Luận văn Thạc sĩ Toán học: Lí thuyết Nevanlinna P-adic và các ứng dụng

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Lí thuyết Nevanlinna P-adic và các ứng dụng giới thiệu tới các bạn về một số vấn đề cơ bản của giải tích P-adic; hai định lí cơ bản của lí thuyết Nevanlinna P-adic; những ứng dụng của lí thuyết Nevanlinna P-adic.

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học PGS.TS MỴ VINH QUANG

Thnh phố Hồ Chí Minh – 2009

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC C

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2009

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên tôi xin gửi đến PGS.TS Mỵ Vinh Quang, người thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn, lòng biết

ơn chân thành và sâu sắc nhất

Xin chân thành cảm ơn thầy Trần Huyên, thầy Bùi Tường Trí, thầy Bùi

Xuân Hải, thầy Lê Hoàn Hoá, thầy Đậu Thế Cấp và tất cả các thầy cô khác đã

trực tiếp tham gia giảng dạy, truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập

Cuối cùng tôi xin cảm ơn các anh chị ở phòng Khoa học công nghệ và sau Đại học, các đồng nghiệp, bạn bè đã động viên và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi học tập trong suốt thời gian qua và hoàn thành luận văn này

TP Hồ Chí Minh, 08/2009

Lục Văn Hào

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH p-ADIC 4

1.1 Chuẩn Archimedean và chuẩn phi Archimedean 4

1.2 Trường các số p-adic p và vành p 7

1.3 Trường các số phức p-adic p 9

Chương 2 HAI ĐỊNH LÍ CƠ BẢN CỦA LÍ THUYẾT NEVANLINNA p-ADIC 10

2.1 Các hàm đặc trưng 10

2.2 Hai định lí cơ bản của lí thuyết Nevanlinna p-adic 15

2.3 Nhận xét và một số định lí mở rộng 23

Chương 3 NHỮNG ỨNG DỤNG CỦA LÍ THUYẾT NEVANLINNA p-ADIC 29

3.1 Ứng dụng lí thuyết Nevanlinna p-adic để giải quyết giả thuyết abc cho trường hàm p-adic 29

3.2 Ứng dụng lí thuyết Nevanlinna p-adic để giải quyết bài toán Waring cho trường hàm p-adic 50

KẾT LUẬN 61

TÀI LIỆU THAM KHẢO 62 PHỤ LỤC

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Giải tích p-adic là một chuyên ngành toán học mới đang được phát triển và ứng

dụng trong lĩnh vực lí thuyết số hiện đại, góp công lớn vào hai thành tựu nổi bật trong thế kỉ 20 của lí thuyết số hiện đại là chứng minh được định lí lớn Fermat

(Andrews Wiles, 1994) và chứng minh được giả thuyết Taniyama – Shimura (1999)

Là một nội dung thuộc chuyên ngành giải tích p-adic, lí thuyết Nevanlinna p-adic

đã được xây dựng, nghiên cứu và có nhiều ứng dụng trong việc khảo sát tính chất

của các hàm nguyên và hàm phân hình p-adic

Vì lí do đó, chúng tôi chọn đề tài : “Lí thuyết Nevanlinna p-adic và các ứng

dụng” nhằm mục đích tiếp cận một lí thuyết toán học mới đang phát triển

2 Lịch sử vấn đề

Lí thuyết Nevanlinna p-adic lần đầu tiên được xây dựng bởi Hà Huy Khoái, Mỵ

Vinh Quang và Boutabaa vào những thập kỉ cuối của thế kỉ trước (xem [2], [5]) và

ngay sau đó lí thuyết Nevanlinna p-adic đã được mở rộng và tổng quát bởi nhiều tác

giả khác cho trường hợp nhiều chiều và cho siêu mặt

Giả thuyết abc và bài toán Waring là hai vấn đề rất mới của Lí thuyết số hiện đại

và hiện vẫn đang được các nhà toán học trên thế giới tìm tòi hướng giải quyết trong tập hợp các số nguyên Một thành tựu nổi bật trong việc nghiên cứu hai vấn đề trên trong tập hợp các số nguyên là đã góp phần giúp chứng minh được định lí cuối cùng của Fermat một cách đầy đủ và toàn diện

Trong những năm gần đây, nhiều tác giả đã ứng dụng thành công lí thuyết

Nevanlinna p-adic để giải quyết các vấn đề liên quan đến giả thuyết abc và bài toán Waring cho các hàm nguyên và hàm phân hình p-adic

3 Mục đích nghiên cứu

Ứng dụng hai định lí cơ bản của lí thuyết Nevanlinna p-adic để nghiên cứu giả thuyết abc trong trường các hàm p-adic và tìm lời giải cho bài toán Waring trong trường các hàm p-adic

4 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp cơ bản của Đại số và Lí thuyết số hiện đại, đặc biệt là

căn cứ vào hai định lí cơ bản trong lí thuyết Nevanlinna p-adic để giải quyết các vấn

đề được đặt ra

5 Ý nghĩa khoa học thực tiễn của đề tài

Luận văn đã trình bày được nội dung của lí thuyết Nevanlinna p-adic, chứng minh được các định lí để giải quyết được giả thuyết abc cho trường các hàm p-adic

và tìm lời giải cho bài toán Waring trong trường các hàm p-adic

6 Cấu trúc luận văn

Luận văn được phân bố trong ba chương với nội dung cụ thể như sau :

Chương 1 Một số vấn đề cơ bản của giải tích p-adic

Chương này trình bày một số kiến thức để chuẩn bị cho các chương sau bao gồm

, xây dựng trường các số phức p-adic

p

minh định lí trong chương này được bỏ qua Các nội dung chứng minh chi tiết đều được trình bày trong các tài liệu tham khảo được liệt kê ở cuối sách

Chương 2 Hai định lí cơ bản của lí thuyết Nevanlinna p-adic

Chương này trình bày các hàm đặc trưng và hai định lí cơ bản của lí thuyết

Nevanlinna p-adic Ngoài ra chúng tôi còn cung cấp các định lí mở rộng trong lí thuyết Nevanlinna p-adic để vận dụng trong chương cuối cùng của luận văn

Chương 3 Những ứng dụng của lí thuyết Nevanlinna p-adic

Đây là chương chính của luận văn Trong chương này, chúng tôi giới thiệu lịch

sử phát triển cũng như các kết quả nghiên cứu đã đạt được đối với giả thuyết abc và bài toán Waring trong tập hợp các số nguyên, bên cạnh đó ứng dụng lí thuyết

Nevanlinna p-adic để nghiên cứu giả thuyết abc trong trường các hàm p-adic và bài toán Waring trong trường các hàm p-adic

Chương 1

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH p-ADIC

Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho các

chương sau bao gồm : chuẩn trên trường, xây dựng trường số p-adic , vành các

số nguyên p-adic , xây dựng trường các số phức p-adic

p

minh trong chương này được bỏ qua và có thể tìm thấy trong những tài liệu tham khảo

1.1 Chuẩn Archimedean và chuẩn phi Archimedean

1.1.1 Chuẩn trên trường

Định nghĩa 1.1 Cho F là một trường, ánh xạ : F  được gọi là

chuẩn (giá trị tuyệt đối) trên trường F nếu thoả các điều kiện sau :

x x

là một chuẩn trên trường F và được gọi là chuẩn tầm thường

Chuẩn trên F có các tính chất cơ bản như sau :

i)  x F,  x x ;

ii) 1  với 1 là đơn vị của F ; 1

là một mêtric trên F và được gọi là mêtric cảm sinh bởi chuẩn

1.1.2 Chuẩn tương đương

Định nghĩa 1.5 Cho F là một trường và 1, 2 là hai chuẩn trên F Chuẩn 1 tương đương với chuẩn 2 (kí hiệu 1 2) nếu tôpô cảm sinh bởi 1 và 2 trùng nhau

Định lí 1.6 (Các điều kiện tương đương của chuẩn) Cho F là một trường và

1, 2 là hai chuẩn trên F Các phát biểu dưới đây là tương đương

i) 1 ~ 2 ;

ii)  x F x, 1 1 x 2  1 ;

iii) x F x, 1 1 x 2  1 ;

iv) Tồn tại c  sao cho x 2  x1c , x  F ;

v)  x n là dãy Cauchy đối với 1 x n là dãy Cauchy đối với 2

1.1.3 Chuẩn phi Archimedean

Định nghĩa 1.7 Chuẩn trên trường F được gọi là chuẩn phi Archimedean nếu thoả điều kiện sau :

iii’) x y F x y,  ,  max x , y

Một chuẩn không phải phi Archimedean được gọi là chuẩn Archimedean

Ví dụ 1.8 Xây dựng một chuẩn phi Archimedean trên trường

Với mọi m  và p là số nguyên tố cố định, m viết được duy nhất dưới dạng

  , ta định nghĩa ord r p( )=ord m p( ) – ord n p( )

i) ord rs p( )ord r p( )ord s p( ) ;

ii) ord r s p(  ) minord r ord s p , p  r s,  

Với 0  cố định, ta xây dựng chuẩn  1 p trên như sau :

p

ord x p

Định lí 1.9 (Các điều kiện tương đương của chuẩn phi Archimedean)

Cho F là một trường và là chuẩn trên F Các khẳng định sau là tương đương :

ii) Mọi tam giác đều là tam giác cân

iii) Mọi điểm thuộc hình tròn đều là tâm của hình tròn

iv) B a r( , )x F x a /  p  - vừa đóng vừa mở r

v) B a r( , )x F x a /  p  - vừa đóng vừa mở r

Định lí 1.11 (Định lí Ostrowsky) Mọi chuẩn không tầm thường trên trường

số hữu tỉ hoặc tương đương với chuẩn p ( p nguyên tố) hoặc tương đương với giá trị tuyệt đối thông thường trên

1.2 Trường các số p-adic p và vành p

1.2.1 Xây dựng trường các số p-adic p và vành p

Theo định lí Ostrowsky, trên chỉ có hai chuẩn là giá trị tuyệt đối thông thường

và giá trị tuyệt đối phi Archimedean p Mặt khác, làm đầy đủ theo giá trị tuyệt

đối thông thường, ta nhận được trường các số thực , làm đầy đủ theo p ta

được trường các số p-adic (tương tự p-adic của trường số thực ) Ta sẽ mô tả

chi tiết hơn về cách xây dựng

p

p trong mục này

Kí hiệu S là tập các dãy Cauchy hữu tỉ theo p Trên S ta xác định một quan hệ

tương đương như sau :

Ta gọi plà tập hợp tất cả các lớp tương đương theo quan hệ trên :

   

p S x n x n S Trang bị cho phai phép toán cộng và nhân như sau :

Tập hợp p x p x p  cùng với phép toán cộng và phép toán nhân 1

trong p lập thành một vành được gọi là vành các số nguyên p-adic

ii) p là tập compact đối với chuẩn p

iii) p là tập compact địa phương

1.3 Trường các số phức p-adic p

Ta đã biết, theo định lí Ostrowsky, trên chỉ có hai chuẩn là giá trị tuyệt đối

thông thường và giá trị tuyệt đối phi Archimedean p Làm đầy đủ theo chuẩn

thông thường, ta được trường Trường số thực không đóng đại số, bao đóng

đại số của là trường số phức Làm đầy đủ theo p, ta được trường các số

p-adic Trường đầy đủ nhưng không đóng đại số Ta kí hiệu bao đóng đại

plà một chuẩn trên pvà p  ptrên p

Trường p đóng đại số nhưng nó không đầy đủ theo chuẩn p vừa xây dựng Nếu ta tiếp tục làm đầy đủ p theo p thì sẽ nhận được trường các số phức p-

adic, được kí hiệu là p  p 

Trường số phức p-adic p có các tính chất cơ bản sau : p đóng đại số, đầy đủ

và có vai trò tương tự như trường số phức trong giải tích phức

Chương 2 HAI ĐỊNH LÍ CƠ BẢN

CỦA LÍ THUYẾT NEVANLINNA p-ADIC

Trong chương này chúng tôi trình bày một số hàm đặc trưng, hai định lí cơ

bản của lí thuyết Nevanlinna p-adic và một số hệ quả, nhận xét kèm theo nhằm phục

Cho D là tập mở trong p, kí hiệu H D là tập các hàm giải tích trên D,

 

M D là trường các thương của H D

Định nghĩa 2.3 Hàm f thuộc M D  được gọi là hàm phân hình trên D

Ta cũng có một định lí tương tự như định lí 2.2 như sau :

Định lí 2.5 Với    , hàm r 0 (r,.) là chuẩn phi Archimedean trên

 Với hàm f như

trên, ta định nghĩa các đại lượng sau

khi khi

1,

khi khi

i i

k

i k i

i i

,

i i

Ví dụ 2.8. Cho đa thức  

0

k j j j

A z a



 z a k 0 Ta sẽ tìm T r A ,  Đặt  

1 10

1

k k j j

Suy ra : T r A , m r A , logr A, klogrloga k

Cho f a, jM p , j 1,2, ,k và a k  Với đa thức 0 A z  được xác định như trong ví dụ 2.8., ta định nghĩa :

Định lí 2.10 Cho f là một hàm phân hình khác hàm hằng trên p0, với

0   Khi đó, với mọi  a p , ta có :

Trước khi vào nội dung chính của định lí cơ bản thứ hai của lí thuyết

Nevanlinna p-adic, ta xét bổ đề sau :

Bổ đề 2.11 Cho chuỗi luỹ thừa    

g z na z







tương đương của chuẩn và định lí về các điều kiện tương đương của chuẩn Archimedean, ta có :

Qua đó cũng suy ra được g z  hội tụ

Trong trường hợp f z  hội tụ trên p 0, , ta chọn R 

Trong trường hợp f z  hội tụ trên p0,, ta chọn R sao cho

Điều này chỉ ra rằng chuỗi trên hội tụ đều theo h

Qua đó, ta có thể lấy giới hạn theo từng hạng tử và thu được

f  được xác định theo công thức sau :

1 0 0 1 2 0

f f f f f

Cho f là hàm phân hình khác hàm hằng trên p0, và đặt , …, là các số khác nhau trong

1

a a q

p Đặt

q

f j

Do đó ta có thể lấy các chỉ số 1, …, q1 với l  j l 1,2, ,q phân 1

biệt sao cho :

j p j j

D z q

W z      3 Hơn nữa, đặt r z p Theo bổ đề 2.11., ta có :

       

 

0 0

Lưu ý rằng tập các giá trị của thoả (4) là một tập dầy đặc trong r 0,r 

Như vậy, do tính liên tục của các hàm trong bất đẳng thức, (4) sẽ đúng với mọi

1, ; , ,1

, ; , ,

q r

q

n t a a f

     

1 1

q T r f N r f N r

f a

N r a a r S f

Mở rộng bổ đề 2.11 với các đạo hàm bậc cao, ta được kết quả như sau :

Định lí 2.14 Cho f là hàm phân hình khác hàm hằng trên p0, Với mọi số nguyên dương k , ta có :

Ta có  

0

n n n

Hệ quả 2.17 Xét hàm f A p 0   không bị chặn Với mỗi  

Lưu ý rằng f và f b  có ít nhất một nghiệm vì f b cũng là hàm không

bị chặn Vậy tồn tại r   sao cho f có ít nhất một nghiệm trong  p 0,r và

1,1

,

r r

r r

Với f là hàm nguyên khác hàm hằng trên p, ta có :

  

1

N r T r f O f

úng với bất kì hai phần tử khác nhau a b,  p   

Chương 3

NHỮNG ỨNG DỤNG

CỦA LÍ THUYẾT NEVANLINNA p-ADIC

Sau khi tìm hiểu hai định lí cơ bản của lí thuyết Nevanlinna p-adic, chúng ta

sẽ nghiên cứu về các ứng dụng của lí thuyết Nevanlinna p-adic đối với giả thuyết abc và bài toán Waring trên trường các hàm p-adic Đây là hai vấn đề có lịch sử lâu

đời đồng thời cũng mang tính hiện đại, hiện vẫn đang được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm, đóng góp

3.1 Ứng dụng lí thuyết Nevanlinna để giải quyết giả thuyết abc cho trường

hàm p-adic

3.1.1 Lịch sử vấn đề

3.1.1.1 Giới thiệu về giả thuyết abc

Giả thuyết abc được cả Oesterlé (Joseph Oesterlé) và Masser (David William

Masser) cùng phát biểu trong năm 1985 Giả thuyết của Oesterlé được phát triển

dựa trên giả thuyết của Szpiro (Lucien Szpiro) về những đường cong elliptic Sau

đó, Masser cũng đưa ra giả thuyết tương tự dựa trên việc xem xét một trường hợp tương tự trên trường của giả thuyết Mason đối với các đa thức

“Với bộ ba số nguyên dương a b c, ,  không tầm thường thoả và nguyên tố cùng nhau, đặt

Khi đó, tập các giá trị của L bị chặn.”

3.1.1.2 Những kết quả nghiên cứu đạt được trên tập các số nguyên

Nhận xét 3.1 Trong giả thuyết abc, r là một hàm nhân và r n  , với mọi n

n 

Đối với giá trị chặn trên của , ta ghi nhận các kết quả như sau : L

Giả thuyết 3.2 (Masser) Với   cho trước, tồn tại 0  (phụ thuộc  ), kí hiệu

Để thấy được tầm quan trọng của 1 trong giả thuyết 3.2., ta sẽ chỉ ra trường 

hợp không tồn tại  để c.r abc  với , , thoả các điều kiện của giả thuyết abc (nguyên dương, không tầm thường, nguyên tố cùng nhau và )

a b c

a b c 

Ví dụ 3.3. Chọn a n 32n 1, b n  và 1 với Áp dụng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được

3

n n

Cho n , bất đẳng thức trên sẽ dẫn đến vô lí

Trong ví dụ 3.3., với

loglog

n n

n n n

c L

Bất đẳng thức sau cùng đúng do tính bị chặn của L theo giả thuyết abc (với

M cố định, chỉ tồn tại hữu hạn bộ a b c, ,  sao cho r a bcM )

n

n n n

c L

Giả thuyết 3.5. Tồn tại hằng số sao cho với mọi số nguyên dương a, b, c

logc r abc  k r abc

Giả thuyết 3.6. Tồn tại hằng số sao cho với mọi số nguyên dương a, b, c

nguyên tố cùng nhau, và a b

k

2

 1    3 3

logc k r abc log r abc

Giả thuyết 3.7 Tồn tại hằng số sao cho với mọi số nguyên dương a, b, c

nguyên tố cùng nhau, và a b

k

2

  .log log loglog log  * 

logc p r abc k r abc r abc

với r abc* maxr abc ,16, p minp p a, b, c

c

p và là các ước số nguyên tố lớn nhất của

3.1.1.3 Tìm hiểu thêm về các bộ ba số abc

Người ta dựa trên L để so sánh giữa những bộ ba số a b c, ,  thoả các điều kiện của giả thuyết abc với nhau, giá trị L càng cao thì bộ ba số a b c, ,  đó

càng tốt Giá trị L cao nhất được tìm thấy là gần 1.63 (xem phụ lục, bảng 1)

Định nghĩa 3.8. Trong giả thuyết abc, bộ ba số a b c, ,  được gọi là bộ ba

tốt nếu L1.4

Giả thuyết 3.9. Tồn tại hữu hạn các bộ ba tốt

Nhận xét. Đến nay, bộ ba tốt 3,5 ,23 7 vẫn được công nhận là bộ ba tốt có giá trị nhỏ nhất được tìm thấy (xem phụ lục, bảng 2) c

3.1.1.4 Một số kết quả đối với tập số nguyên suy ra từ giả thuyết abc

Giả thuyết 3.10 (Tiệm cận bài toán Fermat) Tồn tại sao cho với , phương trình

N

n N

n n n

x y z trong đó x , , là các số nguyên tố cùng nhau, chỉ có nghiệm tầm thường y z

Định nghĩa 3.11 (Điều kiện Wieferich) Một số nguyên tố p được gọi là thoả mãn điều kiện Wieferich khi và chỉ khi 2p1 / 1modp2

Giả thuyết 3.12 (Sự vô hạn số nguyên tố thoả mãn điều kiện Wieferich) Tồn tại vô hạn số nguyên tố thoả mãn điều kiện Wieferich

Định nghĩa 3.13. Cặp số nguyên n m,  thoả bài toán Brocard

được gọi là cặp Brown

2

! 1

n m

Giả thuyết 3.14. Tồn tại hữu hạn cặp Brown

Định nghĩa 3.15 Với n , được gọi là số mạnh nếu với mọi số nguyên

tố

n

p là ước của n thì p2 cũng là ước của n

Giả thuyết 3.16 Tập hợp các bộ ba số mạnh liên tiếp là hữu hạn

Giả thuyết 3.17 Với 0   và các số nguyên khác không  1 ,  ,  cho trước Phương trình diophante

3.1.1.5 Một số kết quả mở rộng đối với các đa thức suy ra từ giả thuyết abc

Với đa thức p t  trên  t , đặt n p0  là số nghiệm phân biệt của p t  Thừa nhận giả thuyết Masser, ta có một số định lí sau :

Định lí 3.18 (Mason) Cho a t , b t  và c t  thuộc  t Giả sử a t ,

 

b t và c t nguyên tố cùng nhau và   a t     b t c t Khi đó

     

  0       max deg a t b t c t, , n a t b t c t  1

g

