CÁC KỸ THUẬT XẤP XỈ

Chương 1:CÁC KỸ THUẬT XẤP XỈ Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng – ĐH SPKT TPHCM o Trình bày các PP số dư có trọng số để tìm lời giải xấp xỉ của phương trình vi phân thường.. Mục tiêu của ch

Chương 1:

CÁC KỸ THUẬT XẤP XỈ

Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng – ĐH SPKT TPHCM

o Trình bày các PP số dư có trọng số để tìm lời giải xấp

xỉ của phương trình vi phân thường

Mục tiêu của chương

o Dùng hàm liên tục toàn cục để giải PT vi phân

o Dùng hàm liên tục cục bộ để giải PT vi phân thông

qua dạng yếu của PT vi phân

o Giới thiệu xấp xỉ phần tử hữu hạn

o Trình bày công thức PTHH Galerkin và Rayleigh-Ritz

o Giới thiệu PP số dư có trọng số dùng để tìm lời giải

xấp xỉ của PT vi phân thường

Mục tiêu:

xấp xỉ của PT vi phân thường

o Phân biệt các PP số dư có trọng số sau:

1 PP thặng dư có trọng số (2)

o Để minh học PP này, chúng ta xem xét ví dụ sau:

 

2 2

d

, 0 1 (1)d

− Bước 1: Giả sử hàm thử u a i với các hệ sốa i

1 PP thặng dư có trọng số (6)

− Bước 2: Tính số dư R(ai )

Do không phải là lời giải chính xác của (1) nên

0

u        u x R u u x u

2 PP bình phương tối thiểu: i

u w



2 2

− Các điểm x i của PP tụ tập điểm cần chọn sao cho

ma trận của hệ pt chứa a i không bị suy biến

− PP bình phương tối thiểu luôn làm cho ma trận

của hệ pp chứa a i đối xứng

− PP Galerkin luôn làm cho ma trận của hệ pp chứa

a i không đối xứng

0 0

PP Galerkin dùng với dạng yếu

− Bước 1: Giả sử hàm thử với các hệ số a i

u

x

0 0

1 1

3 Hàm thử liên tục từng đoạn (1)

Nhận xét:

o Độ chính xác của lời giải xấp xỉ phụ thuộc vào

hàm thử được chọn

o Tuy nhiên, chọn hàm thử tốt cho một bài toán bất kỳ

không phải dễ, đặc biệt khi bài toán có

o Giới thiệu hàm liên tục từng đoạn

o Ví dụ minh họa dùng hàm thử dạng liên tục từng

đoạn để tìm lời giải pt vi phân

, 0 1 (1)d

0 0

3 Hàm thử liên tục từng đoạn (5)

11

1 1

2

0 0

o Dùng hàm thử liên tục từng đoạn có những ưu điểm:

− Dùng hàm liên tục từng đoạn i đơn giản có thể

xấp xỉ lời giải phức tạp

− Tăng số lượng hàm i, tức là tăng số đoạn trên

miền bài toán, sẽ tăng độ chính xác của lời giải

xấp xỉ.p

− Lời giải xấp xỉ cho kết quả chính xác tại các điểm

biên của từng đoạn

o Từng đoạn của miền bài toán được gọi là phần tử

Xây dựng hàm thử liên tục từng đoạn:

o Xét 1 miền hữu hạn x i , x i+1như hình vẽ

41

o Giả sử hàm thử tuyến tính

ua a x

4 Công thức PTHH Galerkin (3)

o Biểu diễn hàm thử theo giá trị nút:

Yêu cầu giá trị hàm thử bằng giá trị nút tại các nút

, 0 1 (1)d

0 0

x i x

x x x

u I

4

u I

4 Công thức PTHH Galerkin (12)

− Tính

Phần tử 1:

1 1

1 2

N w

01

1

11

N

u

u N

u u

4 Công thức PTHH Galerkin (14)

− Vậy

 

' 1

2, 9444 3,1111 3,1111 2, 9444 0 0, 0370 0, 0741

0 2, 9444 3,1111 3,1111 2,9444 0, 0926 0,

0 0 2, 9444 3,1111

u I

u u

' 4

u u

u

u u

4 Công thức PTHH Galerkin (15)

o Lời giải xấp xỉ tìm được

58

5 Công thức biến phân (1)

o Công thức biến phân biến đổi PT vi phân thành

một phiếm hàm

2d

5 Công thức biến phân (2)

o Cực tiểu hóa phiếm hàm dẫn đến phương trình vi

phân chủ đạo của nhiều bài toán kỹ thuật

o Năng lượng trong nhiều bài toán kỹ thuật là một

phiếm hàm

60

6 PP Rayleigh-Ritz (1)

o PP Rayleigh-Ritz tìm lời giải xấp xỉ của phương trình

vi phân dựa vào phiếm hàm

o PP Rayleigh-Ritz gồm 2 bước:

− Bước 1: Giả sử lời giải khả dĩ (thỏa đk biên tự

nhiên hoặc đk biên cần) có chứa các hệ số

61

− Bước 2: Thế lời giải giả sử vào phiếm hàm và cực

tiểu hóa phiếm hàm để tìm các hệ số

6 PP Rayleigh-Ritz (2)

o Ví dụ: giải pt vi phân

2 2

2 0

8 Bài tập (1)

o Bài 1: Cho phương trình vi phân

2 2 2

1 Giải pt vi phân trên bằng PP PTHH Galerkin theo

các cách chia miền bài toán thành

8 Bài tập (3)

1b 4 phần tử

2 So sánh kết quả giữa các cách chia miền bài toán

nêu trên và lời giải chính xác