XỬ lý ẢNH CHƯƠNG 12

Hàm Shah Một công cụ quan trọng cho việc mô phỏng quá trình lấy mẫu là dãy train xung vô hạn, IIIx, đọc là “Shah của x” và được định nghĩa IIIx là chuỗi các xung đơn vị biên độ nằm các

Trước hết, chúng ta điều tra nghiên cứu các nhánh (ramification) lấy mẫu ảnh liên tục và xử lý dữ liệu lấy mẫu Đặc biệt, chúng ta sẽ trả lời những câu hỏi sau đây: (1) Trong phạm vi nào thì việc lấy mẫu sẽ làm mất mát thông tin? (2) Khi lấy mẫu một hàm liên tục thì có thể khôi phục lại một cách đầy đủ được không và nếu có thig như thế nào? (3) Chúng ta phải lấy mẫu một hàm chi tiết đến mức nào để có thể bảo toàn được nó? (4) Việc lấy mẫu có ảnh hưởng gì lên phổ của một hàm? (5) Nếu chúng ta coi một hàm được lấy mẫu như thể một hàm liên tục thì phải gồm những giả thiết, những giá trị xấp xỉ, những lỗi gì?

12.2 LẤY MẪU VÀ PHÉP NỘI SUY

Trước khi chúng ta có thể miêu tả các kết quả lấy mẫu một cách định lượng, chúng ta phải thiết lập một thủ tục toán học để mô hình hoá quá trình Để thực hiện

điều này, chúng ta sử dụng một hàm đặc biệt gọi là hàm Shah

12.2.1 Hàm Shah

Một công cụ quan trọng cho việc mô phỏng quá trình lấy mẫu là dãy (train) xung

vô hạn, III(x), đọc là “Shah của x” và được định nghĩa

III(x) là chuỗi các xung đơn vị biên độ nằm cách đều nhau trên trục x Thật may

mắn cho chúng ta, hàm Shah cũng chính là biến đổi Fourier của nó; tức là,

)()}

({III x III s

f( )} 1

Vào biểu thức (2), chúng ta sẽ được

)

( s

III

x III  

1)

a

ax 

Bởi vì III(x) là dãy vô hạn các xung có khoảng cách bằng nhau [biểu thức(1)] nên

nó cũng biểu hiện tính chất này dưới sự giãn ra và nén lại Đặc biệt,

ax ax

x III   

Hay các xung nằm cách nhau từng khoảng  Chú ý rằng khoảng cách  giữa các

xung chứ không phải các đơn vị khoảng cách nhân với hệ số cường độ xung  Biến

đổi biểu thức (8) ta được

III

x III

Hai biểu thức sau cùng chỉ rõ rằng một dãy các xung cường độ  đặt cách nhau

từng khoảng trong miền thời gian tạo ra một dãy xung đơn vị đặt cách nhau một

khoảng 1/ trong miền tần số Dĩ nhiên, chúng ta có thể chia biểu thức (8) cho  để

được các xung đơn vị cường độ trong miền thời gian và các xung cường độ 1/ tương

ứng trong miền tần số

12.2.2 Lấy mẫu bằng hàm Shah

Giả sử hàm Shah bị giới hạn dải tần tại tần số s 0; tức là,

0

0)

Điều này được cho thấy trong hình 12-2 Nếu chúng ta lấy mẫu f(x) tại các khoảng

cách  bằng nhau, chúng ta sẽ triệt tiêu toàn bộ hàm f(x) ngoại từ tại điểm x = n

Chúng ta có thể mô phỏng quá trình lấy mẫu như phép nhân đơn giản giữa hàm f(x) với III(x/ ) để tạo thành hàm được lấy mẫu g(x) Quá trình triệt tiêu hàm giữa các

điểm lấy mẫu bằng cách chia nó cho 0 và nhưng vẫn bảo toàn giá trị hàm tại các điểm lấy mẫu trong cường độ các xung kết quả Hình 121-3 minh hoạ cho một hàm được lấy mẫu Sự thuận tiện về toán học khiến cho mô hình này được lựa chọn làm phương pháp lẫy mẫu

12.2.3 Lấy mẫu và phổ

Bây giờ chúng ta xem xét việc lấy mẫu phổ của f(x) sẽ cho ta cái gì Lý thuyết phép nhân chập cho rằng khi chúng ta nhân f(x) với III(x/ ), chúng ta sẽ nhân chập F(s) với III(s) Nhắc lại III(s) là chuỗi xung đơn vị cường độ nằm cách nhau

khoảng 1/  trên trục s Cũng cần nhắc lại rằng phép nhân chập một hàm với một

xung đơn thuần chỉ tạo ra một bản sao của hàm đó Vì thế, phép nhân chập trong

miền tần số tái tạo F(s) tại từng khoảng 1/  trên trục s

Như đã chỉ ra trong hình 12-3, G(s) bao gồm vô vàn các bản sao phổ F(x) đặt bằng nhau trên trục s từ - đến  Lưu ý phổ của hàm được lấy mẫu là tuần hoàn với

tần số  Cho nên, bất kỳ hàm nào được lấy mẫu tại các khoảng cách  bằng nhau đều

có phổ tuần hoàn với tần số

12.2.4 Lý thuyết lấy mẫu

Bây giờ hàm f(x) đã được lấy mẫu, thông tin giữa các điểm lấy mẫu đã bị

mất.nhưng chúng ta có thể khôi phục lại hàm ban đầu nguyên vnj từ các điểm lấy

mẫu này không? Rõ ràng, chúng ta có thể phục hồi (reclaim) f(x) từ g(x) nếu chúng ta

có thể phục hồi F(s) từ G(s) Chúng ta có thể thực hiện phần sau đơn thần bằng cách loại trừ tất cả các mô hình của F(s), ngoại trừ hàm F(s) đặt gữa gốc Có một cách để thực hiện điều này là nhân G(s) với (s/2s 1 ), trong đó

0 1

0

1

s s

Và chúng ta lấy lại được phổ của f(x) từ phổ của tín hiệu lấy mẫu g(x) hàm ban

đầu được cho bởi

2s

s s G s

F x

Áp dụng lý thuyết nhân chập vào vế phải biểu thức (13) ta được

x s

x s s

x g x f

1

1 1

2

2sin2

[xem biểu thức (11)] vf thứ hai, mối quan hệ giữa khoảng cách lấy mẫu  và dải giới

hạn s 0 phải thoả mãn biểu thức (11) Điều mà chúng ta thực hiện đã chứng minh lý thuyết lấy mẫu biểu diễn một hàm lấy mẫu với khoảng cách  giống nhau và có thể

khôi phục hoàn toàn từ các giá trị lẫy mẫu, với điều kiện là

Trong đó hàm được giới hạn dải tần tại s 0

12.2.5 Phép nội suy

Kết quả nhân chập g(x) với hàm nội suy cho trong biểu thức (14) đã tạo ra một mô hình hàm sin(x)/x tại mỗi một điểm lấy mẫu, giống như hình 12-4 Biểu thức (14) bảo đảm rằng tổng các hàm sin(x)/x chờm lên nhau sẽ tái tạo lại hàm ban đầu một cách

chính xác

Hình 12-4 minh hoạ cho trường hợp s 1 = 1/2, nhưng biểu thức (11) cho phép

chọn tần số hàm sin(x)/x tuỳ ý nếu hàm nghịch đảo của khoảng cách lấy mẫu lớn hơn nhiều so với giới hạn dải tần s 0 Biểu thức đó cho phép chúng ta đặt s 1 tại bất kỳ vị trí

nào giữa s0 và 1/  - s 0 Để cho thuận tiện, chúng ta có thể đặt s 1 tại trung điểm:

(17)

HÌNH 12-4

Hình 12-4 Nội suy hàm sin(x)/x

12.2.6 Dưới lấy mẫu và trùm phổ (Undersampling and Aliasing)

Biểu thức (15) xác định rõ cách mà người ta lấy mẫy một hàm khi nó có khả năng khôi phục hoàn toàn từ các giá trị lấy mẫu của nó Bây giờ chúng ta hãy xem xét điều

gì sẽ xảy ra nếu điều kiện đó không thoả mãn

Giả sử  >1/2s 0 Tiếp theo khi F(s) được tái tạo thành dạng G(s), các mô hình

riêng lẻ sẽ chờm lên và cộng lại với nhau (Hình 12-5) Sau đó nếu chúng ta nội suy,

dùng hàm trong biểu thức (17), ta sẽ không khôi phục được f(s) một cách chính xác,

bởi vì

s

s s

HÌNH 12-5

Hình 12-5 Chờm phổ

Kết quả chờm các mô hình phổ có thể quan sát như sau Năng lượng cao hơn tần

số s 1 được hạ thấp xuống dưới s 1 và thêm vào phổ Việc hạ thấp năng lượng này gọi

là trùm phổ, và hiệu số giữa f(x) và hàm nội suy là do sai số trùm phổ

Chú ý rằng nếu f(x) chẵn thì F(s) cũng chẵn và trùm phổ có hiệu quả tăng năng lượng phổ Nếu f(x) lẻ, xảy ra điều trái ngược, năng lượng phổ sẽ giảm Nếu f(x)

không chẵn và cũng không lẻ thì trùm phổ sẽ tâưng phần chẵn và giảm phần lẻ, tạo thành hàm và phổ của nó chẵn hơn trước đó

Như trong hình 12-6 Cũng giả thiết rằng chúng ta lấy mẫu f(t) tại các khoảng

cách t bằng nhau Chu kỳ của f(t) là 1/f 0

Trên lấy mẫu (Oversampling) Đối với trường hợp 1, giả sử rằng

22

1

f t

f N 



Và chúng ta có bồn điểm mẫu trên một chu kỳ của f(t)

Hình 12-7 cho thấy hàm được lấy mẫu và phổ của nó Hình này cũng trình bày

hàm nội suy và phổ của nó Bởi vì F(s) không chứa năng lượng lơn hơn f N, nên f(t)

có thể hoàn toàn được khôi phục từ các điểm mẫu của nó

HÌNH 12-7

Hình 12-7 Lấy mẫu hàm cosin, trường hợp 1

Lấy mẫu tới hạn (Critical Sampling) Trong trường hợp 2, giả thiết rằng

Trong miền tần số, các xung từ các mô hình liên tiếp nhau kết hợp tại s = f 0, còn phổ của hàm nội suy nhận giá trị 1/2 tại điểm đó, vì vậy hàm được khôi phục nguyên vẹn

Dưới lấy mẫu (Undersampling) Đối với trường hợp 3, ta đặt

HÌNH 12-8

Hình 12-8 Lấy mẫu hàm cosin, trường hợp 2

HÌNH 12-9

Hình 12-9 Lấy mẫu hàm cosin, trường hợp 3

Trường hợp này được minh hoạ trong hình 12-9 Ở đây, phổ tập trung tại s = 2f N tạo ra xung trái nằm giữa 0 và f N tại điểm s = f 0 /2 Nhờ vào phép nội suy, năng lượng

tại s = f 0 được hạ xuống đến tần số f 0 /2 Hình 12-9 cho thấy phép nội suy làm khít

một hàm cosin có tần số f 0 /2 qua các điểm mẫu Điều này mô tả sinh động thông tin

tần số cao được làm như thế nào để nó xuất hiện như thông tin tần số thấp

Dưới lấy mẫu chặt (Severe Undersampling) Trong trường hợp 4, ta đặt

Trường hợp này được minh hoạ trong hình 12-10 Năng lượng tại f 0 hạ xuống tần

số 0 Hàm cosin chỉ được lấy mẫu tại các đỉnh dương và khi các điểm mẫu này được nội suy thì biên độ hàm kết quả sẽ không đổi

HÌNH 12-10

Hình 12-10 Lấy mẫu hàm cosin, trường hợp 4

Trường hợp 5 tương tự trường hợp 3, chỉ khác hàm là

 t 2sin(2 f0t)

Như trình bày trong hình 12-11 Ở đây, tại s = f N, các mô hình phổ liêp tiếp chờm nhau và các cặp xung lẻ bị loại bỏ Hình vẽ cho thấy tại sao mà hàm được nội suy lại bằng 0 Trường hợp này tương ứng với việc lấy mẫu hàm sin tại các giao điểm 0 của

12.3 TÍNH TOÁN PHỔ

Một ứng dụng quan trọng của xử lý ảnh số là tính toán phổ của một tín hiệu hay một ảnh Trong phần này, chúng ta sẽ miêu tả cách tính phổ của một tín hiệu và so sánh phổ tính toán với phổ thực tế của tín hiệu

12.3.1 Cắt trong miền thời gian

Giả sử tín hiệu f(t) được biểu diễn bởi N điểm mẫu tách biệt nhau một khoảng t

không đổi, như đã trình bày trong hình 12-13 Khoảng cách tổng cộng mà tín hiệu được lấy mẫu trên đó là

t N

Trong đó T là độ rộng của cửa sổ cắt Bởi vì một tín hiệu chỉ có thể được lấy mẫu

với một số hữu hạn các điểm, quá trình lấy mẫu cắt tín hiệu bằng cách bỏ qua phần bên ngoài cửa sổ cắt việc này chung qui là để đặt tín hiệu hướng đến 0 ra ngoài cửa

sổ

HÌNH 12-13

Hình 12-13 Tính toán phổ

Chúng ta muốn sử dụng các giá trị mẫu của f(t) để tính các điểm trên phổ F(s) của

nó Chúng ta có thể thực hiện việc này bằng cách lập trình biến đổi Fourier như một phép tích phân số học Tuy nhiên, đầu tiên chúng ta phải lựa chọn số điểm mà chúng

ta sẽ tính toán trên phổ, khoảng cách giữa các điểm mẫu, và phạm vi tần số mà chúng

ta sẽ tính phổ trên đó

Bởi vì tín hiệu lấy mẫu bao gồm N phép đo độc lập nên việc tính tổng N điểm trên

phổ là hợp lý Việc tính toán thêm các điểm sẽ dẫn đến dư thừa, mặc dù việc tính

toán it điểm cũng không mang lại thuận lợi cho tất cảt những thông tin về f(t) mà ta

có Vì thế, một chương trình máy tính đa năng cho việc tính biến đổi Fourier phải

làm N điểm mẫu thành N điểm trên phổ Để thuận tiện, các điểm tính toán thường được đặt cách đều nhau theo trục s

12.3.2 Cắt trong miền tần số

Vì f(t) là hàm được lấy mẫu với khoảng cách lấy mẫu t, nên phổ F(s) của nó tuần

hoàn với chu kỳ là 1/ t Rõ ràng, chúng ta chỉ nên hạn chế sự tính toán trong một

chu kỳ của F(s) Thực tế thường chọn N điểm mẫu đều nhau trên một chu kỳ của

F(s) Nghĩa là, chúng ta chỉ tính các điểm trong khoảng

1

(31)

Nếu chúng ta trải N điểm mẫu cách đều nhau trên một chu kỳ của F(s), khi đó

t s N

s 1  1





Là khoảng cách lấy mẫu trong miền tần số Vì thế, đối với mục đích của chúng ta,

cách lựa chọn tốt nhất để tính phổ của f(t) là tính các điểm có khoảng cách bằng nhau, cho bởi biểu thức (33), trên phạm vi tần số từ -s m đến s m, trong đó

t

s m



2

1

(34)

Lưu ý rằng tần số tối đa mà chúng ta có thể tính có quan hệ ngược lại với khoảng cách lấy mẫu trong miền thời gian [biểu thức (34)] Khoảng cách lấy mẫu trong miền thời gian, xác định mức độ tính phổ, có quan hệ nghịch đảo với độ rộng cửa sổ cắt trong miền thời gian [biểu thức (33)]

12.3.3 Tính phổ

Tóm lại, khoảng cách lấy mẫu trong một miền bức chế (hay bị bức chế bởi) sự cắt bớt độ rộng trong một miền khác Nếu chúng ta muốn tính các thành phần tần số cao của phổ, chúng ta phải lấy mẫu trong miền thời gian Hơn nữa, nếu chúng ta cần nhấn mạnh độ phân giải cao của phổ (s nhỏ), ta phải dùng một cửa sổ cắt rộng rong

miền thời gian, ngay cả đối với hàm hẹp Quan hệ giữa việc lấy mẫu trong miền thời gian và miền tần số và các tham số cắt được tổng kết trong bảng 12-1

Nếu f(t) là phức và chúng ta tính phổ của nó, N giá trị thực và N giá trị ảo được biến đổi để tạo ra N giá trị thực và N giá trị ảo của phổ Nếu f(t) là thực, thì N giá trị thực và N giá trị 0 (phần ảo) gây ra N/2 giá trị thực và N/2 giá trị ảo trong nửa bên phải của phổ Vì F(s) là Hermite, nên nửa trái của phổ là hình phản chiếu của nửa phải Vì thế, N/2 giá trị thực và N/2 giá trị ảo trong nửa phổ bên phải, xét về khía

cạnh nội dung thông tin, là dư thừa Chú ý rằng, trong cả hai trường hợp, số các điểm lấy mẫu không bị giới hạn trong cả hai miền là như nhau

BẢNG 12-1 LẤY MẪU VÀ CÁC THAM SỐ CẮT

Bảng 12-1

12.4 TRÙM PHỔ

Bây giờ chúng ta xem xét kỹ lưỡng hơn hiện tượng trùm phổ để xác định phạm vi ảnh hưởng có thể điều khiển được của nó và cách thức hiện

12.4.1 Tính tất yếu của hiện tượng trùm phổ

Lý thuyết lấy mẫu chỉ ra rằng một sự lựa chọn khoảng cách lấy mẫu đúng đắn có thể tránh được trùm phổ khi ta lấy mẫu một hàm giới hạn dải Vì thế, nếu sự lựa chọn sáng suốt cho phép ta làm việc với các hàm giới hạn dải, thì ta có thể tránh được hiện tượng trùm phổ Nói cách khác, nếu chúng ta bị bắt buộc phải làm việc với các hàm vốn đã không có giới hạn dải, thì ta buộc phải làm việc dưới hiện tượng trùm phổ không thể tránh được Thật không may, thực tế chúng ta làm việc trong thế bất lợi: các kế hoạch của chúng ta bị thất bại bởi quá trình cắt

Để hiểu rõ hơn, giả sử một hàm giới hạn dải được cắt theo một khoảng T hữu hạn

Quá trình có thể được mô phỏng như việc nhân một hàm với một xung chữ nhật

chiều rộng T Nhắc lại rằng, diều này có tác dụng đến việc nhân chập phổ với hàm

sin(x)/x không giới hạn trong miền tần số

Bởi vì tích chập của hai hàm có thể không hẹp hơn cả hai, chúng ta kết luận rằng phổ của các hàm bị cắt là phạm vi vô hạn trong miền tần số Vì thế, sự cắt cụt phá hỏng tính giới hạn dải và khiến cho quá trình xử lý số tạo ra hiện tượng trùm phổ

trong mọi trường hợp Thật may mắn, mặc dù trùm phổ nói chung là không thể tránh, nhưng sai số cuối cùng có thể giới hạn và giảm xuống một giá trị xấp xỉ có thể chấp nhận

12.4.2 Giới hạn sai số trùm phổ

Ví dụ dưới đây sẽ minh hoạ cách mà người ta đặt giới hạn sai số trùm phổ và các tham số số hoá để có được độ chính xác cần thiết bất chấp sự trùm phổ không thể tránh

Giả sử chúng ta muốn nhận biết hệ thống tuyến tính cho trong hình 12-14 bằng

cách tính phổ tương ứng với xung chữ nhật của nó Nếu f(t) là xung đầu vào và g(t)

là đầu ra của hệ thống, thì hàm truyền đạt là

 s F

s G s

Nếu chúng ta ước lượng biểu thức (35) bằng tính toán số, chúng ta phải số hoá f(t)

và g(t), sau đó tính phổ của chúng Chúng ta phải chọn khoảng cách lấy mẫu t và

chu kỳ lấy mẫu T sao cho độ phân giải phổ tốt với sai số trùm phổ nhỏ một cách đáng

kể Để thực hiện điều này, chúng ta phải xác định phạm vi độ phân giải phổ và sai số trùm phổ và quan hệ giữa hai con số này với các tham số lấy mẫu Sau đó, chúng ta

có thể thực hiện một sự lựa chọn thông minh với N, T và t

Tín hiệu đầu ra và phổ của nó cho trong hình 12-15 Vì F(s) trải dài từ - đến +,

nên không thể chọn được một t để tránh được trùm phổ hoàn toàn Tuy nhiên, F(s)

nằm gọn trong một đường bao có dạng 1/s và điều này đảm bảo rằng biên độ đỉnh của hàm giảm dần khi tần số tăng Nếu chúng ta bỏ qua những biến đổi sin và chỉ xem xét đường bao, thì nên nhớ rằng biên độ phổ có khả năng lớn nhất xảy ra hiện

tượng trùm phổ tại tần số s m Chúng ta có thể cho đây là trường hợp trùm phổ xấu

nhất và định nghĩa, giống như lượng sai số trùm phổ, tỷ số của F(s m ) với F(0) Vì F(0) là duy nhất và đường bao là 1/2as, chúng ta có thể viết phần nằm bên dưới giới

hạn trùm phổ như sau