Báo cáo nghiên cứu khoa học: " Sự hội tụ trong không gian của mảng nhiều chiều các toán tử đo được khả tích đều" ppsx

Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Sự hội tụ trong không gian của mảng nhiều chiều các toán tử đo được khả tích đều"... Sự hội tụ trong không gian của mảng nhiều chiều cáctoán tử đo được

Báo cáo nghiên cứu

khoa học:

"Sự hội tụ trong không gian của

mảng nhiều chiều các toán tử đo được

khả tích đều"

Sự hội tụ trong không gian của mảng nhiều chiều các

toán tử đo được khả tích đều

Nguyễn Văn Quảng (a), Lê khánh Kiều(b)

Tóm tắt Trong bài báo này, chúng tôi trình bày một số kết quả về sự hội tụ trong

không gianLp của mảng nhiều chiều các toán tử đo được khả tích đều trong đại số von Neumann Các kết quả này là sự mở rộng một số kết quả gần đây (xem [4], [6], [8]).

I Mở đầu

Trong thời gian gần đây có nhiều bài báo nghiên cứu về sự hội tụ theo trung bình

và luật yếu số lớn đối với mảng nhiều chỉ số các biến ngẫu nhiên khả tích đều (xem

[1], [5], [8], ) Việc nghiên cứu những kết quả tương tự trong lý thuyết xác suất không giao hoán cũng đang được nhiều nhà toán học quan tâm Bài báo này nghiên cứu về sự hội tụ trong không gianLp(p = 1, 2)của mảng nhiều chỉ số các toán tử đo

được khả tích đều

Trong suốt bài báo, ta luôn giả sử H là không gian Hilbert phức; Alà đại số von Neumann của các toán tử tác động lên không gian HilbertHvới trạng thái vết chuẩn tắc, chính xácτ;A˜là đại số các toán tử đo được tương ứng theo nghĩa Segal- Nelson (xem [3]) Với p > 0, x ∈ A, đặt kxkp = [τ (|x|p)]1/p, với |x| là toán tử dương duy nhất xác định bởi đẳng thức |x|2 = x∗x Khi đó, (A, k.kp) là một không gian định chuẩn Ký hiệuLp(A, τ )là không gian Banach bé nhất chứa (A, k.kp), ta có

Lp(A, τ ) := {x ∈ ˜A : τ (|x|p) < ∞}

Đối với mỗi toán tử tự liên hợp x ∈ ˜A, ta kí hiệu eM(x)là phép chiếu phổ của x

tương ứng với tập BorelM⊂ R Hai toán tử tự liên hợp x, y ∈ ˜A được gọi là có cùng phân phối nếuτ (eM(x)) = τ (eM(y))với mọi tập Borel M⊂ R

Với d là số nguyên dương cho trước, đặt

Nd=n = (n1, n2, , nd), ni ∈ N, i = 1, , d

Nd được sắp thứ tự bộ phận bởi quan hệ:

k  m ⇔ ki 6 mi, với mọi i = 1, , d

với k = (k1, k2, , nd), m = (m1, m2, , md)

Với n ∈ Nd, n = (n1, n2, , nd), ta đặt

|n| =

d Y i=1

ni = Card{k ∈ Nd, k  n}

1 Nhận bài ngày 11/12/2008 Sửa chữa xong 06/4/2009.

Cho mảng (xn, n ∈ N d) ⊂ Lp(A, τ )và x ∈ Lp(A, τ ) Ta nói (xn, n ∈ N d)hội tụ

(i) theo tôpô độ đo tớix và viết xnư→ xτ nếu

lim

|n|→∞τ (e[ε,∞)(|xnư x|)) = 0với mọi ε > 0

(ii) trong không gianLp tớix và viết xnư→ xLp nếu

lim

|n|→∞τ (|xnư x|p) = 0

Hai đại số conA1, A2 của Ađược gọi là độc lập, nếu với mọix ∈ A1, y ∈ A2 ta có

τ (xy) = τ (x)τ (y)

Hai phần tửx, y ∈ ˜A được gọi là độc lập nếu các đại số sinh bởixvàytương ứng

là độc lập

Mảng(xn, n ∈ N d) ⊂ ˜A được gọi là độc lập đôi một, nếu với mọim, n ∈ N, n 6= m

thì các toán tửxn,xm độc lập

Mảng(xn, n ∈ Nd) ⊂ ˜A gọi là khả tích đều nếu

(i) sup n∈N d

τ (|xn|) < ∞,

(ii)∀ε > 0, ∃c > 0 : sup

n∈N d

τ |xn|e[c,∞)(|xn|)
< ε

Giả sử mảng(xn, n ∈ Nd) ⊂ ˜Avà x ∈ ˜A Khi đó, nếu tồn tại một hằng sốC > 0

sao cho với mọi λ > 0và mọin ∈ Nd

τ e[λ,∞)(|xn|)
6 Cτ e[λ,∞)(|x|)
,

thì ta viết(xn) ≺ x

Định lý sau là dạng không giao hoán của bất đẳng thức Tchebyshev

không giảm Khi đó với mỗiε > 0cho trước ta có

τ [e[ε,∞)(|x|)] 6 τ (g(|x|))

g(ε) .

Từ định lý này ta suy ra được hệ quả sau mà nó là dạng không giao hoán của bất

đẳng thức Markov

p

εp , với mọi

p > 0.

Từ hệ quả này ta có thể suy ra được rằng: sự hội tụ trong không gianLp là mạnh hơn sự hội tụ theo tôpô độ đo

Độc giả quan tâm có thể tìm đọc thông tin đầy đủ hơn về xác suất không giao hoán trong [3]

II Các kết quả

Trước hết, ta chứng minh bổ đề sau

τ |x + a|r
6 Cr τ (|x|r) + |a|r
,

trong đó

Cr = 1 nu r 6 1

2rư1 nu r > 1

Chứng minh Giả sử toán tử tự liên hợpx ∈ ˜A có biểu diễn phổ là

x =

Z ∞

ư∞

λe(dλ)

Khi đó, từ bất đẳng thức sơ cấp |α + β|r

6 Cr(|α|r+ |β|r), α, β ∈ R ta có

τ (|x + a|r) =

Z ∞

ư∞

|λ + a|rτ e(dλ)
6 Cr

Z ∞

ư∞

(|λ|r+ |a|r)τ e(dλ)
= Cr τ (|x|r) + |a|r
2

Kết quả chính của bài báo này là định lý sau Đây cũng chính là dạng không giao

hoán của một phần định lý2.1 trong[8]

sao cho{|xn|, n ∈ N d}khả tích đều Khi đó

1

|n|

X in (xiư τ (xi))ư→ 0L1 khi|n| → ∞

Chứng minh Vì{|xn|} khả tích đều nên với mọiε > 0, tồn tại M > 0 sao cho

τ |xn|e[M,∞)(|xn|)
< ε, ∀n ∈ Nd

Với mọi n ∈ N, ta đặt x0n = xne[0,M )(|xn|), x00

n = xne[M,∞)(|xn|) Theo Bổ đề 1, ta có

τ |x00nư τ (x00

n)| 6 2τ (|x00n|) < 2ε Từ đó ta thu được

τ |X

in

(xiư τ (xi))| 6 τ |X

in

(x0iư τ (x0i))| + τ |X

in (x00i ư τ (x00i))|

6 [τ |X in

(x0iư τ (x0i))|2]1/2+X

in

τ |x00i ư τ (x00i)|

Vì mảng (xn, n ∈ N d) độc lập đôi một nên

τ ( X in

x0iư τ (x0i)


2 )

= τ X in

(x0iư τ (x0i))∗.X

in (x0iư τ (x0i))

= τ X in

|x0i ư τ (x0i)|2+X

i6=j [x0iư τ (x0i)]∗[x0j ư τ (x0j)]

= X in

τ (|x0iư τ (x0

i)|2) +X

i6=j

τ ((x0iư τ (x0

i))∗[x0j ư τ (x0

j)])

=X in

τ (|x0iư τ (x0i)|2) 6X

in

τ (|x0i|2 ) 6 |n|M2

Mặt khác, nhờ bất đẳng thức Minkovski và lập luận trên ta có

τ |X in

(x00i ư τ (x00i)| 6X

in

τ |x00i ư τ (x00i)| < 2|n|ε

Do đó, ta nhận được τ |P

in(xi ư τ (xi))| 6 (|n|M2)1/2+ 2|n|ε Điều này chứng tỏ

τ |X

in

(xiư τ (xi))| = o(|n|)khi|n| → ∞ Định lý được chứng minh

Hệ quả sau là dạng không giao hoán của luật yếu số lớn Đây cũng chính là mở rộng Hệ quả 2.4 trong [6]

một, cùng phân phối sao cho τ (|x1|) < ∞ Khi đó 1

|n|

X in

xi → τ (x1) trong không

gian L1 và theo tôpô độ đo khi |n| → ∞ Chú ý rằng nếu (xn, n ∈ Nd) ⊂ ˜A, x ∈ ˜A

sao cho(xn) ≺ x vàτ (|x|) < ∞thì mảng (|xn|, n ∈ N d) khả tích đều Do đó ta có hệ quả sau.

đôi một, xlà toán tử đo được sao cho (xn) ≺ x vàτ (|x|) < ∞ Khi đó 1

|n|

X in

xiư

τ (xi)
→ 0 trong không gian L1 và theo tôpô độ đo khi |n| → ∞ Với trường hợp

p = 2, ta có định lý sau.

sao cho{|xn|2

, n ∈ Nd} khả tích đều Khi đó

1

|n|

X in (xiư τ (xi))ư→ 0L2 khi|n| → ∞

Chứng minh Vì {|xn|2, n ∈ Nd} khả tích đều nên với mọi ε > 0, tồn tại M > 0

sao cho τ |xn|2e[M,∞)(|xn|)

< ε, với mọi n ∈ Nd Với mỗi n ∈ Nd, ta đặt x0n =

xne[0,M )(|xn|), x00

n= xne[M,∞)(|xn|) Khi đó nhờ Bổ đề 1, ta nhận được τ |x00nưτ (x00

n)|2 6 4τ (|x00n|2) < 4ε Mặt khác ta có

τ |X

in

(xiư τ (xi))|2 6 τ |X

in

(x0iư τ (x0i)|2+ τ |X

in (x00i ư τ (x00i)|2

Vì mảng (xn, n ∈ N d) độc lập đôi một nên

τ ( X in

x0iư τ (x0i)


2 )

= τ X in

(x0iư τ (x0i))∗.X

in (x0iư τ (x0i))

= τ X in

|x0i ư τ (x0i)|2+X

i6=j [x0iư τ (x0i)]∗[x0j ư τ (x0j)]

= X in

τ (|x0iư τ (x0i)|2) +X

i6=j

τ ((x0iư τ (x0i))∗[x0j ư τ (x0j)])

=X in

τ (|x0iư τ (x0i)|2) 6X

in

τ (|x0i|2 ) 6 |n|M2

Lập luận tương tự, ta có

τ |X

in

(x00i ư τ (x00i)|2 6X

in

τ |x00i ư τ (x00i)|2 6 4X

in

τ |x00i|2

6 4|n|ε

Do đó, ta thu được τ |P

in(xiư τ (xi))|2 6 (|n|M2) + 4|n|ε Vì thế ta có

τ |X in (xiư τ (xi))|2 = o(|n|2) kh |n| → ∞

Chú ý rằng từ điều kiện mảng (xn, n ∈ Nd)bị chặn đều trong L2(A, τ ), ta suy ra

được mảng(|xn|2, n ∈ Nd) khả tích đều Từ đó ta có

lập đôi một Khi đó, nếu dãy(xn, n ∈ Nd)bị chặn đều trong L2(A, τ ), thì

1

|n|

X kn (xkư τ (xk)) → 0,

trong không gian L2 và theo tôpô độ đo khi |n| → ∞

tµi liÖu tham kh¶o

[1] M O Cabrera, A I Volodin, Convergence of randomly weighted sums of

Ba-nach space valued random elements under some conditions of uniform integrability,

Journal of Mathematical Sciences , Vol.138, No.1 (2006), 5450-5459

[2]Y S Chow and H Teicher, Probability theory: Independence,

Interchangeabil-ity, martingale, Springer - Verlag, New York, 1997.

[3] R Jajte, Strong limits theorems in non-commutative probability, Lect Notes

Maths, Springer - Verlag, Berlin and New York, 1110 , 1985

[4] J M Lindsay and V Pata, Some weak laws of large numbers in

noncommu-tative probability, Mathematische Zeltschrift, Springer-Verlag (1997), 533-543.

[5]A Rosalsky, M Sreehari and A I Volodin, Mean convergence theorem with or

without random indies for randomly weighted sums of random elements in Rademacher type p Banach space, Stochastic Analysis and Applications, 2003, No.5, 1169-1187.

[6]Nguyen Van Quang, On the weak law of d-dimensional arrays in von Neumann

algebra, Vietnam Journal of Mathematics 30: 3(2003), 261-265.

[7] Nguyen Van Quang, On the law of large numbers of Hsu - Robbins type in

non-commutative probability, Journal of Mathmatics 22(1994), 50-58.

[8]Le Van Thanh, On theLp-convergence for multidimensional arrays of random variables, International Journal of Mathematics and Mathematics Sciences, 2005:

8(2005),1317-1320

Summary

On theLp-convergence for sequences of measurable

operators uniform integrability

In this paper, we present some results on theLp-convergence for multidimensional arrays of uniformly integrable measurable operators in von Neumann algebras Our results generalize some recent ones (see [4], [6], [8])

(a) Khoa To¸n, Tr−êng §¹i Häc Vinh

(b) Cao häc 14, chuyªn ngµnh XSTK, Tr−êng §¹i Häc Vinh.

tài liệu tham khảo

[1] M O... class="text_page_counter">Trang 6

Chứng minh Vì {|xn|2, n ∈ Nd} khả tích nên với ε > 0, tồn M > 0

sao...

Chú ý từ điều kiện mảng (xn, n ∈ Nd)bị chặn L2(A, τ ), ta suy

được mảng( |xn|2, n ∈ Nd) khả tích Từ ta có

lập