Bài giảng toán ma trận

1 Định thức con2 Hạng của ma trận Định nghĩa Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp... Hạng của ma trậnTính định thức dựa vào định thức con Định nghĩa Định thức con Định thức

Trang 1

1 Định thức con

2 Hạng của ma trận

Định nghĩa

Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp

Trang 2

Hạng của ma trận

Tính định thức dựa vào định thức con

Định nghĩa (Định thức con)

Định thức của ma trận con cấp k của A = (a ij)n×n được gọi là định thức con cấp k của A.

Định thức của A có thể được tính thông qua công thức sau

1≤j1<j2< <jk≤n

(−1)i1+···+i k+j1+···+jk |A {i1, ,i k;j1, ,jk}|.|A {i1, ,i k;j1, ,jk}|

trong đó A {i1, ,ik;j1, ,jk}là ma trận con của A có được bằng cách bỏ đi k

dòng i1, ,i k và bỏ đi k cột j1, ,j k

Công thức này còn được gọi là khai triển định thức theo k dòng i1, ,i k

Trang 3

Ví dụ 1

Tính định thức của ma trận

A =











 bằng cách khai triển theo các dòng 1, 2

Ta có

1≤j1<j2≤4

(−1)1+2+j1+j2 |A {1,2;j1,j2} |.|A {1,2;j1,j2}|

|A| = (−1){1+2+1+2}|A{1,2;1,2}|.|A{1,2;1,2}| =

= 3.5 = 15

Trang 4

Tổng quát, xét A = (a ij)n×n

A =





O C(n−k)×(n−k)





Bằng cách khai triển định thức theo k dòng đầu tiên ta được:

1≤j1< <jk≤n

(−1)1+···+k+j1+···+jk |A {1, ,k;j1, ,jk} |.|A {1, ,k;j1, ,jk}|

|A| = (−1) 1+···+k+1+···+k |A {1,··· ,k;1,··· ,k} |.|A {1,··· ,k;1,··· ,k}|

= (−1)2(1+···+k) |B||C| = |B||C|.

Trang 5

Ví dụ 2

Tính định thức của ma trận

A =











 bằng cách khai triển theo các dòng 1, 2

Ta có

1≤j1<j2≤4

(−1)1+2+j1+j2|A {1,2;j1,j2}|.|A {1,2;j1,j2}|

|A| = (−1){1+2+3+4}|A{1,2;3,4}|.|A{1,2;3,4}|

= (−1)10

= 3.5 = 15

Trang 6

Tổng quát, xét A = (a ij)n×n

A =





C(n−k)×(n−k) O





Bằng cách khai triển định thức theo k dòng đầu tiên ta được:

1≤j1< <jk≤n

(−1)1+···+k+j1+···+jk|A {1, ,k;j1, ,jk} |.|A {1, ,k;j1, ,jk}|

|A| = (−1) 1+···+k+(n−k+1)+···+n |A {1,··· ,k;n−k+1,··· ,n} |.|A {1,··· ,k;n−k+1,··· ,n}|

= (−1)k(n+1) |B||C|

Trang 7

Ví dụ 3

Tính định thức

|A| =

Khai triển định thức theo dòng 1,2,3 ta được

1≤j1<j2≤5

(−1)1+2+3+j1+j2+j3|A {1,2,3;j1,j2,j3}|.|A {1,2,3;j1,j2,j3}|

|A| = (−1){1+2+3+3+4+5}|A{1,2,3;3,4,5}|.|A{1,2,3;3,4,5}|

= (−1)18

= 2.5 = 10

Trang 8

Hạng của ma trận Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp

Hạng của ma trận

Định nghĩa

Hạng của A = (a ij)m×n , được kí hiệu là rank(A), là cấp cao nhất của ma trận con của A sao cho tồn tại một ma trận con cấp đó có định thức khác không.

Lưu ý:

rankA ≤ min{m; n}

Ví dụ 4

Cho A =

Ta có rank(A) ≤ 2 và tồn tại định thức con cấp 2:

A{1,2;2,3}

=

= −2 6= 0 nênrankA = 2.

Trang 9

Định lý

1 Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận.

2 Ma trận bậc thang theo dòng có hạng bằng số dòng khác không của nó.

Trong thực hành ta biến đổi Abiến đổi sơ cấp→ B, với B là ma trận BTTD Theo

định lý trên ta dễ dàng xác định rankA

Ví dụ 5

Xác định hạng của A =









Trang 10

Định lý

Ví dụ 5





1 −2 −1 0





Trang 11

Định lý

Ví dụ 5





1 −2 −1 0





Ta có

A d2=d2−d1−→

d3=d3+2d1









d3=d3+d2

−→







=B.

Trang 12

Ví dụ 6





3 1 −1 0

−2 1 2 −1





Ta có A d2=2d2−3d1−→

d3=d3+d1







Ta có rankA = rankB = 3.

Trang 13

Ví dụ 7

Biện luận theo a hạng của A =













Ta có A d2↔d4−→













c1↔c4

−→













c1↔c2

−→













d2=d2+(−2)d1 d3=d3+(−7)d1

−→

d4=d4+(−4)d1













Trang 14













d3=d3+(−5)d2

−→

d4=d4+(−3)d2













d3↔d4

−→













Ta có rankA = rankB =

2 , nếua = 0

3 , nếua 6= 0 .

Hạng ma trận Tìm hạng ma trận phép biến đổi sơ cấp

Hạng ma trận< /h3>

Định lý

1 Các phép biến đổi... data-page="14">

Hạng ma trận< /h3>













d3=d3+(−5)d2... 8

Hạng ma trận< /h3>

Định nghĩa

Hạng A = (a ij)m×n

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	139,24 KB