XỬ lý ẢNH CHƯƠNG 15

Trong phần sau, chúng ta sẽ trình bày những kỹ thuật phân tích việc thực hiện những hệ thống quang học và trong phần còn lại của chương này chúng ta sẽ ứng dụng một kỹ thuật để phân tích

Chương 15 QUANG HỌC VÀ PHÂN TÍCH

HỆ THỐNG

15.1 GIỚI THIỆU

Trong phạm vi phần 2, chỳng ta đó trỡnh bày bộ cỏc cụng cụ cho phộp ta phõn tớch cỏc thành phần thường dựng trong biểu diễn ảnh số Bõy giờ chỳng ta ứng dụng những cụng cụ này để phỏt triển những đặc tớnh của cỏc hệ thống xử lý ảnh số

Hai trường hợp thường nảy sinh, đũi hỏi một phương phỏp khả thi đối với phõn tớch hệ thống Một là khi được yờu cầu chọn lựa hay cấu hỡnh một hệ thống biểu diễn ảnh số cho một loại thường dựng Ở đõy, một tập cỏc thành phần phự hợp hay toàn

bộ một hệ thống phải được chọn từ tập cỏc lựa chọn, thường theo quan niệm liờn quan đến giỏ cả

Trường hợp cũn lại nảy sinh mỗi khi người dựng hệ thống tiếp cận một vấn đề mới Bỡnh thường, ngườ sử dụng chỉ thao tỏc một khõu tromh chuỗi xử lý ảnh: chương trỡnh mỏy tớnh thực hiện cỏc phộp toỏn xử lý số Thao tỏ của cỏc thành phần

hệ thống khỏc, từ bộ số hoỏ đến thiết bị hiển thị, thường được điều chỉnh trước bằng thiết kế phần cứng, mặc dự cú thể cú những tuỳ chọn cho trước Việc bảo trỡ đỳng đắn cũng cần thiết để phục vụ cho việcthực hiện tốt nhất

Cú thể ta phải chỉ rừ ảnh hưởng mà một thành phần phần cứng của hệ thống sẽ tỏc động lờn ảnh, để bự cho những ảnh hưởng này trong phần mềm Theo cỏch này, Chương trỡnh xử lý cú thể được cấu thành để đạt đến mục tiờu đó đề ra, đồng thời khụng làm giảm giỏ trị của đề tài

Trước đõy, một vấn đề về ảnh số đặc trưng cú thể tiếp cận một cỏch hoàn chỉnh, người ta phải thừa nhận rằng sự trang bị mỏy múc sử dụng là thoả đỏng cho cụng việc Núi chung, độ phõn giải, độ phúng đại, số điểm ảnh, kớch thước điểm ảnh và khoảng cỏch điểm ảnh phải tương xứng với cụng việc sắp tới Nờn cú một sự cõn bằng giữa cỏc dụng cụ quang học (camera, kớnh viễn vọng, kớnh hiển vi,…), cảm nhận ảnh (camera), số hoỏ ảnh, phần cứng lưu trữ và hiển thị, và cỏc thuật giải sử dụng để xử lý và phõn tớch định lượng ảnh số Trong chương này, chỳng ta sẽ nhằm vào tập cỏc nguyờn tắc cú thể thực hiện đối với việc thiết lập một sự cõn bằng như trờn

Phõn tớch chi tiết mọi mặt của một hệ thống xử lý ảnh cú thể trở nờn rất phức tạp

và điều này vượt quỏ tầm kiểm soỏt của ta Cỏch tiếp cận ở đõy là làm cho một vài giả thiết trờn thực tế trở nờn đơn giản và cú khả năng ứng dụng rộng rói Nếu cần thiết, cú thể thờm vào một lượng dư để đảm bảo khụng cú sai sút trong những giả thiết Phần lớn cỏc trường hợp trong thực tế, kết quả chớnh xỏc được cung cấp đầy

đủ

15.1.1 Thực hiện phõn tớch một hệ thống ảnh số

Cõu hỏi mà chỳng ta đặt ra ở đõy là: phõn tớch một hệ thống như thế nào để cú thể xỏc định nú cú thớch hợp và giỏ cả cú gõy ấn tượng cho việc thực hiện xử lý ảnh và cỏc dự ỏn định lượng ảnh mà nú sử dụng hay khụng? Ta sẽ cố gắng để thiết lập sự cõn bằng giữa cỏc thành phần khỏc nhau trong chuỗi xử lý ảnh, sao cho toàn bộ sự thực hiện là phự hợp với cụng việc và khụng cú thành phần nào thể hiện quỏ mức cần thiết so với những gỡ được yờu cầu để thực hiện cụng việc

Chúng ta sẽ chỉ ra những chủ đề về độ phân giải không gian và lấy mẫu ảnh, với mục đích thiết lập sự cân bằng giữa thực hiện từng thành phần hệ thống và toàn bộ

hệ thống Mục đích này có liên quan đến việc thực hiện những thành phần khác nhau trong một hệ thống thành một khối

Độ phân giải Những nhầm lẫn đáng kể thường xuất hiện xung quanh khái niệm

về độ phân giải Để tránh nhầm lẫn, ta cần một định nghĩa rõ ràng về độ phân giải là

gì và một sự cảm nhận sâu sắc về mục đích của bất kỳ phân tích nào về công cụ xử lý ảnh

Đối với mục đích của chúng ta, câu hỏi chủ yếu về độ phân giải là: Hệ thống sẽ tái tạo những chi tiết nhỏ trong đối tượng quan tâm một cách thích hợp? Câu hỏi này có thể được trả lời dễ dàng nếu đầu tiên chúng ta có một câu trả lời định lượng, ngắn gọn cho một câu hỏi khác: Hệ thống làm cách nào để tái tạo lại các đối tượng có kích thước khác nhau? Sau đó, giả sử rằng chúng ta biết kích thước của những chi tiết đang xét, chúng ta có thể thu được trả lời cho câu hỏi về độ phân giải

Để tiếp cận với câu hỏi sau, ta áp dụng công cụ của lý thuyết hệ thống tuyến tính (chương 9) vào những thành phần của hệ thống trước bộ phận lấy mẫu (chuyển đổi

từ dạng tương tự sang dạng số chẳng hạn) Những thành phần này có thể coi như là các thành phần hệ thống tuyến tính bất biến dịch, để có thể ứng dụng lý thuyết hệ thống tuyến tính

Nói chung, chúng ta phân tích dạng ảnh quang học và bộ cảm nhận ảnh (camera)

để xác định kích thước và hình dáng thật sự của điểm quét Từ đó mà ta có hàm tán

xạ điểm (Point Spread Function-PSF) của hệ thống ảnh và hàm tương đương của nó, hàm truyền đạt điều biên (Modulation Transfer Function-MTF) Hàm MTF hình thành đặc điểm định lượng của độ phân giải mà ta cần cho việc phân tích

Lấy mẫu Câu hỏi đặt ra đối với các tham số của quá trình lấy mẫu có thể được

biểu diễn như sau: Cần có bao nhiêu điểm ảnh và khoảng cách giữa chúng như thế nào, để đảm bảo cho ảnh số hoá diến đạt được chính xác nội dung của ảnh quang học? Điều này kéo theo một tập các khái niệm hoàn toàn khác những khái niệm liên quan đến độ phân giải Lấy mẫu là quá trình phi tuyến hoàn toàn và việc không phân biệt được giữa các khái niệm lấy mẫu và độ phân giải có thể tạo ra sự nhầm lẫm đáng tiếc

Để tiếp cận câu hỏi lấy mẫu, ta sẽ áp dụng lý thuyết lấy mẫu (chương 12) vào bước chuyển đổi tương tự sang số Đây là một phương pháp đơn giản để xác định khoảng cách điểm ảnh có đủ nhỏ hay không và miêu tả điều sẽ xảy ra nếu nó không

đủ nhỏ

Hiển thị ảnh Câu hỏi thứ ba trong phân tích hệ thống ảnh số có thể diễn tả như

sau: Ảnh hiển thị biểu diễn các đối tượng mà ta quan tâm chính xác đến mức nào? Trong những ứng dụng chỉ bao gồm phân tích định lượng, hiển thị ảnh có thể không quan trọng lắm hay thậm chí không cần thiết Trong những ứng dụng khác-đặc biệt là trong xử lý ảnh và trong cách hiểu của con người-nó là một thành phần quan trọng Giống như trước đây, hiển thị ảnh là xem xét sự khác nhau nhau giữa khái niệm về

độ phân giải và lấy mẫu, và nó xứng đáng được phân tích riêng biệt

Chúng ta thừa nhận quá trình hiển thị ảnh là một bước nội suy và áp dụng lại lý thuyết lấy mẫu Đây là cách để xác định quá trình hiển thị có đúng đắn hay không

Nghiên cứu thực tiễn Mỗi một quá trình trong ba quá trình cơ bản đã nói trên

đều được phân tích, người ta có thể kết hợp cả ba kết quả để xác định toàn bộ thiết kế

hệ thống coa cân bằng và chính xác cho các ứng dụng đặc biệt hay không Cuối cùng, người ta phải đánh giá hiệu quả của từng giả thiết và sự gần đúng khi phân tích

và kết quả mà nhiễu hệ thống tạo ra

Trong các chương trước, chúng ta đã trình bày các công cụ mô tả kết quả lấy mẫu, nội suy và lọc tuyến tính Trước khi chúng ta có thể phân tích một hệ thống đầy đủ,

ta cần có một phương pháp miêu tả những hiệu quả mà thấu kính thường dùng trong

hệ thống mang lại Trong phần sau, chúng ta sẽ trình bày những kỹ thuật phân tích việc thực hiện những hệ thống quang học và trong phần còn lại của chương này chúng ta sẽ ứng dụng một kỹ thuật để phân tích những hệ thống ảnh số hoàn chỉnh

15.2 QUANG HỌC VÀ HỆ THỐNG ẢNH

Hệ thống ảnh quang học đóng một vai trò quan trọng trong ảnh số vì hầu như chúng luôn luôn xuất hiện tại phần trước khi kết thúc một hệ thống xử lý ảnh Nếu ảnh được chụp trước khi quét thì phải có một hệ thống thấu kính khác thêm vào để phân tích

Các hệ thống quang học tạo ra hai kết quả trên ảnh: phép chiếu, như đã đề cập trong chương 2, và sự suy biến do nhiễu xạ và quang sai của thấu kính Phép chiếu giải thích cho sự đảo ngược của ảnh trên hệ thống toạ độ của nó (quay 1800 chẳng hạn) và cho sự phóng đại Lĩnh vực quang học vật lý-lý thuyết nhiễu xạ nói chung-cung cấp những công cụ mô tả sự suy biến ảnh do (1) sóng ánh sáng tự nhiên và (2) quang sai của các hệ thống quang học được thiết kế và chế tạo không hoàn chỉnh Vì vậy, tiếp theo chúng ta sẽ trình bày ngắn gọn những điểm quan trọng của quang học vật lý Để giải quyết vấn đề phân tích hệ thống quang học chi tiết hơn, độc giả nên tham khảo thêm tài liệu về quang học

15.2.1 Cơ sở của hệ thống quang học

Hình 15-1 cho thấy môt hệ thống quang học bao gồm một thấu kính đơn giản Một nguồn điểm tại gốc của mặt phẳng trung tâm tạo ra một ảnh điểm tại gốc của mặt phẳng ảnh Ảnh được tạo ra bởi một nguồn điểm gọi là hàm tán xạ điểm (Point Spread Function-PSF) trong thuật ngữ quang học Nó sẽ nhận kích thước nhỏ nhất có thể được nếu hệ thống là rõ ràng, tức là, nếu

f d

d f i

111



Trong đó f là tiêu cự của thấu kính Bằng cách đặt tên như thế này, mặt phẳng tiêu

là mặt phẳng trong không gian đối tượng tạo thành một ảnh rõ nét trên mặt phẳng

ảnh Thật ngữ này khác thuật ngữ màn trập mặt phẳng tiêu (focal plane shutter) dùng

trong nhiếp ảnh để mô tả lá chắn sáng đặt tại mặt phẳng phim (ảnh)

HÌNH 15-1

Hình 15-1 Một hệ thống ảnh đơn giản

Bằng trực giác, rõ ràng điều này làm tăng cường độ nguồn điểm, dẫn đến tăng tỷ

lệ cường độ ảnh điểm Nghĩa là thấu kính là một hệ thống tuyến tính hai chiều Theo

đó thì hai nguồn điểm tạo ra một ảnh trong đó hai điểm kết hợp với nhau bằng phép cộng

Nếu nguồn điểm di chuyển trục z đến vị trí (x0, y0), thì ảnh điểm di chuyển đến một vị trí mới được cho bởi

0

0 y My Mx

hệ thống có thể được giả thiết là bất biến dịch (hay đồng phẳng, theo thuật ngữ

quang học), cũng như tuyến tính và PSF là đáp ứng xung của nó

15.2.1.1 Tính tuyến tính

Một vật thể chắn sáng được chiếu sáng từ phía trước (epiilluminated) hay một đối tượng hấp thụ ánh sáng được chiếu sáng từ phía sau (transilluminated) có thể được coi như nguồn điểm ánh sáng phân bố hai chiều Ảnh của một đối tượng như trên là tổng của các điểm PSF phân bố không gian Nghĩa là ảnh có thể được miêu tả như tích chập đối tượng với PSF của hệ thống quang học

Hơn nữa, có thể chỉ rõ hoàn toàn một hệ thống đồng phẳng bằng PSF hai chiều

của nó hay hàm truyền đạt quang học (optical transfer function-OTF) hai chiều của

nó Hàm truyền đạt quang học (OTF) là biến đổi Fourier hai chiều của PSF Biểu thức (2) giải thích cho việc thực hiện phép chiếu bới hệ thống quang học, mặc dù tích chập với PSF làm mất một số chi tiết vốn có trong quá trình xử lý ảnh

15.2.1.2 Bất biến dịch

Hệ thống thấu kính vật lý không phải là bất biến dịch thật sự Đặc biệt, ảnh sắc nét suy biến (PSF mở rộng chẳng hạn) như khi ta di chuyển trục, nhưng bất biến dịch là một hiện tượng dần dần Đối với một thấu kính chất lượng cao, hàm PSF, mặc dù không phải là một xung, nhưng ít nhất nó cũng khác 0 trên một phạm vi hẹp Vì bất biến dịch là một hiện tượng dần dần, nên chúng ta có thể giả thiết rằng mỗi điểm được bao quanh bới các điểm lân cận bất biến dịch Trong lĩnh vực quang học, những

điểm lân cận này được gọi là những vùng đồng phẳng Vì thế, nếu tính bất biến dịch

không là tổng thể, thì hệ thống quang học sẽ được giả thiết là bất biến dich cục bộ trên phạm vi nhỏ của PSF và tích chập vẫn có hiệu lực trong mô hình cục bộ

Thông thường, chúng ta có thể dùng, với ý nghĩa gần đúng, một hệ thống ảnh quang học là một hệ thống tuyến tính, bất biến dịch hai chiều Nếu cần thiết, chúng ta

có thể mô phỏng hệ thống với hàm PSF có tham số biến thiên không gian Mặc dù kỹ thuật này có thể giải thích cho đa số phản đồng phẳng (anisoplanatism) điển hình mà

ta bắt gặp, nhưng nó không nhất thiết phải có trong quá trình phân tích của các hệ thống thấu kính chất lượng cao

15.2.1.3 Các quan hệ cơ bản

Biểu thức (1) và (3) đem lại một tập các công thức thường dùng trong phân tích các hệ thống quang học Đặc biệt,

f i

f i

d d

d d f

fd d

f

f i

Và

M

M f f d

fd d

i

i f

15.2.2 Độ chiếu sáng cố kết (coherent) và không cố kết (incoherent)

Trong hình 15-1, nguồn điểm phát ra một sóng ánh sáng hình cầu Biên độ trường

E giống như một hàm thời gian và không gian có thể được viết như sau

Trong đó

2 2 2

z y x

 là bước sóng trung bình của ánh sáng, c là tốc độ ánh sáng và  (t) là pha dao

động theo thời gian Thường thì là hàm ngẫu nhiên Chú ý rằng  (t) cũng là độ rộng dải (bandwidth) của ánh sáng gần như đơn sắc Để tiện lợi, ta định nghĩa lượng sóng,

thực chất là một biến tần số, như sau

A e t z y x

Trong phần này, chúng ta đã quan tâm đến sự phân bố không gian của cường độ ánh sáng trong ảnh điểm Trong thời gian này, chúng ta sẽ rút gọn e và các thành phần biến thiên thời gian ngầm định

Khi được chiếu sáng đơn sắc, đối tượng là phân bố không gian của các nguồn

điểm tại cùng tần số thời gian c/  Nếu tất cả các nguồn điểm đều có quan hệ pha ổn

định thì sự chiếu sáng được gọi là cố kết (coherent) Có thể chúng vẫn dao động ngẫu

nhiên, nhưng chúng vẫn giữ nguyên cách xử lý đồng thời, bảo toàn quan hệ pha ổn định Nói cách khác, nếu mỗi nguồn điểm thay đổi pha một cách độc lập, thì sự chiếu

sáng gọi là không cố kết (incoherent) Trong trường hợp đó, pha của mỗi nguồn điểm

thay đổi độc lập với các điểm lân cận

Trong đa số các trường hợp, mắt người hay bộ cảm nhận trung bình thời gian nào

đó thực hiện mục đích cuối cùng của ảnh Bằng cách lấy trung bình thời gian, các dao động ngẫu nhiên của  (t) được lấy giá trị trung bình

Trong chiếu sáng cố kết, vì các nguồn điểm dao động cộng hưởng nên quan hệ pha ổn định cho phép các mô hình giao thoa (interference) tích cực (constructive) và tiêu cực (destructive) cùng tồn tại giữa các ảnh điểm Có thể nhận thấy rõ những mô hình giao thoa cân bằng này là một bộ cảm nhận trung bình thời gian Vì thế, đối với

sự chiếu sáng cố kết, phép toán tích chập phải được thực hiện trên biên độ phức của các sóng điện từ

Trong chiếu sáng không cố kết, những quan hệ pha tương đối ngẫu nhiên gây ra hiện tượng giao thoa Vì thế, các ảnh điểm làm tăng thêm tính thống kê Hành động này được mô phỏng chính xác nếu tích chập được thực hiện trên cơ sở cường độ (bình phương biên độ hay năng lượng) Do đó, biên độ phức trong chiếu sáng cố kết của một hệ thống quang học là tuyến tính, trong khi cường độ ánh sáng không cố kết của hệ thống là tuyến tính

15.2.3 Các nhân tố đặc trưng cho ảnh

Hai nhân tố hạn chế đặc trưng ảnh của một hệ thống quang học là quang sai của thấu kính và các hiệu ứng nhiễu xạ Việc thiết kế thấu kính kỹ lưỡng có thể lầm giảm tối thiểu, mặc dù không thể loại trừ quang sai một cách hoàn toàn Hiệu ứng nhiễu xạ

là do bản chất sóng của ánh sáng và kích thước hữu hạn của thấu kính Bởi vì thiết bị

xử lý ảnh thường sử dụng các thiết bị quang học chất lượng cao với các mức quang sai tương đối thấp, cho nên nó thường nhiễu xạ tại những vị trí bên ngoài hạn chế về đặc trưng ảnh Trong phần tiếp theo, chúng ta bắt đầu bằng PSF của một hệ thống quang học không có quang sai (giới hạn nhiễu xạ) và chỉ ra cách giải thích quang sai Chúng ta có khả năng xác định rõ một hệ thống quang học bằng PSF giới hạn nhiễu

xạ của nó, bằng dữ liệu PSF do nhà sản xuất cung cấp, hay bằng PSF xác định qua thực nghiệm

15.3 HỆ THỐNG QUANG HỌC GIỚI HẠN NHIỄU XẠ

Vì chúng ta đã chứng tỏ rằng, với một ý nghĩa gần đúng hợp lý, mọt hệ thống quang học là một hệ thống tuyến tính bất biến dịch, chúng ta chỉ cần tìm một biểu thức biểu diễn cho PSF hay hàm truyền đạt của hệ thống Trong hình 15-1, nguồn điểm phát ra một sóng hình cầu, phần nằm trong thấu kính Hệ số khúc xạ cao của thấu kính làm sóng chậm lại Bởi vì thấu kính mỏng gần giống trục hơn so với các biên, nên các tia trục bị chậm hơn so với các tia bên ngoài Trong trường hợp lý tưởng Sự biến đổi độ mỏng cần thiết phải có để chuyển đổi sóng hình cầu mở rộng thành sóng hình cầu hội tụ về phía điểm ảnh Theo định nghĩa, một độ lệch của sóng

ra bất kỳ từ dạng hình cầu là do quang sai Vì thế, một hệ thống quang học giới hạn nhiễu xạ tạo ra một sóng ra (hình cầu, hội tụ) tương ứng với sóng vào của một nguồn điểm (hình cầu, hội tụ)

15.3.1 Hình dạng thấu kính

Đối với một thấu kính mỏng, hai mặt lồi có hệ số phóng đại nhỏ hơn so với tiêu

cự của nó, các bề mặt của thấu kính phải có dạng hình cầu để tạo ra sóng ra hình cầu

Hơn nữa, tiêu cự f của thấu kính phải được cho bởi biểu thức

1111

R R

n

trong đó n là hệ số khúc xạ của thuỷ tinh và R 1 và R 2 là bán kính mặt cầu trước và sau của thấu kính

Đối với các hệ số phóng đại không nhỏ so với f, các mặt thấu kính lồi không thích

hợp để tạo ra sóng cầu Các thấu kính trên không hội tụ các tia bên ngoài lêng một điểm trên trục z giống như chúng thực hiện trên các tia gần trục Hiện tượng này gọi

là quang sai cầu, vì nó là quang sai rút ra (không thích hợp) từ dạng hình cầu của các mặt thấu kính Các hệ thống quang học chất lượng cao thường dùng các phần tử có nhiều mặt cầu và nhiều thấu kính để tạo ra quang sai cầu

kính, hay các thiết bị điều chỉnh độ mở ống kính Tuy nhiên, tất cả các ống kính có

thể được hướng đến con ngươi để thực hiện một tác động tại ống kính ra của hệ

thống Trong hình 15-2, ống kính biểu diễn cho ống kính ra có hiệu lực của một hệ thống thấu kính không có quang sai bất kỳ

Phân bố không gian của hệ số truyền trên tấm chắn chứa ống kính là hàm con

ngươi (pupil function) Vì thế, đối với ống kính tròn có đường kính a đặt tại tâm của

hệ toạ độ (x a , y a), hàm con ngươi là

x

2 2

HÌNH 15-2

Hình 15-2 Sóng cầu bị cắt

Với những ống kính bình thường, hàm con ngươi giả thiết là chỉ nhận giá trị 0 và

1 Tuy nhiên, nó có khả năng thực hiện những hệ số con ngươi thay đổi bằng cách chụp ảnh hay các kỹ thuật làm lắng phim kim loại

Đối với hệ thống không có quang sai, hàm con ngươi có giá trị thực; nặt khác nó

sẽ làm nhiễu loạn dạng hình cầu của sóng ra Các hàm con ngươi mang giá trị phức được dùng để mô phỏng các hệ thống quang học có quang sai

Chừng nào mà quá trình phân tích cho phép sử dụng các hàm con ngươi tuỳ ý, thì ống kính hình tròn là quan trọng nhất trong thực tiễn

Trường E của sóng cầu hội tụ có biên độ đơn vị trong hình 15-2 có thể được viết như sau

i i

R z y x

Dùng những quy ước đã mô tả có quan hệ với biểu thức (10) R là khoảng cách từ gốc toạ độ của mặt phẳng ảnh đến điểm (x i , y i , z i) Để xác định sự phân bố của ánh sáng lên trên mặt phẳng ảnh, chúng ta sẽ áp dụng một nguyên tắc chuyển động sóng quan trọng

15.3.3 Nguyên lý Huygens-Fresnel

Một trong những tính chất hữu ích và đáng quan tâm nhất của sự truyền sóng quang học được nói đến trong nguyên lý Huygens-Fresnel Nguyên lý này nói rõ rằng trường gây ra bởi một sóng truyền thẳng tương tự như trường gây ra bởi một số lượng vô cùng lớn các nguồn điểm thứ cấp phân bố trên toàn bộ sóng truyền thẳng

đó Trong trường hợp một sóng truyền qua một ống kính thì trường tại điểm bất kỳ sau ống kính sẽ tương tự như trường gây ra bằng cách lấp đầy ống kính bới các nguồn điểm thứ cấp có biên độ và pha thích hợp Một cách chính xác, nguyên lý

Huygens-Fresnel phát biểu rằng trường tại điểm (x i , y i) thuộc mặt phẳng ảnh được cho bởi

      

A

a a jkr

a a a i

i

r y x u j y x

1,

a a i

i

r

e R y x p y

i a

a i

d

y d

x d

Và

2 2

a i i

d

y y d

x x d

8211

2

12

11

i a i

a i

d

y d

x d

2

11

i

a i i

a i i

d

y y d

x x d

15.3.5 Hàm tán xạ điểm cố kết (Coherent Point Spread Function)

Thay thế những xấp xỉ trước đây vào biểu thức (15) ta được

a a i

a i i

a i jkd

i a i

a jkd

a a i

i i

i

dy dx d

y y d

x x e

d

y d

x e

y x p d

j y

2 2

2

2

11

2

11,

1,

d j

e y x

i i i







/ 2 2

2 /

,,

2 2

(24) Nếu ta thay biến

i

a a i

a a

d

y y d

x x

i

j y

Hệ số mũ phức trong biểu thức (26) chỉ ảnh hưởng đến pha trong mặt phẳng ảnh

và điều này thường bị các bộ cảm nhận ảnh bỏ qua Vì thế, đối với mục đích của chúng ta, số hạng trước dấu tích phân chỉ là một hằng số phức

Trong hình 15-2, nguồn điểm nằm trên trục z Trình bày trức đây có thể được thực hiện với nguồn nằm ngoài trục và nó cũng tạo ra kết quả tương tự, mặc dù đã dịch và thực hiện theo biểu thức (2) Nghĩa là, theo giả thiết của chúng ta, hệ thống quả thực

là bất biến dịch Tuy nhiên, giống như việc di chuyển điểm ảnh ra khỏi trục, các giả thiết bắt đầu bị sụp đổ Vì vậy, PSF của một hệ thống ảnh thực sự thay đổi (đối với trường hợp tồi tệ hơn) bên ngoài phạm vi đề cập Tuy nhiên, nó là cách thông thường

để xác định rõ một hệ thống ảnh bằng PSF trên trục của nó

Biểu thức (26) cho thấy sự phân bố biên độ trong mặt phẳng ảnh được tạo ra tương ứng với một nguồn điểm tại gốc mặt phẳng tiêu Các số hạng phức đằng trước dấu tích phân có liên kết độ sáng của ảnh với độ sáng của nguồn điểm và nó miêu tả những thay đổi pha trong mặt phẳng ảnh Bởi vì các bộ cảm nhận ảnh thường bỏ qua thông tin pha, vấn đề này chúng ta ít quan tâm đến ở đây Hơn nữa, toàn bộ độ sáng của ảnh được xác định rất dễ dàng bằng một vài phân tích riêng biệt, để xác định phần bức xạ nguồn bị thấu kính chặn lại Vì thế, chỉ các tham số chúng ta đang xét mới tác động đến chất lượng ảnh-đó là hình dạng PSF

Chúng ta có thể đơn giản hoá ký hiệu một cách đáng kể nếu chúng ta không kiểm tra biên độ tuyệt đối và bỏ qua các số hạng trước dấu tích phân Sau đó chúng ta có

thể viết môie quan hệ tích chập giữa đối tượng (ký hiệu o) và ảnh (ký hiệu i) như sau

Trong biểu thức (27), số hạng u o (x o , y o ) là sự phân bố biên độ của đối tượng và

u i (x i , y i ) là đối tượng sau phép chiếu mà không làm suy biến mặt phẳng ảnh Vì thế,

chúng ta có thể coi việc mô phỏng như một quá trình hai bước: chiếu hình học, tiếp

theo là tích chập trong mặt phẳng ảnh với PSF Hệ số phóng đại M là âm trừ phi các

trục toạ độ trong mặt phẳng ảnh và mặt phẳng tiêu được quay 1800

Bình thường thì nó thích hợp nhất để thực hiện quá trình phân tích của chúng ta trong mặt phẳng tiêu Trong trường hợp đó, chúng ta có thể giả thiết rằng tích chập

với PSF xảy ra trong mặt phẳng tiêu và đơn thuần chỉ là thay thế d f cho d i trong biểu

thức (28) Sau đó chúng ta nhân chập PSF kết quả với đối tượng u o (x o , y o ) không

được chiếu

15.3.6 Hàm truyền đạt quang học cố kết

Hàm truyền đạt của một hệ thống quang học đơn thuần chỉ là biến đổi Fourier của đáp ứng xung trong biểu thức (28) Tuy nhiên, đây chính là biến đổi Fourier của hàm con ngươi Biến đổi một hàm hai lần chính là đem nó về dạng ban đầu, vì vậy hàm biến đổi cố kết được cho bởi

Trường hợp phổ biến của các ống kính đối xứng, việc quay 1800 không có ảnh hưởng gì Vì thế, hàm con ngươi, có thể so sánh thích đáng, là hàm truyền đạt quang học (OTF) cố kết

15.3.7 Hàm tán xạ điểm (PSF) không cố kết

Một phân bố của các nguồn điểm được miêu tả bởi biểu thức (10) là đầy đủ để mô phỏng ba tính chất chiếu sáng: đơn sắc, cố kết dải hẹp và không cố kết dải hẹp Đối với chiếu sáng đơn sắc,  (t) là hằng số Nếu ánh sáng là cố kết về không gian thì  (t)

là ngẫu nhiên, nhưng có một mối quan hệ nhất định với tất cả các điểm khác trong ảnh Trường hợp ánh sáng là không cố kết,  (t) là ngẫu nhiên tại từng điểm và độc

lập với các điểm xung quanh nó Trong trường hợp này, cường độ quan sát được tại

mỗi điểm (x i , y i) là

 i i  i i i i i i 

Trong đó toán tử dự tính  biểu diễn cho thời gian trung bình trên một chu kỳ so

với chu kỳ dao động của nguồn sáng Bởi vì u i (x i , y i ) là nguồn điểm tại gốc của mặt

phẳng tiêu được cho bởi biểu thức (27), nên ta có thể thay thế vào biểu thức (30) đê rút ra

,,

{,

2 2 2 2

* 2 2

1 1 1 1 1

dy dx My Mx u y y x x h y

x I

o i

i

o i

i i

2 2

* 1 1

,,

,,

,

dy dx dy dx My Mx u Mx Mx u

y y x x h y y x x h y

x I

o o

i i

i i

i i i

Số hạng dự tính đơn giản chỉ là hàm thời gian tương quan chéo của u o tại (x 1 , y 1)

và (x 2 , y 2) Vì tương quan chéo của các nguồn điểm ảnh khác nhau là 0, trong trường

hợp chiếu dáng không cố kết, nên đây là xung đơn vị không gian Hơn nữa, nếu x 1 =

x 2 và y 1 = y 2 thì giá trị của số hạng dự tính chỉ là cường độ của ảnh tại điểm đó Nghĩa là

2

1,Mx u Mx ,My I Mx ,My x x ,y y Mx

Trong đó các biến x o và y o thay cho x 1 và y 1

Biểu thức (34) là tích phân chập hai chiều Nó cho thấy rằng, với ánh sáng không

cố kết, hệ thống là tuyến tính về cường độ và PSF là mô đun bình phương của h(x, y),

PSF cố kết Đây là biến đổi Fourier ngược của hàm con ngươi, cho bởi biểu thức (29) Vì thế, PSF không cố kết là phổ năng lượng của hàm con ngươi

15.3.7.1 Ống kính hình tròn

Một thấu kính với ống kính có đường kính a nằm trong miền ánh sáng dải hẹp,

không cố kết có bước sóng trung tâm là , thì PSF là

2

0

0 12)(

r J r

i

x

15.3.8 Hàm truyền đạt quang học không cố kết

Biến đổi Fourier của hàm PSF không cố kết được đơn giản hoá gọi là OTF không

cố kết Bởi vì PSF không cố kết là phổ năng lượng của của hàm con ngươi, nên lý thuyết tự tương quan bao hàm rằng OTF không cố kết là hàm tự tương quan của hàm con ngươi đã đơn giản hóa:

dudv v y d u x d p y d x d p R

v u R v u

OTF

i i

i i

i i p

0,0

,,

2

(38)

15.3.8.1 Ống kính hình tròn

Một thấu kính với ống kính có đường kính a nằm trong miền ánh sáng dải hẹp,

không cố kết có bước sóng trung tâm là , thì OTF là

q q

2

2

Trong đó q là biến tần số không gian, là bán kính đo được trong không gian tần số

hai chiều Nó được cho bởi

2 2

v u

Trong đó u và v là các tần số không gian theo các chiều x và y tương ứng Tham

số f c gọi là tần số cắt quang học (optical cutoff frequency), xác định từ

i c

d

a r

HÌNH 15-4

Hình 15-4 Những tính chất quang học của ống kính hình tròn và hình chữ nhật 15.3.9 Thiết kế hàm truyền đạt quang học

Nếu con ngươi ra của một hệ thống quang học là một ống kính, hàm con ngươi

p(x, y) chỉ nhận các giá trị 0 và 1 Chúng ta có thể thực hiện một vài tác động lên trên

OTF bằng cách lựa chọn ống kính kỹ lưỡng Thực tế, vì các kỹ thuật chụp ảnh hay

làm lắng phim kim loại đều có thể dùng để thực hiện các hàm con ngươi với các giá trị trung gian, mà chúng ta có thể tác động đáng kể trên OTF

Ví dụ, Frieden đã tính các hàm con ngươi hình tròn mà OTF đạt cực đại tại những tần số riêng biệt Một vài trong số những hàm này và những OTF tương ứng của nó được cho trong hình 15-5 Chú ý rằng ống kính hình tròn rất khả quan cho việc cực đại hoá OTF tại những tần số trung bình và cải tiến đôi chút bằng cách tác động lên hàm con ngươi là có thể được Để cực đại hoá OTF tại những tần số thấp, ta phải làm

cho hệ số truyền của con ngươi suy giảm bằng cách tăng bán kính Đây gọi là tính xác thực Một thiết bị điều chỉnh độ mở trung tâm có đường kính thích hợp rất khả

quan cho việc cực đại hoá OTF tại các tần số trên mức trung bình

15.3.10 Hàm truyền đạt quang học và hàm truyền đạt điều biến

OTF giá trị phức xác định rõ cách mà thấu kính có thể tái tạo, trong mặt phẳng ảnh, các đặc tính điều hoà xảy ra trong mặt phẳng tiêu Mô đun (độ lớn) của OTF là hàm truyền đạt điều biến (Modulation Transfer Function-MTF) đã đề cập đến ở chương 2

Các thấu kính chất lượng cao được thiết kế để mở đầu cho độ dịch pha và thường được giả thiết là không pha Nghĩa là OTF suy giảm đến MTF (giá trị thực) Với nhiều mục đích, người ta có thể sử dụng thuật ngữ OTF hay MTF thay đổi cho nhau những hay ít Như đã nói rõ trước đây, giá trị của MTF tại một tần số riêng biệt là hệ

số mà sự tương phản của các đặc trưng điều hoà trong ảnh tại tần số đó được nhân trong quá trình mô phỏng

Tính đối xứng Vì OTF là biến đổi Fourier hai chiều của PSF, nên nếu PSF là

hàm chẵn (đối xứng qua trục x và y) thì OTF sẽ có giá trị thực và cũng là một hàm

chẵn bởi vì ống kính là hình tròn nên ảnh mà nó tạo thành tự một nguồn điển cũng đối xứng hình tròn Vì thế, một hệ thống không pha, một PSF tròn và OTF giá trị thực có liên quan chặt chẽ với nhau

Theo biểu thức trong hình 15-5, hiển nhiên là tần số cắt có thể được cải tiến (làm tăng) bằng cách thử thay một độ mở ống kính lớn hơn hay bước sóng ngắn hơn

Do PSF và OTF được liên kết bới biểu diễn Fourier hai chiều nên người ta cũng

có thể thu nhận được chúng bằng các cách khác

15.4 QUANG SAI CỦA HỆ THỐNG ẢNH

Trong những thảo luận trước đây, ta đã đề cập đến một hệ thống quang học không quang sai tạo ra một sóng cầu Quang sai trong hệ thống quang học tạo ra sóng cầu xuất phát từ dạng hình cầu lý tưởng của nó Điều này có thể được mô phỏng như trước đây, dùng hình 15-2, nếu ta tổng quát hoá hàm con ngươi bằng cách định nghĩa

nó như sau

e y x T y x

Trong đó T(x, y) là hệ số truyền của con ngươi và W(x, y) là quang sai W(x, y) là

sự chênh lệch về độ dài đường đi, theo bước sóng, giữa đường truyền (sóng cầu) thực

tế và lý tưởng từ điểm (x, y) trong ống kính đếm tâm mặt phẳng ảnh

15.4.1 Quang sai của thấu kính

Hàm quang sai W(x, y) được chọn đúng đắn sẽ cho phép ta mô phỏng các tác động

của quang sai cầu, ngoài tiêu điểm (defocus), loạn thị (astigmation), côma, trường

cong (field curvature) và méo ảnh (image distortion) Trường cong đề cập đến hiện

tượng bề mặt của tiêu điểm chính là một mặt cong chứ không phải là mặt phẳng ảnh

(phẳng) Loạn thị là tình trạng mà trong đó các tia tới đi qua con ngươi thuộc trục x a

không hội tụ vào cùng một điểm như các tia tới thuộc trục y a Sự méo là do các

đường thẳng trên mặt phẳng tiêu được biểu diễn như các đường cong trên mặt phẳng

ảnh Côma đề cập đến trạng thái các tia từ một điểm đơn trên mặt phẳng tiêu, đi qua mặt đối diện của ống kính, hội tụ đến một điểm khác trên mặt phẳng ảnh

Mặc dù một nghiên cứu đầy đủ về quang sai quang học vượt ra ngoài mục đích của chúng ta, nhưng trong lĩnh vực đó có hai kết quả mà ta phải quan tâm Thứ nhất,

không tồn tại hàm hệ số truyền T(x, y) mà có thể khiến cho OTF âm Thứ hai, không

có hàm quang sai W(x, y) nào có thể làm tăng OTF tại tần số bất kỳ, nhưng quang sai

có thể thực sự khiến cho OTF âm

Hình 15-6 minh hoạ tác động của quang sai cầu lên OTF Trong trường hợp này,

có một sự chênh lệch về độ dài đường đi  giữa tia chính và tia phụ Mặt phẳng ảnh được đặt ở giữa tiêu cự chính và tiêu cự phụ

HÌNH 15-6

Hình 15-6 Tác động của quang sai cầu lên OTF 15.4.2 Ngoài tiêu điểm (defocus)

Hình 15-7 minh hoạ tác động của các lượng ngoài tiêu điểm khác nhau Ở đây

ngoài tiêu điểm được đo bằng đơn vị bước sóng của sai số ngoài tiêu điểm (chênh

lệch về độ dài đường đi giữa tia chính và tia phụ), chứ không phải bằng chính khoảng cách ngoài tiêu điểm OTF ngoài tiêu điểm đối xứng với sai số ngoài tiêu điểm; tức là, lượng ngoài tiêu điểm âm và dương bằng nhau sẽ cho cùng một OTF Tuy nhiên, do sai số ngoài tiêu điểm là đơn điệu, nhưng không tuyến tính, với khoảng cách ngoài tiêu điểm, nên OTF trước và sau mặt phẳng ảnh không có cùng một khoảng cách

HÌNH 15-7

Hình 15-7 Tác động ngoài tiêu điểm lên OTF

Lưu ý rằng, đối với một lượng ngoài tiêu điểm lớn, OTF sẽ coa giá trị âm tại một vài tần số Đó là kết quả của việc đảo ngược đen sang trắng các cấu trúc tần số trong

ảnh Điều này đợc minh hoạ trong hình 15-8 Tần số tăng đến gần tâm của hình nan hoa (spoke target) (a) và pha đảo là hiển nhiên trong ảnh ngoài tiêu điểm (b) Hiện

tượng ngoài tiêu điểm và chiều sâu của trường sẽ được đề cập chi tiết hơn trong phần 22.2.5

HÌNH 15-8

Hình 15-8 Pha đảo do ngoài tiêu điểm: (a) ảnh tiêu điểm của một hình nan hoa;

(b) ảnh ngoài tiêu điểm

15.5 ĐỘ PHÂN GIẢI CỦA HỆ THỐNG ẢNH

Hình 15-9 minh hoạ, chi tiết hơn hình 15-4, hàm tán xạ điểm của hệ thống quang học giới hạn nhiễu xạ với các con ngươi hình tròn và hình chữ nhật

HÌNH 15-9

Hình 15-9 Tổng kết những tính chất của ống kính

Khoảng cách Rayleigh Đối với một thấu kính mang ống kính tròn thì giád trị 0

đầu tiên của mặt phẳng ảnh PSF xuất hiện tại bán kính

a

d i



được gọi là bán kính của đĩa Airy Theo tiêu chuẩn Rayleigh về độ phân giải thì

hai nguồn điểm có thể được giải quyết nếu trong ảnh, chúng tách biệt nhau một khoảng  (Xem hình 15-10)