sự hội tụ trong lý thuyết dàn véctơ

Đó chính là một số khái niệm của dàn véctơ hội tụ khối địa phương, đây được xem như là tổng quát hóa của không gian Riesz khối địa phương.. Đặc biệt, ứng dụng của các khái niệm này trong

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

vì tất cả đã làm cho tôi, để tôi trưởng thành và biết nghiên cứu về toán, một môn khoa học

cơ bản, khó khăn nhưng đầy thú vị và hấp dẫn

Tôi cũng xin gởi lời cám ơn tới

• Sở Giáo Dục & Đào Tạo Tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu và Trường THPT Hòa Bình đã hỗ

trợ kinh phí cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và

M ỤC LỤC

L ỜI CÁM ƠN 1

MỤC LỤC 2

DANH M ỤC KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN 3

M Ở ĐẦU 4

1 Lý do ch ọn đề tài 4

2 N ội dung và phương pháp nghiên cứu 5

3 Ý nghĩa khoa học của luận văn 5

4 C ấu trúc luận văn 5

5 Ký hi ệu trong luận văn 6

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7

1.1 S ự hội tụ trong không gian tôpô 7

1.1.1 Sự hội tụ theo lưới (Moore – Smith) 7

1.1.2 Sự hội tụ theo lọc (Cartan) 8

1.2 Không gian Riesz kh ối địa phương 9

1.2.1 Cấu trúc dàn của không gian Riesz 9

1.2.2 Tôpô khối địa phương 16

1.2.3 Giới hạn quy nạp 19

1.3 Không gian h ội tụ 19

CHƯƠNG 2: SỰ HỘI TỤ TRONG LÝ THUYẾT DÀN VÉCTƠ 24

2.1 Dàn véctơ hội tụ khối địa phương 24

2.2 M ột số tính chất bất biến 29

2.3 Đối ngẫu của dàn véctơ hội tụ khối địa phương 32

2.4 Tính đầy đủ và sự làm đầy 37

CHƯƠNG 3: MỘT VÀI ỨNG DỤNG 41

3.1 Định lý đồ thị đóng 41

3.2 Đối ngẫu của không gian Riesz khối địa phương 42

K ẾT LUẬN 44

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 46

DANH M ỤC KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN

 Không gian các hàm giá trị thực liên tục trên 

L+ Nón dương của dàn véctơ L

(X Y, )

 Không gian các ánh xạ tuyến tính từ X vào Y

'

L Đối ngẫu tôpô của L gồm tất cả các hàm tuyến tính liên tục trên L

L Đối ngẫu thứ tự của L gồm tất cả các hàm tuyến tính bị chặn thứ tự trên L

M Ở ĐẦU

1 Lý do ch ọn đề tài

Hình học – Tôpô là một trong các chuyên ngành quan trọng của lý thuyết Toán học hiện đại Nó có mối liên hệ chặt chẽ với các chuyên ngành khác như Giải tích, Đại số,… và có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực của khoa học và đời sống Trong Tôpô, bài toán về sự hội có rất nhiều ứng dụng trong các lý thuyết cơ bản và hiện đại của Toán học, nên đây được xem là một vấn đề thời sự được nhiều nhà toán học quan tâm và nghiên cứu Chẳng hạn, trong tôpô Hausdorff - Kuratowski - Bourbaki (HKB) ta xét hai sự hội tụ sau

• Cho X là không gian tôpô compact Dãy (f n) trong C X( ) hội tụ về f ∈C X( )

trong tôpô đều nếu ∀ > ∃ ∈ 0, N :∀ ∈x X n, ∈,n≥N, f x( )− f x n( ) <

Điều kiện trên tương đương với điều kiện của sự hội tụ đều tương đối trên dàn véctơ

• Cho ( , Ω M m, ) là không gian độ đo σ-hữu hạn và 1 ≤ ≤ ∞p Dãy (f n) trong L p( )Ω

hội tụ chặn hầu khắp nơi đến f ∈L p( )Ω nếu

hội tụ lại không thỏa mãn tiên đề Moore - Smith, đó chính là cấu trúc hội tụ và không gian hội tụ

Hơn nữa, sự hội tụ đều tương đối và hội tụ thứ tự được xem là tổng quát hóa một cách tự nhiên của sự hội tụ và đóng vai trò cơ bản trong lý thuyết dàn véctơ Tuy nhiên, không phải

sự hội tụ đều tương đối và hội tụ thứ tự có thể mô tả một cách đầy đủ trong tôpô HKB Vì vậy, một khái niệm tổng quát hơn của tôpô là cần thiết để mô tả được sự hội tụ trong tôpô HKB và mô hình của sự hội tụ không tôpô khác nhau trong lý thuyết dàn véctơ Đó chính là một số khái niệm của dàn véctơ hội tụ khối địa phương, đây được xem như là tổng quát hóa của không gian Riesz khối địa phương Các khái niệm này được biết đến để phù hợp với sự hội tụ đều tương đối và hội tụ thứ tự Đặc biệt, ứng dụng của các khái niệm này trong việc trình bày định lí đồ thị đóng đối với các toán tử tuyến tính trên lớp dàn véctơ hội tụ khối địa phương và các kết quả đối ngẫu của không gian Riesz khối địa phương, lồi địa phương

Đó chính là lý do tôi chọn đề tài Sự hội tụ trong lý thuyết dàn véctơ”

2 N ội dung và phương pháp nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu hai vấn đề chính đó là Sự hội tụ trong lý thuyết dàn véctơ và một vài ứng dụng của nó

Phương pháp nghiên cứu chủ yếu của luận văn là sử dụng các công cụ mạnh của tôpô, tổng hợp và hoàn thiện kết quả từ những bài báo đã có, tài liệu khoa học có liên quan tới vấn đề cần nghiên cứu Đưa ra một số ví dụ và ứng dụng cụ thể của đề tài

3 Ý nghĩa khoa học của luận văn

Ta biết rằng, một số nguyên tắc cơ bản của tôpô trên dàn véctơ không được mô tả trong các thành phần của tôpô Hausdorff - Kuratowski - Bourbaki (HKB) nhưng các khái niệm tổng quát của tôpô có thể mô tả được sự hội tụ lại không thỏa mãn tiên đề Moore - Smith Vì vậy, một khái niệm tổng quát hơn của tôpô là cần thiết để mô tả được sự hội tụ trong tôpô HKB và sự hội tụ của các mô hình không tôpô khác nhau trong lý thuyết dàn véctơ Đó chính là một số khái niệm của dàn véctơ hội tụ khối địa phương Đồng thời, chúng ta hiểu rõ

và nắm bắt được nhiều cách tiếp cận khác nhau của sự hội tụ trong nhiều chuyên ngành của Toán học và những ứng dụng của nó

4 C ấu trúc luận văn

Luận văn được trình bày như sau

MỞ ĐẦU Lý do chọn đề tài, nội dung luận văn, phạm vi nghiên cứu và phương pháp nghiên

cứu

Chương 1 Trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho luận văn

Chương 2 Sự hội tụ trong lý thuyết dàn véctơ

Chương 3 Một vài ứng dụng của sự hội tụ trong lý thuyết dàn véctơ

KẾT LUẬN Tóm tắt kết quả đạt được và nêu vấn đề mở của đề tài

Tài liệu tham khảo Một số tài liệu liên quan tới luận văn

5 Ký hiệu trong luận văn

Các ký hiệu được dùng trong luận văn này hoặc là các ký hiệu thông dụng hoặc sẽ được giải thích khi dùng lần đầu (xem Danh mục các ký hiệu) Để trích dẫn một kết quả, chúng tôi cũng dùng những ký hiệu quen thuộc Chẳng hạn, nếu ghi 1.6.3 có nghĩa là xem mục 1.6.3 ở chương 1; nếu ghi 2.2.5 có nghĩa là xem mục 2.2.5 ở chương 2; còn nếu ghi [10, Định lí 2.1 ] có nghĩa là xem định lí 2.1 tài liệu tham khảo số 10

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Nội dung chủ yếu của chương này là trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho đề tài luận văn một cách cơ bản, ngắn ngọn về Sự hội tụ trong không gian tôpô; Không gian Riesz khối địa phương; Không gian hội tụ còn những chứng minh chi tiết tham khảo tại

[1], [2], [3], [5], [6], [12], [13], [15], [16], [17], [18], [23]

1.1 Sự hội tụ trong không gian tôpô

1.1.1 S ự hội tụ theo lưới (Moore – Smith)

Định nghĩa 1.1.1 Tập I được gọi là tập có hướng nếu trong I có quan hệ ≤ thỏa mãn các điều kiện sau

i) ∀ ∈i I thì i≤i

ii) ∀i j k, , ∈I sao cho i≤ j và j≤k thì i≤k

iii) ∀i j, ∈I thì ∃ ∈k I sao cho i≤k và j≤k

Cho tập có hướng I và tập X Khi đó, ánh xạ x I: →X i, x i( ):=x i được gọi là lưới trong

X, ký hiệu { }x i i I∈ Nếu J là tập có hướng và ánh xạ a J: →I thỏa mãn

∀ ∈ ∃ ∈ ∀ ∈ ≥ ⇒ ≥

thì lưới { }x a j( ) i J∈ được gọi là lưới con của lưới { }x i i I∈

Định nghĩa 1.1.2 Lưới { }x i i I∈ trong không gian tôpô X hội tụ đến x∈X , ký hiệu x i →x nếu ∀ ∈V U x, ∃ ∈ ∀ ≥i I, j i x: j∈V

Ví dụ 1.1.1 Cho X ={x x x1, 2, 3} với tôpô {∅ ,X, {x x1 , 3} {, x x2 , 3} { }, x3 } Khi đó, lưới { }x3hội tụ đến x x1, 2 và x3, còn lưới {x x1, 2} hội tụ về x2

Mệnh đề 1.1.1 Lưới có không quá một điểm giới hạn nếu và chỉ nếu X là không gian

i) f liên tục tại x o

ii) Nếu mọi lưới { } x i trong X hội tụ về x o thì f x( )i → f x( )o

Lưới hội tụ trong không gian tôpô được đặc trưng bởi Tiên đề Moore - Smith như sau

Cho X là tập tùy ý và gọi S là tập các dãy trong X và P X( ) là tập tất cả các tập con của

X Xét ánh xạ σ :S →P X( ),sσ( )s trong đó σ( )s là tập tất cả các giới hạn của s Đặc biệt, nếu σ( )s = ∅ thì s không hội tụ đến bất kỳ phần tử nào của X Còn nếu tồn tại tôpô τ

trên X sao cho σ( )s là tập tất cả τ -giới hạn của s∈S thì các điều kiện sau luôn thỏa mãn

• Nếu s là dãy mà tất cả các số hạng đều bằng x thì x∈σ( )x

• Nếu x∈σ( )s thì x∈σ( )s′ với s' là dãy con tùy ý của s

• Nếu dãy con s' lại chứa dãy con s'' mà x∈σ( )s′′ thì x∈σ( )s

• Giả sử s n = (x m n) với x n∈σ(s n), ∀ ∈ n và x∈σ( )s với s=(x n) thì tồn tại ánh xạ tăng nghiêm ngặt δ:  →  sao cho x∈s′ với ( )( )

n n

s′ = xδ Các điều kiện từ MS1) đến MS4) được gọi là tiên đề Moore - Smith, điều kiện MS3) còn được gọi là tính chất Urysohn và MS4) được gọi là tính chất Diagonal

1.1.2 S ự hội tụ theo lọc (Cartan)

Định nghĩa 1.1.3 Một lọc trên tập X là một tập con F của P X( ) sao cho

i) Với mọi A∈F thì A≠ ∅

ii) Với A B, ∈F thì A∩ ∈B F

iii) Với A∈F mà A⊂ ⊂B X thì B∈F

\end{dn}

Từ iii) của định nghĩa 1.1.3 dễ thấy rằng X∈F bằng cách chọn X =B

Định nghĩa 1.1.4 Họ E≠ ∅ với E⊂P X( ) là cơ sở lọc trong X nếu E thỏa mãn các điều kiện sau

i) Với A∈E thì A≠ ∅

ii) Với A A1, 2∈E tồn tại A∈E sao cho A⊂ A1∩A2 Khi đó lọc

{ ( ) : , }

gọi là lọc sinh bởi cở sở lọc E , ký hiệu là F =[ ]E hoặc F=[ ]E X

Cho F và G là hai lọc trên X Ta nói lọc F mịn hơn lọc G nếu G⊆F Một lọc F trong

X được gọi là siêu lọ nếu ∀ ⊂G X: F⊂ ⇒G F =G

Do vậy, với mỗi lọc F trong X thì F = {G G: ⊇F là siêu loc} Khi đó, mỗi lọc đều tồn tại siêu lọc mạnh hơn nó

Nếu ánh xạ f X: →Y và F là lọc trên X thì f F( ) :={f F( ) :F∈F}là cơ sở lọc và được gọi

là ảnh lọc F trên Y Đặc biệt, nếu F là siêu lọc trên X thì f F( ) là siêu lọc trên Y

Định nghĩa 1.1.5 Lọc F hội tụ về x o , ký hiệu F →x o nếu , :

Định lí 1.1.5 Cho ánh xạ f X: →Y với X và Y là hai không gian tôpô Khi đó, các mệnh

đề sau tương đương

i) f liên tục tại x o

ii) Nếu mọi lọc F trong X hội về x o thì f F( )→ f x( )o

Cho lưới { }x i i I∈ , đặt M i: ={x j: j≥i} Khi đó, họ { }M i i I∈ là cơ sở lọc, lọc tương ứng gọi là lọc liên kết với lưới Mối liên hệ về sự hội tụ của lưới và lọc được thể hiện bởi định lí sau

Định lí 1.1.1 Lưới { }x i hội tụ về x nếu và chỉ nếu lọc tương ứng hội tụ về x

1.2 Không gian Riesz kh ối địa phương

Dàn véctơ được biết đến như là không gian Riesz Vì thế, tôi sẽ trình bày một cách cơ bản, ngắn ngọn về không gian Riesz khối địa phương, xem [1], [6], [13]

1.2.1 C ấu trúc dàn của không gian Riesz

Định nghĩa 1.2.1 Một không gian véctơ thứ tự L là không gian véctơ thực được trang bị một quan hệ thứ tự ≥ tương thích với cấu trúc đại số L

thỏa mãn các tính chất sau

i) Nếu u v, ∈L sao cho u≥v thì u+ ≥ + ∀ ∈w v w, w L

ii) Nếu u v, ∈L sao cho u≥v thì λu≥λv, ∀ ∈λ  ,λ≥ 0

Phần tử không của L được ký hiệu là 0 Nếu u≥ 0 thì u gọi là phần tử dương, còn nếu

0

u> thì u gọi là phần tử dương nghiêm ngặt Khi đó, tập hợp L+ ={u∈L u: ≥0}$được gọi

là nón dương của L

Tính chất 1.2.1 Nón dương L+ có các tính chất sau

Định nghĩa 1.2.1 Tập con A khác rỗng của không gian thứ tự L được nói là có supremun,

ký hiệu sup A nếu thỏa mãn các điều kiện sau

Định nghĩa 1.2.3 Không gian véctơ thứ tự L là không gian Riesz (hoặc dàn véctơ) nếu bất

kỳ hai phần tử u v, ∈L luôn tồn tại sup{ }u v, trong L

Ví dụ 1.2.1 Xét n

L=  là không gian véctơ sao cho n

u∈  thì u=( , ,u1 u n) voi u i∈ 

Với mọi u v, ∈L ta định nghĩa quan hệ thứ tự như sau u≥ ⇔ ≥v u i v i voi 1≤ ≤i n

Khi đó, dễ dàng kiểm tra được L là không gian Riesz

Định lí 1.2.1 Mỗi không gian Riesz L có tính chất sau

i) (Tính chất phân hoạch trội) Nếu 0 ≤ ≤ +u z1  +z p với z n∈L+ thì tồn tại

1, , p

u u ∈L+ sao cho u= +u1  +u p và u n ≤z n voi n= 1, ,p

ii) (Tính chất nội suy Riesz) Nếu u v z z, , , 1 2 ∈L+ và u+ = +v z1 z2 thì tồn tại u u v v1, 2, ,1 2 sao cho

Định lí 1.2.2 Nếu u, v và w là các phần tử thuộc không gian Riesz L thì

Định lí 1.2.3 Bao lồi của tập khối trong không gian Riesz là tập khối

Định nghĩa 1.2.5 Cho K là không gian véctơ con của không gian Riesz L Khi đó, ta nói

rằng

i) K là không gian Riesz con của L nếu mỗi cặp u v, ∈K thì u∨v thuộc K

ii) K là ideal của L nếu K là khối con của L

iii) ideal K là bó nếu tồn tại tập con của A có supremun trong L thì supremun thuộc A

Từ c) của định lí 1.2.2 ta thấy rằng một không gian véctơ con K của không gian Riesz L là không gian Riesz con nếu và chỉ nếu với mỗi u∈K thì u+∈K Vì 0≤u+ ≤ u nên mỗi ideal là không gian Riesz con, chiều ngược lại không đúng nhưng ta có thể chứng minh được bằng mệnh đề sau

Mệnh đề 1.2.1 Không gian Riesz con K là ideal của L nếu 0 ≤ ≤u v và v∈K thì u∈K

Mỗi tập con D của không gian Riesz L đều nằm trong ideal nhỏ nhất A gọi là ideal sinh

bởi D Khi đó, A là giao của tất cả các ideal chứa D, nghĩa là

Tương tự, thì uα ↓ là ký hiệu lưới giảm trong không gian Riesz L Ta cũng sẽ ký hiệu

uα ↑u được hiểu là lưới { }uα tăng và tồn tại supremun của { }uα bằng u Ý nghĩa tương tự cho ký hiệu uα ↓u

Định nghĩa 1.2.6 Lưới { }uα của không gian Riesz L hội tụ thứ tự đến u∈L , ký hiệu uα( )o u nếu tồn tại lưới { }vα sao cho vα ↓ 0 thì uα − ≤u vα,∀α

Từ e) và f) của định lí 1.2.6 dễ dàng thấy rằng giới hạn của lưới là duy nhất Đồng thời, hội

tụ thứ tự có các tính chất sau

Tập con S của không gian Riesz L gọi là đóng thứ tự nếu với mỗi { }uα ⊆S sao cho uα →u

thì u∈S Khi đó, ideal đóng thứ tự được gọi là bó Đồng thời, ideal A

là bó nếu và chỉ nếu 0 ≤uα ↑u với { }uα ⊆A thì u∈A

Định nghĩa 1.2.7 Cho K là không gian Riesz con của không gian Riesz L Khi đó, K

được gọi là trù mật thứ tự trong L nếu với mỗi 0 < ∈u L tồn tại v∈K sao cho 0 < ≤v u

Hai phần tử u và v của một không gian Riesz gọi là trực giao, ký hiệu u⊥v nếu

Hệ quả 1.2.1 A trù mật thứ tự trong L nếu và chỉ nếu A d ={ }0

Hệ quả 1.2.2 Với mỗi ideal A trong không gian Riesz L thì ideal d

A⊕A trù mật thứ tự trong L

Một điều thú vị của không gian Riesz là lớp các không gian Riesz Archimedes

Định nghĩa 1.2.8 Một không gian Riesz L được gọi là Archimedes nếu với u v, ∈L+ và

*

,

nu≤ ∀ ∈ v n thì u=0

Dễ dàng kiểm tra được rằng không gian Riesz con của không gian Riesz Archimedes cũng

là không gian Archimedes

Định lí 1.2.6 Cho K là không gian Riesz con của không gian Riesz Archimedes L Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương

i) K trù mật thứ tự trong L

ii) Với mỗi u∈L+ thì u=sup{v∈K: 0≤ ≤v u} trong L

Mệnh đề ii) của định lí 1.2.6 tương đương với mỗi u∈L+ tồn tại lưới { }uα ⊆K sao cho

A=A với mọi bó A trong L

iii) Với mọi tập con khác rỗng S của L+ thì inf{u v u− : ∈S v, ∈T}=0 với

T = ∈v L ≤ ≤ ∀ ∈v u u S

Định nghĩa 1.2.9 Ánh xạ tuyến tính π: L→M với L và M là hai không gian Riesz được gọi là

• đồng cấu Riesz nếu u∧v trong L thì π( )u ∧π( )v trong M

• đẳng cấu Riesz nếu π đồng cấu Riesz và song ánh

Hai không gian Riesz L và M được gọi là đẳng cấu nếu có một đẳng cấu Riesz giữa chúng Đồng cấu Riesz bảo toàn cấu trúc dàn được mô tả bởi định lí sau

Định lí 1.2.8 Cho ánh xạ tuyến tính π : L→M giữa hai không gian Riesz L và M Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương

Định lí 1.2.9 Nếu π là đồng cấu Riesz thì

i) u≥v trong L thì πu≥πv trong M

ii) Hạt nhân của π là ideal của L

Từ định lí 1.2.9 nếu cho v=0 thì πu≥0 thì ta gọi π là ánh xạ tuyến tính dương Do đó, mọi đồng cấu Riesz đều là ánh xạ tuyến tính dương dẫn đến mọi đẳng cấu Riesz đều là ánh

xạ tuyến tính dương 1-1 nhưng chiều ngược lại không đúng Định lí sau sẽ cho chúng ta điều kiện để chiều ngược lại đúng

Định lí 1.2.10 Song ánh tuyến tính dương π là đẳng cấu Riesz nếu và chỉ nếu π− 1 dương

Ví dụ 1.2.2

Cho L là mặt phẳng hai chiều với thứ tự tọa độ theo điểm tức là

và M là mặt phẳng hai chiều với thứ tự như sau

Ánh xạ đồng nhất từ L vào M là ánh xạ tuyến tính dương 1-1 nhưng chiều ngược lại không dương

Đồng thời, L và M không đẳng cấu Riesz bởi vì ánh xạ tuyến tính 1-1 từ M vào L biến nửa mặt phẳng {( ,y y1 2) :y1 >0} thành nửa mặt phẳng nhưng nửa mặt phẳng này không dương trong L Hơn nữa, L là Archimedes còn M thì không

Định lí 1.2.11 Cho π : L→M là đồng cấu Riesz và S là khối con của L Khi đó, π( )S

cũng là tập khối con của M

Định nghĩa 1.2.10 Cho L là không gian Riesz và A⊂L

Với hai phần tử u v, ∈L đoạn thứ tự [ ]u v, được định nghĩa như sau

[ ]u v, :={w∈L u: ≤ ≤w v}

Tập con A của L bị chặn thứ tự nếu A chứa trong một đoạn thứ tự

Ánh xạ tuyến tính T L: →M với L và M là hai không gian Riesz được gọi là bị chặn thứ

tự nếu A bị chặn thứ tự trong L thì T A( ) bị chặn thứ tự trong M

Tập con A của không gian X là tập con đóng bất khả quy của X nếu A=cl (X intA)

Ánh xạ f :X →Y với X và Y là hai không gian bất kỳ được gọi là ánh xạ đóng bất khả quy nếu A là tập con đóng bất khả quy trong X thì f A( ) là tập đóng trong Y

1.2.2 Tôpô kh ối địa phương

Định nghĩa 1.2.11 Một tôpô τ trên không gian véctơ E được gọi là tôpô tuyến tính nếu hai hàm

Một không gian véctơ tôpô ( , )E τ là không gian véctơ E được trang bị một tôpô tuyến tính

τ Mỗi tôpô tuyến tính τ trên E đều có một cơ sở V là lân cận tại 0 đồng thời thỏa mãn ba tính chất sau

Ngược lại, nếu một họ V các tập con của không gian véctơ E tạo thành một cơ sở lọc, tức là

thỏa mãn ba tính chất trên thì tồn tại duy nhất một tôpô tuyến tính τ trên E có cơ sở là họ

sao cho tôpô sinh bởi d là τ

Định lí 1.2.13 Không gian véctơ tôpô Hausdorff ( , )Eτ là khả mêtríc nếu và chỉ nếu τ có một cơ sở lân cận đếm được tại 0

Tập con A của không gian véctơ tôpô được gọi là chặn tôpô nếu với mỗi τ -lân cận V của

0 tồn tại λ>0 sao cho λ ⊆A V Tôpô lồi địa phương τ trên E là tôpô tuyến tính có cơ sở tại 0 gồm các tập hợp lồi

Định nghĩa 1.2.13 Một không gian véctơ ( , )Eτ là không gian lồi địa phương nếu τ là tôpô lồi địa phương Hausdorff

Nếu { }ρ α là họ nửa chuẩn trên không gian véctơ E thì ta luôn định nghĩa tôpô lồi địa

phương trên E sinh bởi họ nửa chuẩn đó

Định lí 1.2.14 Cho τ là tôpô tuyến tính trên E Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương i) τ là tôpô lồi địa phương

ii) Tồn tại họ nửa chuẩn { }ρ trên α E sinh ra tôpô τ

Tập con A của không gian lồi địa phương ( , )E τ với τ là tôpô sinh bởi họ nửa chuẩn { }ρ α

là τ -bị chặn nếu và chỉ nếu ρα( )A bị chặn trong  với mọi α

Định nghĩa 1.2.14 Không gian Fréchet là không gian véctơ lồi địa phương đầy đủ, khả

mêtríc

Như vậy mọi không gian Banach đều là không gian Fréchet

Bổ đề 1.2.1 Trong một không gian Fréchet E mỗi tập V lồi, cân đối, đóng và hấp thụ là một lân cận của 0

Một tập lồi, cân đối, đóng và hấp thụ trong một không gian lồi địa phương cũng được gọi là một thùng Khi đó, một không gian lồi địa phương trong đó mọi thùng đều là lân cận của 0 gọi là một không gian thùng Điều này dẫn đến mọi không gian Fréchet đều là không gian thùng

Định nghĩa 1.2.15 Một tôpô tuyến tính τ (không cần thiết là Hausdorff) trên không gian Riesz L được gọi là khối địa phương nếu τ có một cơ sở lân cận của 0 gồm tập hợp các khối

Một không gian Riesz L được trang bị một tôpô khối địa phương τ được gọi là không gian Riesz khối địa phương ( , )Lτ Kết quả sau đây thể hiện đặc trưng của tôpô tuyến tính đó là khối địa phương

Định lí 1.2.15 Cho τ là tôpô tuyến tính trên không gian Riesz L Khi đó, các mệnh đề sau

là tương đương

Tính liên tục của uu+ tại 0 từ định lí 1.2.15 có đủ đảm bảo tôpô tuyến tính τ là khối địa phương không? Câu trả lời là không, xem ví dụ ở [1]

Gọi {(Lα,τα)} là họ không gian Riesz khối địa phương Ta đặt

Định lí 1.2.16 Giả sử {(Lα,τα)} là họ không gian Riesz khối địa phương Khi đó ( , )Lτ là không gian Riesz khối địa phương

Tiếp theo là một tính chất của không gian Riesz khối địa phương Hausdorff

Định lí 1.2.17 Cho ( , )Lτ là không gian Riesz khối địa phương Hausdorff Khi đó, ta có các mệnh đề sau

1.2.3 Gi ới hạn quy nạp

Cho X là không gian véctơ tôpô, họ không gian lồi địa phương Xλ với λ∈I và với mỗi

I

λ∈ một họ ánh xạ tuyến tính vλ :Xλ →X Gọi ψ là tập tất cả các tôpô lồi địa phương trên

X sao cho trong mỗi tôpô ấy thì họ ánh xạ tuyến tính vλ liên tục Nếu G∈ψ và G′ là tôpô lồi địa phương yếu hơn G thì G′∈ψ Do đó, ta sẽ quan tâm tới tôpô mạnh nhất trong họ ψ , tôpô đó gọi là tôpô lồi địa phương tận cùng của họ các tôpô trên Xλ đối với họ ánh xạ tuyến tính vλ

Định nghĩa 1.2.16 Không gian véctơ tôpô X với tôpô lồi địa phương tận cùng được gọi là giới hạn quy nạp của các không gian lồi địa phương Xλ đối với

các ánh xạ tuyến tính liên tục vλ

Vấn đề đặt ra liệu có tồn tại tôpô lồi địa phương tận cùng hay không?

Định lí 1.2.18 Cho B là họ các tập V ⊂X lồi, cân đối và hấp thụ sao cho mỗi 1( )

vλ− V là lân cận trong Xλ Khi đó, tôpô lồi địa phương tận cùng chính là tôpô nhận B làm cơ sở lân cận

Nếu không gian véctơ tôpô sinh bởi ( )

Hệ quả 1.2.3 Giới hạn quy nạp của các không gian thùng cũng là không gian thùng

1.3 Không gian h ội tụ

Như đã biết, các khái niệm của tôpô đều mô tả được sự hội tụ nhưng không thỏa mãn tiên đề Moore - Smith, đó là cấu trúc hội tụ và không gian hội tụ

Định nghĩa 1.3.1 Một cấu trúc hội tụ λ trên tập X là ánh xạ đi từ X vào tập powerset của tập tất cả các lọc trên X thỏa mãn các điều kiện sau

Nếu λ là cấu trúc hội tụ trên tập X thì cặp ( , )X λ được gọi là không gian hội tụ Đôi khi, ta cũng ký hiệu X thay cho cặp ( , )X λ Nếu F∈λ( )x điều này có nghĩa là F hội tụ về x Khi

đó, mỗi tôpô τ trên X đều được đồng nhất với cấu trúc hội tụ tự nhiên λ trên τ X được xác định như sau

Lưu ý rằng, trong trường hợp này U xτ( ) là τ -lân cận lọc tại x

Ví dụ 1.3.1 Cho ( , )X λ là không gian hội tụ hoặc không gian tôpô Ta định nghĩa cấu trúc hội tụ µ trên X như sau

Khi đó, ( , )X µ là không gian hội tụ hoặc biến đổi siêu lọc

Định nghĩa 1.3.2 Cho hai không gian hội tụ X và Y Ánh xạ f :X →Y liên tục tại x∈X nếu F →x trong X thì f F( ) → f x( ) trong Y

Nếu f liên tục tại mọi x∈X thì ánh xạ f được gọi là liên tục trên X Từ định nghĩa cấu trúc hội tụ và sự liên tục của hai không gian hội tụ cho ta nhận xét sau

\begin{itemize}

• Cho λ và µ là hai cấu trúc hội tụ trên tập X Ta nói λ mịn hơn µ nếu với mọi

x∈X thì λ( )x ⊆µ( )x điều này cũng tương đương với ánh xạ đồng nhất

Từ các không gian hội tụ đã biết, chúng ta sẽ xây dựng một cấu trúc hội tụ mới đó là cấu trúc hội tụ đầu và cuối Cấu trúc này sẽ cho phép chúng ta xây dựng không gian con, tích,

Định nghĩa 1.3.3 Cho họ { } X i i I∈ của các không gian hội tụ X i và ánh xạ f i:X →X i với

X là tập bất kỳ Lọc F hội tụ đến x trong cấu trúc hội tụ đầu trên X đối với ( )f i i I∈ nếu và chỉ nếu f F i( )→ f x i( ) trong X i với i∈I

Dễ thấy rằng cấu trúc hội tụ đầu là cấu trúc hội tụ thô nhất trên X tác động đến các f i liên tục Đặc biệt, cấu trúc hội tụ đầu cũng chính là cấu trúc hội tụ

Định nghĩa 1.3.4 Cho họ { }X i i I∈ của các không gian hội tụ X i và ánh xạ f i:X →X i với

X là tập bất kỳ Lọc F hội tụ đến x trong cấu trúc hội tụ cuối trên X đối với ( )f i i I∈ nếu

và chỉ nếu F =[ ]x hoặc nếu tồn tại hữu hạn i1, ,i n điểm x k∈X i k và lọc F k

Định nghĩa 1.3.5 Một không gian hội tụ X được gọi là

Từ định nghĩa 1.3.5 cho ta quy tắc sau

Bổ đề 1.3.1 Nếu ánh xạ f :X →Y liên tục với X và Y là hai không gian hội tụ thì