Thời điểm dừng

Thông thường chúng ta viết att∈J cho lưới f được xác định bởi f t = at Sự hội tụ có thể được định nghĩa cho bất kỳ tập định hướng nàotheo cách giống như định nghĩa cho các dãy chỉ số bởi

LỜI NÓI ĐẦU 3

1.1 Biến ngẫu nhiên 4

1.2 Sự hội tụ của biến ngẫu nhiên 4

1.3 Một số kiến thức về độ đo 5

2 Thời điểm dừng 7 2.1 Tập định hướng 7

2.1.1 Định nghĩa 7

2.1.2 Định lý đầy đủ cho dãy 9

2.2 Cơ sở ngẫu nhiên 10

2.3 Thời điểm dừng 11

2.3.1 Định nghĩa 11

2.3.2 Một vài tính chất cơ bản 12

2.4 Tùy chọn dừng 14

2.4.1 Mệnh đề 14

2.4.2 Bất đẳng thức maximal 14

3 Amart 16 3.1 Định nghĩa 16

3.2 Tính chất 17

3.3 Sự hội tụ 19

4 Các quá trình định hướng và định lý Radon-Nikodym 22 4.1 Các quá trình chỉ số bởi tập định hướng 22

5 Kỳ vọng điều kiện 28 5.1 Định nghĩa và tính chất cơ bản 28

5.2 Martingale và các quá trình liên hệ 30

5.4 Trường hợp thuộc dãy 37

Thời điểm dừng là một khái niệm quan trọng Trong giải tích xácsuất, đặc biệt trong nghiên cứu các quá trình ngẫu nhiên, thời điểmdừng là một dạng đặc biệt của "biến ngẫu nhiên" Những lý thuyết vềcác thời điểm dừng có thể được nghiên cứu trong xác suất và thống

kê, đáng chú ý là trong lý thuyết tùy chọn dừng Ngoài ra, thời điểmdừng còn là công cụ cơ bản để xây dựng nhiều khái niệm, và là kỹthuật quan trọng trong nhiều phép chứng minh toán học

Chính vì thế, tôi chọn đề tài khóa luận là "THỜI ĐIỂM DỪNG".Khóa luận được cấu trúc gồm năm chương như sau,

Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Thời điểm dừng

Cuối cùng cho phép tác giả gửi lời cảm ơn chân thành tới quý thầy

cô và các bạn đã đọc và góp ý để khóa luận được hoàn thiên Đặcbiệt, tác giả xin được gửi tới TH.S Lương Đức Trọng, người trực tiếphướng dẫn tác giả lòng biết ơn chân thành và sâu sắc

Các kiến thức chuẩn bị

1.1 Biến ngẫu nhiên

Cho không gian xác suất (Ω, F , P)

Định nghĩa 1.1 Ánh xạ X : Ω → R được gọi biến ngẫu nhiên ( F-đo được) nếu với bất kỳ x ∈ R tập {ω : X (ω) < x} ∈ F

Định nghĩa 1.2 P [ω : X (ω) < x] gọi là phân phối xác suất của biếnngẫu nhiên X

Ký hiệu F (X) = P [ω : X (ω) < x]

Định nghĩa 1.3 Cho X là một biến ngẫu nhiên (tức là F -đo được).Xét {Fi}i∈I là họ các σ-đại số con của F sao cho X là Fi -đo được.Khi đó σ (X) = T

i∈I

Fi là một σ-đại số và X là σ (X)-đo được Hơnnữa σ (X) là σ-đại số nhỏ nhất sao cho X là đo được Ta gọi σ (X)

là σ-đại số sinh bởi biến ngẫu nhiên X

1.2 Sự hội tụ của biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.4 Dãy các biến ngẫu nhiên Xn, n > 1 được gọi là hội

tụ theo xác suất về đại lượng ngẫu nhiên X khi n → ∞ nếu với ∀ε > 0cho trước tùy ý thì tồn tại giới hạn lim

Định nghĩa 1.6 Dãy biến ngẫu nhiên (Xn) được gọi là hội tụ theotrung bình bậc p (0 < p < ∞) đến biến ngẫu nhiên X nếu

Nếu Xn −−→ X thì Xh.c.c n −→ X điều ngược lại nói chung không đúng.P

Định lí 1.8 Nếu dãy biến ngẫu nhiên đơn điệu tăng (giảm) Xn −→ XPthì Xn

sup

k>n

|Xk − X| > ε

với bất kỳ dãy (An) ⊆ F các cặp rời nhau từng đôi,

µ (∩An) = lim µ (An) Nếu A1 ⊆ A2 ⊆ , thì µ (∪An) = lim µ (An).Định lí 1.15 Một hàm tập cộng tính, đếm được giá trị thực µ có biếnphân hữu hạn

Định lí 1.16 (tính liên tục tuyệt đối) Cho µ là một hàm tập cộngtính đếm được liên tục tuyệt đối đối với P Khi đó với mọi ε > 0, đềutồn tại δ > 0 sao cho nếu A ∈ F và P (A) < δ, thì |µ (A)| < ε

Thời điểm dừng

2.1 Tập định hướng

2.1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 2.1 Một tập định hướng là một tập hợp khác rỗng J ,cùng với một quan hệ ≤ thỏa mãn:

(1) nếu t1 6 t2 và t2 6 t3, thì t1 6 t3

(2) t 6 t với ∀t ∈ J

(3) nếu t1, t2 ∈ J, thì tồn tại t3 ∈ J với t1 6 t3 và t2 6 t3

Một tập định hướng đôi khi còn được gọi là "lọc bên phải" Khimột tập định hướng được quy định cụ thể, chúng ta có "hướng" đượcthể hiện bằng cách sắp thứ tự: khi t được sắp theo thứ tự lớn dần,thì t đang tiến gần hơn đến mục tiêu chúng ta đang quan tâm Ví dụquen thuộc nhất về một tập định hướng là tập N các số nguyên dươngvới thứ tự thông thường

Định nghĩa 2.2 Một tập J cùng với một quan hệ ≤ gọi là một tậpnửa định hướng (hoặc "lọc bên trái") nếu và chỉ nếu mối quan hệngược lại 60 được xác định bởi:

t1 60 t2 ⇔ t2 6 t1

làm cho J là một tập định hướng

Khi chúng ta xem xét một tập nửa định hướng, chúng ta quan tâmđến "hướng" quy định để t tiến gần hơn tới mục tiêu khi nó nhỏ hơntheo thứ tự ≤

Ví dụ:

Tập N các số nguyên dương là một tập định hướng Các số lớn hơnđược coi là "gần tới ∞"; vì vậy chúng ta cần quan tâm đến giới hạnhình thức

lim

n→∞.Tập −N là một tập nửa định hướng; chúng ta sẽ sử dụng nó khichúng ta quan tâm tới giới hạn hình thức

lim

n→−∞.Định nghĩa 2.3 Một lưới (hay dãy tổng quát) là một hàm mà miềnxác định của nó là một tập định hướng

Thông thường chúng ta viết (at)t∈J cho lưới f được xác định bởi

f (t) = at

Sự hội tụ có thể được định nghĩa cho bất kỳ tập định hướng nàotheo cách giống như định nghĩa cho các dãy chỉ số bởi N Sự hội tụcủa các lưới, hay các dãy tổng quát, thường được gọi là "sự hội tụMoore-Smith."

Định nghĩa 2.4 Cho J là một tập định hướng, cho S là một khônggian tôpô, và cho (at)t∈J ⊆ S là một lưới trong S Chúng ta nói rằng(at) hội tụ đến một điểm a ∈ S nếu và chỉ nếu, với mỗi lân cân U của

a, đều tồn tại t0 ∈ J sao cho với mọi t > t0, ta có at ∈ U

Nếu S là một không gian metric, với metric ρ, thì định nghĩa trên

có thể được trình bày lại như sau: lưới (at) ⊆ S hội tụ tới a ∈ S nếu

và chỉ nếu, với mọi ε > 0, đều tồn tại t0 ∈ J sao cho ρ (at, a) < ε vớimọi t > t0 Ký hiệu:

lim

t∈J at = a;

sự định hướng trong J được tự hiểu

Định nghĩa 2.5 Một lưới (at)t∈J trong không gian metric (S, ρ) đượcgọi là một lưới Cauchy nếu và chỉ nếu, với mọi ε > 0, đều tồn tại

t0 ∈ J sao cho với mọi t ≥ t0 ta có ρ (at, at0) < ε

Ta thấy mọi lưới hội tụ đều là lưới Cauchy Điều ngược lại nói chung

là không đúng Trong không gian metric các số hữu tỷ có một số dãyCauchy không hội tụ

Định nghĩa 2.6 Một không gian metric S được gọi là đầy nếu và chỉnếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ trong S

2.1.2 Định lý đầy đủ cho dãy

Định lí 2.7 (Định lý đầy đủ cho dãy) Cho S là một không gianmetric với metric ρ và cho (at) là một lưới trong S Giả sử một trongcác điều kiện sau đây thỏa mãn:

(1) (atn) hội tụ trong S với mọi dãy tăng (tn) trong J ;

(2) tồn tại chỉ số sn ∈ J sao cho dãy (atn)n∈N hội tụ trong S với mọidãy (tn) trong J với tn > sn với mọi n;

(3) (at) là một lưới Cauchy và S là đầy

Khi đó lưới (at) hội tụ

Chứng minh Giả thiết (1) suy ra giả thiết (2), do đó trường hợp (1)của định lý được suy ra từ trường hợp (2) Điều đó là đủ để ta chỉ cầnchứng minh trường hợp (2) và (3)

Bây giờ ta chỉ ra rằng nếu (at) thỏa mãn (2) thì nó là một lưới Cauchy.Thật vậy, nếu (at) không phải là một lưới Cauchy, thì tồn tại ε > 0

để cho với mọi t0 ∈ J , tồn tại t > t0 mà ρ (at0, at) > 2ε

Chúng ta sẽ chỉ ra rằng: tồn tại chỉ số t0 > s0, t1 > s1 sao cho

Bởi vì tập chỉ số J được định hướng, nên ∃t1 ∈ J sao cho t1 > t0, t1 >

s1 và ρ (at0, at1) > ε Điều này có thể được áp dụng đệ quy để xác địnhmột dãy t1 6 t2 6 sao cho tn > sn và ρ atn, atn+1
> ε với mọi n,mâu thuẫn với (2)

Bây giờ giả sử (at) là một lưới thỏa mãn (2) hoặc (3)

Bởi vì (at) là một lưới Cauchy, chúng ta có thể xây dựng đệ quymột chuỗi t1 6 t2 6 sao cho với mọi t > tn, ta có ρ (atn, at) < 2−n.Trong trường hợp (2), lại vì J là định hướng, nên ta có thể chọn tn để

tn > sn

Bây giờ (atn)n∈N hội tụ trong S

• Trong trường hợp (2) điều này là đúng do giả thiết

• Trong trường hợp (3) điều này đúng bởi vì (atn) là một dãyCauchy và S là đầy

Gọi a là giới hạn của dãy (atn) Ta chỉ ra rằng lưới (at) cũng hội tụtới a Để thấy điều này, lưu ý rằng

2−m = 2−m+1 Vậy ta có điều phải chứng minh

2.2 Cơ sở ngẫu nhiên

Cho (Ω, F , P) là một không gian xác suất; trong đó: Ω là một tậpkhác rỗng, F là một σ-đại số các tập con của Ω, và P là một hàmcộng tính đếm được, không âm đo được trên F với P(Ω) = 1

Định nghĩa 2.8 Một dãy (Fn)n∈N các σ-đại số con của F được gọi

là một cơ sở ngẫu nhiên nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn điều kiện đơnđiệu: nếu m ≤ n thì Fm ⊆ Fn

Ω gọi là không gian mẫu, các phần tử của F gọi là các biến cố, và

số P(A) gọi là xác suất của biến cố A

Trong thuật ngữ này, tập chỉ số N có thể được coi như là "thờigian," và Fn là tập các biến cố "trước thời điểm n" (theo nghĩa rộnglà:≤ n) Cho một biến cố A ∈ Fn, nếu chúng ta được cho tất cả mọi

thứ được biết đến tại thời điểm n, thì chúng ta có thể xác định đượcbiến cố A có xảy ra hay không.

Các khái niệm (Ω, F , P) và (Fn)n∈N sẽ được tự hiểu trong suốt tàiliệu này

Định nghĩa 2.9 Giả sử một cơ sở ngẫu nhiên (Fn) được cho trước.Một dãy (Xn)n∈N của các biến ngẫu nhiên được gọi là tương thích với

cơ sở ngẫu nhiên nếu và chỉ nếu Xn là Fn-đo được với ∀n ∈ N

Một dãy tương thích (Xn) của các biến ngẫu nhiên (giá trị thực, hữuhạn) có thể được gọi là một quá trình ngẫu nhiên chỉ số bởi N

Nếu một dãy (Xn) của các biến ngẫu nhiên cho trước, nhưng khôngphải là một cơ sở ngẫu nhiên, chúng ta có một cách kinh điển để xâydựng một cơ sở ngẫu nhiên: σ-đại số Fn phải có ít nhất một σ-đại sốcác tập con của Ω để các biến ngẫu nhiên X1, X2, là đo được Chúng

ta viết Fn = σ(X1, X2, , Xn) cho σ-đại số này

σ = n là đúng hay sai, nghĩa là, nó phải nói tại bất kỳ một thời giannhất định nào đó, mà không biết tới tương lai, cho dù thời điểm σ đếnhoặc là không

Định nghĩa 2.11 Chúng ta nói σ là một thời điểm dừng đơn giảnnếu và chỉ nếu nó là một thời điểm dừng có hữu hạn giá trị và khôngnhận giá trị ∞.

Tập tất cả các thời điểm dừng đơn giản đối với cơ sở ngẫu nhiên(Fn) được ký hiệu là P ((Fn)), hoặc đơn giản P khi cơ sở ngẫu nhiên

đã được hiểu

Tập P có một thứ tự tự nhiên Nếu σ, τ ∈ P ta nói rằng σ 6 τnếu và chỉ nếu σ (ω) 6 τ (ω) với hầu hết ω ∈ Ω Ta cũng có thể nóirằng σ xảy ra trước τ Các hằng số từ N chuyển tới P Quả thực,các hằng số là có đuôi (cofinal) ở trong P nghĩa là với mỗi σ ∈ P,đều tồn tại một hằng số m ∈ N với σ ≤ m (Nhớ lại rằng các phần

tử của P là các thời điểm dừng đơn giản.) Tập sắp thứ tự P là địnhhướng Thật vậy, nếu σ, τ ∈ P, thì tồn tại hằng số m sao cho σ 6 m

và τ 6 m Điều này làm cho lưới chỉ số trong P có thể được xem như

là hội tụ Moore-Smith Chúng ta sẽ làm điều này ở mục sau

Dưới đây, tôi trình bày một vài tính chất cơ bản của các thời điểmdừng

2.3.2 Một vài tính chất cơ bản

Mệnh đề 2.12 Nếu σ, τ ∈ P, thì GTLN σ ∨ τ và GTNN σ ∧ τ cũngthuộc vào P

Chứng minh n ∈ N cho trước

{σ ∨ τ 6 n} = {σ 6 n} ∩ {τ 6 n} ,{σ ∧ τ 6 n} = {σ 6 n} ∪ {τ 6 n}

Nếu τ ∈ P, thì σ-đại số Fτ gồm "các biến cố tính đến thời điểm

τ " có thể được xác định Một biến cố A xảy ra trước thời điểm τ nếu

và chỉ nếu, khi thời điểm τ đến, ta biết được biến cố A đã xảy ra Vềmặt công thức

Fτ = A ∈ F : {τ = n} ∩ A ∈ Fn với ∀n ∈ N Rất dễ dàng để thấy được đó là một σ-đại số Thật vậy:

• Ω ∈ Fτ, vì Ω ∩ {τ 6 n} = {τ 6 n} ∈ Fn

• Giả sử Ak ∈ Fτ, k = 1, 2 , tức là Ak∩ {τ 6 n} ∈ Fn, k = 1, 2, Khi đó, ta có

Và cũng rất dễ dàng để kiểm tra rằng nếu τ bằng hằng số m, thì

Fτ = Fm Ngoài ra, nếu σ 6 τ , thì Fσ ⊆ Fτ

Nếu cho trước hai thời điểm dừng σ, τ , với σ 6 τ , thì một thời điểmdừng mới có thể được định nghĩa dựa vào biến cố A ∈ Fσ: đợi cho đếnthời điểm σ, và dừng lại sau đó nếu A đã xảy ra, nếu không thì tiếptục chờ cho đến thời điểm τ

2.4 Tùy chọn dừng

Cho (Xn) là một quá trình ngẫu nhiên tương thích Nếu σ là biếnngẫu nhiên nhận giá trị trong N, thì tinh thần để nói về Xσ, đó là,giá trị mà quá trình có được tại thời điểm σ Về mặt kỹ thuật, Xσ làbiến ngẫu nhiên cho bởi

(Xσ) (ω) = Xσ(ω)(ω)Nếu Xn đại diện cho tài sản của một con bạc tại thời điểm n, và ông

ta có sự lựa chọn dừng lại bất cứ khi nào mà ông ta muốn (nhưngkhông biết tương lai), thì thời gian ông ta chọn để dừng lại phải làmột "thời điểm dừng" bởi vì nó đã được xác định.Điều này có nghĩarằng Xσ là tài sản của ông ta khi dừng lại Khi đó, Xσ không chỉ làmột biến ngẫu nhiên mà còn là Fσ-đo được

n6N |Xn| > λ

 Khi

đó rõ ràng AN ∈ FN Ta đặt

τ (ω) =  min {n ∈ N : 1 6 n 6 N, |Xn(ω)| > λ} nếu ω ∈ AN

N nếu ω /∈ AN

Khi đó τ ∈ P Ta có

(2.4.2a) sup

σ∈ P

E [|Xσ|] > E [|Xτ|] > E [|Xτ| 1AN] > λP (AN)

Cho N → ∞, tập AN đơn điệu tăng tới {supn|Xn| > λ}, vì vậy ta

có được ĐPCM bởi Định lý hội tụ đơn điệu

3.1 Định nghĩa

Cho một không gian xác suất (Ω, F , P) và một cơ sở ngẫu nhiên (Fn)được cố định Chúng ta sẽ viết, như phần trước, P là tập tất cả cácthời điểm dừng đơn giản đối với (Fn) Nếu (Xn) là một quá trìnhngẫu nhiên, và σ ∈ P, thì biến ngẫu nhiên Xσ làm thành một phương(sense) Nếu Xn khả tích với mọi n, thì tất nhiên Xσ cũng khả tích,bởi vì σ chỉ có hữu hạn giá trị

Định nghĩa 3.1 Một dãy tương thích (Xn) của các biến ngẫu nhiênkhả tích được gọi là một amart nếu và chỉ nếu lưới (E [Xσ])σ∈P củacác số thực là hội tụ Nghĩa là, tồn tại a ∈ R thỏa mãn: với mọi ε > 0,đều tồn tại σ0 ∈ P sao cho, với mọi σ ∈ P mà σ > σ0, ta có

với σn → ∞, thì dãy(E[Xσn])n∈N hội tụ

Nếu lưới E [Xτ] là hằng số, thì tất nhiên nó hội tụ Một dãy tươngthích với tính chất này được gọi là một martingale

Định nghĩa 3.2 Một quá trình ngẫu nhiên (Xn) được gọi là mart nếu và chỉ nếu sup |E [X ] | < ∞

semia-3.2 Tính chất

Bổ đề 3.3 Cho (Xn) là một amart Khi đó (Xn) là một semiamart.Chứng minh Lưới E[Xσ] hội tụ, vì vậy nó là một lưới Cauchy Tồntại N ∈ N sao cho |E[XN] − E[Xσ] | < 1 với mọi σ ∈ P mà σ > N.Nếu σ là thời điểm dừng đơn giản, thì σ ∨ N cũng là một thời điểmdừng đơn giản > N Nhưng

16n6N|Xn|

+ 1 < ∞nên supσ∈P|E [Xσ] | < ∞ Vì vậy (Xn) là một semiamart

Định lí 3.4

1 Nếu (Xn) là một semiamart L1-bị chặn, thì (Xn+) cũng vậy

2 Nếu (Xn) là một amart, thì giới hạn limσ∈PE [Xσ+] tồn tại trong[0, ∞]

3 Nếu (Xn) là một amart L1-bị chặn, thì (Xn+) cũng vậy

4 Nếu (Xn) và (Yn) là các semiamart L1-bị chặn, thì các quá trình(Xn∨ Yn) và (Xn∧ Yn) cũng vậy

5 Nếu (Xn) và (Yn) là các amart L1-bị chặn, thì (Xn ∨ Yn) và(Xn∧ Yn) cũng vậy

Chứng minh Cho trước σ, τ ∈ P với σ 6 τ, bởi bổ để waiting (bổ đề2.13) với A = {Xσ > 0}, biến ngẫu nhiên ρ xác định bởi

Khi đó E [Xσ+] 6 E [Xρ]+E [Xτ−] 6 supπ∈ PE [Xπ]+supn∈NE [|Xn|].

• Để chứng minh (2), chọn σn ∈ P, σn → ∞ sao cho

σn − E X+

τn → 0 bởi bấtđẳng thức (3.4a) Do đó lim sup E [Xσ+] = lim inf E [Xσ+], có thể

cả hai đều vô hạn

Vậy ta có điều phải chứng minh

• Đối với (3), kết hợp (1) và (2)

• Đối với (4), để ý rằng x∨y = (x − y)++y và x∧y = x−(x − y)+;sau đó áp dụng (1)

• Đối với (5), áp dụng (3), bằng cách tương tự

Hệ quả 3.5 Cho (Xn)n∈N là một amart L1-bị chặn

1 Nếu λ là một hằng số dương, thì sự chặt cụt (truncation)

((−λ) ∨ Xn∧ λ)n∈N cũng là một amart

2 supσ∈PE [|Xσ|] < ∞

3 supσ∈P|Xn| < ∞ h.c.c

Chứng minh • Đối với (1), áp dụng phần (5) của định lý

• Đối với (2), thấy rằng |x| = 2x+− x

ta có |Xn| = 2X+

n − Xn

• Đối với (3), áp dụng bất đẳng thức maximal (2.4.2) bằng cách sửdụng (2).

Nhắc lại bất đẳng thức maximal:

P

sup

số nguyên n ∈ N và một biến ngẫu nhiên X, đo được đối với Fn, saocho P {|X − Y | > ε} < ε

Định lí 3.7 (Định lý về sự xấp xỉ của điểm tụ) Cho (Xn) là mộtquá trình ngẫu nhiên tương thích, cho F∞ = σ S

n∈NFn
, và cho Y

là một biến ngẫu nhiên F∞-đo được Giả sử rằng Y (ω) là điểm tụ củadãy (Xn(ω))n∈N với mọi ω ∈ Ω Khi đó tồn tại một dãy σ1 6 σ2 6 trong P sao cho σn → ∞ và limn→∞Xσn = Y h.c.c

Chứng minh Cho bất kỳ N ∈ N và ε > 0, chúng ta sẽ xây dựng mộtthời điểm dừng σ ∈ P với σ > N và P {|Xσ − Y | 6 ε} > 1 − ε Điềunày sau đó có thể được áp dụng một cách đệ quy để xây dựng mộtdãy tăng σn ∈ P với σn → ∞ sao cho Xσn hội tụ tới Y một cách ngẫunhiên (nghĩa là, "theo xác suất") Khi đó sẽ tồn tại một dãy con hội

{|Y − Y0| < ε} ⊆ntồn tại n> N0sao cho |Xn− Y0| < ε

2

o

Do đó, tồn tại một số nguyên N00 > N0 sao cho P (B) > 1 − ε/2, trongđó

Định nghĩa 2.11 Chúng ta nói σ thời điểm dừng đơn giảnnếu thời điểm dừng có hữu hạn giá trị khôngnhận giá trị ∞.

Tập tất thời điểm dừng đơn giản sở ngẫu nhiên(Fn)... diện cho tài sản bạc thời điểm n, ơng

ta có lựa chọn dừng lại mà ông ta muốn (nhưngkhông biết tương lai), thời gian ơng ta chọn để dừng lại phải làmột " ;thời điểm dừng& #34; xác định.Điều