Bài giảng toán cao cấp về trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Hệ thuần nhất có nghiệm khác khôngVậy là trị riêng khi và chỉ khi là nghiệm của phương trình đặc trưng.. được gọi là phương trình đặc trưng của ma trận vuông A... =Tính định thức ở vế tr

Av u

Au

1 0

=     u =       − 1 1 v   2 1

=    

Số được gọi là trị riêng của A, nếu tồn tại véctơ x khác khôngλ , sao cho Ax = λ x

Khi đó, véctơ x được gọi là véctơ riêng của ma trận vuông A

tương ứng với trị riêng λ

Tính và Hãy cho biết nhận xét Au Av

Giải 1 6 6 24

−

−

Au

Ví dụ

1 6

5 2

=     u =       − 6 5 v =       − 3 2

Véctơ nào là véctơ riêng của A?

Ta có Au = − 4 u ⇒ u là véctơ riêng

−

−

Av

Không tồn tại số để λ Av = λ v ⇒ v không là véctơ riêng

6

 

−

 

Giải. Xét hệ phương trình Ax = λ1x

Ví dụ

3 4

6 5

=     λ1 = − 1; λ2 = 3

Số nào là trị riêng của A?

3 4

1

6 5





Hệ này có vô số nghiệm, nên tồn tại một nghiệm khác không,

ví dụ 1

1

=  ÷   − khi đó Ax = λ1x Vậy là trị riêng λ1

Kiểm tra tương tự thấy không là trị riêng λ

Hệ thuần nhất có nghiệm khác không

Vậy là trị riêng khi và chỉ khi là nghiệm của phương trình đặc trưng λ λ

Giả sử là trị riêng của ma trận A λ0 ⇔ ∃ ≠ x0 0 : Ax0 = λ0 0x

Ax λ x

0

det( A λ I ) 0

Đa thức gọi là PA ( ) det( λ = A − λ I ) đa thức đặc trưng của A

được gọi là phương trình đặc trưng của

ma trận vuông A

det( A − λ I ) 0 =

Bước 1 Lập phương trình đặc trưng det( A − λ I ) 0 =

(Tính định thức ở vế trái, ta có phương trình bậc n theo ) λ

Tìm trị riêng, véctơ riêng của ma trận vuông A cấp n

Bước 2 Giải phương trình đặc trưng Tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng là trị riêng của A và ngược lại

Bước 3 Tìm VTR của A tương ứng TR (chẳng hạn) λ1

1 ( A − λ I X ) = 0.

bằng cách giải hệ phương trình

Tất cả các nghiệm khác không của hệ là các VTR của A ứng với trị riêng λ1.

Bội hình học của trị riêng là số chiều của không gian con riêng tương ứng với trị riêng đó

Định nghĩa

Không gian nghiệm của hệ được gọi là

Định nghĩa

không gian con riêng ứng với TR , ký hiệu

1 ( A − λ I X ) = 0

1

Bội đại số của trị riêng là bội của trị riêng trong phương trình đặc trưng λ

Định nghĩa

λ

Bội hình học của trị riêng luôn nhỏ hơn hoặc bằng bội đại số của nó

Định lý

Các véctơ riêng ứng với các trị riêng khác nhau thì độc lập tuyến tính

Định lý

Bội hình học của trị riêng lớn hơn hoặc bằng 1 ( 0)

Chú ý

≠

Ví dụ

3 1 1

2 4 2

1 1 3

A

det( A − λ I ) 0 =

Tìm trị riêng; cơ sở, chiều của các kgian con riêng ứng

Lập phương trình đặc trưng của A:

λ

λ

λ

−

−

( λ 2) ( λ 6) 0

BĐS = 2 BHH chưa biết?

1 2

λ =

Trị riêng

BĐS = 1 BHH = 1

2 6

λ =

Trị riêng

1 ( A − λ I X ) = 0

1

3

x

x

 

Giải hệ bằng cách biến đổi ma trận hệ số ta được nghiệm tổng quát

0 , 1

 ÷  ÷

     − − 

là cơ sở của kgian con riêng

Eλ = E

1 2 3

1

2

2

2

x x x

−

−

−

Tìm cơ sở, chiều của kgian con riêng ứng với λ1 = 2.

⇒

1

dim( Eλ ) 2 =

Hoàn toàn tương tự ta tìm được cơ sở và chiều của không gian con riêng ứng với trị riêng λ2 = 6.

Ví dụ 1 1 1

=

L L

L

A Tìm trị riêng; cơ sở, chiều của các kgian con riêng ứng

của ma trận vuông cấp n

Xét phương trình đặc trưng: det( A − λ I ) 0 =

Tính vế trái pt đặc trưng bằng cách cộng tất cả các hàng lên hàng

1, ta có thừa số chung là suy ra là trị riêng thứ 2.( n − λ ) λ2 = n

Nhận xét thấy det (A) = 0 nên A có một trị riêng bằng λ1 = 0

Tương ứng với TR xét hệ thuần nhất λ1 = 0 ( A − λ1I X ) = 0

Dễ thấy không gian nghiệm này có chiều bằng n-1, vậy BHH của

TR này bằng n – 1, suy ra BĐS của lớn hơn hoặc bằng n -1 λ1

Tổng các BĐS bằng n, vậy không còn TR khác nữa!