KY THUAT XAP XI CO BAN UNG DUNG GIAI PT BPT 2016 2017

KỸ THUẬT XẤP XĨ ỨNG DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Nguyễn Đại Dương – Trần Quốc Thịnh – Trần Lê Quyền Sau đây thầy xin giới thiệu đến các em một kỹ thuật đơn giản và t

KỸ THUẬT XẤP XĨ ỨNG DỤNG GIẢI PHƯƠNG

TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

Nguyễn Đại Dương – Trần Quốc Thịnh – Trần Lê Quyền

Sau đây thầy xin giới thiệu đến các em một kỹ thuật đơn giản và thường dùng

nhất của kỹ thuật xấp xĩ

Kỹ thuật được sử dụng mạnh mẽ cho việc chứng minh vô nghiệm đối với các

bài toán khó và rất khó

Ý nghĩa của việc xấp xĩ là khi ta cần chứng minh f x 0 f x 0 thì ta sẽ

đánh giá nó thông qua một hàm số khác f x   g x 0 sao cho sai số giữa 2 hàm

số là rất bé, khi đó hàm số g x chính là hàm số xấp xĩ với hàm   f x mà vẫn đảm  

bảo được là g x 0

Các em có thể xem ý tưởng và kết quả tổng quát của thầy cho các lớp bài toán

thường dùng ở Video

4

x

Bài giải

Điều kiện: x  3,2

4

x

4

A

Nhập vào TABLE với:

 START = -3

 END = 2

 STEP = 0,5

Từ bảng bên ta thấy f X ~ 0,0805

tại x 2,5 2 nên ta có thể chọn

2

x  hoặc x 2,5 là giá trị xấp xĩ

cực tiểu của hàm số Ở đây thầy

-2,5 0,0805

Ta cần tìm một đánh giá có dạng x 3 a 2 x b để đưa biểu thức A

về một hàm xấp xĩ chỉ chứa 1 căn thức: A f 2x

Ta chọn a sao cho f x  x 3 a 2x đạt cực trị tại giá trị x 2

hay f'     2 0 a 2

Khi đó ta được x  3 2 2  x b x 3 2 2 x b

Ta tìm b bằng cách nhập

f x  x  x vào TABLE

 START = -3

 END = 2

 STEP = 0,5

Từ bảng bên ta thấy f X 5 nên giá

trị b là 5, ta suy ra được biểu thức xấp

xĩ cần tìm là:

-2,5 4,9497

-1,5 4,9664

x     x x   đúng   x  3,2

2 2

0, 5

10 45 53

0

a

A

A

a a

Pt  x 1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x1

Bài giải

Điều kiện: x 3

Bpt  2 

2

25

3 2

3 2

x

x x

 

 

Xét

2

25

3 2

3 2

A

x x

 

 

Nhập vào TABLE với:

 START = -3

 END = 10

 STEP = 0,5

Từ bảng bên ta thấy f X ~ 0,012 tại

0

x và x0,5 nên ta sẽ chọn

1

0,25

4

x  là giá trị xấp xĩ cực đại của

hàm số

-0,5 -0,033

0,5 -0,012

Ta cần tìm một đánh giá có dạng x2  3 a x 3 b để đƣa biểu thức

A về một hàm xấp xĩ chỉ chứa 1 căn thức: A f x3

Ta chọn a theo công thức sau:    

2

2

3 ' 3

a h

chọn giá trị 0,5 1

2

a  (Công thức chọn a được đề cập bên dưới)

Ta tìm b bằng cách nhập

2

f x  x   x vào TABLE

 START = -3

 END = 10

 STEP = 0,5

Từ bảng bên ta thấy

  0,866 0,8

f X   nên giá trị b là

4

0,8

5

 , ta suy ra đƣợc biểu thức xấp xĩ

cần tìm là: 2 3 1 3 4

2

3

0

35 141 592

0

a x

a

A

A



Bpt x2     1 0 1 x 1

Kết hợp điều kiện suy ra tập nghiệm S  1,1

Tổng quát tìm a, b trong việc đánh giá: f x a g x b  f x a g x b

 Bước 1: Tìm a Nhập biểu thức A vào TABLE tìm GTLN (hoặc GTNN) của

biểu thức tại giá trị x x o

 Bước 2: Tìm a bằng công thức:    

   

' '

a

nhất với giá trị tìm được

 Bước 3: Tìm b Nhập biểu thức f x a g x  vào TABLE tìm GLNN

(hoặc GTLN) của biểu thức Giá trị này sẽ gần với giá trị tại x x o

Thông thường các giá trị xấp xĩ ta lấy làm tròn trong khoảng 0,0a0,00a

Ví dụ 3: Giải phương trình:

5

Bài giải

Điều kiện:  2 x 2

Ta có: 2 2 22 2 2 2

5

 

2

0 22

5



Ví dụ 4: Giải phương trình:

4

30 x 2 20 3x 20 3 x 20 3 x 17x6

Bài giải

Điều kiện: 2  x 3

Đặt t43   x x 3 t4 t0, 54 

Pt 30 5t4 17t420t320t2 20t57 0

4

4

1

15 1 5

2 18 0 (*)

t

t t

t

 



 

4

13 35

t

t



Ta có: 5 4 16 2

5

    t 0, 54 

2

5

t



Vậy phương trình có nghiệm t  1 x 2

Ví dụ 5: Giải bất phương trình:

2

Bài giải

Điều kiện: 1x2 0

Ta có: 22 1x2 47 21 x2 x 1 và 21 x2  x 2 2 x2   x 1 25

2

2

2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình S  1,1

Bài tập vận dụng:

Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a.30 x2 3 5x1 3 x 7x210x43 Đáp số: S  1

b  3 9

4

x   x  x x Đáp số: S  0,1

c.2x1 4x25x 2 2x 8x 1 8x28x 1 x1 12 x4

2