ứng dụng phép biến đổi laplace giải một lớp các phương trình toán lý

Áp dụng phép biến đổi Laplace giải một lớp các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 hệ số hằng .... Phép biến đổi Laplace có những ứng dụng quan trọng trong giải tích và áp dụng t

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA VẬT LÝ - -

PHẠM TIẾN PHÁT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

TP Hồ Chí Minh, năm 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA VẬT LÝ - -

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

DANH MỤC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT 3

MỞ ĐẦU 4

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 8

1.1.Một số khái niệm 8

1.1.1 Hàm gốc 8

1.1.2 Hàm Heaviside 8

1.1.3 Hàm Delta Dirac 8

1.2.Phép biến đổi Laplace 1 phía 10

1.2.1 Định nghĩa 10

1.2.2 Sự tồn tại của phép biến đổi Laplace 1 phía 10

1.3.Phép biến đổi Laplace 2 phía 11

1.3.1 Định nghĩa 11

1.3.2 Sự tồn tại của phép biến đổi Laplace 2 phía 11

1.4.Các tính chất của phép biến đổi Laplace 13

1.4.1 Tính tuyến tính 13

1.4.2 Tính đồng dạng 13

1.4.3 Tính chất dịch chuyển ảnh 14

1.4.4 Tính chất trễ 14

1.4.5 Ảnh của một hàm tuần hoàn 14

1.4.6 Đạo hàm gốc 15

1.4.7 Tích phân gốc 18

1.4.8 Đạo hàm ảnh (Luật nhân với tn) 19

1.4.9 Tích phân ảnh (Luật chia cho t) 19

1.4.10 Ảnh của tích chập 19

1.4.11 Định lý giá trị đầu-cuối 22

1.5.Công thức Mellin xác định hàm gốc từ hàm ảnh 22

1.5.1 Định lý 22

1.5.2 Ảnh của tích hai gốc 23

1.6.Phép biến đổi Laplace 2 phía n-chiều 23

1.6.1 Định nghĩa 23

1.6.2 Miền hội tụ 23

1.6.3 Các tính chất cơ bản của phép biến đổi Laplace 2 phía n-chiều 24

1.7.Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 29

1.7.1 Định nghĩa 29

1.7.2 Dạng chính tắc của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 30

1.7.3 Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 31

Chương 2 Áp dụng phép biến đổi Laplace giải một lớp các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 hệ số hằng 34

2.1.Áp dụng phép biến đổi Laplace giải các phương trình đạo hàm riêng cấp 2 không điều kiện đầu và điều kiện biên 34

2.1.1 Phương pháp giải chung 34

2.1.2 Ví dụ áp dụng 35

2.2.Áp dụng phép biến đổi Laplace giải các phương trình đạo hàm riêng cấp 2 có điều kiện đầu, điều kiện biên 38

2.2.1 Phương pháp giải chung 38

2.2.2 Ví dụ áp dụng 39

Chương 3 Kết luận và hướng phát triển 53

3.1.Các kết quả đạt được 53

3.2.Hướng phát triển 54

TÀI LIỆU THAM KHẢO 55

PHỤ LỤC 56

DANH MỤC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT

n

L : phép biến đổi Laplace tác dụng lên n biến số

x

L : phép biến đổi Laplace tác dụng lên biến số x

L : phép biến đổi Laplace tác dụng lên tất cả các biến số

L∞: phép biến đổi Laplace 2 phía

độ chảy của chất lưu, hệ phương trình Maxwell-Ampere mô tả trường điện từ và cách thức truyền các nhiễu loạn điện từ, Như vậy, nhu cầu tìm hiểu tường tận về các hiện tượng vật lý đòi hỏi việc giải các phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng Các kĩ thuật giải loại phương trình này xuất hiện từ rất sớm và phát triển

rất đa dạng, trong đó, phải kể đến phương pháp tách biến, phương pháp tích phân, phương pháp hàm Green, [5] Việc tìm hiểu ưu-nhược điểm và phạm vi ứng dụng

của mỗi phương pháp là điều không thể thiếu để giải quyết các phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng Trong các phương pháp tích phân hay gặp có phép biến đổi Fourier và phép biến đổi Laplace Phép biến đổi Laplace có những ứng dụng quan trọng trong giải tích và áp dụng trên một lớp rộng các hàm số trong

việc giải các phương trình vi phân, phương trình sai phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình sai phân riêng phần và các hệ của chúng Hay gặp nhất là phép

biến đổi Laplace một phía đã được nghiên cứu từ rất sớm và phát triển đa dạng để đáp ứng nhu cầu giải quyết các vấn đề của khoa học tự nhiên [1]

Trong việc giải các phương trình đạo hàm riêng, ý tưởng của phép biến đổi Laplace là dùng một phép tích phân có thể làm mất đạo hàm trong các phương trình Mặt khác nó chuyển không gian hàm gốc sang không gian ảnh Nhờ đó, ảnh –

với tư cách là một hàm với biến số thuộc không gian mới không chịu tác động của các toán tử (tích phân, đạo hàm) tác dụng lên các biến của không gian cũ Như vậy,

phương trình đạo hàm riêng

Trên cơ sở lý luận trên, luận văn được trình bày với mục đích tìm hiểu về

riêng

Với mục đích như thế, chúng tôi thực hiện các mục tiêu sau:

- Nghiên cứu cơ sở lí thuyết của phép biến đổi Laplace cùng các tính chất của

nó

- Dựa trên đặc thù của phép biến đổi, thử áp dụng nó cho một lớp các phương trình đạo hàm riêng thích hợp

- Rút ra ưu-nhược điểm của phép biến đổi Laplace

- Các đề xuất phát triển của đề tài

Trên thế giới đã có các giáo trình trình bày qui mô và nghiêm túc phép biến đổi Laplace cũng như áp dụng nó để giải các phương trình vi phân, điển hình như là [3-5] Trong các công trình này, các tác giả đã tập trung nghiên cứu và giải quyết các vấn đề cơ bản như sự tồn tại phép biến đổi Laplace, điều kiện áp dụng, các kĩ thuật toán học và mở rộng bảng đối chiếu gốc-ảnh Ở Việt Nam, chỉ mới thấy các giáo trình viết về phép biến đổi Laplace ở mức độ đơn giản như: phép biến đổi Laplace 1 phía, phép biến đổi Laplace 1 chiều, áp dụng giải phương trình vi phân đơn giản, chỉ một biến số Các mục tiêu của luận văn sẽ được cụ thể hóa bằng việc

đi sâu hơn vào phép biến đổi Laplace 2 phía, nhiều chiều mà biến đổi Laplace 1 phía như là một trường hợp riêng của nó và ứng dụng nó để giải các phương trình đạo hàm riêng nhiều biến số Phép biến đổi Laplace 2 phía có nhiều ưu điểm hơn so

với phép biến đổi Laplace 1 phía như là lớp hàm áp dụng rộng hơn, các tính chất và

biến đổi đơn giản hơn [1] Trong quá trình khảo sát, phép biến đổi Laplace 1 phía

xuất hiện như một trường hợp riêng của phép biến đổi Laplace 2 phía giúp ta có cái nhìn sâu sắc và bản chất Cuối cùng, chúng tôi mở rộng phép biến đổi ra nhiều chiều để giải các phương trình đạo hàm riêng nhiều biến

Phương pháp nghiên cứu chúng tôi sử dụng chủ yếu là:

- Thu thập thông tin: tham khảo các giáo trình và đề tài liên quan để có cái nhìn sơ bộ về tình hình nghiên cứu phép biến đổi Laplace, các kết quả, ứng dụng đã

Luận văn sẽ là một đóng góp cho hệ thống phương pháp và kinh nghiệm

giải-khảo sát các phương trình đạo hàm riêng đồng thời trang bị cho bản thân cũng như các sinh viên quan tâm những hiểu biết cần thiết để giải quyết các bài toán Vật lý liên quan đến các phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng

Cấu trúc luận văn gồm 3 chương chính:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Áp dụng phép biến đổi Laplace giải một lớp các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 hệ số hằng

Chương 3: Kết luận và hướng phát triển

Chương 1 trình bày các kiến thức cần thiết về phép biến đổi Laplace bao gồm định nghĩa, điều kiện tồn tại và các tính chất quan trọng của phép biến đổi Khái

niệm về phép biến đổi Laplace gắn liền với khái niệm “hàm gốc”, mà sản phẩm của

nó qua phép biến đổi gọi là “ảnh” Phép biến đổi Laplace 1 phía được trình bày trước làm cơ sở để định nghĩa phép biến đổi Laplace 2 phía Sau đó là liệt kê và

chứng minh các tính chất của phép biến đổi Laplace, quan trọng nhất là tính chất về đạo hàm và tích phân ảnh, đây là cơ sở để sử dụng phép biến đổi, đưa một phương trình đạo hàm riêng về dạng đại số Đồng thời, nhờ tính chất này mà các đòi hỏi về

điều kiện đầu, điều kiện biên xuất hiện ngay từ những bước đầu giải phương trình như những dữ kiện đầu vào để tiếp tục thuật giải Như thế, sẽ giảm được một lượng

lớn các tính toán phức tạp Lưu ý rằng chương này không đi sâu vào trình bày các

thủ thuật tìm ảnh, tìm gốc, vốn rất phổ biến trong các giáo trình về phép biến đổi Laplace Cũng trong chương này, chúng tôi trình bày tổng quan về lớp phương trình đạo hàm riêng tuyến tính bậc 2 hệ số hằng: định nghĩa, phân loại, dạng chính tắc

Việc nghiên cứu lớp phương trình này đóng vai trò quan trọng vì rất nhiều bài toán trong Vật lý quy về việc giải các phương trình đạo hàm riêng bậc 2 như bài toán dao động trong môi trường đàn hồi, sự truyền nhiệt, truyền sóng điện từ, sự chuyển động của chất lưu,

Chương 2 trình bày việc áp dụng phép biến đổi Laplace để giải các phương trình đạo hàm riêng bậc 2 trên cơ sở lựa chọn nhiều phương trình Toán-Lý điển hình để giải ở mức độ tổng quát hơn Qua đó, phân tích và đánh giá tác dụng của phép biến đổi Vì thế, chúng tôi không đi sâu vào giải chi tiết ra kết quả sau cùng

mà chú trọng vào quá trình biến đổi Trong thực tế, các phương trình này rất phức

tạp và cần giải bằng phương pháp số sau khi đã đơn giản hóa bằng phép biến đổi Laplace

Chương cuối cùng tổng kết các kết quả đạt được: kinh nghiệm thao tác với phép biến đổi, khả năng giải lớp phương trình đã đề xuất, hướng phát triển cho đề tài,

Xin chân thành cám ơn:

- Thầy Nguyễn Vũ Thụ Nhân đã hướng dẫn tận tình, cho nhiều góp ý quý báu

- Các thành viên trong lớp SP Vật Lý K34 đã giúp đỡ về mặt kiến thức, chia sẻ nhiều kinh nghiệm và khích lệ về mặt tinh thần

Tp Hồ Chí Minh, ngày 01 tháng 5 năm 2012 Tác giả

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

f (t) M e t 0

ω + +

o

0 khi t t ,H(t t )

f (t) (t ) khi t ,

2

1 khi tε

Xét họ đạo hàm theo t của f(t):

0 khi t ,1

f ' (t) khi t ,

2

0 khi t ,ε

= ∫ δ (suy trực tiếp từ định nghĩa)

● Nếu f(t) liên tục tại t = to thì f(t)δ(t - to) = f(to)δ(t - to)

o

o a

1.2 Phép biến đổi Laplace 1 phía

1.2.1 Định nghĩa

Cho p = ω + s.i là một số phức, f(t) là một hàm gốc, xét ánh xạ R → C biến

f(t) thành F(p) với pt

0F(p) f (t)e dt

0L{f (t)} f (t)e dt

+ Tồn tại trong miền Re(p) = ω > ωo

+ Giải tích trong miền Re(p) = ω > ωo

+ F(p) → 0 khi p → ∞ sao cho Re(p) → ∞

( )t ( )t

+∞

−

⇒ = ∫ hội tụ (tức là tồn tại) trên miền Re(p) = ω > ωo

Khi p → ∞ sao cho Re(p) = ω → ∞ thì

Sau cùng, chúng tôi chứng minh tính giải tích của hàm ảnh bằng định lý Weierstrass,

( )t ( ')t pt

o 2

+ Tồn tại trong miền −∞ ≤ ω <1 Re(p)= ω < ω ≤ +∞ 2

+ Giải tích trong miền với −∞ ≤ ω <1 Re(p)= ω < ω ≤ +∞2

Miền hội tụ này là có dạng một dải bao bởi 2 đường thẳng song song với trục

ảo trong mặt phẳng phức là Re(p) = ω1 và Re(p) = ω2

F(p) f (t)e dt f (t)e dt f (t)e dt f ( t)e d( t) f (t)e dt

f ( t)e dt f (t)e dt f ( t)e dt f (t)e dt

Tính chất sau chứng minh tương tự phép biến đổi Laplace 1 chiều ■

Phép biến đổi Laplace 1 phía là trường hợp riêng của phép biến đổi Laplace 2 phía, thật vậy

pt pt

0 0

1.4 Các tính chất của phép biến đổi Laplace

1.4.1 Tính tuyến tính

Cho f(t) và g(t) là 2 hàm gốc và ảnh tương ứng của chúng là L{f(t)} = F(p) với

ω1 < Re(p) < ω2 và L{g(t)} = G(p) với ω’1 < Re(p) < ω’2; a và b là 2 số phức bất kì, khi đó

L{af (t) bg(t)} a.L{f (t)} b.L{g(t)}+ = + , với max(ω1;ω’1) < Re(p) < min(ω2;ω’2) là miền hội tụ

 

α  α Trường hợp α < 0 chứng minh tương tự (do cận bị đảo nên xuất hiện dấu “-”)

Miền hội tụ được nhân thêm α là do phép đổi biến u = αt ■

Ví d ụ: L{H(t)} 1= với miền hội tụ là 0 < Re(p) < +∞

L{ H( t)} 1− − = với miền hội tụ là -∞ < Re(p) < 0

1.4.3 Tính chất dịch chuyển ảnh

Cho α ∈ , L{f(t)} = F(p) với ωC 1 < Re(p) < ω2

thì L{e f (t)}αt =F(p− α ) với ω −1 Re( )α <Re(p)< ω −2 Re( )α

với miền hội tụ không đổi ω1 < Re(p) < ω2.■

Ví dụ: Nếu L{H(t).f(t)} = F(p) với ω1 < Re(p) < ω2 thì:

- Với a > 0, L{H(t).f(t + a)} = epaF(p) với ω1 < Re(p) < ω2

- Với a < 0, L{H(t + a).f(t + a)} = epaF(p) với ω1 < Re(p) < ω2

1.4.5 Ảnh của một hàm tuần hoàn

Nếu f(t) là một hàm gốc có chu kì T tức là f(t) = f(t + T) thì

T pT pT

e f (t)dtL{f (t)} F(p)

pT

e f (t)dtL{f (t)H(t)} F(p)

■ Chứng minh:

T

TF(p) f (t)e dt f (t)e dt f (t)e dt

pt pT

pT

f (t)e dtF(p) f (t)e dt e F(p) F(p)

pT

e f (t)dtL{f (t)H(t)} F(p)

■ Chứng minh:

Theo công thức định nghĩa (1.1) pt

0L{f '(t)H(0)} f '(t)e dt

L{f '(t)H(t)} f '(t)e dt f (t)e p f (t)e dt

hay

k n 1 (n ) n n k 1 (k )

lim L{f (t)H(t)} 0

→∞

→∞

= (định lý về sự tồn tại của ảnh – xem tiểu mục (1.2.2)), ta có

plim L{f '(t)H(t)} plim pF(p) 0 plim pF(p) plim pF(p) 0

k 0 t 0

k n 1 (n ) n n k 1 (k )

k 0 t 0pt

(t)} p f (t t ) ,L{f (t)H(t t )} p e L{f (t t )H(t)} e p f (t)

1.4.8 Đạo hàm ảnh (Luật nhân với tn

c Ảnh của tích chập qua phép biến đổi Laplace

Nếu L{f(t)} = F(p) trên ω1 < Re(p) < ω2 và L{g(t)} = G(p) trên

e Công thức Duhamel cho phép biến đổi Laplace 1 phía

1 2 n 1 2 n

L {F (p)F (p) F (p)} dx dx dx f (t x x x )f (x )f (x ) f (x )max( , , , ) Re(p) min( , , , )

1 2 n 1 2 n

L {F (p)F (p) F (p)} dx dx dx H(t x x x x )f (x )f (x ) f (x )max(0, , , , ) Re(p) min( , , , )

t 1

p 0 p 0

0

ulim pF(p) lim f e du lim f (t),

puhay lim pF(p) lim f e du lim f (t),

Nếu F(p) là một hàm phức thỏa mãn các tính chất sau:

- Giải tích trong miền ω <1 Re(p)< ω 2

- F(p) → 0 khi p → ∞ trong miềnω <1 Re(p)< ω 2

− ∞∫ hội tụ tuyệt đối với a là một số thực thuộc miền

1.5.2 Ảnh của tích hai gốc

Do tính tương ứng của tích chập, dễ dàng chứng minh rằng:

Nếu L{f(t)} = F(p) trên ω’1 < Re(p) < ω1; L{g(t)} = G(p) trên ω’2 < Re(p) < ω2 thì

1.6 Phép biến đổi Laplace 2 phía n-chiều

Để tăng tính tổng quát, ta khảo sát phép biến đổi Laplace n-chiều 2 phía mà một trường hợp riêng của nó là phép biến đổi Laplace 4-chiều 2 phía

từ một ảnh, cũng làm tương tự nhờ phép biến đổi Laplace ngược

Tuy nhiên, từ một hàm ảnh có thể cho nhiều gốc khác nhau tùy vào miền hội

tụ được xét Việc xác định các miền hội tụ này cũng như tìm các gốc tương ứng của ảnh trong trường hợp nhiều biến khá phức tạp [1], [6]

1.6.3 Các tính chất cơ bản của phép biến đổi Laplace 2 phía n-chiều

Có các tính chất tương tự phép biến đổi Laplace 2 phía 1 chiều Chúng tôi chú trọng các tính chất sau:

p x p x 2

x o x y 1 y 2

p x p x 2

=

=

− +∞ +∞ +∞ +∞ − +∞ +∞ +∞ +∞

n i

i 1 k

m

m m

k m

k [1;n ] k

f (r)L{f (r)}dp L

f Định lý giá trị - đầu cuối suy rộng cho phép biến đổi Laplace 1 phía n-chiều

1.7.2 Dạng chính tắc của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2

Sau đây, ta xét các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 theo 2 biến x,

A, A 0A

Như vậy, bằng một phép đổi biến tuyến tính, ta đưa phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 về dạng mất toàn bộ các đạo hàm hỗn hợp gọi là dạng chính tắc 11 22 22 22 x y

a a (u , u , u) 0

∂ ∂ Lưu ý rằng phép đổi biến trên không phải

là duy nhất để đưa phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 về dạng chính tắc [5]

Tương tự, trong trường hợp 4 biến, ta có thể đổi biến kiểu Lagrange

1 1 1

2 2 3

u(q , ) f (u, u , u )

α β γ τ τ

1.7.3 Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2

Người ta đề xuất cách phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 dựa trên dạng toàn phương tương ứng

Cho phương trình đạo hàm riêng cấp 2 có dạng

n 1,1 n 1,2 n 1,n 1 n 1,n n,1 n,2 n,n 1 nn

i 1 i

u

f (u, u )x

- Nếu tất cả các trị riêng xác định dương hoặc âm, trừ duy nhất một trị riêng

bằng 0 thì ta nói phương trình thuộc loại parabolic n 1 22 xi

i 1 i

u

f (u, u )x

- Nếu có nhiều hơn một trị riêng dương và nhiều hơn một trị riêng âm, không

có trị riêng bằng 0 thì phương trình thuộc loại ultrahyperbolic

Chương 2 Áp dụng phép biến đổi Laplace giải một lớp các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính

cấp 2 hệ số hằng

2.1 Áp dụng phép biến đổi Laplace giải các phương trình đạo hàm riêng cấp 2 không điều kiện đầu và điều kiện biên

2.1.1 Phương pháp giải chung

Cho phương trình đạo hàm riêng cấp 2 hệ số hằng