XỬ lý ẢNH CHƯƠNG 10

Tuy nhiờn, đối với bất kỳ người nào thực sự cú ý định sử dụng xử lý ảnh số trong cụng việc của họ, thỡ thời gian bỏ ra để thành thạo với biến đổi Fourier là đỏng để đầu tư.. Trong phần đ

Chương 10 BIẾN ĐỔI FOURIER

10.1 GIỚI THIỆU

Biến đổi Fourier là một cụng cụ mạnh trong phõn tớch hệ thống tuyến tớnh Nú cho phộp chỳng ta xỏc định số lượng cỏc tỏc dụng của cỏc hệ thống số hoỏ, cỏc điểm lấy mẫu, cỏc bộ khuếch đại điện tử, cỏc bộ lọc tớch chập, nhiễu và cỏc điểm hiển thị Những người kết hợp kiến thức nguyờn lý của cỏc tớnh chất biến đổi Fourier với kiến thức thực tiễn của sự thể hiện vật lý được chuẩn bị kỹ càng để tiếp cận hầu hết cỏc bài toỏn xử lý ảnh Bỡnh thường, những người phỏt triển sự kết hợp cỏc kỹ năng là cỏc sinh viờn khoa điện tử và vật lý quang học, và họ thực hiện cụng việc này trong cỏc khoỏ học Tuy nhiờn, đối với bất kỳ người nào thực sự cú ý định sử dụng xử lý ảnh số trong cụng việc của họ, thỡ thời gian bỏ ra để thành thạo với biến đổi Fourier là đỏng để đầu tư

Về ý nghĩa nào đú, biến đổi Fourier giống như một ngụn ngữ thứ hai để miờu tả cỏc chức năng Những người sử dụng thành thạo hai ngụn ngữ thường xuyờn nhận thấy một ngụn ngữ tốt hơn ngụn ngữ kia để diễn tả một ý kiến nào đú Tương tự, cỏc nhà phõn tớch xử lý ảnh cú thể di chuyển lui tới giữa miền khụng gian và miền tần số trong khi tiến hành trọn vẹn một vấn đề

Đầu tiờn khi học một ngụn ngữ mới, người ta hay nghĩ đến ngụn ngữ bẩm sinh của anh ta hay cụ ta và nhẩm dịch trước khi núi Tuy nhiờn, sau khi đó trở nờn trụi chảy, họ

cú thể nghĩ đến một ngụn ngữ khỏc Tương tự, một khi đó quen thuộc với biến đổi Fourier, nhà phõn tớch đều cú thể thao tỏc trong miền khụng gian hay miền tần số và khả năng rất hữu ớch

Trong phần đầu tiờn của chương này, chỳng ta sẽ trỡnh bày cỏc tớnh chất của biến đổi Fourier sử dụng cỏc hàm một chiều cho cỏc ký hiệu đơn giản Sau đú, chỳng ta tổng quỏt hoỏ cỏc kết quả cho trường hợp hai chiều Quy ước trong phần hai của quyển sỏch này là xem xột cỏc hàm một chiều như cỏc vớ dụ đơn giản và sau đú khai triển cho cỏc hàm khụng gian hai biến như cỏc vớ dụ xử lý ảnh

Trong nghiờn cứu về phõn tớch hệ thống tuyến tớnh của chỳng ta, chỳng ta sẽ giới hạn thảo luận của chỳng ta chỉ cũn một phần của lĩnh vực được phỏt triển nhất này Vớ dụ, chỳng ta chỉ sử dụng biến đổi Fourier mà khụng sử dụng biến đổi Laplace hay biến đổi

Z, bởi vỡ chỳng khụng cần thiết cho mục đớch của chỳng ta Sự hạn chế này cho phộp chỳng ta phỏt triển cỏc kỹ thuật mà chỳng ta cần để phõn tớch cỏc hệ thống xử lý ảnh số với một lượng phộp toỏn phức tạp tối thiểu

Một nguyờn nhõn khiến chỳng ta khụng cần đến biến đổi Laplace, và cỏc kỹ thuật khỏc từ lĩnh vực phõn tớch hệ thống tuyến tớnh, là chỳng ta làm việc với dữ liệu được thu nhận Điều này làm nhẹ bớt cho chỳng ta gỏnh nặng của việc thao tỏc bằng khả năng vật

lý (tớnh nhõn quả) và quan hệ mật htiết của nú đối với phõn tớch

Tớnh nhõn quả Cỏc hệ thống tuyến tớnh thực hiện bằng phần cứng điện tử được đề

cập đến như là nguyờn nhõn (causal) bởi vỡ tớn hiệu vào gõy ra sự xuất hiện tớn hiệu ra

Núi chung, điều này cú nghĩa là nếu đầu vào là 0 tại tất cả cỏc thời điểm õm thỡ đầu ra cũng phải như thế với t<0 Mặc dự đõy là quan sỏt bằng trực giỏc, hóy xem xột ràng buộc của nú trờn đỏp ứng xung của một hệ thống tuyến tớnh: nếu đầu vào là một xung tại t = 0,

thì đáp ứng xung phải bằng 0 với mọi t<0 Vì vậy, đối với các hệ thống có thể thực hiện được, đáp ứng xung luôn nằm về một phía Điều này có nghĩa rằng nó có thể không chẵn hoặc lẻ, ngoại trừ một vài trường hợp không đáng kể Điều kiện trên gây rắc rối đáng kể cho sự phân tích hệ thống tuyến tính của các hệ thống vật lý có thể thực hiện

Chúng ta cũng không thể ràng buộc khi thao tác với dữ liệu ghi nhận được Thực hiện phép nhân chập số có thể thao tác dễ dàng với các hàm chẵn và lẻ, cũng như tại điểm 0 đối với thời điểm âm Hơn thế nữa, đối với xử lý ảnh trong miền không gian, gốc toạ độ

là tuỳ ý và các giá trị x và y âm không có ý nghĩa đặc biệt Trong các chương sau, độc

giả sẽ cảm ơn những vấn đề toán học phiền toái mà chúng ta thực hiện với dữ liệu ghi nhận và không phải gánh chịu điều kiện nhân quả khi phân tích

10.1.1 Biến đổi Fourier liên tục

Biến đổi Fourier của hàm truyền đạt với một biến f(t) được định nghĩa như biểu thức

trong đó j 2 = -1 Biến đổi Fourier là một biến đổi tích phân tuyến tính Điểm trung

trong đó là, thực hiện các hàm số phức của n biến số thực trong một hàm phức khác của

n biến thực khác Biến đổi Fourier ngược của F(s) được định nghĩa như biểu thức (2)

Có cách viết khác trong các biểu thức (1), (2), (3) phụ thuộc vào vị trí của hệ số 2

trong biểu thức Trong đó quy ước sử dụng phù hợp với hệ thống Trong quy ước, biến tần số được tính trong toàn bộ các chu kỳ (không phải là radian) trên một đơn vị thời

gian t

10.1.1.1 Ví dụ: biến đổi Fourier của hàm Gauss

Sau đây là một ví dụ minh hoạ, chúng ta đưa ra biến đổi Fourier của hàm Gauss:

2

)(t e t

2 2

dt du js

2

)(s e s

Hàm trong biểu thức (5) và trong biểu thức (10) là một cặp biến đổi Fourier Và biến đổi Fourier của Gauss ta cũng gọi là biến đổi Gauss Tính chất này làm cho hàm truyền đạt Gauss khá hữu dụng trong phân tích sau này:

10.1.2 Các tồn tại trong biến đổi Fourier

do biến đổi Fourier là một biến đổi tích phân chúng ta phải biết địa chỉ các câu hỏi còn tồn tại trong tích phân biểu thức (1) và (2)

10.1.2.1 Các hàm tức thời

một vài hàm có giá trị 0 khi giá trị đối số âm hay dương đủ lớn trong phép tích phân của biểu thức (1) và (2) đối với mục đích của chúng ta Nếu tích phân của giá trị của một hàm tồn tại Ví dụ nếu:

Và hàm này là liên tục hoặc không liên tục trong một miền giới hạn, sau đó biến đổi

Fourier của hàm tồn tại cho tất cả các giá trị của s Chúng ta có thể gọi các hàm này là

các hàm tức thời Do nó không có nghĩa trong khoảng thời gian lớn:

Đây là các hàm chúng ta sẽ cần phải thực hiện Các tín hiệu số hay ảnh cần phải lược

bỏ để giới hạn khung và độ bền của nó Việc này đòi hỏi phải có biến đổi Tuy nhiên trong một số trường hợp khác ta có thể không cần dùng các biến đổi

10.1.2.2 Hàm hằng và tuần hoàn

biến đổi Fourier không tồn tại cho tất cả các giá trị của s nều f(t)= cosin(2  t) hay Nếu f(t) = 1 Tuy nhiên xung (t), được giới thiệu trong chương 9 cho phép chúng ta có thể

điều khiển các trường hợp thuận lợi

Xét biến đổi ngược của một cặp xung:

 s f s f   s f s f e ds t

2

)()

()

(

0 2

2

0 0

0

e

ds e f s ds

e f s t

f

t j t j

st j st

2

1)2cos( f0t  s f0  s f0

Có nghĩa là biến đổi Fourier của một hàm cosin của tần số fo là một cặp xung với s =

f 0 trong miền tần số Với biến đổi Fourier cho một hàm sin ta có

2)2sin( f0t  j s f0  s f0

Nếu chúng ta cho f 0 = 0 chúng ta có thể chỉ ra

 1 (s)

Có nghĩa là biến đổi Fourier của một hằng số là một xung khởi đầu:

Chúng ta bây giờ đã có thể sử dụng biểu thức cho biến đổi Fourier của hằng số và các hàm tuần hoàn Chúng ta đã có những hiểu biết tốt về nguyên lý biến đổi Fourier cho các

hàm tuần hoàn có miền tần số f chúng ta có thể tổng kết với trường hợp là nf, trong đó n

phải là số nguyên Xem thêm biểu thức (40) bạn sẽ thấy biến đổi Fourier của hàm tuần hoàn tương đương với một chuỗi các xung được đặt tại các điểm cách đều nhau trong miền tần số

10.1.2.3 Các hàm ngẫu nhiên

Chúng ta thu gọn các hàm không tuần hoàn có tích phân không xác định và trong một

lớp gọi là các hàm ngẫu nhiên Trong các chương sau, chúng ta sẽ sử dụng các chế độ

đầu ra của một quá trình ngẫu nhiên

Trong đa số các trường hợp, chúng ta đòi hỏi chỉ có hàm tự tương quan của hàm ngẫu nhiên Hàm này được cho bởi

Và nó có trong các hàm mà chúng ta quan tâm các hàm tự tương quan là thực và

chẵn, và biến đổi Fourier của nó là phép mũ của phổ f(t), như chỉ ra sau đây

Nếu nó trở lên cần thiết biến đổi một hàm ngẫu nhiên, chúng ta có thể định nghĩa lại biến đổi Fourier của biểu thức 1

T s

F ( ) 2

2

1lim)

Và tương tự cho biến đổi ngược Chúng ta sau đó có thể làm việc với một lớp của các hàm để định nghĩa lại các biến đổi Fourier đã tồn tại Tuy nhiên trong quyển sách này chúng ta vẫn làm việc với các định nghĩa được thiết lập trong biểu thức 1 và 2, do chúng

gần như đường bao tín hiệu trong giới hạn độ bền Các nhà phát triển thực hiện với các quy ước 1 và 2 có thể thực hiện lại với các quy ước đề nghị trong biểu thức 16

Chúng ta kết luận cuộc thảo luận này với quan điểm, trong mục đích của chúng ta, rằng biến đổi Fourier không phải là vấn đề chủ yếu

10.1.3 Khai triển chuỗi Fourier

Giả sử ta có hàm g(t) là hàm tức thời theo thời gian có giá trị không bên ngoài khoảng

[-T/2, T/2] Ta cũng có thể coi như là một chu kỳ của hàm tuần hoàn Chúng ta cũng có

thể có một hàm liên tục bằng cách dời dạc hoá s trong biểu thức 1 và tính tích phân chỉ trong miền thời gian trên

) ( 2

)()

T

st n j

Trong đó T là chu kỳ và s = 1/T Việc khai triển này thể hiện g(t) bằng các hệ số (có

giá trị phức) vô hạn, mặc dù vậy nhưng trong chủ yếu các hàm mà chúng ta quan tâm chỉ hữu hạn với các hệ số khác không

) (

)()

(

n

t T

n j n n

st n j

e G T s e

s n G t

Xây dựng lại một hàm g(t) có thời gian trong miền khác không bằng cách thêm vào

các đường hình sin của các tần số khác nhau độ rộng của các đường hình sin này là các

0

)2sin(

)2cos(

2)(

n n n

T

n b

t T

n a

a t

Trong đó

2 /

2 / 2

T n

T T

T

n x

f T dx

x T

n x

f T

Nó đưa ra một hàm tuần hoàn với chu kỳ T bằng hai hình sin vô hạn với hệ số thực

10.1.4 Biến đổi Fourier rời rạc

Nếu chúng ta rời rạc hoá cả thời gian và tần số biến đổi Fourier trong biểu thức (19a)

2 /

) ( 2 2

/

2 /

) ( 2

)()

(

N

N i

i N

n j i N

N i

t s n j

N

T s e

t i g s

n G

n j n N

n

t s n j

T s e

s n G t

i g

2 /

) (

)()

Trở lại với các hàm mà chúng ta quan tâm, g(i t), hệ số {G n } khác không khi các giá

trị n tương đối nhỏ

Nếu {f i }là một chuỗi có độ dài N, tất cả những hàm thu được bằng cách lấy mẫu của

một hàm liên tục trong khoảng thời gian như nhau, thì biến đổi Fourier rời rạc của nó là chuỗi {F n } cho bởi

i N

n j i

n N

i j n

N

Trong đó 0  i, n  N-1

10.1.4.1 Mối quan hệ với biến đổi liên tục

Sự tương đồng DFT đúng với biểu thức (1) và (2) và với biểu thức (20a) và biểu thức (20b) đó là DFT có lẽ có nhiều tính chất giống nhau như biến đổi tích phân Đối với các loại hàm mà chúng ta thực hiện với việc xử lý ảnh số, sự khác nhau giữa chúng là khá

nhỏ Trong thực tế, nếu {f i } có được bằng mẫu chính xác một kiểu hàm liên tục nào đó,

thì biến đổi Fourier rời rạc đưa ra có thể là trường hợp đặc biệt của biến đổi Fourier liên tục Việc lấy mẫu chính xác như vậy chúng ta có thể gọi là các hàm giới hạn dải thông,

và việc sử dụng DFT để tính toán biến đổi Fourier được đề cập đến trong chương 12 và chương 13 Việc sử dụng DFT để thực hiện lọc tuyến tính được trình bày trong chương

16

Thật là may mắn cho chúng ta, DFT cũng có quan hệ rất gần gũi với biến đổi Fourier liên tục Miễn là chúng ta tuân theo luật lấy mẫu được đặt ra trong chương 12 thì về bản chất chúng ta có thể xem chúng là tương đương Tính mềm dẻo bắt buộc chúng ta phải xem xét quá trình thiết kế trong phạm vi rộng Điều đó có nghĩa, chẳng hạn, là chúng ta

có thể dùng cách tiếp cận liên tục khi gải quyết một bài toán xử lý ảnh, và sau đó thực hiện lời giải bằng cách tiếp cận rời rạc

10.1.5 Biến đổi nhanh Fourier (FFT)

Khi thực sự cần thiết để tính toán biến đổi Fourier của một tín hiệu hay một ảnh đợc lấy mẫu, chúng ta thường sử dụng DFT Số các phép nhân và phép cộng cần có để thực

hiện biểu thức (21) hay (22) rõ ràng phải tỷ lệ với N 2, thậm chí sau đó giá trị yêu cầu số

mũ phức phải được lưu trữ trong bảng Điều này khién cho việc tính toán này trở lên rất phiền toái

Thật may mắn, đã sẵn có một lớp thụât giải làm giảm thiểu số các phép tính chỉ còn ở

mức Nlog 2 N Việc thực hiện với số phép tính giảm nhẹ này gọi là biến đổi nhanh Fourier N phải phân tích thừa số thành tích các số nguyên nhỏ Hiệu quả cao nhất và

kết quả thực hiện đơn giản nhất khi N là luỹ thừa của 2 (chẳng hạn N = 2 p trong đó p là một số nguyên)

Chú ý trong biểu thức (21) có thể viết dưới dạng tích ma trận

, 1

1 , 0 0

, 0

1 0

N N N N

N

f

W W

W W

F = W f (24) Trong đó

N

ni j i

N

Do hàm mũ tuần hoàn theo tích của n và i, nên tính đối xứng trong ma trận W là đáng

quan tâm Ma trận có thể phân tích thành các ma trận N  N chứa các giá trị được lặp lại,

bao gồm rất nhiều giá trị 0 và giá trị 1 Nếu N = 2 p thì W phân thành p ma trận như trên

Số lượng tổng cộng các phép tính được yêu cầu để thực hiện p tích ma trận về thực chất

là ít hơn số các phép tính yêu cầu đối với biểu thức (23)

Phân tích bằng FFT làm giảm khối lượng công việc tính toán đi một lượng là

) ( 2 )

( 2

2

log

N N

N

Giá trị này tăng với N, và với N = 1024, FFT nhanh hơn thực hiện trực tiếp xấp xỉ

100 lần

10.1.6 Biến đổi Fourier của một số hàm thường dùng

Bảng 10-1 liệt kê các biến đổi Fourier của một số hàm phổ biến:

BẢNG 10-1 BIẾN ĐỔI FOURIER CỦA MỘT SỐ HÀM THƯỜNG DÙNG

2 2

)(

)(sin



( )21

 ( ) ( )

2

1

f s f

s

j    

10.2 CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER

10.2.1 Tính đối xứng

Trong trường hợp tổng quát, một hàm phức của một biến trị thực đơn có biến đổi Fourier cũng là một hàm phức của biến thực Tuy nhiên, có một số lớp các hàm bị hạn chế vì tính đối xứng của chúng tạo ra hành vi dưới phép biến đổi Fourier

10.2.1.1 Tính chẵn lẻ

Một hàm f e (t) là chẵn nếu và chỉ nếu

)()(t f t

Và một hàm f o (t) là lẻ nếu và chỉ nếu

)()(t f t

Trong đó

)()()(t f t f t

Chúng ta kiểm tra kết quả của tính chẵn lẻ trong biến đổi Fourier bằng cách thực hiện lại quan hệ Euler

)sin(

)cos(x j x

f j dt st t

f j

dt st t

f dt st t

f s

F

o e

o e

)2sin(

)()

2sin(

)(

)2cos(

)()

2cos(

)()

Chú ý đó là các số hạng 2 và 3 là tích phân không xác định của các hàm chẵn và hàm

lẻ Các số hạng có giá trị 0, và biến đổi Fourier ốut gọ thành

)()()

2sin(

)()

2cos(

)(

Bây giờ chúng ta có thể đưa ra danh sách các tính chất đối xứng của biến đổi Fourier:

1 Một hàm thành phần chẵn tạo ra một hàm thành phần biến đổi chẵn

2 Một hàm thành phần lẻ tạo ra hàm thành phần biến đổi lẻ

1 Phần chẵn thực tạo ra một phần chẵn thực

2 Phần lẻ thực tạo ra một phần lẻ thực

3 Phần chẵn ảo tạo ra một phần chẵn ảo

4 Phần lẻ ảo tạo ra một phần lẻ ảo

Trong các quan tâm khác là mối quan tâm với trường hợp hàm nhập mà là thực, chúng ta thông thường sử dụng hàm thực để đưa lại các ảnh nhập vào chú ý đó là một hàm thực đưa ra một biến đổi mà có một phần hàm là chẵn thực và một phần hàm lẻ ảo

Điều này được đề cập như một hàm Hermite, và nó có tính chất đối xứng liên hợp

Trong đó dấu * ký hiệu cho liên hợp phức

Bảng 10.2 liệt kê đầy đủ các tính chất đối xứng của biến đổi Fourier Chú ý rằng biến đổi ngược [biểu thức 2] so với biến đổi trực tiếp [biểu thức 1] chỉ khác dấu của thành phần lẻ Điều này cho ta thấy rằng với biến đổi xuôi và ngược một hàm chẵn là tương đương

BẢNG 10.2 CÁC TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER

Nguyên lý dịch chuyển miêu tả ảnh hưởng khi di chuyển (dịch chuyển) hàm ban đầu

nhờ vào biến đổi Fourier của nó Sử dụng hàm f(t) như đã miêu tả ở trên chúng ta có thể



j as as j

dt du a

Vì thế, phép dịch chuyển một hàm đưa một hệ số mũ phức vào trong biến đổi Fourier

của nó Chú ý rằng nếu a = 0, thì hệ số là duy nhất Hệ số phức

ej2 as cos 2  sin 2

(47)

có biên độ bằng 1 và quay trong mặt phẳng phức khi tăng s Nghĩa là dịch chuyển

một hàm không làm thay đổi biên độ (mô đun) biến đổi Fourier của nó, nhưng nó thay đổi sự phân bố năng lượng giữa các phần thực và phần ảo của nó Kết quả là pha dịch

cân đối với cả tần số lẫn a, lượng dich chuyển

10.2.4 Nguyên lý tích chập

Có lẽ nguyên lý quan trọng nhất trong phân tích hệ thống tuyến tính là nguyên lý tích chập Chúng ta có thể biểu diễn biến đổi Fourier tích chập các hàm cho trong biểu thức (37) và (38) như sau

10.2.5 Nguyên lý đồng dạng

Nguyên lý đồng dạng miêu tả ảnh hưởng mà một sự thay đổi tỷ lệ toạ độ gây ra cho biến đổi Fourier của một hàm

Việc thay đổi tỷ lệ của trục toạ độ sẽ mở rộng hay thu hẹp một hàm Vì thế, chúng ta

có thể giãn ra hay nén hàm trong biểu thức (37) bằng cách thay thế một hệ số trong đối

số của nó Khi đó biến đổi Fourier trở thành

Bây giờ thay biến

dt du at

Nếu hệ số a > 1,thì nó kết thu nhỏ hàm f(t) theo chiều ngang, bằng biểu thức (60), nó làm giảm biên độ của biến đổi Fourier và mở rộng chiều ngang của nó bằng hệ số a Nếu

a < 1, nó có tác động ngược lại Điều này được minh hoạ trong hình 10-2 Nguyên lý

đồng dạng hàm ý rằng một hàm hẹp có một biến đổi Fourier rộng và ngược lại

Chúng ta có thể sử dụng nguyên lý đồng dạng để xây dựng một biểu thức chung cho biến đổi Fourier của hàm Gauss Nhắc lại, từ biểu thức (5) và (12), biến đổi Fourier của Gauss cũng là một hàm Gauss

e  

HÌNH 10-2

Hình 10-2 Nguyên lý tương đương

2

s -

e

Vì thế, biến đổi Fourier của hàm Gauss có biên độ bằng 1 với độ lệch tiêu chuẩn  là

một hàm Gauss khác với biên độ là 2  và độ lệch tiêu chuẩn là 1/(2 )

Chúng ta có thể sử dụng nguyên lý đồng dạng để chứng minh biến đổi của xung là hằng số Giả sử rằng

   at2

ae t

Và biến đổi của nó là

  s / a 2

e s

Nếu chúng ta cho a tiến tới vô hạn, thì biên độ của f(t) sẽ hẹp lại và cao lên gần như

là một xung, trong khi F(s) mở rộng ra để đạt được hằng số biên độ là 1 Vì vậy, trong

trường hợp ràng buộc, phép co hàm Gauss dần tới một xung, và mở rộng biến đổi Gauss của nó tiến đến 1

10.2.6 Định lý Rayleigh

Một lớp các hàm quan trọng chỉ khác 0 trên một phần giới hạn trong miền của chúng Đối với các hàm này, chúng ta có thể bàn tới tổng năng lượng của chúng Năng lượng của một hàm được định nghĩa như sau

Điều đó có nghĩa là biến đổi có cùng năng lượng như hàm ban đầu của nó

Dưới đây là chứng minh định lý Rayleigh Đầu tiên chúng ta viết

u F t f t

s F t

f t

s F t

f t

Biểu thức đó đã chứng minh biểu thức (73) và phát biểu rằng năng lượng trong cả hai

miền là như nhau Nếu f(t) là thực và chẵn, thì F(s) cũng là thực và chẵn, và

10.3 HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH VÀ BIẾN ĐỔI FOURIER

Trong phần này, chúng ta sẽ xem xét biến đổi Fourier đóng những vai trò quan trọng như thế nào trong phân tích hệ thống tuyến tính

10.3.1 Thuật ngữ trong hệ thống tuyến tính

Hình 10-3 trình bày, trong cả hai miền, thuật ngữ thường sử dụng cho hệ thống tuyến tính Nói chung, biến đổi Fourier của một tín hiệu được gọi là phổ tín hiệu, và biến đổi Fourier ngược của phổ là một tín hiệu Tương tự, đáp ứng xung và hàm truyền đạt tạo thành một cặp biến đổi Fourier

10.3.2 Định danh hệ thống tuyến tính

Thông thường, chúng ta chưa biết đáp ứng xung và hàm truyền đạt của một hệ thống

và phải đi xác định chúng Quá trình này gọi là định danh hệ thống Đối với hệ thống

tuyến tính trong hình 10-3, nguyên lý tích chập ngụ ý rằng

s H s

t h t

Nghĩa là chúng ta có thể nhập một hàm f(t) đã biết, đáp ứng xung h(t), và tính g(t) bằng phép tích phân số học Ví dụ, giả sử f(t) là một xung Thì h(t) chỉ đơn thuần là đáp

ứng xung, và không cần thêm một hành động nào để định danh hệ thống

Một ví dụ đáng quan tâm hơn, giả sử rằng