nào

đ ó , ta x u ấ t p h á t t ừ một sụ không l ụ n vị t ừ cơ bản Cúc tính chai và quan hệ khác: sẽ được đ ư a vào d ư ớ i dạng định nghĩa viết t h à n h công thức trong đ ó cỏ m ặ t

Iihủng vị tú' cơ hun và một so biến tự do

V ị t ừ :í|y (x chia hết y) đưọ'c định nghĩa qua các T ị

t ừ cơ bản bang c ò n g thức sau

x[y <a 3 z(y = xz)

N h ừ vị t ừ x | v ta định nghĩa điroc vị t ừ một ngôi « X

Đề d i ê n ta rằng d ã y sổ t h ự c ( a i ) i ^ N cỏ g i ớ i bạn là số

thực a, la v i ế t

l i m (ai) = a ^ (v e > 0) (3 k £ N)

(V i € N A i > k ) ( | a - ail < e) Các đ ị n h nghĩa của h à m số liên lục t ạ i m ộ t d i ễ m , liên tục t r ê n một khoảng, l i ê n lục đen trên n ọ t k h o ả n g

k h ô n g ? Vì trong p h é p tỉnh n à y , các b i ể n tham gia trong các công thức chì liên hệ v ớ i các phàn t ử của m ộ i t ậ p hợp*

m à t h ậ t ra t h i trong toán học ta l ạ i t h ư ờ n g phải nói đòng