TÍCH PHÂN P-ADIC VÀ CÁC ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Gần đây đã có một số tác giả xây dựng được các tích phân p-adic và sử dụng chúng như là các các phép biến đổi Mellin-Mazur để nội suy các hàm giải tích p-adic và một số ứng dụng thú vị k

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

NGUYỄN THỊ CẨM THẠCH

TÍCH PHÂN P-ADIC VÀ CÁC ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số

Mã số: 604605

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

Thành phố Hồ Chí Minh - 2009

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được thực hiện hoàn thành tại trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh do công sức nghiên cứu, tham khảo tài liệu của bản thân dưới sự hướng

dẫn tận tình,chu đáo của PGS.TS Mỵ Vinh Quang Bằng những kiến thức mà tôi

đã học được trong hai năm qua ở lớp cao học khoá 17 ngành Đại số và lý thuyết số làm nền tảng cho tôi nghiên cứu tiếp các sách tham khảo để viết lên cuốn luận văn

này Tôi xin chân thành tỏ lòng tôn kính và biết ơn sâu sắc đối với thầy PGS.TS

Mỵ Vinh Quang, thầy đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn tôi trong suốt quá trình học

tập và thực hiện luận văn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với quý thầy PGS.TS Bùi Tường Trí, PGS.TS Lê Hoàn Hoá, TS Trần Huyên và TS Đậu Thế Cấp, quý thầy đã trực tiếp trang bị

cho tôi kiến thức cơ bản làm nền tảng cho quá trình nghiên cứu, cũng như dành thời gian quý báu đọc và góp ý cho luận văn

Tôi vô cùng cảm ơn Ban Giám Hiệu, quý thầy cô Phòng Sau Đại Học Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh và quý thầy cô trường Cao Đẳng Kỹ Thuật

Lý Tự Trọng Thành Phố Hồ Chí Minh nơi tôi đang công tác đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi được học tập và hoàn thành luận văn này

Tôi rất biết ơn gia đình, quý đồng nghiệp và bạn bè đã giúp đỡ và hỗ trợ tinh thần cũng như vật chất cho tôi trong thời gian qua

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn chồng và hai con yêu quí, những người đã chấp nhận khó khăn để tôi yên tâm học tập và luôn mong mỏi tôi được thành công

TP Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2009

Nguyễn Thị Cẩm Thạch

MỤC LỤC

Trang phụ bìa……….1

Lời cảm ơn……… 2

Mục lục ……… 3

Danh mục các ký hiệu……….4

MỞ ĐẦU………5

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TRƯỜNG SỐ P-ADIC……… 6

1.1 Chuẩn trên một trường……….6

1.2 Xây dựng trường số p-adic p……… 11

1.3 Tính chất tô pô của p……… 17

1.4 Trường số phức và hàm chỉnh hình p-adic……….23

Chương 2 XÂY DỰNG ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN P-ADIC……….25

2.1 Không gian các hàm hằng địa phương……… 25

2.2 Độ đo p-adic……… 28

2.3 Một số độ đo thường dùng………32

2.4 Tương tự p-dic của tích phân Riemann……….33

2.5 Điều kiện khả tích……….35

Chương 3 TÍCH PHÂN SCHNIRELMAN VÀ CÁC ỨNG DỤNG……….45

3.1 Một số kết quả về lý thuyết tích phân Cauchy trong giải tích phức… 45

3.2 Tích phân Schnirelman……… 46

3.3 Lớp  D ……… 56

KẾT LUẬN CỦA LUẬN VĂN………64

TÀI LIỆU THAM KHẢO……….65

MỞ ĐẦU

Giải tích p-adic là một trong các hướng mới mà đang phát triển nhanh của ngành Đại số và Lý thuyết số Gần đây đã có một số tác giả xây dựng được các tích phân p-adic và sử dụng chúng như là các các phép biến đổi Mellin-Mazur để nội suy các hàm giải tích p-adic và một số ứng dụng thú vị khác trong việc nghiên cứu hàm p-adic Mục tiêu chính của luận văn là xây dựng tích phân Schnirelman và nghiên cứu một số ứng dụng của tích phân Schnireman để nghiên cứu các hàm chỉnh hình p-adic.Luận văn gồm 3 chương

Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TRƯỜNG SỐ P-ADIC

Trong chương này, chúng tôi trình bày cách xây dựng trường số p-adic pvà trường số phức p-adic p Sau đó, chúng tôi đưa ra một số tính chất cơ bản về trường số p-adic nhằm phục vụ cho chương 2 và chương 3

Chương 2: ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN P-ADIC

Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm độ đo p-adic, độ đo bị chặn

và độ đo tăng chậm Từ đó chúng tôi đưa ra định nghĩa tổng Riemann, tích phân adic là tương tự p-adic của tích phân Riemann và điều kiện khả tích cho hàm liên tục ứng với độ đo bất kỳ

Chương 3: TÍCH PHÂN SCHINIREMAN VÀ CÁC ỨNG DỤNG

Trong chương này, chúng tôi đi xây dựng tích phân Schinelman và lớp  D

Từ đó chúng tôi đi nghiên cứu một số ứng dụng của tích phân Schinelman để tìm tương tự p-adic của một số định lý và tính chất của tích phân Cauchy trong giải tích phức

Phần kết luận của luận văn chúng tôi nêu ra các đóng góp chính của luận văn và kiến nghị về hướng phát triển của nó

Vì thời gian có hạn, luận văn không tránh khỏi những những thiếu sót Kính mong các thầy cô và các bạn đồng nghiệp vui lòng chỉ bảo và lượng thứ

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TRƯỜNG SỐ P-ADIC

Trong phần này chúng tôi trình bày cách xây dựng trường số p-adic và một số tính chất pô tô của nó Cách xây dựng trường số p-adic đã được nhiều tác giả trình bày với nhiều phương pháp khác nhau Ở đây chúng tôi trình bày cách xây dựng trường

số p-adic bằng phương pháp giải tích của N.KOBLITZ Vì theo chúng tôi đây là cách xây dựng trường số p-adic một cách “tự nhiên” nhất Sau khi xây dựng trường

số p-adic chúng tôi đưa ra một số tính chất tô pô cơ bản nhất của nó

Các kết quả trình bày trong phần này hầu hết không chứng minh, ở đây chúng tôi chỉ chứng minh một số kết quả cơ bản, quan trọng có liên quan đến chương chính của luận văn đó là chương 2 và chương 3

1.1 Chuẩn trên một trường

Ví dụ 2 Cho K là một trường tùy ý Ánh xạ được xác định :

1.1.3 Chú ý

Giả sử là một chuẩn trên trường K Ta có thể chứng minh hàm d từ KxK vào tập

các số thực không âm xác định bởi d(x,y)  xy là một hàm mêtric trên trường K

và được gọi là mêtric tương ứng với chuẩn

Tô pô sinh bởi mêtric tương ứng được gọi là tô pô tương ứng của chuẩn

1.1.5 Định nghĩa hai chuẩn tương đương

Hai chuẩn 1 và 2 trên trường K được gọi là tương đương nếu tô pô cảm sinh hai mêtric tương ứng của chúng là như nhau Kí hiệu 1~ 2

1.1.6 Định lý

Giả sử 1, 2là hai chuẩn trên trường K, các mệnh đề sau là tương đương:

1 x1  1  x2  1 với mọi xK

2 x1  1  x2  1 với mọi xK

3 Tồn tại hằng số dương C > 0 sao cho x 1 x2C với mọi xK

4 {x n } là dãy Cauchy đối với 1 { }x n là dãy Cauchy đối với 2

5 1~ 2

Chứng minh

1) 2)

Với mọi xK , giả sử x1  1 ta cần chứng minh x2  1

Giả sử ngược lại, tức là x2  1 Ta có: 1 1 1 1 1 1

2 2 2

2 2

x

Điều này vô lý vì x1  1 Vậy x2  1

2)  1) Chứng minh tương tự như trên

1)  3)

Giả sử x1  1  x2  1 với mọi xK.Ta xét hai trường hợp sau :

 Trường hợp 1 : Nếu có một trong hai chuẩn tầm thường thì ta chứng minh

chuẩn còn lại cũng tầm thường

Thật vậy: Gỉa sử chuẩn 1 tầm thường thì với mọi xK,x0, ta có x1  1 Nếu 1

1 1

1 2

2     

x x

Do đó x2  1 hay chuẩn 2 là tầm thường Do đó tồn tại C=1 thỏa x 1 x2C với mọi

K

x

 Trường hợp 2 : Nếu cả hai chuẩn không tầm thường

Vì 1không tầm thường nên tồn tại x0Ksao cho x01  1,do đó ta có 1

0 1

0 1

11

x

x

   Nên x0 2  1 Đặt x0 1 a và x0 2 b thì a, b>1

Khi đó, với mọi xKta viết x1a với   loga x1 Ta chứng minh x2 b

n

  và r  thì x2 b r

Do đó nếu ta lấy dãy  r n  và r n , n mà r n  thì từ bất đẳng thức trên ta được : x2 b

Hoàn toàn tương tự, nếu lấyr m

Từ giả thiết x1  1 suy ra x1n 0đối với chuẩn 1

Nên  x n 0 theo chuẩn 1.Mà dãy hội tụ phải là dãy Cauchy

Do đó  x n là dãy Cauchy đối với 1,từ giả thiết ta suy ra  x n là dãy Cauchy đối với 2 Điều này có nghĩa (x n 1 x n)0 đối với chuẩn 2 hay x n(x1)0 đối với chuẩn 2.Do đó 1 2 0

Do đó: A1   a A : B 1 (a,r) A (vì A là tập mở)

  a A:  B a r2 , C1 

 

  A  A2

Vậy 1 2 nên theo định nghĩa ta có 1 ~ 2

1.1.7 Định nghĩa chuẩn phi Archimede

Cho K là một trường Chuẩn trên trường K được gọi là chuẩn phi Archimede trên trường K nếu với mọi x,yK : x y maxx y, 

1.1.8 Ví dụ về chuẩn phi Archimede

Ví dụ 1

Chuẩn tầm thường trên K là chuẩn phi Archimede

Ví dụ 2 Nếu K là trường hữu hạn thì mọi chuẩn trên K đều tầm thường, vì vậy nó

là chuẩn phi Archimede

1.1.9 Mệnh đề (nguyên lý tam giác cân)

Cho K là một trường Chuẩn là một chuẩn phi Archimede trên trường K Khi đó nếu với mọi x,yK mà x  y thì xy  max x, y

Chứng minh

Vì vai trò x,y trong mệnh đề như nhau nên ta giả sử x  y

Khi đó ta có: maxx y,  x Nên ta cần chứng minh x y  x

Thật vậy, ta có x y maxx y, và y  x nên x y  x

Nhưng nếu x y  x thì x    x y y maxx y y ,  x (vô lý vì x  x ) Vậy x y  x hay x y  max x, y

1.1.10 Mệnh đề

Dãy  x n F là dãy Cauchy khi và chỉ khi x n1 x n 0 khi n 

1.1.11 Mệnh đề

Cho  x n là dãy Cauchy Nếu x n  0 khi n  thì x n là dãy dừng

1.1.12 Định lý (Điều kiện tương đương của tính phi Archimede )

Cho là một chuẩn trên trường K, các mệnh đề sau là tương đương:

1i) là chuẩn phi Archimede

2i) 2  1

3i) n    1, n

4i) là tập bị chặn

1.2 Xây dựng trường số p-adic p

1.2.1 Định nghĩa ord a p với a

Giả sử p là một số nguyên tố nào đó Với mỗi a ,a0 ta gọi ord p a là số mũ của

p trong sự phân tích a thành các thừa số nguyên tố

Nếu a =0 thì ta quy ước ord p a

1.2.2 Định nghĩa ord x với x p 

Giả sử p là một nguyên tố nào đó Với mỗi x , ta giả sử

Chứng minh

Ta xét các trường hợp xảy ra đối với chuẩn 2

Trường hợp 1 : Nếu 2 > 1 thì từ điều kiện tương đương của tính phi Archimede ta suy ra không là chuẩn phi Archimede

2

11

Suy ra n n C. với mọi n

Nên với mọi k ta có n k n C ka  n nk C

Vậy x = x g với mọi x Theo điều kiện tương đương của chuẩn trong trường hợp 1 ta có g

Trường hợp 2 : Nếu2 1  thì là chuẩn phi Archimede

Từ giả thiết2 1  theo điều kiện tương đương của tính phi Archimede ta cón  1với mọi n

Do là chuẩn không tầm thường nên tồn tại n0 sao cho n0 < 1

Gọi p là số tự nhiên bé nhất thỏa p < 1 và p0 Khi đó p là số nguyên tố

Thật vậy, giả sử plà hợp số thì p p p1 2 với p p1, 2 là số tự nhiên và 1 p p1, 2  p Khi đó p  p p1 2  1 nên suy ra p1  1 hoặc p2  1 ( điều này mâu thuẩn với cách chọn p)

Gọi q là số nguyên tố khác p Ta chứng minh q = 1

Vì n  1 với mọi n nên q  1

Giả sử q < 1 vì (q k,p k ) = 1 nên tồn tại m,n  sao cho mp k nq k 1

Ta có 1 1  mp knq k  m p k  n q k  p k  q k

Cho k   ta được 1  0, điều này vô lý Vậy q  1

Lấy m , m0, xét sự phân tích thành tích các thừa số nguyên tố của m như sau

Vì p1 p mà p1 là số nguyên tố nên p1  1, suy ra 1

p p

1.2.5 Xây dựng trường số số p-adic p

Từ định lý Oxtropxki ta thấy chuẩn không tầm thường trên là giá trị tuyệt đối thông thường g, hoặc là chuẩn phi Archimede p

Mặt khác, ta biết rằng làm đầy đủ theo g ta được trường số thực Vậy làm đầy đủ theo p ta sẽ được trường mới mà ta gọi là trường các số p-adic p

Cụ thể cách xây dựng như sau :

-Kí hiệu S là tập tất cả các dãy Cauchy hữu tỷ theo p

Phần tử nghịch đảo của  x n 0 được chỉ ra như sau :

Vì  x n là dãy Cauchy mà  x n 0 nên x n  0 khi n 

Nên theo mệnh đề 1.1.11 ta có  N sao cho  n N x: n  a  0

Ta chọn dãy  y n cho bởi 0

1

n

n

khi n N y

-Trường p gọi là trường số p-adic p Chuẩn trên p xác định như sau :

Với x x n  p, ta định nghĩa : p lim n p

Mặt khác, ánh xạ j:  p được xác định theo qui tắc với a thì j a    a

là một đơn cấu trường Nên ta có thể xem là trường con của p

Do vậy với a , ta có thể đồng nhất avới j a    a  pvà ta có :

1.2.6 Định nghĩa đồng dư trong p

Với a b,  p ta nói abmodp N nếu N

1.2.8 Biểu diễn p-adic của số x trong p

Với mỗi số x p thì x viết được dưới dạng : 0 1 n

n

Trong đó 0b i  p1với i = 1,2,3,…

Công thức này được gọi là biểu diễn p-adic củax trong p

Nếu x p không thỏa mãn điều kiện x p 1 thì m

Công thức này gọi là công thức biểu diễn p-adic củax trong p

Vậy bất kỳ x p đều có khai triển p-adic : i

1.3 Tính chất tô pô của p

Vì tô pô trong p là tô pô cảm sinh bởi chuẩn phi Archimede nên nó có nhiều tính chất khác lạ so với tô pô thông thường

Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày một số tính chất tô pô cơ bản của pnhằm phục vụ cho chương 2 và chương 3

1.3.1 Định nghĩa hình cầu, mặt cầu trong p

Cho a p và r là số thực dương ta định nghĩa :

1.3.2 Mệnh đề

1 Mọi hình cầu, mặt cầu trong p đều là những tập vừa mở, vừa đóng

2 Hai hình cầu bất kỳ trong p hoặc lồng nhau hoặc rời nhau

3 Mọi hình cầu, mặt cầu trong p đều có vô số tâm Mọi hình cầu đều có vô

Theo nguyên lý tam giác cân, ta có: y a p  b a p

Giả sử r<s,ta cần chứng minh B 1 (a,r)B 2 (b,s)

Thật vậy từ giả thiết B 1 (a,r) B 2 (b,s)Ø Suy ra tồn tại cB1 a,r B2 b,s

Đối với hình cầu đóng, chứng minh hoàn toàn tương tự

3 Mọi hình cầu, mặt cầu trong p đều có vô số tâm Mọi hình cầu đều có vô số bán kính

 Chứng minh mọi hình cầu, mặt cầu đều có vô số tâm

Bây giờ với a pvà r ,r0 ta xét một điểm b bất kỳ ba trong hình cầu

mở B a r( , ) x p : x a p r

Ta có ba p r (do cách chọn b)

Ngược lại, chứng minh tương tự như trên ta cũng có: B a r , B b r ,

Vậy B a r , B b r , với mọi b B a r  ,

Nói cách khác B a r , có vô số tâm

Bằng cách chứng minh tương tự ta cũng có B[a,r] và D(a,r) có vô số tâm

 Chứng minh mọi hình cầu đều có vô số bán kính

Trước hết, ta xét hình cầu mở B(a,r) Như ta đã biết hàm chuẩn pchỉ nhận các giá trị trong tập p n n/   0 nên tồn tại n sao cho: p n r p n 1

Ta chứng minh B(a,s) = B(a,p n+1 ) với mọi s thỏa p n s p n 1

Thật vậy, với mọi x B a s ( , ) ta có n 1

p

x a  s p  Do đó xB(a,p n 1) Nên ta có B a s , B a p , n 1

Ngược lại, với mọi y B a p  , n 1 ta có n 1

Suy ra với bất kỳ hình cầu B(a,r) với r thỏa p n r p n 1 ta đều có B(a,r) B(a,p n 1 )

Do đó B(a,r)B(a,s) với mọi s,r thỏa p n s r,  p n 1

Điều này có nghĩa là mọi hình cầu mở B(a,r) có vô số bán kính

Đối với hình cầu đóng B a r , luôn tồn tại n sao cho p n r p n 1

Ta sẽ chứng minh B a s ,  B a p , n với mọi s thỏa p n s p n1

Thật vậy, với mọi x B a s  , ta có x a p s mà p n s p n 1

Do đó B a s ,  B a p , n

Vì vậy với p n r  p n 1, ta có:B a r ,  B a p , n

Nên với mọi s thỏa p n s p n 1 thì B   a,r B a,s

Vậy hình cầu đóng B , a r có vô số bán kính

4 Ta chứng minh p chỉ có một số đếm được các hình cầu và mặt cầu

Theo (3) ta có mọi điểm trong hình cầu, mặt cầu đều là tâm của nó Dùng tính chất này ta sẽ chứng minh pchỉ có một số đếm được các hình cầu và mặt cầu

Thật vậy, lấy bất kỳ a pvới r ,r0

Theo (3) tồn tại n sao cho B(a,r) = B(a,p n )

Nên M B a r r( , ) /  ,r0B a p( , n) /n  là tập đếm được

Vậy mọi hình cầu trong pđều có dạng B(b,p n) trong đó b và n , do đó số hình cầu trong p là tập đếm được

Tương tự, ta cũng chứng minh được mọi hình cầu đóng, mặt cầu trong pđều là những tập đếm được

1.3.3 Mệnh đề

p là tập compact do đó p là tập compact địa phương

Chứng minh

Trước hết ta chứng minh p là tập compact

Giả sử  x n là một dãy tùy ý trong p và

2 21 11 01 1 a a pa p  x

2 22 12 02 2 a a pa p  x

2 2 1

a a p a p

Trong đó 0a in  p1 với mọi i = 0,1,2,…

Xét các phần tử a0n(n1,2,3, ,p1) ta thấy các phần tử này nhận các giá trị trong tập hữu hạn 0 , 1 , 2 , ,p 1

Do đó tồn tại b00,1,2, ,p1 được các phần tử a0n(n1,2,3, ,p1) nhận giá trị

vô hạn lần

Tồn tại tập K0 vô hạn các phần tử x0 của dãy  x n sao cho số hạng đầu tiên trong

khai triển p-adic của mỗi phần tử đều bằng b 0

Trong tập K0 các phần tử x0 có số hạng thứ 2 trong khai triển p-adic là a1 với 0,1, 2, ,( 1)

n p nhận các giá trị trong tập hữu hạn 0 , 1 , 2 , ,p 1

Vậy phải tồn tại b10 , 1 , 2 , ,p 1 được nhận giá trị vô hạn lần

Do đó tồn tại tập K1 vô hạn các phần tử x1 của dãy  x0n sao cho số hạng thứ 2

trong khai triển p-adic của các phần tử đó bằng nhau và bằng b 1

Như vậy, với mỗi m tồn tại tập K mvô hạn các phần tử x mncủa tập K m1 sao cho

số hạng thứ m trong khai triển p-adic của các phần tử đó bằng nhau và bằng

b p b b

Bây giờ ta lấy phần tử x0 p

Nếu x0 0 thì tồn tại p B 0,1 là tập compact chứa x0

Nếu x0 0 ta có ánh xạ p x0 p là phép đồng phôi

x x0x

nên x0 p là tập compact chứa x0 Do đó với mọi x0 p đều tồn tại lân cận compact chứa x0 nên pcompact địa phương

1.3.4 Khoảng trong p

Khoảng trong p là hình cầu đóng tâm a bán kính N

p

1 với N

Từ mệnh đề 1.3.2 ta thấy khoảng là tập vừa mở vừa đóng, hai khoảng bất kỳ hoặc lồng nhau hoặc rời nhau và không gian mêtric pcó một cơ sở gồm các tập mở có dạng khoảng

Một khoảng bất kỳ luôn được phân tích thành hợp hữu hạn của các khoảng con và mọi tập mở compact trong p luôn phân tích được thành hợp rời nhau của các khoảng

Điều này được thể hiện trong mệnh đề 1.3.5 sau đây:

1 Giả sử a + (p N ) là khoảng bất kỳ trong p

Với mọi xa + (p N ), x có thể viết dưới dạng x = a + p N q

Thì tồn tại b0 , 1 , 2 , ,p 1 sao cho xabp N (p N 1)

Khi đó, x được viết dưới dạng xabp N qp N 1

2 Với mọi tập mở U trong p, giả sử U là tập compact

Do U là tập mở trong p nên U là hợp của các khoảng I U i:  I i

Mặt khác, hai khoảng bất kỳ trong p hoặc lồng nhau hoặc rời nhau nên ta có thể giả sử U  I i, trong đó I i I j Ø nếu i j

Do U là tập compact nên tồn tại J hữu hạn sao cho i

i J



 Ngược lại, giả sử U i I I i



 , trong đó I là tập hữu hạn và I i I j  Ø nếu i j Do

p là tập compact và I i là tập đóng nên I i là tập compact Vậy U là tập compact

Tổng quát: Tập mở U trong p là compact nếu và chỉ nếu nó được viết dưới dạng

hợp hữu hạn rời nhau của các khoảng I i

Thật vậy, chiều thuận là hiển nhiên Ngược lại, giả sử U là hợp hữu hạn rời nhau của các khoảng I i và I i = a + (p N )

Do p là tập compact nên I i là lân cận compact của a trong p

Vậy U I i là tập compact trong p

a





   , với mọi số tự nhiên N

1.4 Trường số phức p-adic pvà hàm chỉnh hình p-adic

1.4.1 Trường số phức p-adic p

Trong phần trước chúng ta đã xây dựng được trường số p

Gọi p là bao đóng đại số của p, tức p là tập bao gồm tất cả các phần tử đại số trên p Khi đó có tối đa một chuẩn trường trên p là mở rộng của p trên p

  (*) Khi đó :p p  xác định bởi (*) là chuẩn trường trên p và là mở rộng của ptrên p

Người ta chứng minh được rằng p không đầy đủ

Do p không đầy đủ nên rất khó xây dựng giải tích trên nó Nhu cầu cần được giải quyết là tìm một bao đủ của p , được ký hiệu p  p

Quá trình xây dựng ptừ ptương tự như quá trình xây dựng p từ

Trường số pxây dựng được gọi là trường số phức p-adic

1.4.2 Định nghĩa hình cầu, mặt cầu trong p

Cho a p và r là số thực dương Ta định nghĩa :

n



Chương 2 XÂY DỰNG ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN P-ADIC

Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản như: không gian các hàm hằng địa phương, từ đó đi xây dựng độ đo p-adic Sau đó chúng tôi xây dựng tương tự p-adic của tích phân Riemann, khảo sát một số ví dụ cụ thể và điều kiện khả tích của các hàm liên tục làm cơ sở cho chương 3

2.1 Không gian các hàm hằng địa phương

Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm hàm hằng địa phương trên không gian tô pô bất kỳ Không gian các hàm hằng địa phương đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết độ đo và tích phân trên trường số p-adic

2.1.1 Định nghĩa

Cho X và Y là các không gian tô pô Ánh xạ f X: Y được gọi là hàm hằng địa phương nếu với mỗi x X thì tồn tại một lân cận U của x sao cho tập f(U) là một điểm của Y

Từ định nghĩa hàm hằng địa phương chúng ta rút ra nhận xét sau:

f g W  f W   g W = a b  nên f g là hàm hằng địa phương

Nếu  p thì   f U x f U   x  a nên  là hàm hằng địa phương f

Hay tập các hàm hằng địa phương là p- không gian véc tơ

3 Nếu Y là T 1 không gian và f : Y là hàm hằng địa phương thì f là hàm

hằng trên

Thật vậy, lấy a f   Ta cần chứng minh f1 a 

Để chứng minh điều này ta lấy xf 1 a suy ra f x a

Do f là hàm hằng địa phương nên tồn tại lân cận U x của x sao cho f U   X  a , do

Vậy  là hàm hằng địa phương

Từ ví dụ trên cho ta thấy hàm đặc trưng của tập mở compact U  p là hàm hằng địa phương Dựa vào các hàm đặc trưng này ta có thể mô tả tất cả các hàm hằng địa phương trên p Cụ thể ta có mệnh đề sau

2.1.4 Mệnh đề

Giả sử X là một tập mở compact của p Khi đó tập các hàm đặc trưng của các tập con mở compact của X làm thành tập sinh của p -không gian véc tơ của

các hàm hằng địa phương Hay nói cách khác f X:  p là hàm hằng địa phương nếu và chỉ nếu f là một tổ hợp tuyến tính của các hàm đặc trưng của các tập mở compact trong X

Chứng minh

Chiều thuận, gỉa sử f : X  p là hàm hằng địa phương Khi đó, với mỗi x X đều

tồn tại một lân cận U x của x sao cho f U x là tập chỉ gồm một điểm

Thật vậy, vì U iU j  nếu i j nên với mỗi x X tồn tại duy nhất k1, 2, ,n

sao cho x U k và x U ivới mọi i k



 với  là hàm đặc trưng của tập mở compact U i U i trong X

Khi đó với x X có các khả năng sau xảy ra:

- Nếu x U i với mọi i1, 2, ,nthì

- Nếu tồn tại i sao cho x U i thì không mất tính tổng quát ta giả sử

1, 2, , n I J sao cho x U ivới i I và x U ivới i J

Trong mục này chúng tôi trình bày định nghĩa và một số tính chất của độ đo p-adic

và với qui ước ký hiệu X là tập con mở compact trong p



 là hợp của các tập mở compact rời nhau: U U1, 2, ,U n thì    

1

n i i

p -không gian véc tơ của các hàm hằng địa phương trên X đến P

Ngược lại, cho  là một p -phiếm hàm tuyến tính từ p -không gian véc tơ của các hàm hằng địa phương trên X đến p và với mọi tập mở U compact trong X, nếu đặt  U   U thì  là một độ đo p-adic trên X

Chứng minh

Chiều thuận, giả sử  là một độ đo p-adic trên X và với mọi tập mở compact U

trong X thỏa   U  U

Ta xây dựng ánh xạ  từ p-không gian véc tơ của các hàm hằng địa phương trên

 thì ta chứng minh được  là một p-phiếm hàm tuyến tính

từ p -không gian véc tơ của các hàm hằng địa phương trên X đến P.Nghĩa là nếu

f và g là các hàm hằng địa phương trên X và  pta cần chứng minh:

Ngược lại, giả sử  là một p- phiếm hàm tuyến tính từ p- không gian véctơ

của các hàm hằng địa phương trên X đến p và với mọi tập mở compact U trong X

thoả   U  U thì  là một độ đo p-adic trên X

Trước tiên ta chứng minh: Nếu A A1, 2 là các tập con mở compact trong X và

U X U trong đó U i là các tập con mở compact không

giao nhau trong X Khi đó

Theo định nghĩa độ đo, để  trở thành độ đo trên tập compact X pta cần phải cho giá trị  U với mọi tập mở compact U  X Nhưng thực tế, ta có thể sử dụng phương pháp khác bằng cách sử dụng mệnh đề sau:

2.2.3 Mệnh đề

Mọi ánh xạ  từ tập các khoảng a p N  X đến P thỏa

    1    

1 0

Bây giờ ta cần phải chứng minh  có tính chất cộng tính

Gỉa sử U là hợp hữu hạn rời nhau của các khoảng U i, chúng ta viết U i là hợp rời nhau của các khoảng con I ij, nghĩa là i ij

Tức là  cộng tính, do đó  là độ đo p-adic trên X

2.3 Một số độ đo p-adic thường dùng

Trong phần này, chúng tôi trình bày một số độ đo p-adic thường dùng như: độ đo Haar, độ đo Dirac và độ đo Mazur,

2.3.1 Độ đo Haar Haar

Cho a p N  là một khoảng bất kỳ trong p Ta định nghĩa ánh xạ Haarnhư sau:

Do đó Haar có thể thác triển tới độ đo p-adic trên p

Ánh xạ Haargọi là độ đo Haar

1

n i i



 là hợp của các tập mở compact rời nhauU U1, 2, ,U nta có: -Với U suy ra U ivới i1, 2, ,nvà U j với i j,do đó