tích phân trên đa tạp và ứng dụng

Nội dung của luận văn được cấu tạo thành ba chương: Chương 1: Một số vấn đề về đa tạp khả vi.. Trong chương này chúng tôi nêu một số vấn đề cần thiết để sử dụng trong luận văn như: Đa tạ

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM

KHOA TOÁN - TIN

L ỜI NÓI ĐẦU

Tích phân trên đa tạp, định lý Stocke liên quan đến rất nhiều vấn đề quan trọng của hình học vi phân Mục đích của luận văn này cũng nhằm trình bày vấn đề trên và nghiên cứu một số ứng dụng của nó Nội dung của luận văn được cấu tạo thành ba chương:

Chương 1: Một số vấn đề về đa tạp khả vi

Đây là chương được xem như phần cơ sở Trong chương này chúng tôi nêu

một số vấn đề cần thiết để sử dụng trong luận văn như: Đa tạp khả vi, không gian

tiếp xúc, trường vectơ trên đa tạp,…Các định lý ở chương này chủ yếu lấy ví dụ minh họa mà không chứng minh

Chương 2: Dạng vi phân

Chúng tôi trình bày những vấn đề cần thiết về dạng vi phân Việc xây dựng định nghĩa tích phân của một dạng vi phân trên đa tạp, chứng minh định lý Stocke được trình bày một cách cẩn thận, chi tiết

Chương 3: Một số ứng dụng của tích phân trên đa tạp

Chúng tôi trình bày một số kết quả về ứng dụng của tích phân trên đa tạp, định

lý Stock để tính thể tích của các đa tạp con trong n

 và một số ứng dụng khác Đây

là chương quan trọng nhất của luận văn nên các vấn đề trong chương này được chúng tôi cố gắng trình bày cụ thể và chứng minh chặt chẽ

Trong quá trình nghiên cứu, tuy đã rất cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi

những sai sót Em rất mong nhận được và xin chân thành cảm ơn những ý kiến đóng góp quý báu của quý Thầy – Cô để luận văn được hoàn chỉnh hơn

Em xin chân thành cảm ơn các Thầy – Cô trường ĐHSP TPHCM đã tận tình

giảng dạy chúng em trong suốt quá trình học Đại học

Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Th.S Nguyễn Duy Thanh

Thầy đã dành nhiều thời gian và công sức nhiệt tình hướng dẫn để giúp em hoàn thành luận văn này

TP HCM, ngày 02 tháng 05 năm 2012

Lê Thị Thùy Linh

M ỤC LỤC

Trang TRANG PH Ụ BÌA

L ỜI NÓI ĐẦU

M ỤC LỤC 1

Chương 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA TẠP KHẢ VI 6

I Đa tạp khả vi 6

1 Đa tạp khả vi 6

2 Ví dụ: 7

3 Tích của hai đa tạp khả vi 9

4 Đa tạp con 10

II Ánh x ạ khả vi 11

1 Định nghĩa: 11

2 Ví dụ: 11

III Không gian ti ếp xúc 12

1 Định nghĩa: 12

2 Vi phân của một hàm số khả vi 14

IV Trường vectơ 15

1 Định nghĩa: 15

2 Định nghĩa: 15

V Ánh x ạ tuyến tính tiếp xúc 16

1 Định nghĩa: 16

2 Nhận xét: 16

3 Ví dụ: 17

VI Phân ho ạch đơn vị 18

1 Định nghĩa: 18

2 Đa tạp paracompact 18

3 Định lý về phân hoạch đơn vị 18

Chương 2 DẠNG VI PHÂN 20

I D ạng vi phân 20

1 Hàm đa tuyến tính 20

2 Dạng đa tuyến tính thay dấu 20

3 Dạng vi phân trên đa tạp 23

4 Ánh xạ đối tiếp xúc 28

II Tích phân trên đa tạp 31

1 Đa tạp định hướng 31

2 Đa tạp với bờ, định hướng của bờ 35

3 Tích phân trên đa tạp 39

Chương 3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRÊN ĐA TẠP 47

A TH Ể TÍCH CỦA CÁC ĐA TẠP CON TRONG n 47

I D ạng thể tích chính tắc trên một đa tạp định hướng trong n  47

1 Dạng thể tích chính tắc trong không gian vectơ Euclide đã định hướng 47

2 Định nghĩa: 48

3 Định lý: 48

4 Ví dụ: 49

5 Liên hệ giữa dạng thể tích chính tắc với trường pháp vectơ đơn vị của đa tạp n-1 chiều trong n  (siêu mặt trong n  ) 50

II Th ể tích của một đa tạp con đã định hướng trong n  52

1 Định nghĩa: 52

2 Thể tích của quả cầu và mặt cầu 53

3 Định lý (thể tích của đa tạp tích): 58

4 Diện tích mặt tròn xoay 59

5 Bất đẳng thức đẳng chu 61

6 Định lý: 64

7 Bài toán “Nghịch lý sơn”: 65

B M ỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC CỦA ĐỊNH LÝ STOCKE 67

1 Định lý: 67

2 Hệ quả: 68

3 Định lý: 68

4 Hệ quả (định lý điểm bất động của Brouwer): 69

5 Định lý: 70

6 Định lý: 70

B ẢNG KÝ HIỆU VÀ THUẬT NGỮ TOÁN HỌC 72

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 73

Cho M là không gian tôpô Hausdorff, n là số nguyên không âm Một

atlas A (lớp C k, k >0) n chi ều trên M là họ những (Uα, )α , Uα là một tập mở trong

M, α là một đồng phôi từ Uα lên α(Uα)- mở trong n

• Một atlas bất kỳ, lớp k

C , bao giờ cũng mở rộng một cách duy nhất thành một atlas tối đại như trên Do đó, để cho một cấu trúc đa tạp khả vi ta chỉ cần cho

một atlas khả vi lớp k

C là đủ

• Không gian tôpô Hausdorff M cùng với một cấu trúc đa tạp khả vi (lớp k

C ) n

chiều trên M gọi là đa tạp khả vi lớp k

Một đa tạp khả vi lớp C k, ∀ ∈ k thì M được gọi là đa tạp nhẵn (lớp C∞)

Với (Uα, )α ;(Uβ, )β là hai bản đồ địa phương của M mà Uα ∩Uβ ≠ ∅thì:

được gọi là phép đổi tọa độ địa phương từ bản đồ (Uα, )α sang bản đồ (Uβ, )β

Hiển nhiên ta cũng có phép đổi tọa độ địa phương từ bản đồ (Uβ, )β sang bản

x x

n n

U

y y

Giả sử K là một đa tạp 2 chiều khi đó có một mở U chứa đỉnh I và α:U →V

là một đồng phôi từ U lên một mở V của 2

4 Đa tạp con

Cho X là m ột đa tạp khả vi n chiều và Y ⊂ X Y( ≠ ∅). Ta nói Y là một

đa tạp con m chiều của X nếu ∀ ∈y Y tồn tại bản đồ ( , )U ϕ của X tại y (y∈U) sao cho:

C , Y là m ột đa tạp con của X Khi đó họ

{(U∩Y),ϕU∩Y}, trong đó ( , )U ϕ là các bản đồ như trong định nghĩa trên là một atlas lớp k

 , khi đó các điều kiện sau tương đương:

i) Y là m ột đa tạp con m chiều lớp k

C của n

 ii) ∀ ∈y Y , tồn tại U mở của n

C nếu f liên tục và với mọi bản đồ địa

phương (Uα, )α của M và (Vβ, )β của N mà 1

f M →N Nếu tồn tại các tập mở U, V lần lượt trong  n, m mà M ⊂U, N ⊂ V

và có ánh xạ khả vi :F U → sao cho V F = f thì f là ánh xạ khả vi

được xác định bởi v nhờ ϕ hoặc w nhờ ψ Điều này gợi mở một hướng

định nghĩa vectơ tiếp xúc tại một điểm trên một đa tạp trừu tượng

β α − α  → là đẳng cấu tuyến tính và là đạo hàm của ánh xạ

nhẵn 1

: (Uα Uβ) (Uα Uβ)

β α α − ∩ →β ∩ tại điểm (α( )p )

• Quan hệ R là quan hệ tương đương

• Lớp tương đương chứa (p u, ,α ký hiệu là ) (p u, ,α )

• Mỗi lớp tương đương nói trên gọi là vectơ tiếp xúc của đa tạp M

• Với (Uα, )α là một bản đồ địa phương của M, p U∈ α, lớp tương đương

(p u, ,α gọi là một vectơ tiếp xúc của đa tạp M tại p )

• Tập các vectơ tiếp xúc tại p của đa tạp M ký hiệu là T M p

Trên T M p ta xác định hai phép toán cộng và nhân như sau:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { }

T M với hai phép toán trên trở thành một không gian vectơ trên  và được

gọi là không gian vectơ tiếp xúc của M tại p

Với (Uα, )α là một bản đồ địa phương của M ta ký hiệu hình thức:

1 2( )x ( ,x x ,x n)

α =

Ta ký hiệu vectơ (p e, ,i α là ) ( ) 1, ,

i

p i n x

∂ =

∂Trong đó p U∈ α và e i =(0, 0, ,1, , 0, 0) (thành phần thứ i bằng 1)

df p v v f f t

dt ρ

2.2 Ví d ụ:

Xét bản đồ(Uα, )α của M, với ký hiệu α( )x =( ,x x1 2 ,x n), p U∈ α

Trong đó, x U i: α → (i=1, 2, , )n là các hàm số được xác định bởi:

1 2

( )( , , )

i p

( ) ( )( ) ( ( )), ( , ) ,

n i

x x δ

 ∂  ∂= =

∂  ∂

IV Trường vectơ

n j

( )

j n

Trường vectơ X gọi là khả vi lớp k

C , nếu với mọi (Uα, )α là bản đồ địa

phương của M, ta ký hiệu hình thức α( )x =( ,x x1 2 ,x n), mà trên Uα:

Khi X i là nhẵn thì ta nói X là trường vectơ nhẵn trên M

Tương tự ta cũng có định nghĩa một trường vectơ lớp k

Với mọi (Uα, )α là bản đồ địa phương của M và p U∈ α

(Vβ, )β là bản đồ địa phương của N và q= f p( ) ∈Vβ

Ánh xạ khả vi ρ: J →M gọi là một đường cong khả vi trên M

Giả sử p=ρ( ), (t0 Uα1,α1 ) là một bản đồ địa phương của M và p∈Uα1 Ta định nghĩa vectơ ( ' )

'( )t p, ( ) ( ),t

ρ = α ρ α gọi là vectơ tiếp xúc của đường cong ρ tại p

Khi đó, có thể chứng minh được nếu p∈Uα1∩Uα2 ta có:

Thật vậy: ( 1 ' ' )

0( ) , ( ) ( ( ))( ) ( ),

t p t

'

2 2

VI Phân ho ạch đơn vị

Không gian tôpô M được gọi là compact địa phương nếu mỗi điểm của nó có

một lân cận mà bao đóng là compact

Không gian tôpô M được gọi là có cơ sở mở đếm được nếu có họ đếm được

tập mở U i mà mọi tập mở của M là hợp của những U i đó

Nếu f là hàm thực thì giá của f là tập {x f x( )≠0} Ký hiệu: supp( )f

Không gian tôpô Hausdorff M g ọi là paracompact nếu mọi phủ mở của M

đều tồn tại một phủ mở hữu hạn địa phương mịn hơn

Nếu M là đa tạp khả vi lớp k

C và tôpô của M là paracompact thì M là đa

tạp paracompact lớp k

C Người ta chứng minh được rằng, một đa tạp k

C với cơ sở mở đếm được thì bao giờ cũng là paracompact

iii) Họ {Suppϕi i I}∈ hữu hạn địa phương, tức là với mọi x M∈ có lân cận chỉ giao với một số hữu hạn tập Suppϕ i

V V V

Tập các ánh xạ đa tuyến tính thay dấu *

(Ωq(V )) là một không gian vectơ

2.3 Định lý:

Giả sử e e1, , ,2 e n là một cơ sở của V và 1 2

, , , n

e e e là một cơ sở của không gian liên hợp *

trong đó σ là phép thế bậc q sao cho σ( )j1 <σ( )j2 < < σ( )j q

Vì vậy, nếu q>n thì luôn có ω= Nếu 0 1 ≤ ≤q n thì ω hoàn toàn được xác định

bởi các giá trị của nó tại các điểm ( 1, 2, , )

1

q (*)

q q

C =ω e e e Vậy cách biểu diễn ấy là duy nhất

Định lý được chứng minh hoàn toàn

Suy ra điều phải chứng minh

M là đa tạp nhẵn n chiều, một dạng vi phân ω bậc q trên M là ánh xạ:

3.2 Định nghĩa:

Ta nói ω là dạng vi phân bậc q trên M thuộc lớp r

C nếu với mọi bản đồ

trên M (dϕ∈ Λ1(M)), vớidϕđược xác định như trong mục 2.1 (phần III, chương 1),

tức là xét trên bản đồ địa phương (Uα, )α của M, α( )x =( ,x x1 2, ,x n), x U∈ α, ta có:

Xét trên bản đồ địa phương (Uα, )α của M, α( )x =( ,x x1 2, ,x n), x U∈ α, trong

đó x U: α → , (i= 1, , )n Theo mục 2.2 (phần III, chương 1) thì dx là dạng vi

phân trên đa tạp cũng có các tính chất:

• Định lý: Cho M là đa tạp khả vi lớp nhẵn, có duy nhất một ánh xạ:

1 1

∀ ∈ , lấy (Uα, )α là bản đồ địa phương tại p, α( )x =( ,x x1 2, ,x n)

(Vβ, )β là bản đồ địa phương tại q= f p( ), β( )y =( ,y y1 2, ,y n)

( , , ) ( , , )

( ), , ( ) ( ), , ( )

M t ồn tại một dạng vi phân ω bậc n (nhẵn) sao cho x M∀ ∈ ta có ω( )x ≠0 Dạng vi phân ω như thế còn được gọi là một dạng thể tích (nhẵn) trên M

f x ≠ ∀ ∈x M Như vậy có thể khẳng định ω' = fω với f M: →  là hàm nhẵn

• Trong tập các dạng thể tích của M, ta định nghĩa quan hệ R Với ω ω, ' là các

dạng thể tích trên M, ta nói ω ωR ' nếu ω' = fω với f x( ) > ∀ ∈ 0 x M Có thể thấy

rằng R là một quan hệ tương đương

là việc chọn một lớp tương đương các dạng thể tích

Trường hợp M liên thông thì một hàm liên tục f M: →  mà f x( ) ≠ 0 thì ( ) 0

f x > ∀ ∈x M hoặc f x( ) < ∀ ∈ 0 x M Do đó, từ định nghĩa ta suy ra trên tập các

dạng thể tích của M chỉ có đúng 2 lớp tương đương, tức là trên M có đúng 2 phép

định hướng

• Giả sử M đã định hướng bởi lớp chứa dạng thể tích ω , ta nói rằng cơ sở

1 2

{ , , , }v v v n ∈T M x gọi là cơ sở thuận (dương) nếu ω( )( , , ,x v v1 2 v n)>0 Như vậy, khi

M đã định hướng thì hướng thuận trên không gian tiếp xúc T M x cũng được xác định

• Một hệ tọa độ địa phương ( , )U ϕ của M gọi là thuận nếu x M∀ ∈ ta có:

 Chiều thuận ( ⇒ ):

Giả sử đa tạp X định hướng được, ta chỉ cần xét trường hợp X liên thông

Cho ω là dạng thể tích của đa tạp Nếu ( , )U ϕ là một bản đồ với hệ tọa độ địa phương ( ,x x1 2, ,x n) thì dạng dx1∧dx2∧ ∧ dx n ≠0 trên U, nên

U ϕ ∈ ta có thể (nếu cần) sửa ϕ của một số i

bản đồ, để trong mỗi bản đồ (U i,ϕ ta đều có i) dx1∧dx2∧ ∧ dx n = f iω với f i >0 Khi đó, với mọi cặp bản đồ (U i,ϕi),(U j,ϕ mà hj) ệ tọa độ địa phương là ( ), ( )x i y i

Áp dụng công thức 3.4 (phần I, chương 2) ta có: ( 1)( )

det

i

i j j j

Giả sử chọn được một atlas { (U i,ϕ thi) } ỏa định lý

Ta đặt: ωi =dx1∧dx2∧ ∧ dx n Trong đó ( ,x x1 2, ,x n) là hệ tọa độ địa phương trong (U i,ϕ , cho i) { }θ i I∈ là một phân hoạch đơn vị lớp C∞ của ( )U i và

Lưu ý:

• Khi M là đa tạp con (nhẵn) n chiều của k

 thì người ta chứng minh được

rằng: ∀ ∈p M , tồn tại mở U ⊂k, p U∈ và tập mở Ω ⊂n,Ω chứa 0 n và có ánh

xạ nhẵn: ϕ:Ω → k sao cho:

i) ϕ(0) = p,ϕ là một đồng phôi từ Ω lên mở U M∩ của M

ii) ∀ ( )x ∈Ω ,ϕ'( )x là đơn cấu, ϕ'( ) :x n →k là ánh xạ tuyến tính

Ánh xạ ϕ như thế gọi là tham số hóa địa phương của M Người ta chứng minh được

không gian vectơ ( '(0)(ϕ n)) không phụ thuộc vào tham số hóa ϕ và ϕ'(0)(n) đặt

tại p chính là không gian tiếp xúc Như thế T M p là không gian vectơ con của k

( 1)

n i

Khi đó, nếu X là trường vectơ nhẵn trên Ω thì: µ là n dạng nhẵn trên Ω

Nếu ∀ ∈p M X p, ( ) ≠ 0 và X p( ) ⊥T M p thì với v v1 , 2 , ,v n∈T M p sao cho:

n i i

Trong đó, dx i là các dạng vi phân chính tắc trên n+ 1, dx e i( )j =δij

F Ω →  khả vi nhẵn sao cho F Ω = f

Khi đó ta nói các cặp (M, S ) là một đa tạp nhẵn n chiều với bờ

Để đơn giản ta chỉ nói M là đa tạp nhẵn và hiểu ngầm họ Snhư trên

Họ S thỏa i), ii), iii) được gọi là một atlas của M và (U i,ϕ gọi là một hệ tọa độ địa i)

phương của M

Cho M là đa tạp với bờ, x0 là một điểm của M, ta nói:

• x0 là điểm trong của M nếu tồn tại hệ tọa độ địa phương (U i,ϕi)∈S ,

x ∈U

sao cho ϕ(U ) là mở trong n



• x0 là điểm biên của M nếu tồn tại hệ tọa độ địa phương (U i,ϕi)∈S ,

x ∈U , sao cho ϕi(U i) là mở trong n

 Ta có thể chứng minh được rằng: một điểm trong của M thì không thể là

điểm biên và ngược lại

Thật vậy: Nếu x0 vừa là điểm trong, vừa là điểm biên của M thì có mở U chứa x0

sao cho ( , )U ϕ và ( , )U ψ là các hệ tọa độ địa phương của M mà ϕ( )U mở trong n

 Ký hiệu: M ∂ là tập các điểm biên của M, nếu M ∂ ≠ ∅ thì ta nói M là đa tạp

có bờ, còn nếu M ∂ = ∅ thì ta nói M là đa tạp không bờ và đó là những đa tạp đã nói

trong định nghĩa trước đây

Như vậy có thể khẳng định rằng nếu M∂ ≠ ∅ thì mọi bản đồ ( , )U ϕ của M mà

Tương tự như với đa tạp không bờ, ta cũng xây dựng các định nghĩa không

định một cấu trúc đa tạp khả vi nhẵn trên M ∂ Vì thế M ∂ là một đa tạp (n – 1)

chiều không bờ

Nếu M định hướng được và giả sử:

' 1

( ) ( )

2 '

Ngoài ra hàm g t:  f t x1( , 2, )x n , với t∈ − ( a; 0] ⊂ −∞ ( ; 0] với a> Và ta dễ 0

thấy g khả vi Ta có g t( ) < 0 với t< và 0 g(0) = 0 Suy ra 1

2 1

(0, , )n 0

f

x x x

(0, , )n 0

f

x x x

∂ >

∂ nên ta suy ra

1det ψ ψi j− ψj( )x >0

Như vậy M ∂ là một đa tạp (n – 1) chiều không bờ định hướng được

• M là đa tạp nhẵn n chiều, định hướng được với bờ ( ∂ ≠ ∅M ) như trên đã

chứng minh rằng M ∂ là đa tạp (n – 1) chiều không bờ định hướng được Giả sử M được định hướng bởi lớp chứa dạng thể tích ω (về sau ta nói đơn giản là M được

định hướng bởi dạng thể tích ω ) Lấy một atlas {(U i,ϕi)}i I∈ của M sao cho với

ω ∩∂ = ∧ ∧ với g x( ) > 0 Hướng của M∂ được xác định như thế gọi là

hướng cảm sinh từ hướng của đa tạp M

3 Tích phân trên đa tạp

 , ω là dạng vi phân bậc n có giá compact trên

U Khi đó, trên U ta có ω= fdx1∧dx2∧ ∧ dx n và f x( ) = 0, ∀ ∉x supp ( )ω Ta giả thiết ω là dạng vi phân thuộc lớp r

C thì khi đó f ∈C U r( ) và f có giá compact

λ ω là dạng vi phân có giá compact trong U

Khi đó, ta có thể chứng minh được:

Nếu λ vi phôi đảo hướng (tức '

( ( ))( )

k n

k

x e x

k n

k k

1 1

β ∈ là một atlas khác và phù hợp với định hướng của M, {ψβ β} ∈J

là một phân hoạch đơn vị ứng với phủ {(Vβ, )}

β

β ∈ Khi đó ta có: