ứng dụng định lý krasnoselskii trong phương trình vi phân và tích phân

7 2.2 Định lý điểm bất động trong không gian lồi địa phương FRÉCHET .... 39 CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KIỂU KRASNOSELSKII TRONG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN... LỜI MỞ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

-

Võ Th ị Duy Diệp

ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ KRASNOSELSKII TRONG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

-

Võ Th ị Duy Diệp

ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ KRASNOSELSKII TRONG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS.LÊ HOÀN HÓA

Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Một vài kết quả về điểm bất động trong không gian Banach 3

1.2 Không gian lồi địa phương 4

1.3 Không gian lồi địa phương Fréchet 5

1.4 Không gian Banach sinh bởi nón 6

CHƯƠNG 2: ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KIỂU KRASNOSELSKII 7

2.1 Định lý điểm bất động trong không gian lồi địa phương 7

2.2 Định lý điểm bất động trong không gian lồi địa phương FRÉCHET 21

2.3 Định lý điểm bất động của ánh xạ nén và giãn 39

CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KIỂU KRASNOSELSKII TRONG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN 50

3.1 Ứng dụng vào phương trình vi phân 50

3.2 Ứng dụng vào phương trình tích phân 60

KẾT LUẬN 74

TÀI LIỆU THAM KHẢO 75

LỜI MỞ ĐẦU

Lý thuyết điểm bất động đã xuất hiện từ đầu thế kỷ 20 và gắn liền với tên tuổi nhiều nhà Toán học lớn như Brouwer, Banach, Schauder, Kakutami, Tikhonow, Browder, Ky Fan…

Trong đó, định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii đã được nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu và phát triển hơn 50 năm qua Định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii có ứng dụng rộng rãi trong không gian Banach, trong không gian Fréchet, trong không gian lồi địa phương….Trong lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự thì định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii của ánh xạ nén và giãn một mặt nón có vai trò rất quan trọng tương tự như các định lý Banach về ánh

xạ co hay định lý Schauder trong lý thuyết điểm bất động Định lý này là một trong những công cụ chủ yếu để chứng minh sự tồn tại nghiệm dương của nhiều lớp phương trình vi phân và tích phân

Luận văn trình bày ứng dụng của định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii trong phương trình vi phân và tích phân Nội dung luận văn gồm 3 chương

CHƯƠNG 1: Kiến thức chuẩn bị

CHƯƠNG 2: Định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii

CHƯƠNG 3: Ứng dụng của định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii trong phương trình vi phân và tích phân.Trong chương này luận văn trình bày sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân và tích phân sau:

Bài toán giá trị hai điểm biên:

bè đã hỗ trợ, động viên em trong thời gian qua

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Một vài kết quả về điểm bất động trong không gian Banach

Định nghĩa 1.1

Cho (X,d) là không gian mêtric và T X: →X

 T là ánh xạ co nếu với x≠ y d Tx Ty, ( , )<kd x y( ), với k< 1

 T thỏa điều kiện Lipschitz hay T là ánh xạ Lipschitz nếu tồn tại hằng số k ≥ 0

sao cho ∀x y, ∈X, d Tx Ty( , )≤kd x y( ),

 Số k(T) bé nhất thỏa mãn bất đẳng thức này được gọi là hệ số Lipschitz của T

và nếu k(T) < 1 thì T là ánh xạ k-co

 Điểm x0∈ X là điểm bất động của T nếu Tx0 = x0

 Nếu T là ánh xạ co thì T liên tục đều và điểm bất động của T nếu có là duy nhất

N guyên lý ánh xạ co Banach

Cho (X,d) là không gian mêtric đầy đủ và T X: →X là ánh xạ k-co Khi đó T có

điểm bất động duy nhất, ghi là x0và lim n 0 ,

Cho ( )X, là không gian Banach , T X: →X là ánh xạ Lipschitz

Với y∈X đặt T y:X →X định bởi T x y( ) =Tx+y Giả sử k∞( )T y < 1với mọi y∈X

Khi đó (I-T) là song ánh và ánh xạ ngược (I-T) -1liên tục (I là ánh xạ đồng nhất)

1.2 Không gian lồi địa phương

Mệnh đề 1.1

Giả sử X là không gian vectơ tôpô trên trường K Nếu U là một cơ sở lân cận của

0 ∈X thì:

a) Với mọi U∈U là tập hấp thụ , tức là ∀ ∈x X, ∃ >ε 0 :λx U∈ , ∀λ ε<

b) Với mọi U∈U tồn tại V∈U để V + ⊂V U

c) Với mọi U∈U tồn tại lân cận W của Xsao cho W∈U và λW ⊂W, ∀λ ≤1

d) Lân cận W thỏa mãn λW ⊂W, ∀λ ≤1 gọi là lân cận cân

Định nghĩa 1.2

Không gian vectơ tôpô gọi là không gian lồi địa phương nếu mọi phần tử của X có

cơ sở lân cận thành lập từ các tập lồi

a) Với mọi tập lồi cân, hấp thụ trong A dạng p A( )x inf λ 0 :x A

λ

=  > ∈ 

chuẩn p trên X thỏa mãn {p A( )x < ⊂ ⊆ 1} A {p A( )x ≤ 1}

Nửa chuẩn p A xác định như trên với tập lồi, cân, hấp thụ A gọi là hàm cỡ hay phiếm hàm Minskowski kết hợp với A

b) Với mọi nửa chuẩn p trên X , các tập dạng {p x( )<r}và{p x( )≤r} là lồi, cân, hấp thụ Hơn nữa p x( )= p U1( )x ∀ ∈x X U, 1={p x( )≤1}

1.3 Không gian lồi địa phương Fréchet

Không gian lồi địa phương Fréchet là không gian lồi địa phương X với tôpô được sinh ra bởi một mêtric d bất biến qua một phép tịnh tiến và (X,d) đầy đủ Một cách

thuận lợi để xây dựng không gian là dựa trên khái niệm nửa chuẩn Mỗi một không gian vectơ X với một họ đếm được nửa chuẩn (X, n) có tính chất

2 1

n n

Ánh xạ Lipschitz trên không gian Fréchet

Cho (X, n)là không gian Fréchet và T X: →X

 T là ánh xạ Lipschitz nếu với mỗi *

n∈  tồn tại k n ≥0 sao cho ∀x y, ∈X, Tx Ty− n ≤k x n −y n

∀ ∈  thì T được gọi là ánh xạ k n- co

 Nếu S, T X: →X là ánh xạ Lipschitz thì k T S n( )≤k T n( ) ( ).k n S và đặc biệt là

,

m m

k T ≤k T  ∀m n∈

Sự hội tụ trong không gian Fréchet:

 Dãy { }x m m trong X hội tụ về x nếu và chỉ nếu: *

2 Nếu K là nón thì thứ tự trong X sinh bởi K được định bởi: x≤ ⇔ − ∈y y x K

Mỗi x∈K\ 0{ }được gọi là dương

CHƯƠNG 2: ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KIỂU

KRASNOSELSKII

2.1 Định lý điểm bất động trong không gian lồi địa phương

Giới thiệu

Cho X là không gian Banach và K là tập con lồi đóng bị chặn của X Cho U là ánh

xạ co trên K ( nghĩa là U x( )−U y( ) ≤k x−y , 0 ≤ <k 1) và C là toán tử compact

trên K sao cho U x( )+C y( )∈K với mọi x y, ∈K Khi đó một định lý nổi tiếng của

Krasnoselskii phát biểu rằng ánh xạ U+C có điểm bất động trong K

Ta thiết lập một vài định lý điểm bất động cho những toán tử dạng U+C trên một tập con lồi đóng bị chặn của không gian lồi địa phương, trong đó C là toán tử compact và U thỏa mãn điều kiện (A) được xác định như sau:

ĐIỀU KIỆN (A)

Cho X là không gian vectơ tôpô lồi địa phương và P là một họ nửa chuẩn tách trên

X , D là một tập con của X và U D : → X Với bất kì a ∈ X , ta định nghĩa:

Nhận xét 2.1

Chú ý rằng nếu U là φ- co (nghĩa là p U x( ( )−U y( ) )≤φ(p x( −y) ), ∀x y, ∈D), trong

đó φ là hàm liên tục nhận giá trị trên tập số thực dương sao cho 0<φ( )r <r với r > 0

hoặc U là (ε δ− )co ( nghĩa là ∀ >ε 0, ∃ >δ 0 :ε ≤ p x( −y)< + ⇒ε δ p U x( ( ) ( )−U y )<ε) khi đó U thỏa mãn điều kiện (A) trên X với k a =0 và r = 1

Trong trường hợp X là không gian Banach, ta sẽ xét toán tử hầu như bị chặn theo

Ta nhắc lại: Toán tử C được gọi là tuyến tính tiệm cận nếu có một toán tử tuyến tính

x

C x B x x

Định lý 2.1

Cho X là không gian lồi địa phương với họ nửa chuẩn tách P, D là một tập con đầy đủ theo dãy của X , U là toán tử liên tục đều trên D( nghĩa là với p ∈ P và

0

ε > , tồn tại δ >0 sao cho p x ( − y ) < ⇒ δ p U x ( ( ) − U y ( )) < ε )

Giả sử U thỏa mãn điều kiện (A) trên tập con Ω của X Khi đó toán tử ( ) 1

I − U −

được định nghĩa tốt và liên tục trên Ω

theo dãy và U liên tục nên suy ra dãy { n( ) }

của U a gọi là φ ( ) a , nghĩa là :

I − U − được định nghĩa tốt trên Ω

p U ( a( ) x − U xb( ) ) = p a ( − b ) < δr−1, ∀ ∈x D

1 (

I − U − liên tục đều trên Ω Đặc biệt, nếu U là (ε δ− )co thỏa mãn (A.1)

I − U − liên tục đều trên Ω

Định lý 2.2

Cho X là một không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy với một họ nửa chuẩn tách

P D là tập con lồi đóng bị chặn của X, C D: →X hoàn toàn liên tục và

Vì D đóng và từ (7) suy ra U D( )+C D( )⊂D Vì vậy U thỏa mãn điều kiện (A.1)

trên C D( ) và do đó thỏa mãn điều kiện (A) trên C D( ) Khi đó theo định lý 2.1,

( ) 1

I − U − liên tục trên C D( ) Vì C hoàn toàn liên tục và D bị chặn, tập

( )

Vì U D: →X là (ε δ− )co, khi đó từ (8) suy ra U thỏa mãn điều kiện (A) trên C D( )

với r = 1 và k = 0 Do đó theo định lý 2.2, U+C có điểm bất động trong D

Định lý 2.3

Cho X là một không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy với một họ nửa chuẩn tách P và giả sử Uvà C là toán tử trên X sao cho:

i) U thỏa mãn điều kiện (A) trên X

ii) Với bất kì p ∈ P, ∃ >k 0 ( phụ thuộc p) sao cho:

p U x ( ( ) − U y ( ) ) ≤ kp x ( − y ) ∀ x y , ∈ X

iii) Tồn tại x o∈X với tính chất: ∀ ∈ ∃ ∈ p P r , N và λ ∈ [ 0,1 )

Chứng minh

Vì U thỏa mãn điều kiện (A), nên ( I − U ) là một phép đồng phôi trên X do đó chỉ

còn phải chỉ ra rằng tồn tại một tập con lồi đóng bị chặn D của X sao cho với bất

kì x thuộc D, điểm bất động duy nhất của UC x( )thuộc về D Giả sử z o là điểm

r i i

Với mỗi x ∈ D và p ∈ P, ta xét hai trường hợp :

điểm bất động trong D, chính xác đó là điểm bất động của U + C trong D

của Schauder bởi F.E Browder phát biểu rằng: nếu C hoàn toàn liên tục trên X sao

cho với k nào đó k( )

C X bị chặn thì khi đó C có điểm bất động Ta xét toán tử dạng

U+C trong đó U thỏa mãn điều kiện (A) trên X và C là toán tử hoàn toàn liên tục,

tuyến tính tiệm cận sao cho với k nào đó thì k( )

I−U − Cp X bị chặn (vì Cp k( )X compact tương đối)

Do đó theo định lý của Browder nó có điểm bất động x k, nghĩa là

Mà Cp k( )x k =x k −Ux k nên U x( )k +C x( )k =x k, điều này kết thúc chứng minh

Bây giờ ta giả sử rằng x k >k, ∀ ∈ k Vì x k >k, (10) trở thành

Vì C hầu như bị chặn và lim k

Thật vậy (12) đúng với m = 1 Giả sử nó đúng với m, khi đó sử dụng tính tuyến tính

của B, ta thấy rằng (12) đúng với m+1 Vì:

Giả sử r2 >r1 sao cho Y B( ' 0,( )r1 )⊂B' 0,( ar2) và C B( ' 0,( )r1 )⊂B' 0,( ar2), trong đó

i p

→∞ = , và B là toán tử tuyến tính bị chặn, nên từ (14) suy ra 0 < ≤λ 1

Do tính hoàn toàn liên tục của C, B là toán tử hoàn toàn liên tục trên X và vì tập

B x =λ− x

Tương tự do tính tuyến tính của B, ta nhận được p( ) p

B x =λ− x với 0 < ≤λ 1 và x =1 Điều này suy ra rằng vớiy=rx, y = ≥r r2, B p( )y =λ−p r với 0 < ≤λ 1, mâu thuẫn với bổ đề 2.1

Nhận xét 2.4

Trường hợp b) của định lý 2.4 có thể được so sánh với định lý 2.2 ở chỗ U là φ-co,

C là toán tử hoàn toàn liên tục với cả U và C đều xác định trên tập con G mở, lồi, không bị chặn của X, thỏa mãn i),iii) của b) và sao cho T = U+C, T G: →G

2.2 Định lý điểm bất động trong không gian lồi địa phương FRÉCHET

Định lý 2.5

Cho (X, n)là không gian Fréchet và T X: →X là ánh xạ k n-co Khi đó T có duy

nhất điểm bất động, ghi là x0và lim m 0 ,

Vậy n và nlà hai nửa chuẩn tương đương Do *

n∈  là bất kỳ nên họ nửa chuẩn

.n tương đương với họ nửa chuẩn n Hơn nữa với mọi x y, ∈X ta có:

I−T − liên tục

Tx Tx

Vậy tồn tại δ =i,i 0,1, ,p−1sao cho 1

2

i i

δ

δ+ < và '

1

i n

x−x <δ+ thì '

2

i n

Tx Tx− <δ

Ta sẽ chứng minh:

Với '

1, 'n p

X là không gian Fréchet, M là không gian con đóng của X nên M cũng là không

gian đầy đủ

Với y∈M ta định nghĩa: F y:M →M như sau: F y( )x =A x( )+C y( ) với x∈M

Với mọi x x, ' ∈Mta có: y( ) y( )' ( ) ( )'

n n

F x −F x = A x −A x

n∈  tồn tại k n ≥0sao cho

F x −F x = A x −A x ≤k x−x

Do đó F y là ánh xạ Lipschitz và ( ) *

k∞ F < ∀ ∈y X ∀ ∈ n , theo định lý 2.6 F y có điểm bất động duy nhất ϕ( )y ∈M

Hơn nữa theo định lý 2.7 thì(I−A)là song ánh và ( ) 1

I−A − C M là tập compact tương đối

Cho M là tập lồi, đóng, khác rỗng, bị chặn của không gian Fréchet (X, n)

A và C là hai ánh xạ từ X vào X thỏa:

Theo định ký 2.8 ta có điều phải chứng minh

Kết quả trên có rất nhiều thú vị, tuy nhiên theo T.A.Burton việc kiểm tra điều kiện iii) là khó khăn Chính vì vậy người ta đã thay điều kiện iii) bởi điều kiện iii’) như sau:

Chứng minh

Mọi không gian định chuẩn đều là không gian lồi địa phương nên X là không gian

lồi địa phương

Hoặc phương trình x=λHx có nghiệm với λ= 1

Hoặc tập {x∈X x: =λHx,λ∈( )0,1} không bị chặn Nghĩa là ta có:

Cho (X, n)là không gian Fréchet Giả sử các giả thiết sau đều được thỏa

i) A X: →X là ánh xạ co với họ nửa chuẩn n (họ nửa chuẩn n tương đương với

2 1

n n

n tương đương với họ nửa chuẩn

n nên k1n,k2n >0sao cho :

Do ( ) 1

I−A − liên tục và C là ánh xạ compact nên H là ánh xạ compact

Theo giả thiết tập {x∈X x: =λHx,λ∈( )0,1}bị chặn , do đó theo định lý Schaefer phương trình x=λHx có nghiệm với λ= 1

Cho (X, n)là không gian Fréchet A C X, : →X thỏa

i) A là ánh xạ k n-co đối với họ nửa chuẩn n tương đương với họ nửa chuẩn n

ii) C là ánh xạ hoàn toàn liên tục

n

C x

n x

Khi đó A+C có điểm bất động

Cả hai trường hợp đều cho ta ( )( )0

I−A − C D là tập compact tương đối

Nếu T là ánh xạ co phi tuyến thì T liên tục đều

Vì ϕn là hàm liên tục và ϕn( )r <r với r > 0 nên khi cho r→ 0ta cóϕn( )0 =0

Định lý 2.13

Cho (X, n)là không gian Fréchet T X: →X là ánh xạ co phi tuyến Khi đó T có

duy nhất điểm bất động, ghi là x0và lim m( ) 0 ,

Trong trường hợp này ta cũng có a m+1≤a m

Vậy ta luôn luôn có dãy { }a m mlà dãy giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên hội tụ

ϕ

ρ+

Chứng minh { }x m mlà dãy Cauchy

Với ε > 0 Do 0<ρ εn( )<εvà ϕnliên tục nên tồn tại δn >0,δn <ε sao cho

(do ϕn là hàm không giảm , ϕn( )r <r với r > 0)

n∈  bất kỳ nên { }x m mlà dãy Cauchy, do đó nó hội tụ

p n

δ

δ+ < và x−x'n <δi+1 thì ( ) ( )'

2

i n

Chứng minh

X là không gian Fréchet, M là không gian con đóng của X nên M cũng là không

gian Fréchet, vì không gian con đóng của một không gian đầy đủ là một không gian đầy đủ

Với y∈M ta định nghĩa: F y:M →M như sau: F y( )x =A x( )+C y( ) với x∈M

Vậy theo định lý Schauder- Tychonoff,

:

u M u I A − C u u A u C u

Vậy A+C có điểm bất động trên M

Để áp dụng định lý 2.11 trong việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình

t ích phân thì A phải là ánh xạ co Trong trường hợp A không phải là ánh xạ co nhưng A p là ánh xạ co ( *)

p∈  ta có kết quả sau đây trong việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân

A K∩ ∂ →G Klà ánh xạ compact liên tục sao cho: A x( )≠x ∀ ∈ ∩ ∂x K G

GọiA X: →Xlà ánh xạ liên tục sao cho:

(Sự tồn tại của Ađược suy ra từ Bổ đề 2.2)

Khi đó (I−A) ( )x ≠0với mọi x∈∂G

Giả sử trái lại, ta có x0∈∂G x: 0 = A x( )0 mà A X( )⊂K, nên x0∈ ∩ ∂K G Do đó

(2) Tính bất biến đồng luân:

Giả sử A A K0, 1: ∩ ∂ →G Kcompact liên tục, A x0( ) ≠ x A x , 1( ) ≠ x , x K ∀ ∈ ∩ ∂ G

và đồng luân dương trên K∩ ∂G theo nghĩa:

Tồn tại ánh xạ compact F:(K∩ ∂G)×[ ]0,1 →K sao cho:

(4) Tính chất nghiệm: Nếu i K(A G, )≠0thì A có điểm bất động trong K∩G

2.3.2 Hàm cốt yếu

Trong phần này ta sẽ ký hiệu X =(X, ) là một không gian Banach (vô hạn hoặc

hữu hạn chiều), C là một tập con lồi đóng khác rỗng của X thỏa αu+βv∈C với mọi

G∈K∂ U C thỏa G ∂U=A ∂U thì tồn tại x U∈ sao cho x=G x( )

Ngược lại A được gọi là không cốt yếu trên K∂U( )U C, , nếu tồn tại G∈K∂U( )U C, thỏa G ∂U= A ∂Uvà x≠G x( )với mọi x U∈