XỬ lý ẢNH CHƯƠNG 13

Nếu T là ma trận đơn vị và chỉ có các thành phần thực thì nó là ma trận trực giao, và được biểu diễn như sau I T T T vµ Chú ý rằng phần tử i, j của TT t chính là tích các hàng i và j c

Chương 13 BIẾN ĐỔI ẢNH RỜI RẠC

13.1 GIỚI THIỆU

Biến đổi Fourier rời rạc (DFT), đó giới thiệu trong chương 10, là một trong những phộp biến đổi tuyến tớnh rời rạc hữu ớch trong xử lý ảnh số Trong chương này, chỳng

ta sẽ nghiờn cứu chủ đề tổng quỏt hơn, trỡnh bày một vài biến đổi khỏc và một vài tớnh chất cũng như cỏc ứng dụng của chỳng

Ảnh mà chỳng ta quan tõm thường ở dạng liờn tục và cũng phải được cảm nhận ở dạng này Bởi vỡ chỳng ta bắt buộc phải làm việc với sự biểu diễn rời rạc của ảnh liờn tục, nờn nhiều quỏ trỡnh xử lý ảnh số đũi hỏi chỳng ta tuõn thủ những nguyờn tắc lấy mẫu và nội suy trong khi xử lý dữ liệu rời rạc Tuy nhiờn, một vài ứng dụng cho phộp chỳng ta xem xột ảnh số như một thực thể rời rạc mà khụng đề cập chi tiết đến lịch

sử nguồn gốc của ảnh hay đối với ảnh liờn tục cơ bản

Một ứng dụng điển hỡnh là nộn ảnh Ở đõy, người ta muốn mó hoỏ một ảnh thành một dạng dữ liệu nhỏ gọn hơn, mà khụng làm mất mỏt hay chỉ mất mỏt thụng tin khụng cần thiết Bỡnh thường, vỡ lẽ quang học, lấy mẫu và nội suy đối với sự số hoỏ

và hiển thị ảnh là khụng liờn quan trực tiếp và ảnh số cú thể xem xột đơn thuần như một tệp dữ liệu

Biểu diễn một ảnh là một biểu hiện đặc biệt của dữ liệu ảnh Đõy là một sự thể hiện dữ liệu ảnh theo một dạng hay một khuụn dạng đặc biệt Một ảnh số cú thể được biểu diễn như một ma trận hay như một vec tơ hàng

13.2 BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH

13.2.1 Biến đổi tuyến tớnh rời rạc một chiều

Định nghĩa Nếu x là vec tơ N  1 và T là ma trận N  N, thỡ

Tx y x

t y N

j j j





hay

1 0

trong đú i = 0, , N-1 là biến đổi Fourier của vec tơ x Ma trận T cũng được gọi là

ma trận hạt nhõn (kernel matrix) của phộp biến đổi Lưu ý rằng cỏch sử dụng từ hạt nhõn khỏc với cỏch sử dụng thuật ngữ hạt nhõn tớch chập đó đề cập trong phần 9.3.4

Kết quả của phộp biến đổi làmột vec tơ y, N  1 khỏc Phộp biến đổi là tuyến tớnh

bởi vỡ y được thực hiện bằng một phộp tổng bậc nhất của cỏc phần tử đầu vào Mỗi phần tử y i là tớch của vec tơ đầu vào x với hàng thứ i của ma trận T

Vớ dụ Một vớ dụ đơn giản của phộp biến đổi tuyến tớnh là phộp quay một vec tơ trong hệ thống toạ độ hai chiều (Xem chương 8) Ở đõy,

   

    

































2 1 2

1

cos sin

sin cos

y

x

x





(2)

Quay vec tơ x quanh gốc toạ độ một gúc 

Phộp nghịch đảo Sau phộp biến đổi, vec tơ ban đầu cú thể được khụi phục bằng phộp biến đổi ngược

x T

Chứng tỏ rằng T không duy nhất Như trên, mỗi phần tử của x lại là một tích, đây

là tích giữa y và một hàng của T -1 Với ví dụ trước đây, thì điều này chẳng khác gì một phép quay cùng một góc theo chiều ngược lại

13.2.1.1 Biến đổi đơn vị

Đối với vec tơ chiều dài N đã cho, có rất nhiều ma trận biến đổi có thể được sử dụng Tuy nhiên, những ma trận hữu ích hơn liên quan đến một lớp các thuộc tính nào đó

Nếu T là ma trận đơn vị, thì

I T T

T vµ * *

Trong đó * ký hiệu liên hợp phức cho mỗi phần tử của T và t ký hiệu phép chuyển

vị Nếu T là ma trận đơn vị và chỉ có các thành phần thực thì nó là ma trận trực giao,

và được biểu diễn như sau

I T T

T vµ

Chú ý rằng phần tử i, j của TT t chính là tích các hàng i và j của T Biểu thức (5) chứng tỏ rằng các phần tử đều là 0, trừ phần tử i = j, trong trường hợp nó là đơn vị

Vì thế, các hàng của T là tập các vec tơ trực giao

Ví dụ: DFT một chiều DFT là một ví dụ về biến đổi đơn vị, vì

hay























1 0

2 exp

1 N i i k

N

i k j f

N

Trong đó W là ma trận đơn vị (nhưng không trực giao) với các phần tử (phức)

















N

i k j

N i k

Nội suy Bình thường, ma trận biến đổi T không đơn nhất (chẳng hạn, rank(T) =

N), để có thể đảo ngược biến đổi, như biểu thức (3) Các hàng của T tạo thành một cơ

sở trực giao (một tập các vec tơ cơ sở trực giao hay các vec tơ đơn vị) đối với không

gian vec tơ N chiều của tất cả các vec tơ N  1 Điều này có nghĩa là một chuỗi N  1

bất kỳ có thể xem như biểu diễn một vec tơ ban đầu thành một điểm trong không

gian N chiều Hơn nữa, một biến đổi dạng biểu thức (1) bất kỳ có thể xem như là một biến đổi toạ độ, quay vec tơ trong không gian N chiều mà không thay đổi độ dài của

vec tơ

Theo giả thiết thì một biến đổi tuyến tính đơn vị sinh ra vec tơ y, vec tơ N hệ số

biến đổi, mỗi một hệ số được tính như là một tích của vec tơ vào x với một hàng của

ma trận biến đổi T Biến đổi ngược được tính toán tương tự, giống như một tập các

tích thành phần của vec tơ hệ số biến đổi với các hàng của ma trận biến đổi ngược Biến đổi tiến nói chung được coi là một quá trình phân tích, việc phá vỡ vec tơ tín hiệu ra thành các thành phần cơ bản Các thành phần cơ bản này thường thấy ở dạng các vec tơ cơ sở Các hệ số biến đổi chỉ rõ có thể tìm thấy bao nhiêu vec tơ trong mỗi thành phần được thể hiện trong tập những vec tơ riêng biệt được phân tích

Biến đổi ngược, nói cách khác, thường được coi là một quá trình tổng hợp

(synthesis), tập hợp thành vec tơ ban đầu từ các thành phần của nó theo phép tổng Ở đây, các hệ số biến đổi chỉ rõ khối lượng chính xác mỗi vec tơ cơ sở phải được thêm vào tập hợp để tái tạo lại vec tơ đầu vào đầy đủ và chính xác

Mấu chốt của quá trình này là nguyên tắc mà bất kỳ một vec tơ nào cũng có thể được phân tích duy nhất thành một tập các vec tơ biên độ cơ bản thích hợp và sau đó khôi phục lại bằng cách thêm các thành phần này lại với nhau để tái tạo vec tơ ban đầu Điều này có ý nghĩa rằng số các hệ số biến đổi bằng với số các phần tử trong

vec tơ Vì thế, số bậc tự do trước và sau biến đổi là như nhau và quá trình cũng không tạo ra hay phá huỷ thông tin

Một vec tơ được biến đổi là một sự biểu diễn của vec tơ ban đầu Vì nó chứa cùng một số lượng các phân tử (và vì thế có cùng số bậc tự do) như vec tơ gốc và vì vec tơ gốc có thể khôi phục từ nó mà không sai sót, nên nó có thể được coi là một dạng lựa chọn của việc biểu diễn vec tơ ban đầu Chương này xem xét một vài phương pháp lựa chọn cho việc biểu diễn tín hiệu và ảnh số, và lợi ích của mối phương pháp

13.2.2 Biến đổi tuyến tính rời rạc hai chiều

Biến đổi tuyến tính hai chiều nói chung là biến đổi ma trận F, N  N thành ma trận

được biến đổi G (cũng là N  N) là

i k m n

F G

N

i N

k k i

1 0 1 0 ,

 











trong đó i, k, m và n là các biến rời rạc nằmg trong khoảng từ 0 đến N - 1 và

 (i,k,m,n) là hàm hạt nhân của phép biến đổi

Có thể xem  (i,k,m,n) như là một ma trận khối N 2  N 2 có N hàng, mỗi hàng có N khối, mỗi khối lại là một ma trận N  N Các khối được đánh chỉ số m, n và những

phần tử của từng ma trận con N  N được đánh chỉ số i, k (Xem hình 13-1)

Nếu có thể tách  (i,k,m,n) ra thành tích các hàm thành phần hàng và cột-tức là,

nếu

i,k,m,nT ri,m T c k,n

Thì biến đổi được gọi là tách được (separable) Nghĩa là nó có thể tiến hành trong

hai bước-một phép toán theo hàng tiếp theo là một phép toán theo cột (hay ngược lại):

k nT i m

T F

N

i N

k k i n

1 0 1 0 , ,  





















Hơn nữa, nếu hai hàm thành phần giống nhau thì biến đổi cũng được gọi là đối

xứng (không được nhầm lẫn vpí ma trận đối xứng) Và

i,k,m,nTi,m T k,n

Và biểu thức (8) có thể viết lại như sau

i m F T k n G TFT T

G

N

k c k i N

i n



















hay

1 0 , 1

0

Trong đó T là ma trận đơn vị, gọi là ma trận hạt nhân của biến đổi Chúng ta sẽ sử

dụng ký hiệu cho toàn bộ chương này, để biểu thị cho biến đổi đơn vị đối xứng, tách được và tổng quát

Biến đổi ngược là

t t

GT T GT T

và nó khôi phục lại F một cách chính xác

Ví dụ: DFT hai chiều DFT hai chiều là biến đổi đơn vị dc và tách được Trong

trường hợp này, T trong biểu thức (12) trở thành ma trận W do biểu thức (7)

DFT ngược sử dụng W-1, là chuyển vị liên hợp của W Cặp biến đổi Fourier rời rạc được biểu diễn như sau

G = WFW và F = W *t GW *t (14)

HÌNH 13-1

Hình 13-1 Ma trận hạt nhân

13.2.2.1 Phép biến đổi trực giao

Không giống như biến đổi Fourier, nhiều biến đổi chỉ có các thành phần thực

trong ma trận hạt nhân T của chúng Một ma trận đơn vị với các thành phần thực là

trực giao và phép biến đổi ngược trở nên đơn giản là

t t

GT T

Nếu T là ma trận đối xứng, như thường gặp, thì biến đổi xuôi và ngược đều như

nhau, để cho

TGT F TFT

13.3 HÀM VÀ ẢNH CƠ SỞ

Khác nhau cơ bản giữa hai biến đổi đơn vị bất kỳ là sự lựa chọn các hàm cơ sở,

tức là, các hàng của ma trận T Ở đây, chúng ta sẽ xem xét các hàm cơ sở chi tiết

hơn

13.3.1 Hàm cơ sở

Các hàng của ma trận hạt nhân tạo thành một tập các vec tơ cơ sở đối với không

gian vec tơ N chiều Các hàng là trực chuẩn; tức là

k j N

i

i k i t

T T I

1 0

, ,

*

* 



 hay

Trong đó  j,k là del ta Kronecker

Trong khi một tập các vec tơ trực chuẩn bất kỳ sẽ có lợi cho biến đổi tuyến tính, bình thường thì toàn bộ tập xuất phát từ cùng một dạng hàm cơ sở Ví dụ, biến đổi Fourier sử dụng thành phần mũ phức như hàm cơ sở nguyên mẫu Các hàm cơ sở riêng lẻ chỉ khác nhau về tần số

Một vec tơ không gian bất kỳ có thể được biểu diễn như tổng trọng số các vec tơ

đơn vị cơ sở Một biến đổi đơn vị một chiều (N  1) tương ứng với phép quay vec tơ

trong không gian vec tơ N chiều Hơn nữa, vì một ma trận ảnh N  N có thể sắp xếp

để tạo thành vec tơ N 2  1, một biến đổi hai chiều, đối xứng, tách được bất kỳ tương

ứng với một phép quay vec tơ trong không gian N 2 chiều

13.3.2 Ảnh cơ sở

Biến đổi hai chiều ngược có thể được coi như quá trình tái tạo ảnh bằng cách cộng

tập các ảnh cơ sở thích hợp Mỗi phần tử trong ma trận biến đổi G là một hệ số, được

nhân với ảnh cơ sở tương ứng trong phép cộng

Một ảnh cơ sở có thể được tạo ra bằng biến đổi ngược một ma trận các hệ số chỉ

chứa một phần tử khác 0, thường đặt bằng 1 Có N 2 ma trận như vậy và chúng tạo ra

N 2 ảnh cơ sở Đặt một ma trận hệ số là

 i p j q

q

Trong đó i và j là chỉ số hàng và cột, p và q là các số nguyên xác định vị trí phần

tử khác 0 Biến đổi ngược [biểu thức (13)] là

i m Tk n Tp m T q n

T F

N

i

N

k

q k p i n

1 0

1 0 ,























Vì thế, đối với biến đổi đơn vị tách được, mỗi ảnh cơ sở là một tích hai hàng của

ma trận biến đổi

Giống như đối với các tín hiệu một chiều, có thể coi các ảnh cơ sở như tập các thành phần cơ sở để phân tích một ảnh bất kỳ Chúng cũng tạo nên những khối để tái tạo một ảnh bất kỳ Biến đổi xuôi thực hiện sự phân tích bằng cách xác định các hệ

số Biến đổi ngược thực hiện sự khôi phục lại bằng cách cộng các ảnh cơ sở,căn cứ trên các hệ số đó

Bởi vì tồn tại rất nhiều tập ảnh cơ sở, cũng như tồn tại rất nhiều phép biến đổi Vì vậy, một tập các ảnh cơ sở đặc trưng chỉ quan trọng trong ngữ cảnh của một biến đổi đặc biệt

13.4 BIẾN ĐỔI ĐIỀU HOÀ

Với những nguyên nhân đã đề cập đến trong chương 10, biến đổi Fourier đã nổi lên như một biến đổi đơn quan trọng nhất trong xử lý ảnh số Tuy nhiên, nó có vài quan hệ cũng sử dụng các hàm cơ sở điều hoà Chúng sẽ được đưa ra trong phần này, sau một bài thảo luận ngắn gọn về biến đổi Fourier

13.4.1 Biến đổi Fourier rời rạc

Đã được giới thiệu trong chương 10, DFT lại được xem xét ở đây, trong nội dung các biến đổi đơn vị tách biệt, cho phép chúng ta nêu ra những so sánh giữa nó và những biến đổi khác của cùng một kiểu

Ma trận hạt nhân đối với DFT (biểu thức (6) và (7)) là

W































1 , 1 0

, 1

1 , 0 0

, 0

N N N

N

w w

w w











(20)

Trong đó

N ik j k

N

Bởi vì tính tuần hoàn của thành phần mũ phức, W bằng 1

Các DFT xuôi và ngược một chiều là

F = Wf và f = W*t F (22)

Trong đó f và F là các vec tơ tín hiệu và phổ Nếu f là thực, thì nói chung, F sẽ có các thành phần phức Chỉ nếu f đối xứng hoàn toàn thì F mới là thực

13.4.1.1 Vec tơ phổ

Hình 13-2 cho thấy nơi mà các thành phần tần sóoo khác nhau xuất hiện trong vec

tơ phổ F, khi f là thực Thành phần tần số 0 và thành phần tần số cao nhất (tương ứng

với tần số Nyquist) xuất hiện chỉ một lần Những thành phần còn lại được nhân đôi như các liên hợp phức (Nhắc lại rằng phổ của một hàm thực là một hàm Hermite.)

Nếu coi F như một vec tơ hàng, thì N/2 + 1 phần tử đầu tiên là nửa bên phải của phổ,

còn lại N/2 - 1 phần tử sau thuộc nửa bên trái Tần số tương ứng với phần tử thứ i của

F là

 































1 1

2 / 2

2 / 0

2

N i N

f N

i N

N i f

N

i s

N

N i

(23)

Trong đó f N là tần số Nyquist (tần số cơ bản, bằng nửa tần số lấy mẫu) Nếu N/2 -

1 phần tử sau của f tạo thành một ảnh sao chép lại của các phần tử từ 1 đến N/2 - 1,

thì F là chẵn và sẽ có giá trị thực

HÌNH 13-2

Hình 13-2 Vị trí các thành phần tần số khác nhau trong vec tơ phổ

Ta có thể quay các phần tử của F đi một lượng N/2, sử dụng phép toán dịch phải

(hay trái) vòng tròn, để tạo ra một vec tơ thích hợp cho việc vẽ phổ Trong trường

hợp đó, phần tử tần số 0 được định vị tại N/2, và tần số tăng theo cả hai chiều Phần

tử tần số Nyquist chỉ xuất hiện tại F 0

Lý thuyết dịch của biến đổi Fourier (Xem phần 10.2.3) cung cấp một cách khác cũng đạt đến kết quả như vậy Việc áp dụng lý thuyết dịch trong miền tần số cho ta

      f x j x      f x f x

N

u x j u

u F x

f

u

















Trong đó lượng dịch là u 0 = N/2 Nghĩa là chúng ta chỉ đổi dấu của các phần tử

đánh số lẻ của f(x) trước khi thực hiện DFT

13.4.1.2 DFT hai chiều

Các DFT hai chiều xuôi và ngược là

G = WFW và F = W *t GW *t (25)

Trong đó F là ảnh dạng ma trận và G là ma trận phổ của nó

Hình 13-3 cho thấy vị trí mà các thành phần tần số không gian khác nhau được

định vị trong ma trận phổ G sự sắp xếp lại bốn góc phần tư, cho trong hình, khiến

cho việc hiển thị phổ thuận tiện hơn Theo cách đó, tần số 0 nằm tại tâm của ma trận,

và từ đây tần số tăng dần ra Biểu thức (24) được tổng quát hoá cho trường hợp hai chiều thành

u v fx y Fu N v N    fx y

Và lại đổi dấu một nửa số phần tử trong ma trận ảnh F để có được phép dịch mong muốn Nếu F đối xứng như trong hình 13-3(a) thì G sẽ có giá trị thực

13.4.2 Biến đổi cosin rời rạc

Biến đổi cosin rời rạc (Discrete Cosin Transform-DFT) hai chiều được định nghĩa như sau



















1 0 1

1 2 cos 2

1 2 cos , ,

N

i N

k c

N

n k N

m i k

i g n

m n

m



Và biến đổi ngược của nó là



















1 0 1

1 2 cos 2

1 2 cos , ,

N

m N

n

c

N

n k N

m i n

m G n m k

i



Trong đó các hệ số là

N

m

0 vµ  víi

Giống như DFT, DCT có thể được biểu diễn như một phép toán ma trận đơn vi dưới dạng

CgC

Trong đó ma trận hạt nhân có các phần tử

      



N

m i m

C i,m

1

1 2



Cũng giống như DFT, DCT có thể được tính bằng một thuật giải nhanh Khác với DFT, DCT là thực Nó được sử dụng rộng rãi trong nén ảnh

13.4.3 Biến đổi sin

Jain đã đưa ra định nghĩa biến đổi sin rời rạc như sau





















1 0 1

1 1 sin

2

1 1 sin

, 1

2 ,

N

i N

k s

N

n k N

m i k

i g N

n

m

(32)

Và





















1 0 1

1 1 sin

2

1 1 sin

, 1

2 ,

N

m N

n s

N

n k N

m i n

m G N

k

i

(33) DST có các phần tử ma trận hạt nhân



















1

1 1 sin

1

2

,

N

k i N

(34)

Không giống các biến đổi điều hoà khác, DST được tính toán tiện lợi nhất với N =

2 p , trong đó p là số nguyên Nó có thể được thực hiện như phần ảo của một FFT (2N

+ 2) điểm có cấu trúc đặc biệt

DSt có một thuật giải thực hiện nhanh và các tính chất hay dùng trong các bài toán nén ảnh

13.4.4 Biến đổi Hartley

Năm 1942, Hartley đã đưa ra một biến đổi tích phân liên tục như là một bước tiếp theo của biến đổi Fourier Sau đó Bracewell đã định nghĩa một biến đổi đơn vị rời rạc giống như vậy dựa trên biến đổi Hartley Biến đổi Hartley rời rạc hai chiều (DHT)

   















 1 0 1 0 , ,

2

1 N i N

k k i n

N cas g N

(35)

Và DHT ngược hai chiều















 1 0 1 0 , ,

2

1 N m N

n n m k

N cas G N

(36)

Là giống nhau và sử dụng hàm cơ sở

cas  cos  sin   2cos /4 (37)

Là hàm cosin được dịch 450 sang phải

























N

ik cas N

Trong khi DFT biến đổi N số thực thành N số phức đối xứng liên hợp, hiển thịì DHT tạo thành N số thực

Như mong đợi, DHT có quan hệ gần gũi với DFT Trong chương 10, chúng ta đã thấy rằng biến đổi Hartley đơn giản là phần thực trừ đi phân f ảo của biến đổi Fourier

tương ứng Cũng như vậy, biến đổi Fourier là phần chẵn trừ đi j lần phần lẻ của biến

đổi Hartley

Lý thuyết tích chập của biến đổi Hartley chỉ hơi phức tạp hơn lý thuyết tích chập của biến đổi Fourier Nó được biểu diễn như sau

g x  f x *h x G v F v H e v FvH o v (39)

Trong đó F(v) và G(v) là những biến đổi Hartley của f(x) và g(x) tương ứng, và

H e (v) và H o (v) là các thành phần biến đổi Hartley chắn và lẻ của h(x) (Xem phần

10.2.1 về định nghĩa các thành phần chẵn và lẻ.)

Trong trường hợp thường gặp là một trong các hàm là chẵn, số hạng thứ hai của biểu thức (39) triệt tiêu, và tích chập tương ứng với phép nhân trong miền biến đổi Hartley, giống như thực hiên biến đổi Fourier trong miền tần số

DHT là một bước tính toán kế tiếp của DFT Có một thuật giải nhanh cho biến đổi Hartley Đối với các ứng dụng lọc tuyến tính-đặc biệt nếu ma trận hạt nhân là đối xứng-DHT có thể làm giảm đáng kể khối lượng công việc tính toán, vì nó tránh được phép toán số học phức tạp

13.4.5 Các biến đổi điều hoà khác

Jain đã giới thiệu một họ các biến đổi đơn vị có các hàm cơ sở điều hoà DFT, DHT và DST thuộc họ này

13.5 BIẾN ĐỔI SÓNG CHỮ NHẬT

Một vài biến đổi quan trọng trong xử lý ảnh số sử dụng các hàm cơ sở là những biến đổi sóng vuông hơn là sóng điều hoà Nói chung, chúng tính toán nhanh vì nhiều phép nhân trở nên tầm thường

Trong phần này, chúng ta sẽ đề cập đến các biến đổi Hadamard, Walsh, nghiêng

và Haar Về cơ bản biến đổi Haar khác ba biến đổi kia và được xét đến kỹ hơn, trong nội dung của các biến đổi sóng con ở chương tiếp theo

13.5.1 Biến đổi Hadamard

Biến đổi Hadamard là biến đổi đối xứng, đơn vị có thể tách rời mà chỉ có các

phần tử -1 và 1 trong ma trận hạt nhân của nó Nó tồn tại với N = 2 n , trong đó n là số

nguyên

Đối với trường hợp 2  2, ma trận hạt nhân sẽ là

















1 1

1 1 2

1 2

1

2

và với N lớn hơn, ma trận này có thể được tạo thành từ dạng ma trận khối















2 / 2 /

2 / 2 /

1 1

N N

N N

N

H H

H H

N

H

Đối với N = 2 n bất kỳ, ma trận chỉ chứa các phần tử 1, miễn là hệ số N -1/2 không được phép nằm trước Điều này khiến cho việc tính toán biến đổi ít phức tạp hơn

Ví dụ, với N = 8, ma trận biến đổi Hadamard là

5 2 6 1 4 3 7 0

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

2 2

1

8















































































































trong đó cột bên phải cho thấy số ký hiệu thay đổi theo hàng tương ứng Chú ý rằng các cột này khác nhau đối với từng hàng Ký hiệu số đến thay đổi này được gọi

là sự phối hợp hàng

Chúng ta ta có thể sắp xếp thứ tự các hàng để tạo thành dãy tăng tần theo số hàng

Hạt nhân của biến đổi Hadamard có thứ tự, với N = 8,

7 6 5 4 3 2 1 0

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

2 2

1

8















































































































13.5.2 Biến đổi Walsh

Các hàm cơ sở Hadamard thực tế là các hàm Walsh Vì thế, biến đổi Hadamrd cũng đươck coi là biến đổi Walsh

13.5.3 Biến đổi nghiêng

Biến đổi nghiêng (slant) được thiết kế không chỉ có một hàm cơ bản không đổi thứ nhất mà còn một hàm tuyến tính thứ hai (hình 13-4) Hàm cơ bản thứ hai được làm nghiêng cho phù hợp với nền dốc tuyến tính hiện diện trong nhiều ảnh

Ma trận hạt nhân đơn vị đối với biến đổi nghiêng xuất phát từ ma trận Haar hay

Hadamard 2  2,















1 1

1 1 2

1

2

và lặp lại nó theo giản đồ























































2 /

2 /

0 0

0 0

0 1 0 0 1 0

0 0

0 0 1 0 0 1

2

1

N N

N N N

N

N N

N

S S

I I

a b a

b

I I

b a N

b N a

trong đó I là ma trận đồng nhất bậc N/2- 2 và

1 4

1 1

4

3

2 2 2

2 2 2











N

N b

N

N

a N vµ N (4.40)

Các hàm biến đổi nghiêng cơ bản xuất hiện tại các tần số từ 0 đến N-1 Biến đổi

nghiêng cũng có một thuật giải biến đổi nhanh và được sử dụng trong nén ảnh

Hình 13-4 Các hàm cơ bản biến đổi nghiêng với N = 8

13.5.4 Biến đổi Haar

Biến đổi Haar là biến đổi đối xứng, đơn nhất có thể tách và sử dụng hàm Haar làm

cơ sở Nó tồn tại với N = 2 n , trong đó n nguyên

0

1

2

5 4

6