Định lí kiểu nevanlinna cartan p adic và các ứng dụng

1.4 Độ cao của hàm chỉnh hình p-adic 81.6 Độ cao của ánh xạ chỉnh hình trong không gian xạ 3.2 Tính suy biến của đờng cong chỉnh hình rẽ nhánh mở đầu Lý thuyết Nevanlinna đợc đánh giá n

NguyÔn Quèc H¶i

§Þnh lý kiÓu nevanlinna – cartan p-adic

1.4 Độ cao của hàm chỉnh hình p-adic 8

1.6 Độ cao của ánh xạ chỉnh hình trong không gian xạ

3.2 Tính suy biến của đờng cong chỉnh hình rẽ nhánh

mở đầu

Lý thuyết Nevanlinna đợc đánh giá nh là một trong những thành tựu đẹp

đẽ và sâu sắc của toán học thế kỷ XX Năm 1933, H Cartan đã mở rộng lýthuyết Nevanlinna cho trờng hợp đờng cong chỉnh hình Vì vậy, lý thuyếtNevanlinna đối với các đờng cong chỉnh hình đợc mang tên hai nhà toán học,

đó là lý thuyết Nevanlinna – Cartan Theo hớng nghiên cứu này nhiều kếtquả trong giải tích hàm, đại số và lý thuyết số đã đợc phát minh gắn với têntuổi nhiều nhà toán học nh Ph.Griffiths, H.Weyl, P.Vojta, G.Faltings,

Năm 1995, Hà Huy Khoái và Mai Văn T đã diễn đạt và chứng minh định

lý Nevanlinna – Cartan p-adic (xem [5]) Định lý này có ý nghĩa trong việc

thiết lập mối quan hệ giữa hàm độ cao của đờng cong chỉnh hình và hàm đếmcác không điểm, đặc biệt nó là công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu tínhhyperbolic Brody của các siêu mặt trong không gian xạ ảnh p-adic.

Năm 1997, Nguyễn Thành Quang đã ứng dụng lý thuyết Nevanlinna –Cartan vào việc nghiên cứu tính suy biến của các đờng cong chỉnh hình trongkhông gian xạ ảnh cũng nh các không gian hyperbolic Brody trong cả hai tr-ờng hợp phức và p-adic

Cùng với kết quả trên, chúng tôi đa ra một đánh giá khác về hàm độ cao vàhàm đếm tơng tự nh định lý Nevanlinna – Cartan p-adic với đề tài nghiên cứu

này nhằm góp thêm vào sự hiểu biết của lý thuyết Nevanlinna

Mục tiêu của luận văn là đa ra và chứng minh một định lý kiểu Nevanlinna– Cartan p-adic bằng việc dựa vào kỹ thuật Wronskian Sau đó tìm các ứngdụng của định lý này vào việc xét tính suy biến của đờng cong chỉnh hình p-adic

Luận văn đợc chia làm ba chơng, cùng với phần mở đầu, kết luận và danhmục tài liệu tham khảo

Ch ơng 1 Trình bày các khái niệm cơ bản: Trờng số p-adic, chuỗi luỹthừa, hàm nguyên, hàm phân hình p-adic, hàm độ cao, hàm đếm, đa tạp đại sốtrong không gian xạ ảnh, Wronskian, Các bổ đề, định lý, hệ quả cần thiếtcho việc nghiên cứu, chứng minh trong luận văn

Ch ơng 2 Trình bày định lý kiểu Nevanlinna – Cartan p-adic và tiếntrình chứng minh Đây là phần chính của luận văn

Ch ơng 3 Nêu lên các ứng dụng của định lý kiểu Nevanlinna – Cartan adic trong việc nghiên cứu tính suy biến của đờng cong chỉnh hình trongkhông gian xạ ảnh p-adic

Các kết quả chính của luận văn đã đợc công bố trong bài báo: Nguyễn

Thành Quang – Nguyễn Quốc Hải – Phan Đức Tuấn (2002), Một tơng tự

của định lý Nevanlinna - Cartan p-adic, Tạp chí Khoa học Đại học Huế, (The

Hue Univesity Journal of reseach), 10/2002 (xem [3])

Nội dung của luận văn đã đóng góp cụ thể vào đề tài nghiên cứu khoa họccấp Bộ: “Tính suy biến của đờng cong chỉnh hình và tính hyperbolic p-adic”

do TS Nguyễn Thành Quang chủ trì, tại ĐH Vinh, 2002 Các kết quả của luậnvăn, kèm với các chứng minh chi tiết đã đợc tác giả báo cáo tại Seminar lýthuyết Nevanlinna – Cartan, Tổ Đại số Khoa Toán, Đạo học Vinh

Luận văn đợc thực hiện dới sự hớng dẫn của TS Nguyễn Thành Quang.Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và lời cám ơn sâu sắc tới TS.Nguyễn Thành Quang đã dành nhiều thời gian, công sức chỉ bảo các vấn đề vàtận tình hớng dẫn tôi hoàn thành luận văn này

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới GS TSKH Hà Huy Khoái, GS TS.Nguyễn Quốc Thi, PGS TS Nguyễn Quý Dy, PGS TS Ngô Sỹ Tùng, TS LêQuốc Hán, TS Mai Văn T và các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán, khoaSau đại học và Trờng Đại học Vinh đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ chúng tôitrong quá trình học tập và làm luận văn.

Tác giả xin gửi lời cám ơn đến Sở GD-ĐT tỉnh Hà Tĩnh, Phòng GD-ĐThuyện Đức Thọ – cơ quan chủ quản của tác giả, anh Phan Đức Tuấn và cácbạn bè đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả trong học tập

Bảng tra cứu các ký hiệu

Ký hiệu Tên gọi Trang

z nÕu

z Õu log



1.1 Chuỗi luỹ thừa p-adic.

1.2.1 Định nghĩa Chuỗi luỹ thừa p-adic là chuỗi hàm có dạng:

1.2.2 Hàm nguyên p-adic Một chuỗi luỹ thừa hội tụ trên p đợc gọi là

hàm chỉnh hình trên p hay hàm nguyên p-adic.

) (

z g

z f với f(z), g(z) là các hàm nguyên p- adic không có không điểm chung đợc gọi là hàm phân hình p-adic.

Giả sử a  p , (z) là hàm phân hình p-adic, ta luôn viết đợc:

) (

) ( ) ( ) (

1

1

a g

a f a z

Chứng minh. Giả sử (z) = (z a) m

) (

) (

z g

z f , trong đó f(z), g(z) không

nhận a làm không điểm Ta có:

 2

/ /

1 /

) (

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(

)

(

z g

z g z f a z z g z f a z z f m a

) ( /

//

/ )

(

k

k a

) ( 2

1

z f

z f

, g(z) = (z a)n

) (

) ( 2

1

z g

z g

, trong

đó f 1 (z), f 2 (z), g 1 (z), g 2 (z) không nhận a làm không điểm

Đặt k = min{ m, n}, ta có:

) ( ) (

) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

(

)

(

2 2

1 2 2

1

z g z f

z g z f a z z g z f a z a z z

g

z

f

k n k

Ord a (f +g) k = minOrd a f,Ord a g.

1.4 Độ cao của hàm chỉnh hình p-adic.

1.4.1 Định nghĩa Độ cao của hàm chỉnh hình p-adic f(z) đợc xác định

Ta có các mệnh đề sau đây (xem [2])

1.4.2 Mệnh đề Giả sử f(z) và g(z) là các hàm chỉnh hình p-adic Khi

đó:

i/ h(f + g, t)  min{ h(f, t), h(g, t)}.

ii/ h(f g, t) = h(f, t) + h(g, t).

) (

z g

z f

) (

z g

z f

là hàm phân hình p-adic trong D r thì:

1.6 Độ cao của ánh xạ chỉnh hình trong không gian .

1.6.1 Định nghĩa Không gian xạ ảnh p-adic n - chiều trên p làmột tập hợp các lớp tơng đơng của những bộ (n + 1) phần tử (a0, a1, , an)của p, trong đó ai ( i = 0,1, , n) không đồng thời bằng 0, trên quan hệ tơng

đơng:

( a0, a1, , an) ~ ( ka0, ka1, , kan) trong đó k  p

Một phần tử của đợc gọi là một điểm Nếu P là một điểm thì bộ (a0,

a1, , an) trong lớp tơng đơng P đợc gọi là toạ độ thuần nhất của điểm P.

1.6.2 Định nghĩa ánh xạ chỉnh hình p-adic f: p   là một lớp tơng

đơng các bộ (n + 1) hàm chỉnh hình p-adic ( f 0 , f 1 , , f n ) không có không điểm

chung trên p Hai bộ (n + 1) hàm chỉnh hình p-adic ( f 0 , f 1 , , f n ) và ( g 0 , g 1 , , g n ) là tơng đơng với nhau khi và chỉ khi tồn tại hàm  sao cho g i

=  f i với mọi i = 0, 1, 2, , n Khi đó, ta đồng nhất f với một biểu diễn

bất kỳ của nó và viết:

z  ( f 0 (z), f 1 (z), , f n (z))

1.6.3 Định nghĩa Độ cao của ánh xạ chỉnh hình p-adic

f = (f 0 , f 1 , , f n) trong không gian xạ ảnh n – chiều là:

Ta có: h + (f , t) = 0maxi n h + (f i , t).

1.7.Hàm đếm của hàm nguyên p-adic.

1.7.1 Định nghĩa Giả sử f là hàm nguyên p-adic, biểu thức:

N(f, t) =   

a

t a)

a

r a

r

0 0

log log

a

r f

1.8 Hàm đếm mức k của hàm nguyên p-adic

1.8.1 Định nghĩa Với mỗi số nguyên dơng k, ký hiệu N k (f, t) là tổng

trong Định nghĩa 1.7.1 sao cho mỗi không điểm của f đợc tính cả bội nếu bội

của nó nhỏ hơn k và bằng k trong trờng hợp còn lại Khi đó, N k (f, t) đợc gọi là hàm đếm mức k của hàm nguyên p-adic f.

r f

Ord k t

r

log ,

min log

, min )

,

(

0 ) ( 0

) (

z g

z f

1.10 Đa tạp đại số xạ ảnh trong không gian xạ ảnh .

1.10.1 Định nghĩa Cho là không gian xạ ảnh p-adic n–chiều trên

p A[z0, z1, , zn] là vành các đa thức (n +1) ẩn trên trờng p

Gọi T  p[x0, x1, , xn] là tập các đa thức thuần nhất nào đó, ký hiệuZ(T) = { P = (z0, z1, , zn)   f(z0, z1, , zn) = 0 }

Một tập con Y của đợc gọi là một tập đại số nếu tồn tại một tập

T các đa thức thuần nhất của vành đa thức p[x0, x1, , xn] sao cho

).

(T

Z

Y 

1.10.2 Mệnh đề (xem [2]) Hợp của hai tập đại số là một tập đại số Giao

của một họ bất kỳ các tập đại số là một tập đại số Tập hợp rỗng và toàn bộ không gian là các tập đại số

1.10.3 Định nghĩa Chúng ta định nghĩa tôpô Zariski trên

bằng cách lấy các tập mở là phần bù của các tập đại số

1.10.4 Định nghĩa Một tập con khác rỗng Y của một không gian tôpô X

đợc gọi là một tập bất khả quy nếu nó không biểu diễn đợc dới dạng hợp

2

1 Y

Y

hợp rỗng đợc coi là tập bất khả quy

1.10.5 Định nghĩa Một đa tạp đại số xạ ảnh ( đa tạp xạ ảnh) p-adic là

một tập đại số bất khả quy trong với tôpô cảm sinh

1.10.6 Định nghĩa

* Một siêu phẳng trong là một đa tạp xạ ảnh đ ợc xác định bởi

một phơng trình tuyến tính thuần nhất trong

* Ta nói X là một siêu mặt bậc d trong không gian xạ ảnh p-adic n

– chiều nếu nó là một đa tạp xạ ảnh đợc xác định bởi một đa thứcthuần nhất bất khả quy bậc d

1.10.7 Định nghĩa Các siêu phẳng Hi ( i = 0,1, , q) của không gian xạ

ảnh n – chiều đợc gọi là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát nếu q  n +

2 và n+1 siêu phẳng bất kỳ trong chúng đều độc lập tuyến tính

Giả sử q = n + 1, ta xét n+2 siêu phẳng ở vị trí tổng quát là H0, H1, , Hn+1 Khi đó, luôn tồn tại một phép biến đổi xạ ảnh của các toạ độ sao cho các siêuphẳng này lần lợt đợc xác định bởi các phơng trình sau:

z0 = 0

z1 = 0

zn = 0

z0 + z1 +   + zn = 0.

1.10.8 Định nghĩa

* Ta nói đờng cong chỉnh hình f : p  X  là suy biến

(đại số) nếu ảnh của f đợc chứa trong một tập con đại số thực sự của X

* Đờng cong chỉnh hình f: p  X  đợc gọi là suy biến tuyến

tính nếu ảnh của f nằm trong một siêu phẳng nào đó của

* Nếu ảnh của f không nằm trong siêu phẳng nào của thì f

là không suy biến tuyến tính.

1.10.9 Định nghĩa Giả sử f : p  là một đờng cong chỉnh hình

từ mặt phẳng p vào không gian xạ ảnh n – chiều

Giả sử H là một siêu phẳng sao cho H không chứa ảnh của f Nếu mỗi không điểm của hàm hợp Ff có ít nhất bội là d ( d > 0), trong đó F = 0 là

phơng trình xác định siêu phẳng H, thì f đợc gọi là rẽ nhánh ít nhất là d trên H.

1.11 Wronskian và tính chất.

1.11.1 Định nghĩa Giả sử f 1 , f 2 , , f n là các hàm chỉnh hình p-adictrong p Định thức:

) 1 ( )

1 ( 2 ) 1 ( 1

/ /

2

/ 1

2 1

2 1

, , )

n

n n n

f f

f

f f

f

f f

f f

f f f

W

đợc gọi là Wronskian của các hàm chỉnh hình p-adic f 1 , f 2 , , f n

1.11.2 Mệnh đề Nếu f 1 , f 2 , , f n là độc lập tuyến tính thì: W(f)  0.

1.11.3 Mệnh đề Giả sử f = ( f 1 , f 2 , , f n ) : p  là đờng cong

chỉnh hình và g là hàm chỉnh hình p-adic, ta có:

W(g  f) = g n W(f).

Chơng 2 định lý kiểu Nevanlinna - Cartan p-adic Trớc hết, chúng tôi giới thiệu định lý Nevanlinna – Cartan p-adic (xem[5]) – một định lý có ý nghĩa lớn trong việc thiết lập mối quan hệ giữa hàm

độ cao và hàm đếm, đặc biệt, nó là công cụ quan trọng trong việc nghiên cứucác đờng cong chỉnh hình và tính hyperbolic p-adic của các siêu mặt xạ ảnh

2.1 các ký hiệu.

Giả sử (z 1 , , z n+1 ) là hệ toạ độ thuần nhất của không gian xạ ảnh

Phơng trình tổng quát của siêu phẳng H j có dạng:

0 : n

Nhắc lại rằng, các siêu phẳng H j với 1 jsn 1 đợc gọi là độc lập tuyến

tính nếu hệ véc tơ (a1j,a2 j, ,a n1, j) là hệ độc lập tuyến tính trong khônggian véc tơ pn+1

Giả sử, phơng trình tuyến tính F j (z) = 0 là phơng trình xác định siêu phẳng j

h(f H j,t) h(F j  f,t),

N k(f H j,t) N k(F j  f,t),

N(f H j,t) N(F j  f,t).

2.2 Định lý Nevanlinna – Cartan p-adic

Giả sử H 1 , H 2 , , H q là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát Nếu f

= ( f 1 , f 2 , , f n+1 ): p  là đờng cong chỉnh hình không suy biến

tuyến tính, khi đó:

1 2

1 1

trong đó O(1) là đại lợng giới nội khi t  - .

Trong quá trình tìm tòi và nghiên cứu, chúng tôi đề xuất một kết quả, một

đánh giá khác về hàm độ cao với hàm đếm, nh sau:

2.3 Định lý ( Định lý kiểu Nevanlinna - Cartan p-adic ).

Giả sử H 1 , H 2 , , H q là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát của không gian xạ ảnh n - chiều, tơng ứng đợc xác định bởi các phơng trình: F 1 = 0, F 2 =

0, , F q = 0 và f = ( f 1 , f 2 , , f n+1 ) : p  là đờng cong chỉnh hình

không suy biến tuyến tính, sao cho:

  F j F j f(a)  0 , j 1 ,q   k , với mọi không điểm a của hàm

2

1 )

, ( )

1

(

1 1

O t n n t f F N k

n t

f h n

Nhận xét Về phơng diện hình học đại số, Bổ đề 2.3.1, nói rằng: Mỗi điểm

của đờng cong chỉnh hình thuộc không quá n siêu phẳng ở vị trí tổng quáttrong

Gọi 1, 2, , q-n-1 là q n 1 chỉ số phân biệt của tập số I

= { 1, ,q}, ta đặt G = ( , G1 G2 Gq-n-1, ), trong đó (1, 2, , q-n-1)

đ-ợc lấy với m = C q qn1 (Tổ hợp chập q–n 1 của q) cách chọn q – n 1

số của tập I

Vì m  n1 nên từ Bổ đề 2.3.1, suy ra m hàm G1G2 Gq-n-1 không cókhông điểm chung Vì vậy, G xác định một đờng cong chỉnh hình của khônggian xạ ảnh m 1 chiều

n q

n q j

,

j

t G h t

G h

j

 (2)

Từ giả thiết các siêu phẳng H1, ,H q ở ở vị trí tổng quát, suy ra mỗi hàm

f i là một tổ hợp tuyến tính của n hàm G Cụ thể , ta có:

0  (i 1 , 2 , ,n  1 )Theo Mệnh đề 1.4.2 ta có:

, ( )

, ( ) 1

j

O t

G h t

f h n q

f C

G G

ThËt vËy, c¸c hµm f i , 1 in 1, øng víi mét tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c

1 2

1 G G n

§Æt

1 2

1

1 2

1

,

, , )

,

, ,

G

G G

f

G G

G z

G G

G G

G h t

h

n

n n n

k k

k

, min

2 2 1

1 1 1

2 1

) ( )

( ) (

) , , , (

G h t

h

i

n

k n

i

, min

2 1

) ( 1

1 ) ,

, ,

, ,

1 2

1

n

O t k

n t

R N

1 1

) , ( 2

1 )

1 , , ,



n q

G G

1

, , ,

,

) (

1 2

n

G G

G C

G G

G z

§Æt Q(z) = 



 1 2

1

1 2

1

, , ,

n

n

G G

G

G G

2 1

1

1

1 2

2 1

1

) ( )

( ) (

/ /

/

.

.

1

1 1

G

G G

G G

G

G

G G

G G

G

n n

n i i

i

G G G

G G

G

2 1

2 1

//

/

( Víi   1 hoÆc -1) Gi¶ sö sè h¹ng:

 

n

n

i i i

n i i

i

G G G

G G

G

2 1

2 1

i

n i i

i

G G

G

G G

//

i

i a

G

G Ord

n

n

i

n i

a G

G Ord

) (

i

n i i

i

G G

G

G G

G

2 1

2 1

1 2

1 2

1

a

G i i q

k n

1 2

1

a

G i i q

k n

1 2

1

a

G i i q

k n

) ) ( ( 2 1

a

G i i q

t a k

n

1 1

) , ( 2

) ,

, , ( )

G z

, ) ,

, , ( ) ,

, , ( ( ) , ( [

) 1 ( ,

) , , , ( ) ,

, ,

k n

Suy ra:

2

) 1 ( ) , ( 2

1

1 1

O t n n t

G N k

2

) 1 ( ) , ( 2

1

1 1

O t n n t

G N k

, (

2

1

1 1

O t n n t

f F N k

, (

1 1

O t n n t

f F N

Chứng minh áp dụng Định lý 2.3 với k = 1.

Từ định lý 2.3, chúng tôi mở rộng Định lý về số khuyết, nh sau:

2.5 Định lý Giả sử f là đờng cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính và

rẽ nhánh ít nhất là d j trên các siêu phẳng H 1 , H 2 , , H q ở vị trí tổng quát Giả

sử F 1 = 0, F 2 = 0, , F q = 0 là phơng trình của các siêu phẳng H 1 , H 2 , , H q

và thoả mãn điều kiện:

  F j F j  f(a)  0 , j 1 , 2 , ,q k với mọi không điểm a của

k n

) 1 ( )

, ( 2

) 1 ( 1 )

, (

) , (

2

1 1

1

1

t f h

O t

f h

t n

n n

t f h

t f F N k

) ,

) (

2

1 1

) , (

) , (

2

1 1

1 1

t f h

t f F N t

f F N

f F N

k n t

f h

t f F N

k

n

j j

j j

) , (

2

1 1

t f h

t f F N d

k n

) 1 ( ,

2

1

t f h

O t f a h

d

k n

2

1 1

t f h

O d

k n

j

1 1

1

1

O t f h O

t f h t

f a

n j

) 1 ( 2

1 1

) , (

) , (

2

1

t f h

O d

k n t

f h

t f F N k

f h

t n

n n

d

k n

) 1 ( )

, ( 2

) 1 ( ) 1 ( 2

1 1

Chó ý r»ng, khi t    th× h( f t )   nªn tån t¹i t sao cho

0 ) , (

) 1 ( )

, ( 2

f h

t n

q

1 2

1 1

2.6 HÖ qu¶ Gi¶ sö f 1 , f 2 , , f n ( n 3) lµ c¸c hµm nguyªn p-adic kh«ng

cã kh«ng ®iÓm chung trªn p sao cho: f 1 + f 2 +   + f

1

2 3

1 1

.