Tích phân ngẫu nhiên Stratonovich và ứng dụng

LỜI NÓI ĐẦUGiải tích ngẫu nhiên truyền thống được xây dựng bắt đầu từ một loại tích phânngẫu nhiên do Kiyosi Itô sáng tạo ra từ năm 1941, đáp ứng được việc giải quyết mộtloạt các phương

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

- -

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THẢO

TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN STRATONOVICH VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THẢO

TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN STRATONOVICH VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS TS TRẦN HÙNG THAO

HÀ NỘI - 2016

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu cùng quý thầy cô, cán bộcông nhân viên tại trường Đại học Khoa học tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội nóichung, và các thầy cô thuộc bộ môn Xác suất- Thống kê nói riêng đã tận tình giảngdạy, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập tại trường cũng như trongthời gian thực hiện luận văn này

Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy hướng dẫn, PGS TS TrầnHùng Thao, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi về chuyên môn, kinh nghiệm đểhoàn thành luận văn này

Tôi cũng không quên gửi lời biết ơn đến bố mẹ, anh chị cùng các đồng nghiệp

đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng do kiến thức của bản thân còn hạn chế nênluận văn không tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tôi rất mong được sự chỉ bảo của quý thầy

cô và sự góp ý chân thành của các bạn bè đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 25 tháng 10 năm 2016

Học viên

Nguyễn Thị Phương Thảo

LỜI CẢM ƠN 1

MỤC LỤC 2

Chương 1 Kiến thức cơ sở 6

1.1 Quá trình ngẫu nhiên 6

1.1.1 Các định nghĩa 6

1.1.2 Quá trình ngẫu nhiên với các số gia độc lập 8

1.1.3 Mactingan 8

1.1.4 Quá trình Markov 9

1.1.5 Quá trình Gauss 10

1.1.6 Quá trình dừng 10

1.1.7 Quá trình lặp lại 10

1.1.8 Quá trình điểm 11

1.2 Hai quá trình ngẫu nhiên quan trọng 12

1.2.1 Quá trình Wiener (chuyển động Brown) 12

1.2.2 Quá trình Poisson 14

1.3 Tích phân Itô 15

1.3.1 Tích phân Riemann-Stieltjes 15

1.3.2 Định nghĩa tích phân Itô 16

1.3.3 Tính chất của tích phân Itô 18

1.3.4 Công thức Itô 19

1.3.5 Phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô 19

Chương 2 Tích phân ngẫu nhiên Stratonovich 21

2.1 Các định nghĩa 21

2.2 Liên hệ với tích phân Itô 23

2.2.1 Biến phân bậc hai 23

2.2.2 Công thức liên hệ 24

2.3 Mở rộng tích phân Stratonovich 27

2.3.1 λ −tích phân 27

2.3.2 Tích phân kiểu Stratonovich đối với một semi-mactingan 29

Chương 3 Ứng dụng của tích phân ngẫu nhiên Stratonovich 32

3.1 Ứng dụng trong phương trình vi phân ngẫu nhiên 32

3.1.1 Chuyển đổi giữa phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô và phương trình vi phân ngẫu nhiên Stratonovich 32 3.1.2 Một số phương trình Itô giải được bằng cách chuyển sang phương trình Stratonovich 38

3.2 Ứng dụng trong lý thuyết lọc ngẫu nhiên 45

Kết luận 46

Tài liệu tham khảo 47

Phụ lục 48

LỜI NÓI ĐẦU

Giải tích ngẫu nhiên truyền thống được xây dựng bắt đầu từ một loại tích phânngẫu nhiên do Kiyosi Itô sáng tạo ra từ năm 1941, đáp ứng được việc giải quyết mộtloạt các phương trình ngẫu nhiên nảy sinh từ Cơ học, kinh tế Tài chính Giải tích ngẫunhiên Itô vẫn được phát triển mạnh mẽ cho đến ngày nay

Tuy nhiên, tích phân ngẫu nhiên nói chung không giải ra được dưới dạng biểuthức đóng Điều đó đòi hỏi phải nhờ đến các phương pháp giải tích số gần đúng Năm

1956, tích phân Stratonovich ra đời Người ta nhận xét rằng rất nhiều biểu thức xấp xỉbằng số đó lại hội tụ đến tích phân Stratonovich

Trong vật lý, tích phân ngẫu nhiên xuất hiện trong lời giải của các phương trìnhlangevin Phương trình langevin nguyên thủy là một sự mô tả chuyển động Brown mà

ta thường thấy trong chuyển động ngẫu nhiên của một loại hạt trong môi trường chấtlỏng do có va chạm với các phân tử của chất lỏng:

md

2x

dt2 = −λdx

dt + η(t)Trong đó x là vị trí và m là khối lượng của hạt, còn lực tác động ngẫu nhiên η(t)được coi là nhiễu ngẫu nhiên có phân phối Gauss với hàm tương quan là

< ηi(t), ηj(t0) > = 2λ kBT δij(t − t0)

Trong đó kB là hằng số Boltmann, T là nhiệt độ, ηi(t) là thành phần thứ i củavectơ η(t), δij là hàm Dirac R.L.Stratonovich là một nhà toán học người Nga, sángtạo ra tích phân này gần như đồng thời với D.L.Fisk – người đã có một công trình

về tựa-martingan (quasimartingales) dưới sự hướng dẫn của giáo sư Herman Rubin

tại các đại học Stanford, Oregon, Michigan, Perdue và là thành viên của Viện thống

kê Mỹ (IMS) Cho nên đôi khi người ta cũng gọi tích phân này là tích phân Stratonovich, nhưng phổ biến vẫn là tên tích phân Stratonovich

Fisk-Vì sự tiện dụng trong ứng dụng do công thức kiểu Itô đối với tích phân Stratonovichrất giống với vi phân hàm hợp trong Giải tích cổ điển nên tích phân này có nhiều íchlợi trong Vật lý và Cơ học

Luận văn này nhằm giới thiệu về tích phân Stratonovich và các ứng dụng thườnggặp của nó trong nghiên cứu toán học

Luận văn gồm có 3 chương:

• Chương 1 Kiến thức cơ sở

• Chương 2 Tích phân Stratonovich

• Chương 3 Ứng dụng của tích phân Stratonovich

Hà Nội, ngày 25 tháng 10 năm 2016

Nguyễn Thị Phương Thảo

Chương 1

Kiến thức cơ sở

Trong chương này chúng tôi giới thiệu vắn tắt những khái niệm cơ bản về Quá trình ngẫu nhiên và Giải tích ngẫu nhiên Itô, để phục vụ cho những chương sau về tính toán ngẫu nhiên Stratonovich Nội dung gồm các quá trình ngẫu nhiên, bộ lọc, thời điểm dừng, chuyển động Brown và quá trình Poisson, các tính toán ngẫu nhiên Itô (đặc biệt là định nghĩa mô tả của tích phân ngẫu nhiên Itô, nhằm nêu ra định nghĩa tương ứng về tích phân Stratonovich ở chương sau)

1.1 Quá trình ngẫu nhiên

1.1.1 Các định nghĩa

Cho (Ω,F,P) là một không gian xác suất, trong đó Ω là tập cơ sở, F là một đại số các tập con của Ω, P là một độ đo xác suất

σ-Định nghĩa 1.1.1 (Quá trình ngẫu nhiên) Cho T là một tập nào đó Một ánh xạ

X : (Ω × T ) → R sao cho với mỗi t ∈ T ánh xạ Xt : ω → Xt(ω) là đo được được gọi

là một hàm ngẫu nhiên trên T và ta viết X = {X (t),t ∈ T }.

Nếu T là một khoảng của đường thẳng thực thì ta gọi X = {X (t),t ∈ T } là một quá trình ngẫu nhiên Trong trường hợp này tham số t đóng vai trò biến thời gian.

Định nghĩa 1.1.2 (Quá trình đo được) Một quá trình ngẫu nhiên X = {X (t),t ∈ T }

được gọi là đo được, nếu nó đo được đối với σ - trường tíchBR+⊗F Điều đó có nghĩa

là với mọi tập Borel của R , tập hợp {(t, ω) : X(t, ω) ∈ B} thuộc về σ - trường tích

BR+⊗F Đó là σ - trường nhỏ nhất chứa các tập có dạng [0,t]×A với t ∈ R+, A ∈F

Định nghĩa 1.1.3 (Bộ lọc) Một họ các σ - trường conFt ⊂F được gọi là một bộ lọc,

thỏa mãn các điều kiện thông thường nếu:

(i) Đó là một họ tăng, tức là Fs ⊂Ft nếu s < t

(ii) Họ đó là liên tục phải, tức làFt = ∩

ε >0Ft+ε

(iii) Nếu A ∈ F và P(A) = 0 thì A ∈ F0 (do đó nằm trong mọi Ft).

Định nghĩa 1.1.4 (quá trình thích nghi với một bộ lọc) Cho một bộ lọc bất kỳ

(Ft,t ∈ R+) trên không gian (Ω, F,P) Một quá trình ngẫu nhiên Y được gọi là thích

nghi với bộ lọc này nếu mọi Y (t) là đo được đối với σ - trường Ft.

Định nghĩa 1.1.5 (thời điểm dừng) Xét không gian xác suất (Ω, F,P) trên đó ta đã cố

định một bộ lọc (Ft)t∈R+ Một biến ngẫu nhiên τ được gọi là một thời điểm Markov nếu với mọi t ≥0

Nếu các biến ngẫu nhiên Xt2− Xt1, Xt3− Xt2, Xtn− Xtn−1 là độc lập với nhau vớimọi cách chọn các giá trị tham số t1,t2, ,tn với mọi n sao cho t1< t2 < < tn ta nóirằng Xt là một quá trình với các số gia độc lập.

Nếu T = {0, 1, } thì quá trình với các số gia độc lập sẽ được rút gọn lại thànhmột dãy các biến ngẫu nhiên độc lập {Z0, Z1, , Zn, } với Z0= X0, Zi= Xi− Xi−1(i =

Nếu một quá trình X = {X (t),t ∈ T } với T = [0, ∞) hoặc T = {0, 1, } có các

số gia độc lập và dừng và có trung bình hữu hạn thì dễ thấy rằng

(ii) E ( Xt|Fs) = Xs với 0 ≤ s ≤ t,t ∈ TKhi đó {Xt} được gọi là mactingan đối với bộ lọc (Ft)

tn, thì về mặt trung bình mà nói, số tiền mà người đó có được tại thời điểm tn+1 cũngvẫn là an mặc cho diễn biến quá khứ cuộc chơi như thế nào

1.1.4 Quá trình Markov

Nói một cách sơ lược, một quá trình {Xt} là một quá trình Markov, nếu một khi

ta đã biết giá trị Xs của quá trình đó tại thời điểm s, thì mọi giá trị Xt với t > s khôngphụ thuộc vào các giá trị Xu với u < s Nghĩa là

P {a < Xt ≤ b |Xt1 = x1, Xt2 = x2, , Xtn = xn} = P {a < Xt ≤ b |Xtn = xn} (1.1.1)với mọi t1 < t2 < < tn < t

Cho A là một đường thẳng thực Hàm số

P {s, x;t, A} = P {Xt ∈ A |Xs = x } ,t > sđược gọi là hàm xác suất chuyển Ta có thể biểu diễn (1.1.1) như sau

Một quá trình ngẫu nhiên X = {Xt,t ∈ T } được gọi là một quá trình Gauss, nếumọi tổ hợp tuyến tính có dạng Z =

ra đời rồi biến mất tại thời điểm T1+ T2, và cứ như vậy tiếp diễn, thủ tục đó cứ tiếptục lặp lại có tên gọi là quá trình lặp lại Thời điểm để sản sinh ra phần tử thứ n là

Sn = T1+ T2+ + Tn Ta gọi quá trình đếm lặp lại Nt = n là một quá trình đếm các

số lần lặp lại trong khoảng thời gian [0,t] Một cách hình thức, a có thể viết như sau:

ta đếm được Vì N(A) là một hàm đếm nên phải có tính chất cộng tính:

N(A1∪ A2) = N (A1) + N (A2)

với A1, A2 ∈A , A1∪ A2 ∈Avà A1∩ A2= /0, và nếu /0 ∈A thì phải có N(/0) = 0

Giả sử S là một tập trên đường thẳng (mặt phẳng hoặc không gian thực 3 chiều)

và với mỗi tập A ⊂ S ta đặt V (A) là độ đo Lebesgue của A (độ dài, diện tích, thể tích).Khi đó {N(A), A ⊂ S} là một quá trình điểm Poisson thuần nhất với tham số λ nếu:

• với A ⊂ S , N(A) là một biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số

1.2.1 Quá trình Wiener (chuyển động Brown)

Định nghĩa 1.2.1 Một quá trình ngẫu nhiên liên tục W = {W (t),t ∈ T } với T =

[0; +∞) là một chuyển động Brown tiêu chuẩn nếu:

(i) W0 = 0 hầu chắc chắn

(ii) W có số gia độc lập, tức là với 0 = t0< t1< t2< < tn thì các biến ngẫu nhiên

Wt1−Wt0,Wt2−Wt1, ,Wtn−Wtn−1 là độc lập.

(iii) với 0 ≤ s < t thì biến ngẫu nhiên Wt− Xs có phân bố chuẩn N ( 0;t − s).

Trong trường hợp tổng quát, thì trong điều kiện (iii), phương sai của Wt−Ws là

σ2(t − s)

Định nghĩa 1.2.2 (định nghĩa tương đương) Một quá trình ngẫu nhiên W = {Wt,t ≥ 0}

được gọi là một quá trình Wiener tiêu chuẩn hay một chuyển động Brown, nếu nó là một quá trình Gauss sao cho:

(i) E(Wt) = 0, ∀t (tức Wt là qui tâm)

(ii) Hàm tương quan R(t, s) = min(t, s).

Trong trường hợp tổng quát, một quá trình Wiener với tham số phương sai σ2 là một quá trình Gauss, qui tâm và hàm tương quan là

R(t, s) = σ2 min(t, s)

Các tính chất quan trọng của một quá trình Wiener

Cho (Wt) là một quá trình Wiener

1 Wt là một mactingan đối với FW

t (σ - trường nhỏ nhất sinh bởi Ws, s ≤ t còn gọi làlịch sử của W tính cho đến thời điểm t)

2 Với mỗi ω ∈ Ω, quỹ đạo Wt(ω) không khả vi tại bất cứ điểm nào theo t.

3 Với mỗi ω ∈ Ω, hầu hết mọi quỹ đạo Wt(ω) đều không có biến phân bị chặn trên

bất kỳ khoảng hữu hạn nào

4 Wt tuân theo luật lôga lặp như sau:



= 1

5 ChoBR là họ tất cả các hàm thực Borel xác định trên R Với mỗi t > 0 và f ∈ BR

ta định nghĩa một hàm Ptf trên R xác định bởi:

Đặc trưng Lévy của chuyển động Brown

Nếu Wt là một quá trình Wiener, dễ dàng kiểm nghiệm rằng cả Wt và W2t − t làcác mactingan (đối vớiFw

t ) Ngược lại, người ta cũng chứng minh được rằng:

Định lý 1.2.1 Cho Wt là một quá trình ngẫu nhiên liên tục, sao cho:



 Wt là một mactingan,W0 = 0 h.c.c

(iii) Với 0 ≤ s < t thì biến ngẫu nhiên Xt− Xs có phân bố Poisson với tham số λ (t − s).

Chú ý: Số biến cố xảy ra trong khoảng thời gian nào đó có độ dài t là một biến ngẫu

nhiên có phân phối Poisson với trung bình là λ t(λ > 0) Điều đó có nghĩa là, với mọi

s,t ≥ 0, ta có

P {Nt+s− Ns = n} = e−λt(λ t)n

n! ; n = 0, 1, 2,

Từ đó ta có E(Nt) = λ t Số λ > 0 được gọi là cường độ của quá trình Poisson

Đặc trưng Watanabe của một quá trình Poisson

Nếu {Nt} là một quá trình Poisson với cường độ λ > 0 thì dễ dàng thấy rằng

Nt− λt là một mactigan đối với FN

t Đối với quá trình Poisson tiêu chuẩn (λ = 1) thì

Nt− t là một mactigan đối với FN

t Ngược lại ta cũng có:

Định lý 1.2.2 Cho Nt là một quá trình ngẫu nhiên khả tích với mọi t, có số gia độc lập, N0 = 0 sao cho với ∀t ≥ 0 thì Nt− λt là một mactigan đối với FN

t Khi đó Nt là một quá trình Poisson với cường độ là λ

Nói riêng, nếu Nt−t là một mactingan thì Nt là một quá trình Poisson tiêu chuẩn

1.3 Tích phân Itô

1.3.1 Tích phân Riemann-Stieltjes

Tích phân Riemann-Stieltjes của hàm f lấy đối với một hàm g liên tục và có

biến phân giới nội trên đoạn thẳng [0,t] ⊂ R được định nghĩa bởi

f(xi) [g(ai) − g(ai−1)]

với xi ∈ (ai−1, ai) và với mọi phân hoạch 0 = a0< a1< < an = t, nếu giới hạn trêntồn tại Trường hợp đặc biệt khi mà g(t) = t thì định nghĩa trên trùng với định nghĩacủa tích phân Riemann

Nếu f và g không phải là hàm số mà là các quá trình ngẫu nhiên, sao cho f liên

chung không còn áp dụng được nữa.

Tuy mỗi quỹ đạo t → Wt là một hàm liên tục của t, nhưng ta đã biết là hầu hếtmọi quĩ đạo là những hàm không có biến phân giới nội trên bất cứ khoảng hữu hạnnào Vậy không thể định nghĩa tích phân Ito như một tích phân Stieltjès Ta phải tìmmột cách xây dựng khác Nhà toán học K.Itô đã đưa ra một cách xây dựng tích phânngẫu nhiên cho một lớp các hàm ngẫu nhiên nào đó dựa theo nguyên tắc “ánh xạ đẳngcự”

1.3.2 Định nghĩa tích phân Itô

Luôn luôn ta xét các quá trình ngẫu nhiên xác định trên một không gian xácsuất (Ω,F,P) trên đó có một bộ lọc (Ft)t∈T là một họ tăng các σ − trường con củaF; trong đó T là một tập Borel nào đó thuộc R+ Thông thường ta lấy T là một đoạn[0,t] nào đó

Định nghĩa 1.3.1 Giả sử f (t, ω),t ≥ 0 là một hàm ngẫu nhiên.

1 Ta nói rằng f (t, ω) là đo được dần (đối với lọc (Ft) ) nếu với mỗi t ≥ 0, hàm (s, ω) → f (s, ω) xác định trên [0;t] × Ω làBt×F(t) -đo được Ở đó Bt là σ -đại

N1(0, T ) là không gian Banach với chuẩn k f k = E

Tư tưởng của việc xây dựng tích phân Itô như sau

Trước hết ta định nghĩa tích phân Itô cho hàm ngẫu nhiên bậc thang

Định nghĩa 1.3.2 Một hàm ngẫu nhiên f ∈ N2(0, T ) được gọi là một hàm bậc thang

nếu tồn tại một phép phân hoạch I: 0 = t0 < t1 < < tn = T của [0, T ] sao cho

Định lý 1.3.1 Giả sử f ∈ N2(0, T ) Khi đó tồn tại một dãy các hàm ngẫu nhiên bậc

thang, bị chặn gn ∈ N2(0, T ) sao cho

Gọi S là không gian tuyến tính các hàm ngẫu nhiên bậc thang Khi đó theo định

lí 1.3.1 thì S là trù mật trong N2(0, T ) Ta định nghĩa ánh xạ I : S → L2(Ω) bởi

I( f ) =

n−1

∑ ci(ω)(W(ti+1) − W(ti))

trong đó |∆| = max |tk+1− tk| với mọi phân hoạch t0 = 0 < t1 < < tn = T

1.3.3 Tính chất của tích phân Itô

Với mọi hằng số a, b ∈ R và với mọi hàm ngẫu nhiên f , g ∈ N2(0, T ) ta có:

Định lý 1.3.2 Giả sử X = X (t),t ∈ [0; T ] có vi phân ngẫu nhiên dX (t) = f (t)dt +

g(t)dW Cho u(t, x) là hàm liên tục xác định trên [0; T ] × R với các đạo hàm riêng

ut, ux, uxx liên tục.

Xét hàm ngẫu nhiên Y = Y (t),t ∈ [ 0; T ] xác định bởi Y (t) = u (t, X (t))

Khi đó Y có vi phân ngẫu nhiên

phương trình vi phân ngẫu nhiên.

Định nghĩa 1.3.5 Một quá trình ngẫu nhiên X = {Xt(ω),t ∈ [0, T ]} được gọi là một

lời giải của phương trình (1.3.4) với điều kiện ban đầu

trong đó Z là một biến ngẫu nhiên cho trước, độc lập với

W = {Wt,t ≥ 0}

sao cho E Z2
< ∞ , nếu X thỏa mãn các giả thiết sau:

(i) Xt thích nghi với Ft = FW

t = σ (Ws, s ≤ t) và là đo được đối với σ - trường tích

P

sup

0≤t≤T

|Xt−Yt| = 0



Định lý 1.3.3 (tồn tại và duy nhất nghiệm) Nếu tồn tại một hằng số k > 0 sao cho với

mọi t ∈ [ 0, T ] và mọi x, y ∈ R sao cho

| f (t, x) − f (t, y)| + |g(t, x) − g(t, y)| ≤ k |x − y|

| f (t, x)|2+ |g(t, x)|2≤ k21 + |x|2



thì khi đó tồn tại một lời giải X = {Xt,t ∈ [0, T ]} của phương trình (1.3.4) với điều

kiện ban đầu (1.3.5) và lời giải đó là duy nhất theo nghĩa (1.3.6).