quy hoạch động và ứng dụng lý thuyết đồ thị

Trong lý thuyết tối ưu, một trong những bài toán đầu tiên được nghiên cứu trọng vẹn cả về phương diện lý thuyết lẫn thuật toán là bài toán Quy hoạch tuyến tính.. Từ lâu các giải thuật củ

Giáo viên hướng dẫn Sinh viên thực hiện

Cần Thơ, 2015

1

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 4

PHẦN NỘI DUNG 6

Chương I: Bài toán tối ưu hóa tổng quát và phân loại các bài toán 6

1.Bài toán tối ưu hóa tổng quát và phân loại các bài toán 6

1.1.Bài toán tối ưu hóa tổng quát 6

1.2.Phân loại bài toán 7

2.Vấn đề mô hình hóa toán học 7

2.1.Xây dựng mô hình toán học cho một vấn đề thực tế 7

2.2.Một số mô hình thực tế 9

Chương II: Các nguyên tắc cơ bản của quy hoạch động và quá trình nhiều giai đoạn 13

1.Phương pháp phương trình truy toán và các nguyên tắc cơ bản của Quy hoạch động 13

1.1.Bài toán phân phối một chiều và phương trình truy toán 13

1.2.Các nguyên tắc cơ bản của Quy hoạch động 14

2.Quy trình nhiều giai đoạn và phương trình hàm 15

2.1.Quá trình nhiều giai đoạn 15

2.2.Xây dựng phương trình hàm 17

2.3.Sơ đồ tính 17

Chương III: Đại cương về đồ thị 19

1.Các khái niệm cơ bản 19

1.1.Đồ thị 19

1.2.Biểu diễn đồ thị 19

1.3.Bậc của đỉnh trong đồ thị 22

2.Đồ thị có hướng 22

2.1.Định nghĩa 22

2.2.Bậc của đỉnh trong đồ thị có hướng 23

3.Tính chất liên thông của đồ thị đồ thị 24

3.1.Định nghĩa 24

3.2.Định lí 24

3.3.Tính liên thông trong đồ thị 25

Chương IV: Cây 28

1.Các khái niệm cơ bản 28

1.1.Cây và rừng 28

1.2.Định lý về điều kiện đủ của cây 28

1.3.Cây có gốc 29

2.Cây khung 29

2.1.Định nghĩa 29

2.2.Định lí 30

2.3.Cây khung bé nhất 30

Chương V: Các bài toán 31

1.Bài toán tìm đường đi ngắn nhất 31

1.1 Phương pháp quy hoạch động 31

1.2 Phương pháp đồ thị 33

2.Bài toán trung tâm về tổ chức thi công 41

2.1.Bài toán 41

2.2.Mô hình đồ thị của bài toán Gant 41

2.3.Mô hình đồ thị bài toán Pert 44

2.4.So sánh hai mô hình của bài toán Gant và Pert 45

3.Cây khung với trọng lượng nhỏ nhất 45

3

3.1.Bài toán với cây trọng lượng nhỏ nhất 45

3.2.Các phương pháp giải 46

4.Bài toán luồng cực đại trong mạng 49

4.1.Khái niệm về mạng 49

4.2.Luồng trên mạng 50

4.3.Bài toán 51

4.4.Thuật toán Ford-Fullkerson 51

5.Bài toán phân phối tài nguyên 54

6 Bài toán xác định chế độ khoang giếng tối ưu 61

6.1 Thiết lập bài toán 62

6.2.Phương pháp giải 62

6.3 Chương trình và kết luận 63

PHẦN KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Tốiưu hóa là một lĩnh vực toán học nghiên cứu về thuật toán giải các bài toán cực trị Nó là một phần kiến thức không thể thiếu được cho những người làm việc trong các lĩnh vực ứng dụng của khoa học và kỹ thuật Trong lý thuyết tối ưu, một trong những bài toán đầu tiên được nghiên cứu trọng vẹn cả về phương diện lý thuyết lẫn thuật toán là bài toán Quy hoạch tuyến tính Ngay từ khi ra đời, Quy hoạch tuyến tính đã chiếm một vị trí hết sức quan trọng; nó là một môn toán ứng dụng rất cần thiết đối với sinh viên thuộc nhiều ngành học khác nhau Từ lâu các giải thuật của bài toán Quy hoạch tuyến tính đã tìm được phương án tối ưu trong các bài toán gắn liền với cuộc sống thực tế của con người

Thời gian gần đây xuất hiện một phương pháp tìm lời giải tối ưu cũng đang phát triển mạnh mẽ đó là phương pháp Quy hoạch động Nếu như phương pháp Quy hoạch tuyến tính bị ràng buộc bởi các hàm mục tiêu là tuyến tính và phải dựa trên nguyên tắc chính xác, phải biết rõ đường đi một cách chính xác đến kết quả cuối cùng thì phương pháp Quy hoạch động không phải vậy Phương pháp quy hoạch động không cần phải biết rõ đường đi một cách chính xác đến kết quả cuối cùng nhưng nó vẫn cho ta các kết quả tối ưu

Sự xuất hiện của Quy hoạch động gắn liền với tên tuổi của nhà bác học Mỹ R.Bellman mà trong những năm 50 của thế kỷ này đã áp dụng cho một bài toán thực

tế một số công cụ mà sau này gọi là nguyên tắc tối ưu Chính nhờ sự đơn giản và tường minh của nguyên tắc này mà phương pháp Quy hoạch động tỏ ra đặt biệt hấp dẫn

Ngoài sự hỗ trợ hiệu quả của nguyên tắc tối ưu thì lý thuyết đồ thị cũng tỏ ra hiệu qua trong việc hỗ trợ giải quyết các bài toán Quy hoạch động Lý thuyết đồ thị đã đưa ra công cụ đồ thị để thực hiện các phương pháp khác nhau của Quy hoạch động Thật vậy, do giải pháp tìm kiếm của quy hoạch động là đi chuyển từng bước

và cho phép quay lui nên các thành phần của đồ thị như: đỉnh, cung (cạnh), đường

đi phục vụ rất hiệu quả các ý tưởng này Vì vậy, các khái niệm và tính chất cơ bản của đồ thị sẽ là các kiến thức rất quan trọng trước khi xét các bài toán của Quy hoạch động

Quy hoạch động và lý thuyết đồ thị là phần kiến thức mới mẻ đối với sinh viên sư phạm bộ môn Toán Với mong muốn tìm hiểu và khai thác sâu hơn về kiến thức môn Quy hoạch động và ứng dụng của Lý thuyết đồ thị để mở rộng tầm hiểu biết của bản thân nên em quyết định chọn đề tài “Quy hoạch động và ứng dụng lý thuyết

đồ thị”

2 Mục đích nghiên cứu:

5

Hệ thống lại một cách chi tiết vấn đề lý thuyết liên quan đến Quy hoạch động, xây dựng hệ thống bài tập vận dụng để từ đó thấy được tầm quan trọng và tính thực tế của nó đối với các lĩnh vực khoa học kỹ thuật, các hoạt động của đời sống xã hội

3 Nội dung nghiên cứu:

- Nghiên cứu các kiến thức liên quan đến bài toán Quy hoạch động: phân loại các bài toán, các nguyên tắc cơ bản của Quy hoạch động, khái niệm về đồ thị, cây

- Nghiên cứu các thuật toán để giải bài toán Quy hoạch động và một số bài tập vận dụng các thuật toán

4 Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Sưu tầm tài liệu, nghiên cứu tài liệu sau đó phân tích tổng hợp hệ thống hóa lại các kiến thức

- Phương pháp lấy ý kiến: tham khảo ý kiến của người hướng dẫn

PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I: BÀI TOÁN TỐI ƯU HÓA TỔNG QUÁT VÀ PHÂN LOẠI

CÁC BÀI TOÁN

1 Bài toán tối ưu hóa tổng quát và phân loại các bài toán

Khi tiến hành kế hoạch sản xuất, điều khiển các hệ thống và thiết kế kỹ thuật mà biết dựa trên các nguyên tắc cực trị ta sẽ tiết kiệm được vật tư tiền vốn, tài nguyên sức lao động, thời gian và tăng hiệu quả giải quyết các vấn đề đặt ra

Trên cơ sở đó chúng ta đã tìm ra được cơ sở lý thuyết và các phương pháp thực hành để giải quyết các vấn đề đó mang tên là Tối Ưu Hóa hay còn gọi là Quy hoạch toán học

1.1 Bài toán tối ưu hóa tổng quát

Bài toán tối ưu hóa tổng quát được phát biểu như sau:

Cực đại hóa (cực tiểu hóa) hàm:

max(min) )

( x 

Với các điều kiện:

m i b x

g i( )(,,) i, 1, (1.2)

n

R X

Bài toán (1.1) + (1.3) được gọi là một quy hoạch, hàm f(x) được gọi là hàm mục

tiêu, các g i(x),i1,mđược gọi là các hàm ràng buộc, mổi đẳng thức hoặc bất đẳng

thức trong hệ (1.2) được gọi là một ràng buộc Tập hợp:

},1,),,)(

x

x  ( 1, 2, , n)  được gọi là một phương án (hay một lời giải chấp nhận được) Một phương ánx*D đạt cực đại (hay cực tiểu) của hàm mục tiêu, cụ thể là:

D x x f

x

f ( *) ( ),  (đối với bài toán max)

D x x f

x

f ( *)  ( ),   (đối với bài toán min)

được gọi là phương án tối ưu (lời giải tối ưu) Khi đó giá trị f (x*)được gọi là giá trị tối ưu của bài toán

7

1.2 Phân loại bài toán

Một trong những phương pháp thông dụng nhất để giải bài toán đặt ra là phương pháp điểm diện, tức là: tính giá trị hàm mục tiêu f (x )trên tất cả các phương án, sau đó so sánh các giá trị tính được để tìm ra giá trị tối ưu và phương án tối ưu của bài toán Tuy nhiên cách giải này khó có thể thực hiện được, ngay cả khi kính thước

của bài toán (có số biến n ràng buộc m) là không lớn, bởi vì tập D thông thường

gồm một số rất lớn các phần tử, trong nhiều trường hợp là không đếm được

Vì vậy cần phải có những nghiên cứu trước về mặt lý thuyết để có thể tách ra từ bài toán tổng quát những bài toán “dễ giải” Khi nghiên cứu lý thuyết đó thường là:

- Nghiên cứu các tính chất của các thành phần bài toán (hàm mục tiêu, các hàm ràng buộc, các biến số, các hệ số,…)

- Các điều kiện cần và đủ của cực trị

- Các điều kiện tồn tại lời giải chấp nhận được

- Tính chất của các đối tượng nghiên cứu

Các tính chất của các thành phần của bài toán và đối tượng nghiên cứu giúp ta phân loại các bài toán Một bài toán tối ưu (quy hoạch tối ưu) được gọi là:

- Quy hoạch tuyến tính hàm mục tiêu f (x)và tất cả các ràng buộcg i(x),i1,mlà tuyến tính Một trường hợp riêng quan trọng của Quy hoạch tuyến tính là Bài toán vận tải

- Quy hoạch tham số nếu các hệ số trong biểu thức của hàm mục tiêu và các ràng buộc vào tham số

- Quy hoạch động nếu đối tượng xét là các quá trình có nhiều giai đoạn nói chung, hay các quá trình phát triển theo thời gian nói riêng hay là trường hợp hàm mục tiêu có dạng tách biến

- Quy hoạch phi tuyến nếu f (x) hoặc có ít nhất một trong các hàmgi(x )là phi tuyến hoặc cả hai trường hợp đó cùng xảy ra

- Quy hoạch rời rạc nếu miền ràng buộc D là tập rời rạc Trong trường hợp riêng

khi các biến chỉ nhận giá trị nguyên ta có Quy hoạch nguyên Một trường hợp riêng của Quy hoạch nguyên là quy hoạch biến Booles khi các biến số chỉ nhận giá trị 1 hoặc 0

- Quy hoạch đa mục tiêu nếu trên cùng một miền ràng buộc ta xét nhiều hàm mục tiêu khác nhau

2 Vấn đề mô hình hóa toán học

2.1 Xây dựng mô hình toán học cho một vấn đề thực tế

Viêc mô hình hóa toán học cho một bài toán có thể chia làm 4 bước:

- Bước 1: Xây dựng mô hình định tính cho vấn đề thực tế tức là xác định các yếu

tố có ý nghĩa quan trọng nhất và xác lập các quy luật mà chúng ta phải tuân theo Nói một các khác là phát biểu mô hình bằng lời, bằng biểu đồ, các điều kiện về kinh tế, tự nhiên, xã hội, các mục tiêu cần đạt được

- Bước 2: Xây dựng mô hình toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả lại dưới dạng ngôn ngữ toán học cho mô hình định tính Khi có một hệ thống ta chọn các biến số đặc trưng cho trạng thái của hệ thống Mô hình toán học thiết lập mối liên hệ giữa các biến số và các hệ số điều khiển hiện tượng Việc làm quan trọng

ở bước này là phải xác định hàm mục tiêu, tức là một đặc trưng càng lớn (càng nhỏ) của nó tương ứng với hiệu quả càng tốt hơn giải quyết được vấn đề mà người nhận lời giải mong muốn Tiếp theo đó là phải diễn tả bằng các phương trình hoặc bất phương trình các điều kiện kinh tế, kỹ thuật,… đó là các ràng buộc toán học mà các biến số phải tuân theo

- Bước 3: Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán hình thành trong bước 2 Căn cứ và mô hình đã xây dựng cần phải chọn hoặc xây dựng phương pháp giải cho phù hợp Tiếp đó cụ thể hóa phương pháp bằng các thuật toán tối ưu Vì các bài toán thực tế thường có kích thước lớn nên không thể giải bằng tay mà phải sử dụng máy tính điện tử Vậy cần chương trình hóa thuật toán bằng ngôn ngữ lập trình phù hợp Sau đó đưa lên máy tính điện tử để chạy

và in ra kết quả

- Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả tính toán thu được trong bước 3, trong bước này cần xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực nghiệm hoặc áp dụng phương pháp phân tích chuyên gia Ở đây

có thể xảy ra một trong hai khả năng sau:

Khả năng 1: Mô hình và kết quả tính toán phù hợp với thực tế Khi đó cần lập một

bảng tổng kết ghi rõ cách đặt vấn đề, mô hình toán học, thuật toán tối ưu, chương trình, các chuẩn bị số liệu để đưa vào máy tính, nghĩa là toàn bộ các công việc cần thiết cho việc áp dụng mô hình và kết quả để giải quyết vấn đề thực tế đặt ra Trong trường hợp mô hình cần được sử dụng nhiều lần thì phải xây dựng hệ thống phần mềm đảm bảo giao diện thuận lợi giữa người sử dụng và máy tính điện tử, không đòi hỏi người sử dụng phải có trình độ chuyên môn cao về Tin học

Khả năng 2: Mô hình và kết quả bài toán không phù hợp với thực tế Trong trường

hợp này cần phải xem xét lại các nguyên nhân của nó Có thể nêu ra 4 nguyên nhân sau:

9

 Nguyên nhân 1: Các kết quả tính toán trong bước 3 chưa có đủ độ chính xác cần thiết Khi đó cần phải xem xét lại các thuật toán cũng như các chương trình tính toán đã viết và sử dụng

 Nguyên nhân 2: Các số liệu ban đầu (các hệ số, thông số) không phản ánh đúng thực tế giá cả hoặc chi phí trên thị trường hoặc các mức vật tư, các số liệu khác

về công suất, khả năng máy móc, dự trữ tài nguyên, lúc này cần điều chỉnh lại một cách nghiêm túc, chính xác

 Nguyên nhân 3: Mô hình định tính chưa phản ánh được đầy đủ hiện tượng trong thực tế Nếu vậy cần rà soát lại bước 1 xem có yếu tô hoặc quy luật nào còn bị

bỏ sót không?

 Nguyên nhân 4: Việc xây dựng mô hình toán học ở bước 2 chưa thỏa đáng Cần phải xây dựng lại cho phù hợp- mức độ tăng dần từ tuyến tính đến phi tuyến tính, từ tĩnh đến động, từ nhất định đến ngẫu nhiên

2.2 Một số mô hình thực tế

2.2.1 Bài toán Quy hoạch tuyến tính

Đề bài: Một công ty muốn sản suất hai loại sản phẩm mới A và B bằng các nguyên liệu I, II và III Suất chi phí nguyên liệu để sản xuất các sản phẩm đó cho trong bảng sau, có ý nghĩa:

- Để sản xuất 1 đơn vị sản phẩm A cần dùng 2 đơn vị nguyên liệu I và 1 đơn vị nguyên liệu II

- Để sản xuất 1 đơn vị sản phẩm B cần dùng 1 đơn vị nguyên liệu I và 2 đơn vị nguyên liệu II và 1 đơn vị nguyên liệu III

Ban giám đốc công ty có dự trữ các loại nguyên liệu I, II và III tương ứng là 8, 7 và

3 Tiền lãi 1 đơn vị sản phẩm A là 4 triệu đồng, 1 đơn vị sản phẩm B là 5 triệu đồng Cần thiết lập kế hoạch sản xuất sao cho công ty thu được nhiều tiền lãi lớn nhất trên cơ sở hạn chế về nguyên liệu

Mô hình bài toán có dạng:

max 5

4 ) ( x  x1  x2 

03

72

82

2 1

2

2 1

2 1

x x

x

x x

x x

Bài toán lập kế hoạch sản xuất tối ưu tổng quát phát biểu như sau:

Giả sử một xí nghiệp sản xuất n loại sản phẩm và sử dụng m loại nguyên liệu khác

:

i

b lượng dữ trự tài nguyên loại i(i 1,m)

Trong các điều kiện đã cho hãy xác định các giá trị x j(j1,m)sao cho tổng tiền lãi (hay tổng giá trị sản lượng hàng hóa) là lớn nhất với số tài nguyên hiện có

j x c

m i

b x a

j

n

j

i j ij

,1,0

,1,

1

(ràng buộc về nguyên liệu I) (ràng buộc về nguyên liệu II) (ràng buộc về nguyên liệu III) (ràng buộc về dấu của biến số)

11

2.2.2 Bài toán vận tải

Có m kho hàng cùng chứa một loại hàng hóa (đánh số i 1,m) lượng hàng có ở kho ilàa i,(i1,m) Gọi khoilà điểm pháti Cónđịa điểm tiêu thụ loại hàng trên

(đánh số j 1,n) với nhu cầu tiêu thụ ở điểmjlàb j,(j1,n) Gọi điểm tiêu thụ

jlà điểm thuj

Biết c ijcước phí vận chuyển một đơn vị hàng hóa từ điểm phát i đến điểm thuj,

),1,

Ký hiệu xij là lượng hàng vận chuyển từ điểm phát iđến điểm thuj Khi đó ta có mô

j ij

ij x c

n j b x

m i a x

ij

m

i

j ij

n

j

i ij

,1,,1,0

,1,

,1,

1 1

Ngoài ra còn điều kiện cân bằng thu phát:

a

2.2.3 Bài toán cái túi

Một người đi du lịch muốn đem theo một cái túi nặng không quá b kilogam có n đồ vật mà anh ta dự định đem theo Mỗi một đồ vật loại j có khối lượng ajkilogam với các điều kiện sau:

và giá trị cj, người đi du lịch muốn chất vào túi các đồ vật sao cho tổng giá trị đồ vật đem theo là lớn nhất

Ký hiệuxj là số đồ vật loại j sẽ chất vào trong túi, ta có bài toán sau :

x

n j

:

,1

2.2.4 Bài toán Quy hoạch động

Bài toán quy hoạch động:

Xét bài toán phân bổ tài nguyên:

Có một loại tài nguyên trữ lượng b cần phân phối cho n đơn vị sản xuất Biết rằng nếu phân phối cho đơn vị thứ j một lượng tài nguyên xj thì hiệu quả mang lại là

n j

b x

x c

j

n

j j

j n

j j

, 1 , 0

max )

(

1 1

13

CHƯƠNG II: CÁC NGUYÊN TẮC CƠ BẢN CỦA QUY HOẠCH

ĐỘNG VÀ QUY TRÌNH NHIỀU GIAI ĐOẠN

1 Phương pháp phương trình truy toán và các nguyên tắc cơ bản của Quy hoạch động

1.1 Bài toán phân phối một chiều và phương trình truy toán

1.1.1 Bài toán phân phối

Trong thực tế có nhiều tài nguyên khác nhau: nhân công, tiền, máy, nhiên liệu… mỗi tài nguyên có thể sử dụng theo nhiều cách và cho nhiều hiệu quả khác nhau, vấn đề đặt ra là cần phân phối các tài nguyên đó như thế nào để hiệu quả sử dụng tổng cộng lại là lớn nhất

Ta xét quá trình phân phối một tài nguyên Có một tài nguyên trữ lượng a, có N

cách sử dụng Nếu sử dụngxiđơn vị theo cách thứ i (i 1,2, ,N)thì sẽ được hiệu quả do bằng hàm i( xi) Hãy qui định số đơn vị xicần dùng theo mỗi cách iđể tổng hiệu quả là lớn nhất

Mô hình bài toán có dạng:

1

2

1, , , )(

max)

x

a x

i

N

i i

,1,0

1.1.2 Phương trình truy toán

Để nghiên cứu bài toán trên ta lồng nó vào một họ các quá trình phân phối nào đó

Thay cho một bài toán với số lượng tài nguyên a cho trước và số cách sửdụng N cố định, ta xét một họ các bài toán như vậy, trong đó a và N thay đổi, tức là ta chuyển

quá trình tĩnh thành quá trình động

(2.2) (2.3)

Vì cực đại cùa hàmR ( x1, x2, , xN)chỉ phụ thuộc vào a và N, ta gọi trị tối ưu của bài

toán là f N (a)thìf N(a)maxR(x1,x2, ,x N)trong đó xi thỏa mãn (2.2) và (2.3) Khi N

thay đổi hãy tìm mối liên hệ giữa các hàmf N (a) Vì ở đây ta biết ngay f1(a)1(a)nên

có thể nói rõ hơn là:1(a)với a thay đổi, hãy tìm mối liên hệ giữa f2và f1,…, fNvàf N1

?

Giả sử xN : 0  xN  alà lượng tài nguyên quyết định đối với quá trình thứ N Khi đó

bất kỳ xNnhư thế nào, số lượng còn lại a  xNsẽ được sử dụng để sao cho nhận được thu nhập tối ưu củaN 1quá trình theo định nghĩa là fN1( a  xN)nên sự quyết địnhxN cho quá trình thứ N đi đến thu nhập tổng cộng đối với N quá trình:

) (

)(max)(max

1,1,0

)]

, ,,([maxmax

,1,0

), ,,(max)(

1

1 1

1 0

1

1 2

1 0

1 2

1

N i x

x a x x

x

N i x

x a x x

x x R

N i x

a x x

x x R a

N

i i i N

N a x

i

N N

i i N

a x

i

N

i i N

x a f x a

f N( )max{N( N) N1(  N)}, 2,3, ;0 N  (2.4)

Như vậy ta đã được bài toán cực trị của N biến về bài toán cực trị 1 biến và phương

trình (2.4) gọi là phương trình truy toán của quy hoạch động Đó là ý nghĩa cơ bản của phương pháp quy hoạch động giải bài toán cực trị bằng phương pháp phương trình truy toán

Biết f1(a)1(a), dựa vào phương trình truy toán (1.4) ta tìm được f2(a), sau đó lại thayf2(a)vào (2.4) ta tìm đượcf3(a),… cứ như vậy cho tới khi tìm được f N (a)

Cơ sở của việc làm này là nguyên tắc tối ưu tổng quát mà ta xét trong mục sau đây

15

1.2 Các nguyên tắc cơ bản của Quy hoạch động

Quy hoạch động là việc quy hoạch từng giai đoạn của quá trình nhiều giai đoạn mà trong đó sau mỗi giai đoạn ta chỉ tối ưu hóa một bước Tuy nhiên khi quy hoạch một quá trình nhiều giai đoạn ở mỗi bước ta phải lựa chọn điều kiện trên cơ sở không phải xuất phát từ lợi ích nhỏ hẹp của chính bước đó mà từ lợi ích chung của toàn bộ quá trình

1.2.1 Nguyên tắc đánh số từ dưới lên

Đối với giai đoạn cuối có thể làm cho nó tốt nhất mà không lo hậu quả Khi đó giai đoạn này trở nên ổn định mà ta có thể xét giai đoạn ở trước nó và cứ tiếp tục cho tới lúc ta đi được tới gian đoạn đầu của quá trình

1.2.2 Nguyên tắc thông số hóa bài toán

Ở giai đoạn cuối cùng ta chưa biết kết quả nên ta phải đặt ra giả thuyết cho giai đoạn này rồi ứng với giả thuyết đó ta tìm điều kiện tối ưu hóa cho giai đoạn cuối cùng Ở các bước khác tình hình xảy ra như vậy Do đó quá trình điều khiển tối ưu

sẽ phụ thuộc vào các thông số đặc trưng cho kết quả ở bước trước

1.2.3 Nguyên tắc lồng

Ta lồng bài toán đang xét vào họ các bài toán Họ các bài toán này nhờ có các tham

số nên ta giải được ta cứ giải những bài toán thuộc họ này với các tham số khác nhau cho tới khi gặp được tham số tương ứng với bài toán xuất phát thì xong

1.2.4 Nguyên tắc tối ưu hóa (Bellman)

Dáng điệu tối ưu có tính chất là: dù trạng thái ban đầu và điều khiển ban đầu có dạng như thế nào thì điều khiển tiếp theo cũng là tối ưu đối với trạng thái thu được trong kết quả tác động những điều khiển ban đầu

Nhờ các nguyên tắc trên mà ta có thể viết ra một dãy các phương trình truy toán cho

phép chuyển việc giải một bài toán phức tạp gồm n biến số về giải n bài toán một

biến số

2 Quá trình nhiều giai đoạn và phương trình hàm

2.1 Quá trình nhiều giai đoạn

Xét một quá trình gồm n giai đoạn và đánh số bắt đầu từ giai đoạn cuối

) 1 (

P

) 1 (

P

) 1 (k 

Để xác định một quá trình n giai đoạn cần 6 yếu tố:

2.1.1 Vecto trạng thái

Giải sử vecto trạng thái sản phẩm tham gia vào quá trình ở giai đoạn (n) chính là

trạng thái ban đầu của quá trình làP(n)(P1(n), ,P s(n))

Khi giai đoạn n kết thúc ta nhận được vecto trạng thái:

))1(), ,1(()1(n  P1 n P n

Có thể gọi trạng thái ban đầu của giai đoạn n 1

2.1.2 Vecto điều khiển

Đối với giai đoạn n, trạng thái thu được P(n 1 )không chỉ phụ thuộc vào trạng thái

ban đầu P(n) mà còn phụ thuộc vào vecto điều khiển

))(), ,(()(n q1 n q n

Hệ vecto (q(n),q(n1), ,q(1))gọi là một chiến lược

2.1.3 Phương trình của quá trình

NếuP (k)vàq (k) đã xác định và chọn thì ta thu được trạng thái xác định P(k 1)

Có mối quan hệ hàm

m k

k q k P T k

2.1.4 Ràng buộc của quá trình

Ngoài phương trình trên P (k)và q (k)còn phải thỏa mãn các ràng buộc của phương trình: R i(P(n), ,p(1));q(n), ,q(1))0;i1,m

2.1.5 Hàm mục tiêu của phương trình

Ký hiệu hàm mục tiêu của quá trình là:

))1(), ,();

0(), ,(

1

))(),((

2.1.6 Các thông số của quá trình

Là những hằng số xác định quá trình Nếu xác định chính xác các thông số thì có thể xác lập được mối quan hệ giữa chiến lược tối ưu hóa và quá trình và do đó có

17

thể nhận biết 2 quá trình có cùng một họ hay không? Nếu chúng cùng họ thì ta có thể dựa trên chiến lược tối ưu của quá trình trên mà suy ra chiến lược tối ưu của quá trình sau

2.2 Xây dựng phương trình hàm

Ký hiệu f k ( k P( ))là thu nhập tối đa củakgiai đoạn, nếu trạng thái nào làP (k)và vùng chiến lược tối ưu

Chia quá trìnhk giai đoạn thành hai phần: giai đoạnkvà k 1giai đoạn còn lại và giả

sửk 1giai đoạn còn lại được điều khiển tối ưu

Ký hiệu g k(P(k),q(k))là thu nhập ở giai đoạnk

Áp dụng nguyên tắc tối ưu ta có thể lập luận như sau

Dùng điều khiểnq (k)nào đó cho giai đoạn k thì thu nhập của kgiai đoạn là

))1(())

Nhưng theo phương trình của quá trình P(k1)T(P(k),q(k))

Vì vậy có thể viết thu nhập của cả k giai đoạn là:

))]

(),(([))(),(

Phương trình (2.6) gọi là phương trình hàm của quy hoạch động

Cho f0(P(0))0thì từ (2.6) ta xác định được f1(P(t)),t1,2, Đến khi ta nhận được ))

1(

) 1 (

f



Tìm g1(P(1),q(1))từ bộ rời rạc các giá trị của nó với một số khác các giái trị xác định của P( 1 )vàq( 1 )từ miền chấp nhận được tương ứng Vì rằng f0(P(0))0(hiệu quả không có nữa vì quá trình đã kết thúc) nên ( (1)) max 1( (1), (1))

) 2 (

Ta cóf n ( n P( ))là giá trị tối ưu

Lưu ý : việc ký hiệu trạng tháiP (k)có thể tùy từng bài toán

19

CHƯƠNG III: ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐỒ THỊ

1 Các khái niệm cơ bản

1.1 Đồ thị

Đồ thịG(V,E) là một bộ phận gồm 2 tập hợp V và E, trong đó V≠Ø, các phần

tử của V được gọi là các đỉnh (vertices), các phần tử của E được gọi là các cạnh

(edges), mỗi cạnh tương ứng với 2 đỉnh

Nếu cạnh e tương ứng với 2 đỉnh v, w thì ta nói v và w là 2 đỉnh kề (hay 2 đỉnh liên kết) với nhau Ta cũng nói cạnh e tới hay liên thuộc với các đỉnh v và w kí hiệu:

vw

e (hoặc evwhay ewv) Các cạnh vv tương ứng với 2 đỉnh trùng nhau

được gọi là một vành khuyên tại v

Hai cạnh phân biệt cùng tương ứng với một cặp đỉnh được gọi là 2 cạnh song song hay cạnh bội Đồ thị không có cạnh song song và cũng không có vòng được gọi là đơn đồ thị Ngược lại là đa đồ thị

Đồ thị mà mọi cặp đỉnh của nó đều kề nhau được gọi là đồ thị đầy đủ Đơn đồ thị đầy đủ gồm n đỉnh được kí hiệu: Kn

Đồ thịG'(V',E')được gọi là một đồ thị con của đồ thịG(V,E)nếu

.'

Biểu diễn mỗi đỉnh của đồ thị bằng một điểm

Một cạnh được biểu diễn bằng một đường nối 2 đỉnh liên thuộc với cạnh đó

Ví dụ 1: Đồ thị G có V {a,b,c,d,e};E {ab,ac,ad,bd,cd,ce}được biểu diễn hình học sau:

Ví dụ 2: Đồ thị G có V {u,v,x,y};E {uv,uv,ux,vx,xy,yy}được biểu diễn hình học sau:

Chú ý: Khi biểu diễn hình học của đồ thị, giao của các cạnh chưa chắc là đỉnh của

- Ma trận liền kề của một đồ thị khác nhau tùy thuộc vào thứ tự liên kết các

đỉnh Do đó, có tới n! ma trận liền kề khác nhau của một đồ thị n đỉnh vì có n! các sắp xếp n đỉnh

- Ma trận liền của một đồ thị là một ma trận đối xứng vì nếu viđược nối với

j

v thì v jcũng được nối vớivivà ngược lại nếuvikhông được nối nới v thì j v j

cũng không được nối với vi

Người ta còn dùng ma trận liên thuộc để biểu diễn đồ thị Cho G (V,E)là một

đồ thị với v1, v2, , vnlà các đỉnh và e1, e2, , enlà các cạnh của G Khi đó ma trận liên thuộc của G theo thứ tự trên của V và E là một ma trận M (m ij)nmvới :

Chú ý : Các ma trận liên thuộc cũng có thể biểu diễn được các cạnh bội và khuyên

(vòng) Các cạnh bội (song song) được biểu diễn trong ma trận liên thuộc bằng cách dùng các cột có các phần tử giống hệt nhau vì các cạnh này được nối với cùng một cặp đỉnh Các vòng được biểu diễn bằng cách dùng một cột với đúng một phần tử bằng 1 tương ứng với đỉnh nối khuyên đó

v 0 0 0 1 1 0 0 0 4

v 0 0 0 0 0 0 1 1 5

v 0 0 0 0 1 1 0 0

c

d

1 nếu cạnh e nối với đỉnh j vi

0 nếu cạnh e không nối với đỉnh j vi

Định nghĩa: Đỉnh v của đồ thị G được gọi là có bậc n nếu v kề với n đỉnh khác

Ký hiệu: deg(v) hay d(v)

- Mỗi vòng (khuyên) tại v được kề là 2 cạnh tới v

- Đỉnh có bậc 0 gọi là đỉnh cô lập

- Đỉnh có bậc 1 gọi là đỉnh treo

- Cạnh tới đỉnh treo gọi là cạnh treo

- Đồ thị mà mọi đỉnh đều là đỉnh cô lập gọi là đồ thị rỗng

23

Một đồ thị G(V,E)gồm tập hợp các đỉnh V và tập hợp cách cạnh E bao gồm các cặ,p sắp thứ tự của V Cạnh e tương ứng với một cặp thứ tự ( a , b )của hai đỉnh

V

b

a,  được gọi là một cạnh có hướng từ a đến b

Kí hiệu: e ab , trong đó a được gọi là đỉnh đầu, b được gọi là đỉnh cuối

Chú ý: Đỉnh đầu và đỉnh cuối của khuyên (vòng) là trùng nhau

- Đối với đỉnh a: d in(a)0,d out(a)2

- Đối với đỉnh b: d in(b)4,d out(b)1

- Đối với đỉnh c: d in(c)2,d out(c)3

- Đối với đỉnh d: d in(d)1,d out(d)2

- Đối với đỉnh e: d in(e)2,d out(e)1

d

)()

3 Tính chất liên thông của đồ thị

3.1 Định nghĩa

3.1.1 Đường đi:

Đường đi có độ dài n từ đỉnh v0đến vnlà một số nguyên dương, trong một đồ thị vô hướng là một dãy các cạnh liên tiếp v0v1,v1v2, ,v n1v n Đỉnh v0được gọi là đỉnh đầu, đỉnh vnđược gọi là đỉnh cuối Đường đi này được viết gọn: v0v1v2 v n1v n Khi chỉ cần nêu ra đỉnh đầu v0và đỉnh cuốivn, ta viết v0v n

 Một đường đi không qua cạnh nào lần thứ hai được gọi là đường đi đơn giản

(đường đi đơn)

 Một đường đi không qua đỉnh nào lần thứ hai gọi là đường đi sơ cấp

 Lưu ý: Đường đi sơ cấp là đường đi đơn giản, nhưng đường đi đơn giản có thể không là đường đi sơ cấp

3.1.2 Chu trình:

Một đường đi khép kín (đỉnh đầu trùng đỉnh cuối) và có độ dài n 3được gọi là

một chu trình

 Chu trình không đi qua cạnh nào lần thứ hai gọi là chu trình đơn giản

 Chu trình không đi qua đỉnh nào lần thứ hai (trừ đỉnh đầu trùng đỉnh cuối) được gọi là chu trình sơ cấp

Ví dụ:

abcdbe là một đường đi đơn giản

eabdc là một đường đi sơ cấp

3.2 Định lý:

3.2.1 Định lí 1:Cho G (V,E)là một đồ thị vô hướng có V 3và có  v  V

có d(v)2thì trong G luôn tồn tại một chu trình sơ cấp

Chứng minh:

Vì G là một đồ thị hữu hạn, mỗi đường đi sơ cấp qua từng đỉnh không quá một lần, nên số đường sơ cấp trong G là hữu hạn Do đó, ta luôn xác định được đường đi sơ cấp có độ dài cực đại trong các số đường đi sơ cấp có trong đồ thị G (V,E)

có một chu trình sơ cấp

3.2.2 Định lí 2: Cho G (V,E)là một đồ thị vô hướng có V 4và v  V có

3)

i v v v v v v v v

v1 2 3 1

 có độ dài chẵn và đường đi sơ cấp:

1 1 1

4 v i v i v j v j v

 có độ dài lẻ nên chu trình :

1 1 1

G: liên thông H không liên thông

Cho đồ thị G(V,E)vàvV V'là tập hợp các đỉnh của V liên thông với v, E’

là tập hợp các cạnh nối 2 đỉnh của V’ Khi đó đồ thị G'(V',E') gọi là thành phần

liên thông của G chứa v Đương nhiên nếu v và u liên thông trong G thì thành phần liên thông của G chứa v cũng là thành phần liên thông chứa u

 Cầu: Nếu trong đồ thị G ta bỏ đi một cạnh e sẽ tạo ra nhiều thành phần liên

thông hơn G thì e được gọi là cầu

Ví dụ: Đồ thị G có:

Đỉnh cắt: b, c, e

Cầu: ab, ce

Chú ý: Không phải đồ thị nào cũng có đỉnh cắt và cầu

d) Định lý: Trong mọi đồ thịG(V,E) có ít nhất n 2đỉnh V n2 Nếu

V v

 1, 2 thỏa d(v1)d(v2)nthì G là đồ thị liên thông

Hệ quả: Trong mọi đồ thịG(V,E)có n đỉnh, nếu mọi đỉnh v  V có

27

Ví dụ:

b) Tính liên thông yếu

Đồ thị có hướng G được gọi là liên thông yếu nếu đồ thị vô hướng tương ứng của

G khác nhau của G, chẳng hạnvG1,wG2 Theo giả thuyết do G chỉ

có đúng 2 đỉnh bậc lẻ nên trong mỗi đồ thị con G1và G2 có đúng một đỉnh bậc

lẻ Mâu thuẫn với tính chất số đỉnh bậc lẻ trong một đồ thị là một số chẵn Vậy

v và w phải liên thông với nhau

CHƯƠNG IV: CÂY

1 Các khái niệm cơ bản

1.1 Cây và rừng

1.1.1 Cây

Cây là một đồ thị vô hướng, liên thông và không có chu trình sơ cấp

Do cây không có chu trình sơ cấp nên cây không có cạnh bội và khuyên Vậy mọi cây là đơn đồ thị

Ví dụ:

G1 và G2 là các cây

H1 và H2 không là cây

1.1.2 Rừng

Rừng là đồ thị vô hướng không có chu trình

Nhận xét: Rừng là một đồ thị có nhiều thành phần liên thông mà mỗi thành phần liên thông là một cây

Ví dụ:

G là một rừng và G có 2 thành phần liên thông

1.2 Định lý về điều kiện đủ của cây

Nếu trong đồ thị vô hướng G, mọi cặp đỉnh của nó luôn tồn tại một đường đi sơ cấp duy nhất thì G là một cây

Chứng minh:

Giả sử G là một cây ta sẽ chứng minh mọi cặp đỉnh trong G đều tồn tại một đường

đi sơ cấp duy nhất

29

đi lặp lại Khi đó trong G sẽ có một chu trình : u v j v j1 u (1)

- Mặt khác, giả sử trên G có 2 đường đi sơ cấp khác nhau 1và 2nối 2 đỉnh

v và w Được liệt kê lần lượt như sau:1v1v2 v n w và 2 vv1'v2' v n'w

 Gọi i là chỉ số bé nhất của các đỉnh trên đường đi sao cho :

' ' 1

Cho T là một cây có gốc, v là một đỉnh khác gốc từ cây T

- Cha của v là đỉnh uTsao cho có một cạnh có hướng duy nhất từu v

Khi đó, u được gọi là cha của v và v được gọi là con của u

- Các đỉnh có cùng cha được gọi là anh em

- Các đỉnh của cây không có con được gọi là lá

- Các đỉnh có con được gọi là đỉnh trong

Cho G là một đơn đồ thị Một cây được gọi là cây khung của G nếu nó là đồ thị con của G và chứa tất cả các đỉnh của G

Ví dụ : Cho đơn đồ thị G sau :

Một cây khung tạo ta từ G bằng cách xóa đi các cạnh tạo chu trình đơn :af, bc

 Giả sử G liên thông Nếu G không phải là một câyG có chu trình đơn Xóa đi một cạnh trong chu trình đơn này Khi đó, đồ thị nhận được có số cạnh ít hơn G nhưng số đỉnh vẫn bằng số đỉnh của G và vẫn liên thông Nếu đồ thị con này không phải là cây thì nó còn chứa chu trình đơn Lặp lại quá trình trên, ta lại xóa đi một cạnh của chu trình đơn này Quá trình

cứ tiếp tục cho đến khi không còn chu trình đơn nào Điều này luôn thực hiện được vì ta chỉ xét đồ thị hữu hạn khi quá trình kết thúc, ta nhận được một cây khung của G

31

CHƯƠNG V: CÁC BÀI TOÁN

1 Bài toán tìm đường đi ngắn nhất

Trong thực tế, nhiều bài toán có thể mô hình bằng đồ thị có trọng số Đó là đồ thị

mà mỗi cạnh của nó được gán một con số (nguyên hoặc thực) gọi là trọng số Ví dụ

ta đưa ra mô hình một hệ thống đường hàng không Mỗi thành phố được biểu diễn bằng một đỉnh, mỗi chuyến bay là một cạnh nối 2 đỉnh tương ứng Nếu trong bài toán đang xét ta cần tính khoảng cách giữa các thành phố thì ta cần gán cho mỗi cạnh của đồ thị cơ sở trên khoảng cách giữa các thành phố tương ứng Nếu ta quan tâm đến thời gian của mỗi chuyến bay thì ta sẽ gán thời lượng này cho mỗi cạnh của

đồ thị cơ sở

1.1 Phương pháp quy hoạch động :

Ví dụ: Một công ty cần chở hàng từ thành phố A đến thành phố B Mạng các con đường nối 2 thành phố này được vẽ trên hình sau:

- Ta đồng nhấtA1,B10

- Trên hình vẽ, đỉnh của mạng ta cho tương ứng với các thành phố

- Các dây cung của mạng là các cung đường

- Chi phí chuyên chở hàng từ thành phố s (s1, ,9) đến thành phố

)10,

2(j

j được viết trên các cung đường của mạng

Hãy tìm hành trình nối các thành phố A và B sao cho tổng chi phí chuyên chở hàng

là nhỏ nhất

Giải

Ta chia tập tất cả các đỉnh ra thành các tập con :

Tập con 1- gồm các đỉnh số 1 :{1}

Tập con 2- gồm các đỉnh có các cung đi từ đỉnh 1 vào đỉnh {2,3,4}

Tập con 3- gồm các đỉnh có các cung đi từ các đỉnh tập con 2 vào đỉnh {5,6,7}

Tập con 4- gồm các đỉnh có các cung đi từ các đỉnh tập con 3 vào các đỉnh {8,9} Tập con 5- gồm các đỉnh có các cung đi từ đỉnh tập con 4 vào đỉnh {10}

Bất kỳ hành trình nào từ thành phố 1 đến thành phố 10 đều chứa 4 cung đường Mỗi cung trong chúng nối 2 đỉnh thuộc 2 tập con tương ứng Vì vậy quá trình giải bài toán tìm hành trình tối ưu được chia ra làm 4 giai đoạn

Theo nguyên tắc của Quy hoạch động ta đánh số các giai đoạn từ dưới lên Ta đưa vào các kí hiệu sau đây :

Gọi n là kí hiệu bước (giai đoạn) n 1,2,3,4

;9

;03)10()

9(

10)(

;8

;05)10()

8(

1 0

10 , 9 1

1 0

10 , 8 1

c f

s f s f

c f

 Xét n2 : ta phải đưa ra các giả thuyết về vị trí có hàng :

Giả thuyết 1 : hàng ở thành phố 5

Giả thuyết 2 : hàng ở thành phố 6

Giả thuyết 3 : hàng ở thành phố 7

 (8), (9) min9 5,8 3 11min

)5

f

9)5(

)7

f

8)7(

;

 j

s