Một số ứng dụng của phương pháp thác triển theo tham số để giải phương trình toán tử

Trong thực tiễn những yếu tố của bài toán do nhiều nguyên nhân chỉ có tính chất gần đúng do đó có rất nhiều công trình tập trung nghiên cứu các phương trình toán tử theo quan điểm xấp x

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán Giải tích trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong

suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài

Đặc biệt, tôi xin cảm ơn TS Khuất Văn Ninh đã trực tiếp hướng dẫn

tôi trong suốt quá trình nghiên cứu đề tài và hoàn chỉnh đề tài Xin cảm ơn các bạn học viên lớp KII Toán Giải tích đã giúp đỡ và có những đóng góp quý báu cho bản luận văn này

Hà Nội, tháng 9 năm 2009 Tác giả

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới

sự hướng dẫn trực tiếp của TS Khuất Văn Ninh

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của

các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 9 năm 2009 Tác giả

Mục lục 3

Chương 1 Một số khái niệm mớ đầu - -.- - -<- -<« ‹«< <<7

1.1 Không gian metriC - -.- ẶcằẰ cĂc kàà ke sec D 1.1.1 Định nghĩa không gian metriC / 1.1.2 Tập mở và tập đóng 7

1.1.3 Ánh xạ liên tụC cà sành nh se se ca

1.1.4 Không gian metric đầy - -.- „8 1.1.5 Nguyên lý Banach về ánh Xạ €O .- Ð 1.2 Không gian tuyến tính định chuẩn .Ð

1.3 Phương pháp xấp xi liên tiếp 11

1.4 Phương trình loại hai với toán tử đơn điệu

và liên tục Lipschit 13

Chương 2 Phương pháp thác triển theo tham số đối với phương trình

loại hai với toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz l6

QA Sự tồn tại nghiệm c2 <2 LÔ

định chuẩn - ‹ - c c<< «<< c<+ se «+ s<+ «+ 25

3.1 Sự tồn tại nghiệm của phương trình (3.1) trong không gian ÑÌ cee ee cence eee cen eee eee eaeeaeeee ane 25 3.1.1 Định nghĩa c cà cà sài cài có 25

3.1.2 Sự tồn tại nghiệm 25

3.2 Sự tổn tại nghiệm của phương trình (3.1) trong

không gian ÑŸ c cà cà nàn Sàn hy kh hy ky key xá các cáà BO)

3.2.1 Định nghĩa c cà sàc cài sec cóc xe 30

3.2.2 Sự tồn tại nghiệm - 31

1 Lý do chọn đề tài Bài toán giải phương trình toán tử đã có nhiều nhà khoa học nổi tiếng

đề cập đến Phạm vi ứng dụng của lý thuyết phương trình toán tử rất rộng lớn

và có hiệu lực thực tiễn mạnh mẽ Trong đó có rất nhiều công trình nghiên

cứu về việc tìm nghiệm của phương trình toán tử loại hai đặc biệt là phương

trình loại hai với toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz x + Ax = f Trong

thực tiễn những yếu tố của bài toán do nhiều nguyên nhân chỉ có tính chất gần đúng do đó có rất nhiều công trình tập trung nghiên cứu các phương trình toán

tử theo quan điểm xấp xi

Các phương pháp để nghiên cứu xấp xỉ phương trình toán tử rất phong phú và đa dạng Phương pháp thác triển theo tham số để giải phương trình loại hai với toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz là một trong những phương pháp có ứng dụng rộng rãi, phương pháp được thực hiện thông qua việc chia nhỏ bài toán phức tạp thành những bài toán đơn giản có thể giải được bằng phương pháp ánh xạ co

Phương pháp này đã sử dụng quá trình lặp thông qua một số hữu hạn các bước theo tham số e và mỗi bước được thực hiện nhờ phương pháp ánh

xa co

Bởi vậy tôi đã chọn đề tài “Một số ứng dụng của phương pháp thác triển theo tham số để giải phương trình toán tử” để thực hiện luận văn của mình

2 Mục đích nghiên cứu Luận văn trình bày những nghiên cứu về lý thuyết của phương pháp thác triển theo tham số để giải phương trình toán tử và ứng dụng của phương pháp

nghiên cứu của luận văn là:

Nghiên cứu lý thuyết của phương pháp thác triển theo tham số đối với phương trình loại hai với toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz

Nghiên cứu ứng dụng của phương pháp nói trên để giải phương trình toán tử loại hai trong một số không gian định chuẩn

4 Phương pháp nghiên cứu

Áp dụng phương pháp lặp qua một số hữu hạn các bước theo tham sốe

và mỗi bước được thực hiện nhờ phương pháp ánh xạ co đề tính nghiệm gần đúng của phương trình

5, Giá thuyết khoa học Nghiên cứu ứng dụng của phương pháp thác triển theo tham số để giải phương trình toán tử loại hai trong một số không gian định chuẩn

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn trực tiếp của thầy giáo

TS Khuất Văn Ninh Tác giả mong rằng luận văn này sẽ có những đóng góp hữu ích trong việc giải và nghiên cứu phương trình toán tử

Tác giả xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ tận tình, chu đáo, của thầy giáo TS Khuất Văn Ninh, cảm ơn các thầy (cô) giáo phòng sau đại học, khoa

Toán trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 cùng bạn bè, đồng nghiệp đã động

viên, khích lệ và tạo điều kiện tốt nhất giúp hoàn thành đề tài này

Hà Nội, tháng 9 năm 2009 Tác giả

1.1.1 Định nghĩa không gian metric

Ta gọi là không gian metric một tập hợp X # ® cùng với một số ánh xạ

d từ tích Descartes X x X vào tập hợp số thực R thoả mãn các tiên đề sau đây: I1.(Vx,y e X) d(x, y) >0, d(x, y) = 0 © x = y, ( tiên đề đẳng nhất)

2 (Vx, y € X) d(x, y) = d (y, x), (tiên đề đối xứng)

3 (Vx, y,z € X) d(x, y) < d(x, z) + d(z, y), (tién dé tam giác)

Ánh xạ d gọi là metric trên X, số d(x, y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x & y Các phần tử của X gọi là các điểm, các tiên đề 1, 2, 3 gọi là các tiên đề metric

Không gian metric được ký hiệu là:M = (X,d)

1.1.2 Tập mở và tập đóng Lân cận

Định nghĩa 1.1.2

Cho không gian metric M = (X, d) Ta gọi là lân cận của điểm xe X

trong không gian M mọi hình câu mở tâm x, bán kính r > 0 nào đấy

Tập mở và tập đóng Định nghĩa 1.1.3 Cho không gian Metric M = (X, đ) và tập AcX Tập A goi là tập mở trong không gian M nếu mọi điểm thuộc A đều là điểm trong của A, hay nói

cách khác, nếu điểm x e A, thì tổn tại một lân cận của x bao hàm trong A

lân cận của x không chứa điểm nào thuộc tập A

Định lý 1.1 Trong khong gian metric bat ky, moi hinh cau mo la tập mở, mọi hình câu đóng là tập đóng

1.1.3 Ánh xạ liên tục Cho hai không gian metric M¡ = (X, d¡), Mạ = (Y, d;), ánh xạ f từ không

gian Mi đến không gian M;, Định nghĩa 1.1.4

Ánh xạ ƒ goi là liên tục tại điểm xạ&X nếu:

(Ve > 0) (48 > 0) (VxeX: dj(x, x) <8 thi dz (f(x), f(%m)) < &) Dinh nghia 1.1.5

Anh xa Ff goila lién tuc trén tap ACX, nếu ánh xạ ƒ liên tục tại mọi điểm xeA KhiA = X thì ánh xạ ƒ gọi là liên tục

Định nghĩa 1.1.6 Ánh xạ ƒ gọi là liên tục đều trên tập ACX nếu:

Định nghĩa1.1.9

Cho hai không gian metric M = (X, dị), M = (Y, do) Ánh xạ A không

gian Mị vào không gian Mỹ gọi là ánh xạ co nếu tốn tại số œ, 0 S œ< ] sao cho:

d,(Ax,Ax )Sad, (x,x),Vx,xeX Nguyên lý ánh xạ co

Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian metric đây M = (X, d) vào chính nó

đều có điểm bất động x duy nhất, nghĩa là xe X thoả mãn hệ thức Ax=x Giả sử X là không gian metric đủ và ánh xạ T: X—>X thỏa mãn điều

kiện:

d(Tx, Ty) S œd(x, y) với hằng số œ< ] và Vx, y eX

Khi đó tốn tại duy nhất phần tử x € X sao cho x = Tx hon nita voi

moi x,€ X thi day {x,}„„ xác định bởi x¿.¡ = Tx, VkeN, là hội tụ đến x`, dong CN thời ta có tước lượng:

Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn)

là không gian tuyến tính X trên trường P (P = R hoặc P = C) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R, kí hiệu là || và doc la chuẩn, thoả mãn các tiêu đề sau đây:

1.(Vx e X) |a|>0, |x|=Ø0 ©x= 9 (Ki hiéu phan tir khong lae )

2 (Vx X)(Vae P) |øx| = la In|

3 (Wx, y € X) |x+y| < ||x|* Íy|

S6 |x| gọi là chuẩn của vectơ x

Kí hiệu không gian định chuẩn là X Các tiên đề 1,2, 3 gọi là hệ tiên đề

lim |x, —x„||=0

Định nghĩa 1.2.4 Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach nếu mọi day co

ban trong X déu héi tu

Xét phương trình có dạng

Dinh ly 1.2 Giả sử X là không gian định chuẩn, A là toán tử tác dụng từ miễn

D(A) c X vào X

Giả thiết những diéu sau day dwoc thuc hién

1 Phwong trinh (1.2.1) có nghiệm tại diém trong x của miền D(A)

2 Đối với số dương a tùy ý, và đối với các x, y tầy ý thuộc D(A) ta có bắt đẳng thức |aœ- »)~=(Ax-Ay)Ï <a Ix-zl +||Ax-AyŸ

3.A bị chặn địa phương tại điểm x `

Khi đó:

1 Nghiệm x ĩ duy nhất

2 Tôn tại hình cầu § = S(x * r) với tâm x * 1.3 Phương pháp xấp xí liên tiếp

Kí hiệu X là không gian Banach, A là toán tử tuyến tính tác động trong

Trong X xét phương trình toán tử tuyến tính:

trong đó f là phần tử cho trước thuộc X

Để giải phương trình (1.3.1) ta xây dựng phép lặp nhờ các đẳng thức

Sau:

Trong d6 x,¢X 1a phan tử tùy ý

Dinh ly 1.3 Giả sử toán tử tuyến tính A tác động trong X và |A|<1

Khi đó dãy { x„} hội tụ đến nghiệm duy nhất x ` của phương trình (1.3.1)

và|x, —x'|<|A|f-|x, =x|

lA 1-|al"

Hay Ix, —x |<

Chứng minh

Dat Bx = Ax +f

Ta có ||Bx, — Bx,||=||Ax, + ƒ — Ax; — f||=||Ax, - Ax, = |A( —%;) *|Alllx -:|

Đặt q = ||A||, theo giả thiết 0 < q <1 nên B là ánh xạ co từ X vào X Mặt

khác X là không gian metric đầy đủ nên theo nguyên lý ánh xạ co tỒn tại duy nhat x’ sao cho Bx =x- hay Ax +f=x"

Vậy x” là nghiệm của (1.3.1)

Theo nguyên lý ánh xạ co, x = limx, noo

Ta có:

Íx;=x¡|=|l4x,~ Axj||<||A||lx, - 2 IIx, | = |Ax; — Ax, | s | Allllas 7% | s IAl lx — xl

lx, = x;||=ÏAx, = Ax, | <|All|x, = x, Í SAY" | ~ 30l] Ym

Với mọi p nguyên dương ta có:

thức (1.3.2) hội tụ đến nghiệm duy nhất x` của phương trình (I.3.]) và

Định nghĩa 1.4.1

Ánh xạ A tác dụng trong không gian Banach X được gọi là liên tục

Lipschitz néu đối với các phần tử tuỳ ý x,,x,6 X ước lượng sau đây đúng:

Bổ đề 1.3

Giả sử A là một ánh xạ đơn điệu tác động trong không gian Banach X Khi đó đối với các phan tu tuy ¥ x,,x,EX va đối với các số dương tuỳ ý E,,e,,0<e, <e, bất đẳng thức sau đây đúng:

Í~xs+Ei[Axi=Ass ||<|—x*› +E, [ Ax, - Ax, ]

Ching minh

Giả sử ngược lại tồn tại những phần tử x,,x,,||x,-x,|>0 va nhing sd

dương tuỳ ý e,,e,,0<e, <e, bất đẳng thức sau đây đúng:

Ix, —x,+€, [Ax, — Ax, || > |x, —x, +8, [Ax, — Ax, ] (1.4.1)

Do tính đơn điệu của ánh xạ A, từ bất đẳng thức (1.4.1) suy ra:

lx,—x, <x, -x, +¢, [Ax, - Ax, ] (1.4.2)

Mặt khác, đối với các phần tử tuỳ ý x, yeX phụ thuộc điều kiện

|x|<|x+ y|| thì bất đẳng thức |x+y||< |x+(I+£)y , VE>0 (1.4.3)

đúng

That vay, hinh cau K(r)={v:ve X, v|<r} là một tập bị chặn, đóng và lồi trong không gian Banach X

Do đó giao của hình cầu Kứ) với tỉa P={v:v=x+p;x,ye X,0<r<œ}

với điều kiện |x|<z Iy[>0 là một đoạn Œ)= KŒ)nP={v:v=x+/y,0<r</()} trong đó tham biến dương t(r) được xác định từ điều kiện |x+:œ)y|=r

Vì KŒ,)C KŒ,) khi <x, nên hàm tí) tăng khi r tăng

Từ điều kiện t(r) ting với re (|x |,+=) và từ bắt đẳng thức

[x+:)y|=n < , =|[y+!(;)y|

Suy ra rằng ||x+i,y||<||x+i,y | (1.4.4) đối với ¡:,„ 1, dương tuỳ ý, ¡,<¿,, và đối với các phần tử tuỳ ý x,yeX,

Phương pháp xấp xi liên tiếp, phương trình loại hai với toán tử đơn

điệu và liên tục Lipschitz là đối tượng nghiên cứu chính trong chương 2 và chương 3

Vx,,x,€ X :|fe Ax, —€,Ax, =e, |Ax — Ax, ||

Do A thoả mãn điều kiện Lipschitz nên

€, JAx,-Ax, <Š €,L||x, — x,||

= |,Ax,-£,Ax,||< e„# ||x, - x: |

Mà 0<E£,L<l suy ra e,A là toán tử co

Gia sử nghiệm của phương trình (2.1.1) là x(e) va gia sử x(e,) tim được

Như vậy ta đã cho trượt một bước e, theo tham biến e từ phần tử

x(0) = f theo hướng đến phần tử x(1) =u

Thực hiện các bước tiếp theo như vậy theo tham biến e sẽ đến nghiệm

của phương trình (2.1.2) sau một số hữu hạn bước

Xét phương trình loại hai:

Ching minh Giả sử ánh xạ A thoả mãn điều kiện Lipschitz với hằng số L

Ta cố định một số tự nhiên N sao choN >L và đặt e, =

Ta viết phương trình (2.1.3) dưới dạng sau:

x+Ax=x+—Ax+—Axt+ 4+—Axef

Hay x+Ax=x+te,Axte, Axt t€,Ax=f

Thuc hién N-1 phép thay bién:

Sau các phép thay biến trên phương trình (2.1.3) có dạng:

Ta sẽ chứng minh ánh xạ £,AF, 'F, ' F„', là ánh xạ co với hệ số co q=£,¿L<l

Thật vậy:

Do e¿A là toán tử co do đó với y tuỳ ý thuộc X phương trình Fx=x+£,Ax=y có nghiệm duy nhất

Vì vậy toán tử Ƒ' và Ƒ, xác định tại tất cả các điểm của không gian X

Toán tử F—' thoả mãn điều kiện Lipschitz với hệ số L = 1 vi:

Vy,,y,€X ,dat Fo 'y,=x,,F/'y, = x,

Tù tính đơn điệu của A ta có:

= |x.- x:||< Ï*x.—x,+£u(Ax,— Ax,)

Ay, — Fr'y,

= |x, +e, Ax, )- (x, +€,Ax,)

= |b - >I

Suy ra toán tử e,AF,' là toán tử co với hệ số Le, < 1 và do đó toán tử F;' cũng thoả mãn điều kiện Lipschitz với hệ số L = 1

Thật vậy sử dụng bỏ đề (1.3.1) đối với ánh xạ A ta thu được:

|: ': — F,'z,|= ll, ¬ v»;|= Il, +€,)AX,— x, - €,Ax,]||

<Š Ils, — x, + 2€,(Ax,- Ax,)

= IIx, —X,+€,)(Ax, - Ax,)

= |x, +€,Ax,)- (x, + €,Ax,) + €, Ax, — €,Ax,|

= ly, — 32 +€,AF,'y, — €,AF,'y,

= Io, +€ AF, 'y)- (y;+AF,'y;)||

= | 7%,

Một cách tương tự ta có thể chứng minh rằng tất cả các toán tử

F,'(k =1,2, ,N-1) duoc xác định trên toàn không gian và liên tục

Như vậy phương trình xuất phát (2.1.3) tương đương với phương trình

(2.1.5) cũng giải được duy nhất với phần tử tuỳ ý f

Cụ thể đối với phương trình:

x+Ax=f trong đó A là toán tử tác dụng từ không gian Banach X vào X, f là phần tử

cho trước Giả thiết A(0) = 0

Giá sử hằng số Lipschitz là L và esi

Trong trường hợp này có thể lấy số N = 2

Mỗi lần muốn tìm F-'Œ,) ta cần giải phương trình

1

Nghiệm xấp xi của (2.1.10) có thể tìm bằng phép lặp

x, ‘m+l -l1

=z Mn +y,,x¿ cho tuỳ ý,m =0, 1,2,

Dưới dạng tổng quát có thé viết quá trình lặp như sau:

X= AN, AATF =H M=OL2 2 2

Giá sử dãy này hội tụ đến phần tử x Tiếp theo ta dựng quá trình lặp

tự nhiên là trong các tính toán thực tế ta luôn cần đến một số hữu hạn phép

lặp Ta sẽ ước lượng sai số của phương pháp nêu trên với điều kiện là trong mỗi quá trình lặp chỉ sử dụng n phép lặp Ta giả thiết toán tử trong định lý

(2.1) thoả mãn điều kiện A(0) = 0