XỬ lý ẢNH CHƯƠNG 16

Hình 16-1 Mô hình khôi phục ảnh liên tục Lý thuyết hệ thống tuyến tính đã được sử dụng để thiết kế các bộ lọc điện tử trong nhiều năm trước khi xử lý ảnh trở nên phổ biến.. Biểu thức 4

Chương 16 KHễI PHỤC ẢNH

16.1 GIỚI THIỆU

Trong lịch sử, lĩnh vực hoạt động rộng lớn của xử lý ảnh số đó dành hết cho việc khụi phục ảnh Cụng việc này bao gồm cả nghiờn cứu phỏt triển thuật giải lẫn chương trỡnh, xử lý ảnh cú mục đớch Nhiều đúng gúp đỏng chỳ ý trong xử lý ảnh số

đó được thực hiện trước kia cũng như sau này

Dựa vào khụi phục ảnh, chỳng ta muốn loại bỏ hay làm giảm những suy giảm gặp

phải trong khi thu nhận ảnh số Sự suy giảm bao gồm sự mờ do hệ thống quang học,

di chuyển đối tượng và cả nhiễu từ điện tử hay nguồn quang trắc Trong khi khụi phục ảnh cú thể được định nghĩa bao gồm nhiều kỹ thuật đó đề cập trong Phần 1, ta coi nú là biểu hiện của lớp cỏc thao tỏc bị hạn chế nhiều hơn

Tiờu chớ cho việc khụi phục ảnh là mang lại một ảnh tương đối giống ảnh ban đầu khi ảnh số thu được bị suy giảm Mỗi phần tử trong chuỗi thu nhận ảnh (thấu kớnh, film, bộ số hoỏ, ) đều cú thể tạo ra suy giảm Khụi phục từng phần ảnh bị mất chất lượng cú thể thoả món một khớa cạnh thẩm mỹ nào đú, tuỳ thuộc vào từng ứng dụng

cụ thể Một vớ dụ cho trường hợp sau là cỏc nhiệm vụ thu thập ảnh mặt trăng và hành tinh trong chương trỡnh khụng gian

Trong chương này, chỳng ta xem xột một vài phương phỏp tiếp cận khụi phục ảnh Ta cũng xem xột cỏc bài toỏn nhận biết hệ thống và mụ phỏng nhiễu Đối với những tin tức chi tiết về cỏc đối tượng, độc giả nờn tham khảo tài liệu hay nghiờn cứu

về lĩnh vực này

16.1.1 Tiếp cận và mụ phỏng

Tiến trỡnh khụi phục ảnh bị suy giảm cú thể tiếp cận theo một trong hai cỏch cơ bản Nếu khụng biết nhiều về ảnh, ta cú thể cố gắng để mụ phỏng và mụ tả đặc điểm cỏc nguồn suy giảm (mờ và nhiễu) và thực hiện quỏ trỡnh loại bỏ và giảm bớt ảnh hưởng của chỳng Đõy là cỏch tiếp cận ước đoỏn, vỡ ta thử ước đoỏn ảnh như thế nào trước khi bị suy giảm thụng qua xử lý cỏc đặc tớnh liờn quan cũn lại

Núi cỏch khỏc, rất nhiều nhận thức trước đõy về ảnh đó cú sẵn, cú thể thành cụng hơn để phỏt triển mụ hỡnh toỏn học của ảnh ban đầu và điều chỉnh mụ hỡnh ảnh quan sỏt Một vớ dụ cho trường hợp này, giả sử rằng ảnh đó biết chỉ chứa cỏc đối tượng hỡnh trũn cú kớch thước cố định (cỏc vỡ sao, cỏc hạt, cỏc tế bào,…) Ở đõy, cụng việc

là sự phỏt hiện, vỡ chỉ một vài thụng số của ảnh ban đầu là chưa biết (số lượng, vị trớ, biờn độ,…)

Việc tiếp cận bài toỏn khụi phục ảnh cũng thể hiện ở một vài lựa chọn khỏc Thứ nhất, việc phỏt triển cú thể sử dụng cỏc phộp toỏn rời rạc hay liờn tục Thứ hai, việc phỏt triển cú thể thực hiện trong miền khụng gian hay miền tần số Cuối cựng, trong khi việc thực hiện phải là số (digitally) thỡ khụi phục cú thể thực hiện trong miền khụng gian (qua tớch chập) hay miền tần số (qua phộp nhõn)

Thật may mắn, bõy giờ ta đó xỏc định đượ tập điều kiện mà, nếu được bảo toàn, làm cho cỏc phương phỏp tiếp cận khỏc nhau đều cần thiết ngang nhau Vỡ thế, chỳng

ta có thể sử dụng bất cứ cách tiếp cận nào phù hợp với yêu cầu và ràng buộc của ta nhất, miễn là chúng ta quan tâm đến những giả thiết cơ bản

Thường thường, có hai hay nhiều cách tiếp cận đều dẫn đến cùng một kỹ thuật khôi phục Các phương pháp tiến hành tốt trong thực tiễn là cơ sở cho bài toán này Một trong số chúng luôn luôn có vẻ như chờ đợi ta cuối hành trình, không quan tâm đến hướng ta xuất phát hay loại bản đồ và la bàn mà ta sử dụng

Trong chương này, chúng ta xem xét một vài kỹ thuật khôi phục ảnh quan trọng Chúng ta bắt đầu bằng cách tiếp cận trong miền tần số liên tục theo thứ tự phát triển

và ứng dụng của chúng đối với ảnh số Sau đó ta sẽ nghiên cứu trong miền không gian rời rạc để thống nhất các kết quả có trước thành cơ cấu chung Tiếp theo, chúng

ta sẽ xem xét khía cạnh thực tiễn của việc xử lý mờ biến thiên và nhiễu không cố định Sau khi xác định các tham số suy giảm ta tiến hành khôi phục ảnh

16.2 CÁC BỘ LỌC KHÔI PHỤC ẢNH KINH ĐIỂN

Trong phần này, chúng ta sử dụng hệ thống trong Hình 16-1 để mô phỏng sự suy

giảm và khôi phục ảnh Ảnh f(x,y) được làm mờ bằng phép toán tuyến tính h(x,y) và nhiễu n(x,y) được thêm vào để tạo thành ảnh suy giảm w(x,y) Ảnh này được nhân chập với bộ lọc khôi phục g(x,y) để cho ảnh khôi phục f^(x,y)

Hình 16-1 Mô hình khôi phục ảnh liên tục

Lý thuyết hệ thống tuyến tính đã được sử dụng để thiết kế các bộ lọc điện tử trong nhiều năm trước khi xử lý ảnh trở nên phổ biến Nó được ứng dụng rộng rãi trong quang học, xử lý tín hiệu số và các lĩnh vực khác Ví dụ, giải chập được biết đến trong thiết kế bộ lọc điện tử và phân tích chuỗi thời gian Thậm chí ước lượng sai số bình phương trung bình (MSE) tối thiểu được Norbert Wienner trình bày vào năm

1948 Vì thế, nhiều kỹ thuật ứng dụng trong khôi phục ảnh là sự tổng hợp từ các phương pháp một chiều đã sử dụng trong xử lý tín hiệu tương tự và tín hiệu số Thậm chí khi trở thành đặc trưng, các kỹ thuật mới đã được trình bày, chúng tập trung vào cách tiếp cận miền tần số kinh điển

16.2.1 Giải chập (Deconvolution)

Vào giữa thập niên 60, giải chập (lọc ngược) đã bắt đầu được ứng dụng rộng rãi

để khôi phục ảnh số Nathan đã sử dụng giải chập hai chiều để khôi phục ảnh từ các nhiệm vụ thám hiểm hành tinh Ranger, Surveyor và Mariner Vì phổ tín hiệu thường tắt dần nhanh hơn nhiễu ở cùng tần số, nên các thành phần tần số cao thường bị nhiễu tác động Phương pháp tiếp cận của Nathan đã hạn chế hàm truyền đạt giải chập xuống một giá trị tối đa nào đó (Hình 16-2)

Trong suốt chu kỳ lấy mẫu, Harris đã giải chập vệt mờ do sự hỗn loạn của bầu khí quyển trong ảnh thiên văn sử dụng một mô hình phân tích đối với PSF và McGlamery đã giải chập sự hỗn loạn khía quyển sử dụng một PSF xác định qua thực nghiệm Do đó, giải chập đã trở thành kỹ thuật tiêu chuẩn cho vấn đề khôi phục ảnh

+

),(x y f

),(x y

),(x y n

),(x y

Hỡnh 16-3 minh hoạ sự cải tiến cú thể cú trờn ảnh khi kỹ thuật này được thực hiện cẩn thận

Cỏc nguồn nhiễu đặc trưng cú phổ năng lượng bằng phẳng hoặc suy giảm theo tần

số chậm hơn so với phổ năng lượng của ảnh Vỡ thế, trạng thỏi mong muốn là sao cho

1 5

h h

(a) Đáp ứng lý thuyết (b) Đáp ứng thực tế

(c) Đáp ứng đảo (d) Đáp ứng đã hiệu chỉnh

0 0.2

1

phổ tín hiệu ở tần số thấp còn nhiễu chiếm các tần số cao Bởi vì kích thước bộ lọc giải chập thường tăng theo tần số nên bộ lọc sẽ tăng cường nhiễu tần số cao Những

cố gắng vận dung giải chập bài toán nhiễu bằng các phương pháp đặc biệt và trực

quan

Helstrom đã chấp nhận thủ tục ước lượng sai số bình phương trung bình và đã trình bày bộ lọc giải chập Wienner, có hàm truyền đạt hai chiều

),(),(),(

),(),()

,

*

v u P v u P v u H

v u P v u H v

u G

n f

,(

),()

,

*

v u P v u P v u H

v u H v

u G

f n



trong đó P f và P n là phổ năng lượng của tín hiệu và nhiễu Bộ lọc này được trình bày trong chương 11 cho trường hợp một chiều

Hình 16-4 Vấn đề nhiễu trong giải chập

Slepian đã mở rộng giải chập Wienner để giải thích PSF suy biến (ví dụ do nhiễu loạn khí quyển) Sau đó, Pratt và Habibi đã phát triển công cụ để tăng hiệu quả tính toán của giải chập Wienner

s s

) (

s P

s P

n f

)

(s

F

) (

1

s H

Giải chập Wienner tạo ra một phương pháp tối ưu cho việc thực hiện hàm truyền đạt giải chập trong sự hiện diện của nhiễu, nhưng nó bị vướng mắc với ba vấn đề hạn chế tính hiệu quả của nó Thứ nhất, tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình (MSE) của sự tối ưu không đặc biết tốt nếu ảnh đang được khôi phục trong mắt người Vấn

đề là ở chỗ tiêu chuẩn MSE xử lý mọi sai số như nhau, bất chấp vị trí của chúng trong ảnh, trong khi mắt phải chịu đựng các sai số trong vùng tối và vùng gradient cao nhiều hơn các hệ thống khác rong việc tối thiểu hoá sai số bình phương trung bình, bộ lọc Wienner cũng có xu hướng làm trơn ảnh nhiều hơn những gì mà mắt ưa thích

Thứ hai, giải chập Wienner cổ điển không thể vận dụng PSF có biến làm mờ thuộc không gian Điều này xuất hiện với sự hôn mê, chứng loạn thị, sự uốn cong của trường thể hiện và với vệt mờ di chuyển trong khi quay

Cuối cùng, kỹ thuật không thể vận dụng cho các trường hợp phổ biến của tín hiệu

và nhiễu dừng Đa số các ảnh là không dừng, có các khu vực bằng phẳng rộng phân biệt bởi sự chuyển tiếp dễ nhận thấy (biên) Hơn nữa, một vài nguồn nhiễu quan trọng tuỳ thuộc rất nhiều vào mức xám cục bộ Trong hai phần tiếp theo, ta sẽ xem xét những cách thức thực hiện và cải tiến giải chập Wienner

16.2.3 Cân bằng phổ năng lượng

Canon đã chứng minh bộ lọc khôi phục phổ năng lượng của ảnh bị suy giảm thành biên độ ban đầu là

2 / 1

2

),(),(),(

),()

,(

v u P v

u G

n f

f

Giống như bộ lọc Wienner, bộ lọc cân bằng phổ năng lượng (Power Spectrum

Equalization-PSE) này không có pha (thực và chẵn) Nó thích hợp cho các hàm làm

mờ không pha hay pha được xác định bởi các phương pháp khác

Điểm tương đồng giữa bộ lọc PSE (biểu thức (3)) và bộ lọc giải chập Wienner (biểu thức (1)) là quá rõ ràng Cả hai bộ lọc đều giảm xuống còn giải chập trực tiếp trong tình trạng không nhiễu và cả hai cắt hoàn toàn trong tình trạng không có tín hiệu Tuy nhiên, bộ lọc PSE không cắt tại các vị trí 0 trong hàm truyền đạt làm mờ

*

),(/),()

,(

),()

,(

),()

,(

v u P v u P v

u H

v u H v

u H

v u H v

u G

f n

(4)

trong đó  và  là các hằng số thực dương Bộ lọc này là sự khái quát của các bộ

lọc đã đề cập trước đây Hàm truyền đạt được tham số hoá theo  và  Chú ý, nếu 

= 1 thì biểu thức (4) rút gọn thành bộ lọc giải chập Hơn nữa, nếu  = 1/2 và  = 1,

thì nó sẽ trở thành bộ lọc PSE trong biểu thức (3)

Cần lưu ý thêm rằng, nếu  = 1/2 thì biểu thức (4) sẽ xác định bộ lọc trung bình

hình học giữa giải chập bình thường và giải chập Wienner Vì thế biểu thức (3) còn

có một tên gọi nữa là bộ lọc trung bình hình học Tuy nhiên, thực tế thì tên gọi này

thường dùng cho bộ lọc tổng quát hơn trong biểu thức (4)

Nếu trong biểu thức (4),  = 0 thì nó trở thành bộ lọc tham số Wienner

,(

),()

,

*

v u P v u P v

u H

v u H v

u G

f n



Nếu  = 1 biểu thức này sẽ trở thành bộ lọc giải chập Wienner của biểu thức (2),

ngược lại  = 0 sẽ rút gọn thành giải chập trực tiếp Nói chung,  có thể được chọn để

có được bộ lọc làm trơn kiểu Wienner mong muốn

Biểu thức (4) trình bày một lớp các bộ lọc khôi phục rất phổ biến thường dùng trong các hàm làm mờ tuyến tính, bất biến không gian và nhiễu cộng không tương quan Andrews và Hunt đã nghiên cứu khả năng khôi phục của bộ lọc trong biểu thức (4) dưới các điều kiện hơi mờ và nhiễu vừa phải Chúng chứng tỏ rằng, dưới những điều kiện này, giải chập trực tiếp ít mong muốn nhất và giải chập Wienner tạo ra hiệu quả lọc thông thấp khắt khe hơn mà mắt người mong muốn Bộ lọc tham số Wienner

 < 1 và bộ lọc trung bình hình học cùng một ràng buộc có vẻ như tạo ra các kết quả

dễ chịu hơn

16.3 SỰ KHÔI PHỤC ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Andrews và Hunt đã đề xuất một phương pháp tiếp cận bài toán khôi phục ảnh dựa trên cơ sở đại số tuyến tính Tiếp cận này có thể lôi cuốn những người thích dùng đại số ma trận hơn phép tính tích phân và toán học rời rạc để phân tích các hàm liên tục Nó đưa ra một sự trình bày thống nhất về các bộ lọc khôi phục, kể cả những

bộ lọc đã đề cập trước đây và nó mang lại những hiểu biết về khía cạnh bằng số của bài toán khôi phục ảnh

Bởi vì kích thước các vec tơ và cả các ma trận nên phương pháp tiếp cận đại số tuyến tính có thể không mang lại hiệu quả Thay vào đó, một kỹ thuật khôi phục phát triển theo phương pháp tiếp cận này có thể được thực hiện hiệu quả hơn bằng phương pháp khác

16.3.1 Mô hình khôi phục rời rạc

Hình 16-5 trình bày một mô hình mad ta sẽ sử dụng trong việc phát triển các kỹ thuật khôi phục không gian rời rạc Hàng trên đỉnh biểu thị trạng thái mong muốn

(nhưng không có khả năng), đó là một bộ số hoá lý tưởng hoạt động trên f(x, y), là

hàm liên tục không sy biến biểu diễn cho cảnh vật lý tạo ra ảnh Bộ số hoá này tạo ra

một vec tơ cột f N 2  1, đệm thêm và xếp chồng theo hàng, chứa ảnh số mong muốn

Khuôn dạng vec tơ cột này đối với việc lưu trữ ảmh số đã được đề cập trong phần 9.3.4

Hàng thứ hai của mô hình mô phỏng điều sẽ xảy ra khi một ảnh được số hoá và

được khôi phục Hàm f(x, y) bị mờ bởi một phép toán tuyến tính h(x, y) và sau đó một ảnh nhiễu hai chiều n(x, y) được thêm vào, tạo thành g(x, y) Một bộ số hoá lý

tưởng tạo ra một vec tơ cột g đệm thêm, sắp xếp theo hàng, chứa ảnh số N  N quan

sát được Điều này tuỳ thuộc vào phép toán khôi phục tạo ra



f , xấp xỉ với kết quả mong muốn, f

Hàm mờ là tuyến tính, nhưng nó có thể là bất biến dịc hoặc không Nếu nó là bất

biến dịch thì nó chẳng qua là tích chập của f(x, y) với PSF h(x, y) Nếu thực tế có

nhiều hơn một toán tử làm mờ trong chuỗi mô phỏng, thì các toán tử này được giả

định là kết hợp với nhau thành h(x, y) Cũng như vậy, nhiều nguồn nhiễu được giả thiết là kết hợp thành một nguồn n(x, y) Mô hình này vẫn chưa hoàn thiện, vì nó

không tính đến nhiễu phi tuyến và nhiễu phụ thuộc tín hiệu

Hàng thứ ba của hình cho thấy mô hình mà chúng ta phân tích ở đây Một bộ số

hoá lý tưởng tạo ra f, như trước, nhưng điều này tuỳ thuộc vào phép toàn tuyến tính rời rác H Một ảnh nhiễu rời rạc, mã hoá theo vec tơ cột n, được thêm vào để tạo ra ảnh quan sát g, cũng có dạng vec tơ Một phép toán khôi phục rời rạc lại tạo ra ước

trong đó g, f và n là các vec tơ cột N 2  1 và H là ma trận N 2  N 2 Nếu hàm mờ là

bất biến dịch thì H là ma trận khối vòng tròn Ngoài ra, các ảnh số mà ta quan tâm

đều là N  N sau khi đệm thêm các giá trị 0 cần thiết

Lưu ý rằng bây giờ, bằng các phép toán rời rạc, chúng ta đang mô phỏng các suy biến nhận được trước khi ảnh được chuyển đổi sang dạng số Mô phỏng này có hai nhánh Đầu tiên, ta có thể tạo các ví dụ mô phỏng rất ấn tượng bằng mô hình này, vì

ta có thể thiết kế quá trình suy biến và thực hiện nó chính xác Sự khôi phục trở thành một bài tập bằng số đơn thuần, nếu ta chọn một quá trình suy biến có thể đảo ngược Ta thực hiện điều đó, ta xoa bỏ nó, và ta khôi phục lại nguên mẫu trong phạm

vi sai số làm tròn

Thứ hai, bây giờ ta tiến hành mô phỏng các quá trình (liên tục) bằng các phép toán rời rạc Điều này tương tự như tình huống trước đây mà chúng ta đã phải bảo đảm rằng quá trình xử lý rời rạc dữ liệu lấy mẫu bảo toàn nguyên vẹn các hàm liên tục cơ bản Hiệu lực của khôi phục ảnh cố gắng xoay quanh sự mô phỏng chính xác quá trình suy biến ảnh

16.3.2 Khôi phục không ràng buộc

Nếu n = 0 hoặc nếu ta không biết một tí gì về nhiễu, ta có thể thiết lập sự khôi

phục như bài toán tối thiểu hoá bình phương nhỏ nhất theo cách dưới đây Cho ( )



f

e là một vec tơ sai số thặng dư thu được từ việc sử dụng

H g f

e f

t

W

2 2

(8) trong đó a  ata ký hiệu cho tiêu chuẩn Ơ clit của một vec tơ, tức là, câưn bậc hai của tổng bình phương các phần tử của nó

Nghĩa là ta chọn



f sao cho nếu nó bị H làm mờ thì kết quả sẽ khác ảnh quan sát g càng ít càng tốt theo nghĩa bình phương trung bình Vì bản thân g là f đơn giản bị làm mờ bởi H, nên đây là cách tiếp cận tốt nhất Nếu f và

Cho đạo hàm của ( )

)(

f ( )1 1





trong đó dấu bằng thứ hai là đúng vì H là ma trận vuông

Biểu thức (10) giống như bộ lọc đảo Với hàm mờ bất biến dịch, H sẽ là ma trận khối vòng tròn và nó có thể được dùng để xác định giải chập, cho trong miền tần số bởi

u v

H

v u G v u F

,

,, 



(11)

Nếu H(u, v) có các giá trị 0 thì H là duy nhất và H-1 hay (H t H) -1 không tồn tại

16.3.3 Khôi phục ràng buộc bình phương nhỏ nhất

Ta có thể sắp xếp biểu thức (6) lại như sau

Một cách để đưa thành phần nhiễu vào ràng buộc tối thiểu mà các tiêu chuẩn của mỗi vế trong biểu thức (12) là như nhau; tức là,

2 2

n f H

g 



(13) Bây giờ chúng ta có thể thiết lập bài toán như tối thiểu hoá của

f và  là một hằng số gọi là số nhân Lagrăng Khả năng xác định Q cho ta tính

linh hoạt khi thiết lập mục đích khôi phục

Như trước, ta đặt đạo hàm W(

22

)(

16.3.3.1 Bộ lọc giả ngược

Nếu ta đặt Q = I, ma trận đồng nhất, thì ta sẽ tối thiểu hoá được tiêu chuẩn f tuỳ

thuộc vào ràng buộc nhiễu của biểu thức (13) Khi đó biểu thức (16) trở thành

n

f R R

Trong đó Rf = {fft} và Rn = {nnt} là các ma trận hiệp biến của tín hiệu và nhiễu

tương ứng Khi đó biểu thức (16) trở thành

g H R R H H

n f

độ lệch bình phương trung bình giữa ảnh ban đầu và ảnh khôi phục

Trình bày về đại số tuyến tính trước đây, sử dụng sự tối thiểu hoá của biểu thức (14) với tiêu chuẩn của biểu thức (18) đối với trường hợp hàm mờ bất biến dịch, đã dẫn ta trở lại cùng xác định miền tần số đối với bộ lọc Wienner đã trình bày trong chương 11 Tuy nhiên, lưu ý rằng nó phát triển dễ dàng hơn, nhưng không dễ dàng đối với bộ lọc đang đề cập, chứng tỏ bộ lọc này làm cho ảnh khôi phục trông giống ảnh ban đầu nhất (theo nghĩa bình phương trung bình) Mặc dù sự phát triển sau mang lại cùng một câu trả lời với thời gian nhanh hơn, nhưng nó không có nghĩa là

bộ lọc tối ưu

16.3.3.3 Các ràng buộc làm trơn

Sự khôi phục bao gồm cả lọc ngược một ảnh bị nhiễu, mờ Lọc ngược thường làm nổi bật các chi tiết nhỏ Thường thường, ma trận mờ phải chịu đựng điều kiện tồi và

thậm chí có thể khác thường Việc tối thiểu hoá tạo ra một ảnh khôi phục khi đã mờ giống với ảnh ban đầu bị nhiễu, mờ Vì những lý do này, ảnh khôi phục có thể phải chịu đựng các tác động lớn do con người tạo ra Một phương pháp khắc phục vấn đề

này là chọn Q để áp đặt mọt mức độ làm trơn nào đó lên ảnh khôi phục Sau đó biểu

thức (14) sẽ cố gắng đạt đến một sự đánh giá về làm trơn, khử mờ và khử nhiễu

Đặt Q tương ứng với phép lọc tích chập thông cao, ví dụ như Laplace, là đạo hàm

bậc hai; tức là,

y x y

x

2 2

2 2

2

(21)

Là trung bình của ước lượng lọc thông cao bình phương Ma trận vòng tròn khối

Q là biểu hiện gần đúng của hạt nhân tích chập thông cao, chẳng hạn như

141

010

, y

x

Là một xấp xỉ rời rạc với ma trận Laplace Từ biểu thức (16), sự định rõ miền tần

số của phép toán khôi phục (bất biến dịch) là

u v Pu v Gu v

H

v u H v

u

,,

Trong đó P(u, v) là hàm truyền đạt của bộ lọc thông cao được thực hiện bởi Q

Đối với Laplace, biểu thức này là

Nhưng cũng có thể sử dụng các hàm truyền đạt thông cao khác Giá trị của  kiểm

tra mức độ ràng buộc của sự làm trơn lên trên sự ước lượng và hình dạng của P(u, v)

định nghĩa các tần số khác nhau bị ảnh hưởng như thế nào bởi ràng buộc làm trơn

16.4 KHÔI PHỤC CÁC PHẦN ÍT SUY GIẢM

Trong phần này, chúng ta sẽ xem xét các tình huống không hạn chế đối với quá trình làm mờ bất biến dịch, tín hiệu và nhiễu dừng

16.4.1 Hàm mờ biến thiên không gian

Trong khi phân tán và mờ chuyển động tuyến tính là các phép toán tuyến tính bất biến không gian, thì chứng loạn thị, sự hôn mê, sự cong trường và mờ do chuyển động quay là biến thiên không gian Một phương pháp khôi phục trực tiếp và hiệu

quả đối với việc sửa chữa những suy giảm này là phép khôi phục biến đổi toạ độ

Phương pháp tiếp cận này bao gồm việc sử dụng một biến đổi hình học lêm trên ảnh suy giảm tạo ra hàm mờ bất biến không gian tổng hợp Tiếp theo là một kỹ thuật khôi

phục bất biến không gian ban đầu và sau đó bằng một biến đổi hình học đảo ngược phép toán trên và đưa ảnh về lại khuôn dạng ban đầu của nó

Robbins và Huang đã áp dụng kỹ thuật này vào sự hôn mê và Sawchuk đã áp dụng nó vào sự mờ do chuyển động phi tuyến và vào chứng loạn thị và sự cong trường Đối với các nguồn suy giảm biến thiên không gian này, các biến đổi hình học yêu cầu là đã biết và sự khôi phục là rất hiệu quả

16.4.2 Hàm mờ biến thiên thời gian

Độ phân giải giới hạn nhiễu xạ của một kính thiên văn 200 inch là xấp xỉ 0.05 giây cung Tuy nhiên, dưới những điều kiện không thuận lợi, sự nhiễu loạn khí quyển

có thể làm giảm độ phân giải xuống còn khoảng 2 giây cung Quan sát các ngôi sao qua bầu khí quyển nhiễu loạn trương tự như việc xem một nguồn ánh sáng điểm chuyển động qua cửa kính dưới trời mưa

Với sự phơi sáng trong thời gian ngắn, sự nhiễu loạn khí quyển tạo ra một mẫu lốm đốm do sự méo pha trong bầu không khí đa dạng bên trên kính thiên văn với sự phơi sáng lâu hơn, sự hỗn loạn khí quyển sẽ gây ra mẫu lốm đốm “nhảy nhót” khi không khí thay đổi Vì thế, phơi sáng lâu tích hợp những mẫu lốm đốm nhảy lung tung để tạo ra vết mờ lớn, lớn hơn nhiều so với PSF giới hạn nhiễu xạ của kính thiên văn

Thời gian trung bình trong miền không gian tương đương với việc lấy trung bình phổ phức trong miền tần số Hàm truyền đạt trung bình thời gian thu được tiến tới 0 tại các tần số bên dưới giới hạn nhiễu xạ của kính thiên văn vì thế, trong sự hiện diện của sự méo pha ngẫu nhiên, lấy trung bình theo thời gian có hại nhiều hơn có lợi

Labeyrie đã chứng minh theo kinh nghiệm rằng phổ nămg lượng trung bình theo thời gian của ảnh một ngôi sao vượt ra ngoài giới hạn nhiễu xạ Nghĩa là sự thay đổi pha ngẫu nhiên trong không khí tính trung bình vượt ra ngoài phổ nămg lượng ảnh

Kỹ thuật khôi phục của ông ta (đo giao thoa vết lốm đốm) bao gồm cả việc đạt được phổ năng lượng của cả đối tượng vũ trụ đang xét lẫn ngôi sao tham khảo Ông ta thực hiện giải chập bằng cách chia phổ năng lượng của đối tượng cho phổ năng lượng của ngôi sao Kết quả là thu được một ước lượng phổ năng lượng giới hạn nhiễu xạ của đối tượng chưa biết Kết quả này có thể biến đổi ngược để đượchàm tự tương quan của đối tượng Bởi vì thông tin pha không có trong phổ năng lượng nên không thể khôi phục đối tượng một cách chính xác, nhưng hàm tự tương quan là đủ để nhận biết các ngôi sao lớn gấp đôi và một vài vật thể khác cũng có thể được quan tâm Knox đã mở rộng kỹ thuật Labeyrie để khôi phục thông tin pha và thu được các ảnh giới hạn nhiễu xạ ngay cả với những điều kiện tương đối tồi tệ Giống như Labeyrie, ông ta lấy trung bình toàn bộ phổ phơi sáng thời gian ngắn để xác định phổ năng lượng của đối tượng Thông tin pha thu được từ sự tự tương quan của phổ năng lượng tức thời

16.4.3 Nhiễu và tín hiệu không dừng

Các bộ lọc đã nói đến ở trên đều liên quan đến tín hiệu và nhiễu dừng Đối với một ảnh dừng, việc tính toán phổ trong một vùng hoàn toàn giống như (hoặc xấp xỉ) trong toàn bộ ảnh Đáng tiếc, điều này thường không đúng như thế Thực tế hầu hết các ảnh là không dừng Ví dụ, xem xét bức ảnh khuôn mặt một người Phổ năng lượng tại vùng trán sẽ có năng lượng tần số cao ít hơn nhiều so với phổ năng lượng vùng mắt Một lớp lớn các ảnh có thể được mô phỏng như một tập hợp các vùng có

mức xám tương đối không thay đổi, tách biệt bởi các đường biên có gradient khá cao Các ảnh một cánh đồng chụp trên không là một ví dụ

Quá trình ngẫu nhiên dừng không thể mô phỏng chính xác một vài nguồn nhiễu phổ biến Ví dụ nhiễu hạt film hầu như không tồn tại trên các vùng mật độ thấp của một ảnh âm bản, nhưng mức nhiễu sẽ gia tăng theo mật độ Mật độ các bộ số hoá, theo sau bộ phát hiện cường độ với bộ khuếch đại logarit, sẽ tạo ra mức nhiễu cao hơn tại các vùng tối, trong đó các hạt tín hiệu nhỏ của bộ khuếch đại logarit là lớn nhất

Rõ ràng là bộ lọc Wienner giải chập trực tiếp tốt hơn, nhưng nó không thể hiện một giới hạn chính xác hơn trong khôi phục ảnh

16.4.3.1 Công thức ma trận

Trong chương 9, việc lợi dụng sự ràng buộc của tính bất biến dịch cho phép ta rút gọn tích phân chồng xuống còn một tích chập đơn giản Nếu ta không lợi dụngtính bất biến dịch thì sự chồng mô phỏng ảnh suy giảm có thể viết lại bằng ký hiệu ma trận như sau

Trong đó mo hình của hình 16-1 đã được rời rạc hoá Đối với các ảnh số N  N

điểm ảnh thì các ma trận W, S và N là các vec tơ cột N 2  1 được tạo ra bằng cách

thêm và xếp thành hàng (phần 9.3.4) Ma trận suy biến F là N 2  N 2 Nó là một ma

trận khối N  N tổng hợp từ các hàm làm mờ N  N Nghĩa là mỗi điểm ảnh của S(i,k) bị suy giảm bởi nhân chập với một hàm làm mờ N  N riêng biệt Nếu hàm làm

*

*

*

Trong đó  s và  n là các ma trận hiệp biến của tín hiệu và nhiễu

Lứu ý rằng biểu thức (26) là ma trận đại số tương đương với biểu thức (4) Cũng

nên chú ý rằng nếu N = 1000, thì ma trận F có một nghìn tỷ (1012) phần tử Hơn nữa,

nếu hàm suy biến có những giá trị 0 thì F sẽ là duy nhất Rõ ràng, biểu thức (26) thể

hiện một lượng công việc tính toán kinh khủng Dưới giả thiết đơn giản hoá nào đó,

có thể rút gọn công thức này xuống còn các phép tính dễ sử dụng và tạo ra các ví dụ gây ấn tượng Tuy nhiên, khả năng đầy đủ của công thức này chưa được dùng trong các ứng dụng hàng ngày

Trong đa số các ứng dụng khôi phục ảnh thực tế, việc khôi phục PSF có liên quan đến việc so sánh kích thước ảnh Nếu ảnh nói chung là dừng tại các vùng che phủ trong phạm vi PSF này thì giả thiết dừng cục bộ có thể được điều chỉnh

Một cách thực hiện khôi phục dưới chế độ dừng cục bộ là sử dụng bộ lọc Wienner hay sự khái quát hoá của nó (biểu thức (4)), trong đó phổ năng lượng của tín hiệu

và/hoặc nhiễu là các hàm vị trí trong ảnh Tuy nhiên, chi phí cho tính toán tương đối cao, trừ phi các phổ này có thể được mô phỏng bởi các công thức của một vài tham

số đơn giản Hơn nữa, cần thiết phải xác định phổ năng lượng cục bộ trên toàn ảnh trước khi tham số hoá không gian bộ lọc

Một cách tiếp cận đơn giản là sử dụng bộ lọc trung bình hình học tổng quát trong biểu thức (4), trong đó các tham số  và  là biến thiên không gian có được từ ảnh

Tuy nhiên, biểu thức này thực hiện trong miền tần số Nếu quá trình khôi phục được thực hiện bằng tích chập thì  và  không xuất hiện như các tham số đơn giản trong

ma trận tích chập

Một phương pháp đơn giản hơn là xác định ma trận tích chập có một hay nhiều tham số Phương pháp này thể hiện quá trình đơn giản hoá việc tính toán, vì chỉ cần tính ma trận tích chập mới tại từng vị trí điểm ảnh

16.4.3.3 Các tham số phổ năng lượng

Bây giờ chúng ta mô phỏng tín hiệu và nhiễu như biến không gian dừng cục bộ Bằng cách này, ta thấy rằng có hai phạm vi trong ảnh: trên phạm vi nhỏ thì ảnh là dừng, còn trên phạm vi lớn thì không

Để minh hoạ, giả sử ta ước lượng phổ năng lượng cục bộ của ảnh tại điểm (x 1 ,y 1 )

bằng cách tính độ lớn bình phương biến đổi Fourier hai chiều của vùng ảnh tương

đối nhỏ có tâm tại (x 1 ,y 1 ) Sau đó ta thực hiện tương tự với một cửa sổ khác có tâm

tại điểm (x 2 ,y 2 ) Nếu hai điểm này khá gần nhau thì phổ năng lượng phải xấp xỉ bằng

nhau, thậm chí ngay cả khi hai cửa sổ không chờm lên nhau Nói cách khác, nếu hai điểm này nằm tách biệt trong ảnh, phổ năng lượng tất yếu sẽ không còn phù hợp Nếu tín hiệu và nhiễu là không tương quan thì biến cục bộ của ảnh quan sát là tổng các biến thành phần nhiễu và tín hiệu; tức là,

),(),(),

2

y x y

x y

trong đó các biến được tính trên các cửa sổ cục bộ khá nhỏ tâm tại (x,y)

Giả sử nhiễu là trắng và có năng lượng (biên độ bình phương trung bình) tỷ lệ với mức xám trung bình tại đó Phổ năng lượng nhiễu

),()

,(),,0,0(),,,(u v x y P x y 2 x y N0 x y

trong đó N 0 là một hằng số và  w (x,y) là mức xám trung bình được tính trên một

vài cửa sổ có tâm tại (x,y)

Chúng ta cũng giả thiết rằng phổ năng lượng tín hiệu có thể tách thành phổ năng

lượng nguyên thuỷ P 0 (u,v) nhân với hệ số biến đổi không gian; tức là,

),,0,0(),(),,,(u v x y f x y P0 x y

,(),()

,,0,0(),(x y R s x y f x y P u v dudv f x y R

s

trong đó R 0 là khối lượng dưới phổ năng lượng nguyên thuỷ

Giải bài toán hệ số biến đổi không gian, ta được

0 0 2

0

2

),()

,(),(),(

R

y x N y x R

y x y

x



trong đó có sử dụng biểu thức (27) và (28) Bây giờ phổ phổ năng lượng tín hiệu

có thể được viết dưới dạng trung bình và biến thiên cục bộ của ảnh quan sát:

 ( , ) ( , ))

,(),,,

0

0

y x N y x R

v u P y x v u

,

,

*,

),(

*)

,,,(

n s

s

P P v u F

P v u F v

u F

v u F y x v u

Các tham số biến thiên không gian  w (x, y) và  2 w (x, y) phải được tính từ ảnh vào

Nghĩa là sự khôi phục ảnh phải được tiến hành theo bước tính ảnh trung gian và ảnh biến thiên từ ảnh vào

16.4.3.4 Phân chia ảnh

Một giải pháp thực tế hơn là tạo ra một lược đồ hai chiều của  w (x, y) và  2 w (x, y)

và tìm kiếm những nhóm các điểm ảnh trong không gian trung gian và không gian biến thiên Sau đó không gian có thể được chia thành nhiều vùng chứa các nhóm này Các vùng được tạo ra có thể ánh xạ ngược lại để xác định các vùng trung gian ít thay đổi và các vùng biến thiên một bộ lọc khôi phục có thể được thiết kế và thực hiện trên từng vùng như vậy Trong phương pháp này, sự khôi phục biến thiên không gian chỉ đắt hơn một vài lần so với khôi phục thống kê

Ví dụ, ta có thể phân chia ảnh suy biến thành các vùng tách rời nhau có bốn kiểu nội dung Bốn vùng tương ứng với bốn khả năng kết hợp các mức xám trung gian cao và thấp với sự biến thiên tín hiệu cao và thấp Sử dụng bốn bộ lọc khôi phục ảnh cho mỗi vùng Nếu các đáp ứng tần số 0 của các bộ lọc bằng nhau thì các đường biên giữa các vùng không thể nhìn thấy rõ trong quá trình xử lý ảnh

Tại những vùng cần khôi phcụ chính xác hơn, ta có thể chia vùng trung gian và sự biến thiên tín hiệu thành những khoảng nhỏ hơn Mặc dù kỹ thuật này bị loại bỏ nhiều bước từ sự khôi phục biến thiên không gian đủ mạnh, nhưng nó có thể tạo ra một sự cải tiến đáng kể nhờ sử dụng giả thiết về tính dừng tổng thể

16.4.3.5 Tỷ số năng lượng nhiễu (NPR-Noise Power Ratio)

Biểu thức (4) đã chỉ ra rằng bộ lọc Wienner tổng quát chỉ đáp lại tỷ số năng lượng tín hiệu trên nhiễu Phổ năng lượng tín hiệu và nhiễu không xuất hiện độc lập trong biểu thức bộ lọc Một thủ tục khôi phục ảnh sẽ đơn giản hơn nếu ta giả thiết rằng, khắp toàn bộ ảnh, phổ năng lượng tín hiệu và nhiễu thay đổi theo biên độ mà không theo dạng hàm Nghĩa là hàm SNR (của tần số không gian) cũng chỉ thay đổi theo biên độ trong từ đầu đến cuối ảnh

Nếu nhiễu là trắng và biên độ phụ thuộc tín hiệu của nó cho trong biểu thức (28),

ta có thể viết tỷ số phổ năng lượng nhiễu trên tín hiệu như sau

),()

,()

,(

),()

,(),

,

,

(

),

2 0

0 0

y x NPR v u P

N R y

x N y x

y x v

u P

N R y x

v

u

P

y x

v

u

P

w n

trong đó NPR(x,y), số hạng trong dấu ngoặc, được gọi là tỷ số năng lượng nhiễu

Nó biểu diễn khả năng biến thiên không gian của tỷ số phổ năng lượng và dễ dàng

tính từ ảnh trung gian và ảnh biến thiên của ảnh suy biến Lưu ý rằng biểu thức (34) được viết dưới dạng tích các số hạng phụ thuộc tần số và phụ thuộc vị trí

Hàm NPR(x,y) có thể được xem như một ảnh Mức xám của nó biểu diễn khả

năng biến đổi không gian của tỷ số năng lượng nhiễu trên tín hiệu Điều này đủ để xác định biến đổi không gian của một bộ lọc khôi phục Người ta có thể sử dụng các

ngưỡng trên NPR(x,y) tại vài mức xám để chia ảnh bị suy giảm thành những vùng

SNR gần giống nhau Một bộ lọc khôi phục khác cũng có thể được sử dụng cho từng vùng

16.4.3.6 Các bộ lọc kết hợp tuyến tính

Có một cách khác sử dụng ảnh NPR để khôi phục biến đổi không gian Kỹ thuật này tương đối rẻ và thực hiện sự khôi phục biến đổi không gian PSF một cách trôi

chảy Giả sử ta tạo ra một hàm mặt nạ m(x,y) bằng cách đơn giản hoá NPR(x,y) trong

đoạn [0,1] Giá trị 0 tương ứng với tỷ số cực tiểu, 1 tương ứng với tỷ số cực đại năng lượng nhiễu trên tín hiệu trong ảnh Tiếp theo ta sẽ thiết kế hai bộ lọc khôi phục

g 1 (x,y) và g 2 (x,y) tương ứng với các trường hợp NPR thấp và cao

Nhân chập ảnh với hai bộ lọc khôi phục này Các phép toán thực hiện là

),(),(),

trong đó g 1 (x,y) và g 2 (x,y) là các bộ lọc khôi phục tĩnh có được từ biểu thức (4)

dưới các điều kiện nhiễu cao và nhiễu thấp Ảnh được khôi phục là

),()]

,(1[),(),(),(x y m x y z1 x y m x y z2 x y

Cuối cùng bước khôi phục cũng có thể được viết như sau

 ( , ) ( , ) [1 ( , )] ( , )

),(),(x y w x y m x y g1 x y m x y g2 x y

Nếu m(x,y) biến đổi chậm so với phạm vi đáp ứng xung của bộ lọc khôi phục, thì

ta giả sử nó là hằng số Với giả thiết này, phép nhân thay thế gần đúng cho tích chập

và biểu thức khôi phục biến đổi không gian PSF là

),(),(x y m x y g1 x y g2 x y g2 x y

Khôi phục kết hợp tuyến tính bao gồm các bước sau: thứ nhất, ảnh suy giảm được

xử lý để rút ra ảnh mức xám trung bình cục bộ và ảnh biến đổi cục bộ Tiếp theo,

hàm mặt nạ m(x,y) được tạo thành bằng cách đơn giản hoá NPR(x,y) Sau đó các bộ lọc tĩnh g 1 (x,y) và g 2 (x,y) được thiết kế cho hai trường hợp tương ứng với SNR thấp

nhất và cao nhất tồn tại trong ảnh Hai ảnh được khôi phục từng phần z 1 (x,y) và

z 2 (x,y) được tạo thành bằng cách nhân chập ảnh vào với từng bộ lọc khôi phục Cuối

cùng đầu ra khôi phục được tạo thành bởi

),(),(x y m x y z1 x y z2 x y z2 x y

Khôi phục kết hợp tuyến tính thực hiện đáp ứng xung biến đổi không gian của biểu thức (39) một cách trôi chảy và tránh được sự việc phân chia ảnh Có phần phức tạp hơn việc khôi phục dừng tổng thể, khôi phục kết hợp tuyến tính bao gồm bốn phép toán cục bộ (tính trung bình, tính biến đổi và hai tích chập) và các phép toán đại

số trong biểu thức (34) và (40) Mặc dù không phải là bộ lọc tối ưu, nhưng bộ lọc

khôi phục kết hợp tuyến cũng thoả mãn một số yêu cầu khôi phục ảnh Tức là nó làm trơn hầu hết các vùng có tỷ số SNR thấp và để lại các vùng có SNR cao

16.5 SIÊU PHÂN GIẢI (SUPERRESOLUTION)

Trong chương 15, chúng ta đã biết rằng hàm truyền đạt không cố kết (incoherent) của một hệ thống quang học là hàm tự tương quan của của hàm con ngươi điều này chứng tỏ rằng hàm truyền đạt thực sự phải được giới hạn dải; tức là, nó tiến đến 0 với mọi tần số lớn hơn một tần số cắt nào đó được thiếtc lập bởi giới hạn nhiễu xạ của độ phân giải

Rõ ràng, có thể hy vọng giải chập sẽ khôi phục phổ của một đối tượng bên ngoài, nhưng quá xa, giới hạn nhiễu xạ Năng lượng tại những tần số vượt quá giới hạn nhiễu xạ bị mất một cách vô ích Độ phân giải vượt quá giới hạn nhiễu xạ có thể là không thực tế nhờ có tính chất hữu ích của biến đổi Fourier Các thủ tục khôi phục

mà tìm cách khôi phục thông tin vượt quá giới hạn nhiễu xạ đợc coi như các kỹ thuật

siêu phân giải (superresolution) Phương pháp mà chúng sử dụng cũng được gọi là ngoại suy các hàm giới hạn dải

có nhiều hơn một hàm phân tích có thể được điều chỉnh chính xác với đường cong đã cho trên khoảng đó Quá trình khôi phục một hàm phân tích trong miền xác định của

nó, cho trước các giá trị của hàm trên khoảng đã định, được gọi là mở rộng phân tích

Bởi vì một ảnh cần thiết phải được giới hạn không gian, nên phổ của nó phải phân tích được Bây giờ bỏ qua nhiễu, phổ của một ảnh có thể xác định trên khoảng từ 0 đến giới hạn nhiễu xạ Vì thế, có thể không thực tế để khôi phục phổ phân tích ở mọi nơi, hay ít rs cũng ở một vài tần số lớn hơn giới hạn nhiễu xạ

Trong chương 12, nó được chỉ ra rằng một hàm bị cắt (giới hạn không gian) không thể bị giới hạn dải Tuy nhiên, các hệ thống quang học giới hạn dải cố gắng áp đặt sự giới hạn dải lên trên các hàm bị cắt Đây chính là tính không tương hợp giữa giới hạn không gian và giới hạn dải mà các kỹ thuật siêu phân giải cố gắng sử dụng

16.5.2 Kỹ thuật Harris

Harris đã xem xét có phải sự giới hạn nhiễu xạ có tính chất lý thuyết gới hạn cao hơn về độ phân giải hay đơn thuần chỉ là một sự giới hạn thực tế Ông ta đã chứng minh rằng không có hai đối tượng giới hạn không gian nào cùng tạo ra các ảnh giống hệt nhau trừ phi chính đối tượng là giống hệt nhau Từ đó, ông ta cho rằng, với điều kiện không nhiễu, một ảnh đợc thu nhận bất kỳ có thể tương ứng với một và chỉ một đối tượng Vì vậy, nó phải có khả năng khôi phục đối tượng từ ảnh giới hạn nhiễu xạ của nó

Trong phần này, ta sẽ thẻ hiện kỹ thuật siêu phân giải được Harris cải tiến Và được Goodman làm lại Kỹ thuật này bao gồm việc áp dụng định lý lấy mẫu, với việc đảo miền, để đạt được một hệ phương trình tuyến tính có thể giải đối với mọi giá trị

của phổ tín hiệu bên ngoài dải thông giới hạn dải Nó cũng mang lại hiểu biết thêm

về các kết quả lấy mẫu và cắt

Hình 16-6 cho thấy một hàm và phổ của nó Vì f(x) bị giới hạn không gian nên ta

có thể áp dụng định lý lấy mẫu như trước, nhưng với miền thời gian và miền tần số

đảo ngược định lý lấy mẫu phát biểu rằng có thể khôi phục F(s) hoàn toàn từ một loạt các điểm mẫu cách đều nhau chứng tỏ rằng chúng được chia không quá 1/2T

phần Sự tái tạo lại có thể biểu diễn như sau

sT

sT s

F sT III s F





2

2sin

F nT s s

nT sT nT

F s

F

22

sin2

phổ của nó bên ngoài s m Vì thế, sự xác định trực tiếp sau khi giải chập (nếu cần

thiết) sẽ khôi phục phổ tín hiệu đối với các tần số nhỏ hơn s m

HÌNH 16-6

Hình 16-6 Hàm giới hạn không gian và phổ của nó

Giả sử rằng F(s) được lấy mẫu sao cho M điểm mẫu nằm trong phạm vi dải thông

-s m  s  +s m (hình 16-7) Giả thiết thêm là chúng ta muốn xác định F(s) trên khoảng

-s n đến s n , trong đó n hàm ý là một lượng N lớn các điểm mẫu Thì một đánh giá phổ, giới hạn dải tại s n (> s m) có thể tính từ

nT sT

nT sT nT

F s

F s F

N

N

22

sin2

Nếu ta tínhF s



, ta đã mở rộng thành công giới hạn của hàm từ s m ra đến s n

HÌNH 16-7

Hình 16-7 Biểu diễn phổ lấy mẫu

Có thể coi biểu thức (44) như một phương trình tuyến tính có 2N +1 ẩn Các ẩn là các giá trị của F(2nT) tại các điểm mẫu vì đã biết phổ với |s|  s m, nên ta có thể tạo

ra một hệ 2N +1 phương trình 2N + 1 ẩn bằng cách chọn 2N + 1 tần số trong phạm

vi dải thông và thay thế các giá trị đã biết của F(s) vào biểu thức (44)

Có thể sử dụng các kỹ thuật cổ điển để giải hệ phương trình tuyến tính với ẩn là các giá trị của phổ Sau đó các giá trị này có thể được thay vào biểu thức (44) để tạo

ra một đánh giá của phổ bị giới hạn dải tại một tần số cao hơn giới hạn nhiễu xạ của

hệ thống ảnh

Trong các trường hợp thực tiễn, N có thể tương đối lớn và việc giải quyết một

phương trình tuyến tính rất tốn kém về mặt tính toán Bởi vì phổ của các hàm thực là hàm Hermite (nửa trái là liên hợp phức của nửa phải; xem chương10), nên nó loại bỏ bớt đi một nửa số phương trình Hơn thế nữa, vì phổ đã biết thấp hơn giới hạn nhiễu

xạ nên chỉ các điểm nằm giữa s m và s n mới phải tính

16.5.3 Giảm năng lượng liên tiếp

Có một sự nhắc lại và có thể thực tế hơn, cách tiếp cận với việc khôi phục phần phổ tần số cao của ảnh giới hạn không gian Kể cả việc áp đặt thành công sự giới hạn không gian lên trên ảnh, trong vẫn giữ không đụng chạm đến phần phổ tần số thấp đã biết

Hình 16-8 minh hoạ quá trình một chiều Chúng ta bắt đầu với f(x), một xung tam giác (a) biểu diễn đối tượng thực sự và (b) phổ F(s) của nó bên ngoài tần số s n nào

đó Trong (d) G 0 (s) là phổ của F(s) sau khi nó đã được lọc thông thấp bừng hàm

truyền đạt của hệ thống ảnh, hệ thống bị giới hạn dải tại s m > s n Với ví dụ này,

chúng ta giả định một hàm truyền đạt thông thấp lý tưởng Hình 16-8c cho thấy g 0 (x),

tương ứng với ảnh đã thu nhận Duy nhất một điều mà ta biết rõ với mức độ chính

xác cao đó lầ G 0 (s) trong phạm vi dải thông |s| < s m

HÌNH 16-8

Hình 16-8 Giảm năng lượng liên tiếp: (a) đối tượng thực sự và (b) phổ của nó;

(c) ảnh thu nhận được với (d) phổ bị giới hạn dải bởi hệ thống ảnh; (e) ảnh giới hạn không gian; (f) phổ được khôi phục để phù hợp với (d) trong phạm vi dải thông;

(i) ảnh và (j) phổ của nó sau khi lặp lại năm lần các bước 1 và 2

Lưu ý rằng việc giới hạn dải phổ khiến cho g 0 (x) bị giới hạn không gian nữa

Bước đầu tiên của quá trình khôi phục là áp đặt sự giới hạn không gian lên trên g 0 (x)

bằng cách đặt nó bằng 0 bên ngoài miền xác định của xung Điều này tạo ra g 1 (x),

hình 16-8e, và G 1 (s) là phổ của nó (f) G 1 (s) trông giống F(s) hơn, nhưng không phù

hợp với G 0 (s) trong phạm vi dải thông nữa

Bước thứ hai bao gồm việc đặt các giá trị của G 1 (s) bằng các giá trị của G 0 (s) bên

trong dải phổ để tạo ra G 2 (s), cho trong (h) Điều này cải thiện thêm sự xấp xỉ Một

biến đổi ngược mang lại g 2 (x), cho trong (g), là một xấp xỉ tốt hơn cho f(x), nhưng

không còn giới hạn dải nữa

Hai bước (1) áp đặt sự giới hạn không gian lên g i (x) và sau đó (2) khôi phục các

giá trị chính xác với G i+1 (s) trong phạm vi dải thông (sử dụng G 0 (s)lặp lại liên tục)

Hình 16-8(i) và (j) cho thấy các kết quả sau năm lần lặp Mỗi bước tạo ra nămh lượng sai số cho bởi

 

 f x g x dx

Hình 16-9 trình bày cách mà g i (x) và Gi(s) hội tụ về phía f(x) và F(s) Sự hội tụ

thường trở nên chậm hơn sau vài bước đầu tiên

HÌNH 16-9

Hình 16-9 Sự hội tụ của quá trình giảm năng lượng liên tiếp: g i (x) và Gi(s) hội tụ

về phía f(x) và F(s), với việc tăng i