Tìm hiểu về lý thuyết dây

Lý thuyết dây được xem như là hướng đi có triển vọng của Vật lý lý thuyết và vật lý - Tìm hiểu và đưa ra các biểu thức tổng quát các phiếm hàm trường dây.. - Khai triển và tính toán các

HÀ NỘI, 2012

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Th.S Hoàng Phúc Huấn về sự hướng dẫn tận tình, chu đáo và khoa học của thầy trong suốt quá

trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này

Em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Vật lý trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 về sự giảng dạy và chỉ bảo nhiệt tình cho em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng khóa luận tốt nghiệp không tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được sự chỉ bảo của thầy giáo, cô giáo và góp ý của các bạn

Hà Nội, tháng 5 năm 2012 Sinh viên

Hà Minh Tùng

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả và số liệu trong khóa luận này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong khóa luận đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Hà Minh Tùng

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

NỘI DUNG Chương 1: Tổng quan về lý thuyết dây 4

1.1 Tác dụng dây trên lá thế 4

1.2 Phương trình chuyển động Khai triển Mode 5

1.3 Đại số Virasoro 8

1.4 Siêu đối xứng trên lá thế 10

1.5 Khai triển Mode tọa độ spinor trên lá thế 12

1.6 Khối lượng, toán tử chiếu GSO 15

CHƯƠNG 2: Phiếm hàm trường dây 18

2.1 Phiếm hàm trường dây Boson mở 18

2.2 Phiếm hàm trường dây boson đóng 20

2.3 Phiếm hàm trường siêu dây boson mở 22

2.4 Phiếm hàm trường siêu dây boson đóng 26

CHƯƠNG 3: Các lý thuyết dây 34

3.1 Tải BRST trong lý thuyết đối xứng Gauge 34

3.2 Tải BRST trong lý thuyết dây 41

3.3 Phương trình chuyển động phiếm hàm trường 48

KẾT LUẬN 53

TÀI LIỆU THAM KHẢO 54

MỞ ĐẦU

sự vật hiện tượng từ vi mô đến vĩ mô Vấn đề cơ bản nhất là giữa cơ học lượng

tử và thuyết tương đối rộng có những mâu thuẫn về : không – thời gian , những

giá trị vô hạn…

Trước tình hình đó, sự ra đời của lý thuyết dây (1968 – 1973) đã mở ra một hướng đi trong công cuộc tìm kiếm một lý thuyết thống nhất tương tác Lý thuyết dây được xem như là hướng đi có triển vọng của Vật lý lý thuyết và vật lý

- Tìm hiểu và đưa ra các biểu thức tổng quát các phiếm hàm trường dây

- Khai triển và tính toán các phương trình chuyển động của trường dây

- Tim hiểu các quy luật biến đổi Gauge

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Xây dựng một lý thuyết mới có khả năng thống nhất 4 loại tương tác: tương tác mạnh, tương tác yếu, tương tác điện từ và tương tác hấp dẫn

- Phạm vi nghiên cứu: tìm phương trình chuyển động và quy luật biến đổi Gauge của các trường dây, xuất phát từ tác dụng của trường dây, từ đó tính phổ khối lượng cho các trạng thái dây

4 Giả thuyết khoa học

Từ mâu thuẫn cơ bản giữa cơ học lượng tử và lý thuyết tương đối rộng như: sự không tương thích giữa không – thời gian, những giá trị vô hạn xuất hiện… mà không thể giải quyết bằng phương pháp tái chuẩn hóa Do vậy cần có

sự ra đời của thuyết dây để mở ra một hướng đi mới trong việc thống nhất tương tác

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Xây dựng biểu thức tổng quát và viết khai triển của các phiếm hàm

trường dây

- Tìm được phương trình chuyển động của các trường dây

- Xây dựng mối liên hệ giữa các trường trong khai triển của phiếm hàm

6 Phương pháp nghiên cứu

- Giải quyết được một số mâu thuẫn giữa lý thuyết tương đối rộng và cơ

học lượng tử

- Xây dựng hình thức luận phiếm hàm trường dây

7 Cấu trúc khoa luận

Trên cơ sở những kết quả thu được, cấu trúc khóa luận ngoài phần mở đầu, phần kết luận, và tài liệu tham khảo, nội dung chính của khóa luận tốt nghiệp gồm 3 chương:

Chương 1 : Tổng quan về lý thuyết dây

Chương 2 : Phiếm hàm trường dây

Chương 3 : Các lý thuyết dây

NỘI DUNG

Chương 1 TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT DÂY

1.1 Tác dụng dây trên lá thế

Trong lý thuyết dây hạt được xem là những đối tượng một chiều – Dây khi chuyển động trong không – thời gian từ vị trí 1 đến vị trí 2 nó sẽ quét lên một mặt gọi là lá thế ( Hình vẽ 1.1)

Hình 1.1

Vị trí của dây trong không – thời gian được xác định bởi hàm X ,  phụ thuộc hai thông số  và  Trong đó:

*     : có thể hiểu như thời gian riêng của dây

* 0   : có thể hiểu như độ dài xác định vị trí từng điểm trên dây Kết hợp lại thành vector 2 chiều trên lá thế, ta viết:

*) Tác dụng (1.6) bất biến với phép biến đổi tổng quát (1.3), (1.4)

*) Ngoài ra tác dụng S còn bất biến với phép biến đổi Weyl định xứ metric:

h   h '  '   h   (1.8)

Có thể chọn 3 thành phần độc lập của metric tensor h theo metric Minkoski



 hai chiều: h  diag1, 1  (1.9)

Ta nói rằng đã dùng conformal gauge và lúc này tác dụng (1.6) sẽ thành:

X mô tả các mode

“chuyển động trái” của dây

Cần phân biệt dây mở, dây đóng

- Với dây mở ta có điều kiện biên:

Ở đây có thể xem x và p như tọa độ và xung lượng của khối tâm của hạt

dây, n như các dao động tử quỹ đạo

Ta đòi hỏi X phải thực nên x và p cũng phải thực và

   Với dây đóng, ta đặt điều kiện tuần hoàn:

X ,  X  ,   (1.16) Biểu thức tổng quát của nghiệm (1.12) thỏa mãn điều kiện (1.16) có dạng khai triển như sau:

 ứng với “chuyển động trái”

Để tiện ta viết ra các biểu thức khai triển của X X

X i  e  n



Hãy biểu diễn L qua các dao động tử quỹ đạo: n

- Đối với dây mở:

Thay (1.18) vào các biểu thức (1.23) ta tính được:

2( ) ( 1)

1.4 Siêu đối xứng trên lá thế

Lý thuyết dây boson có những hạn chế như:

+ Sự tồn tại các tachyon, số chiều không- thời gian ngoại phụ quá nhiều

+ Cấu trúc lý thuyết dây boson không có khả năng mô tả các trạng thái có spin bán nguyên

Nhằm khắc phục các nhược điểm này, người ta đã đưa vào siêu đối xứng trên lá thế, thể hiện qua sự biến đổi qua lại giữa các tọa độ không - thời gian X( , ) 

và các đối tác của chúng - các siêu tọa độ phản giao hoán   ( , ) Đối với không - thời gian của dây đó là các vector, còn đối với lá thế đó là các spinor hai thành phần, (A)( , )  , A=1,2 Ngoài ra chúng là các đại lượng thực (Majorana):

   , và dây được gọi là siêu dây

Chuyển động của siêu dây được mô tả bởi tác dụng :

1.5 Khai triển Mode tọa đô spinor trên lá thế

Cũng như dây boson, đối với siêu dây mở ta đặt điều kiện biên, đối với siêu dây đóng ta đặt điều kiện biên tuần hoàn

1.5.1 Siêu dây mở

Vì dấu tương đối giữa các thành phần 1 và 2 chỉ là vấn đề quy ước, cho nên

sẽ không mất tính tổng quát nếu ta đặt điều kiện biên tại  0là:

1 2

1( , )

2

in r

1( , )

2

ir r

0

1( , )

2

in n

2

in n

có biểu thức khai triển tổng quát như sau:

a Miền NS-NS

2 ( ) 1

1 2

1( , )

2

ir r

1( , )

2

ir r

1 2

1( , )

2

ir r

2

ir r

2 ( ) 1

0

1( , )

2

in n

1( , )

2

ir r

0

1( , )

2

in n

2

in n

1.6 Khối lƣợng, toán tử chiếu GSO

Các vi tử L , n G tác dụng trong không gian Fock các trạng thái kích thích dạng s

Chú ý từ phương trình G0  0 cũng suy ra phương trình L0  0 do

cho siêu dây R

Dùng hệ thức giao hoán và phản giao hoán dễ dàng chứng tỏ rằng:

- Trạng thái kích thích siêu dây mở NS (1.54) có:

2

2 0

1

, 1

1

2

s s s

n n n

n n n

* Gliozzi, Scherk và Oliver đã đề xuất một cơ chế khử Tachyon như sau: Đưa vào toán tử chẵn lẻ G định nghĩa bởi:

, 1

2( 1)

b s b s s

Chương 2 PHIẾM HÀM TRƯỜNG DÂY

2.1 Phiếm hàm trường dây boson mở

Sự lượng tử hóa dây trình bày ở các chương I mới chỉ ở mức độ biến các tọa độ

,

X Y,… thành các toán tử tuân theo các quy tắc giao hoán nhất định Có thể xem đó như lượng tử hóa lần thứ nhất – lượng tử hóa dây đơn lẻ Đến đây vẫn chưa có khả năng mô tả các quá trình sinh và hủy dây và do đó các quá trình chuyển hóa giữa các dây Để mô tả các quá trình chuyển hóa giữa các dây, cần phải xây dựng lý thuyết trường dây lượng tử

Để chuyển từ lượng tử hóa dây đơn lẻ sang lý thuyết trường dây lượng tử, ta chuyển hàm sóng mô tả trạng thái của dây sang phiếm hàm trường dây:

Chú ý rằng do các dao động tử r

nr



 , n0giao hoán với nhau nên các hệ số

khai triển này có thể xem là đối xứng theo các cặp chỉ số  n

2.2 Phiếm hàm trường dây boson đóng

Phiếm hàm trường dây boson đóng có biểu thức khai triển tổng quát như sau:

2.3 Phiếm hàm trường siêu dây boson mở

Phiếm hàm  thỏa mãn phương trình:

và các hệ thức giữa các trường thành cấp cao hơn

Để có sự thống nhất, các phương trình (11.14) cũng được gọi là điều kiện Gauge

2.4 Phiếm hàm trường siêu dây boson đóng

1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 , , , 0

Ở đây dao động tử bvà b đều là số lẻ vì lí do như đã nói ở 1.7

Phiếm hàm  thỏa mãn phương trình:

0

1

02

0

k k

Phương trình (2.36) cho:

 

, 1

1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 , , , 0

Phiếm hàm thỏa mãn các phương trình:

0

1

02

Phương trình L 0 cũng cho kết quả như vậy

Xét sang các điều kiện Gauge (2.49), ta có:

 

, 1

Các phương trình khác ở (2.49) cho các hệ thức giữa các trường thành phần cấp cao hơn

1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 , , , 0

 , ,  ,     0

Phương trình (2.61) cho:  x 0 (2.68) Các điều kiện gauge (2.63) cho các hệ thức giữa các trường thành phần cấp cao hơn

Chương 3 CÁC LÝ THUYẾT DÂY

3.1 Tải BRST trong lý thuyết đối xứng gauge

Lý thuyết trường dây lượng tử có thể trình bày một cách sáng sủa và bao quát hơn trong ngôn ngữ hình thức luận BRST (Bechi – Rouet – Stora – Tuytin) Trong hình thức luận này các trường vong Fadeev – Popov đóng vai trò chủ yếu Trước hết ta hãy nhắc lại vài điều cơ bản về hình thức luận BRST trong lý thuyết đối xứng gauge thông thường

Giả sử có nhóm đối xứng gauge với các vi tử thỏa mãn các hệ thức giao hoán:

T T n, mifnmk k T (3.1)

fnmk là hằng số cấu trúc của nhóm, phản đối xứng theo các chỉ số n, m, k

Ứng với mỗi vi tử T người ta đưa vào một cặp biến số vong n c và n b , thỏa n

2n m k nmk kpq n m p q

k p q

T T n, mn m,  T T n mn m T T,  m n ifnmk k T (3.9) Trong đó dùng kí hiệu: ( , ) ( 1)  n m

-  n là bậc chẵn của chỉ số n, cụ thể là:

 n 0

  nếu n thuộc chỉ số chẵn;  n 1 nếu n thuộc chỉ số lẻ

Như vậy ( , )n m  1 khi cả n và m đều thuộc loại lẻ và ( , )n m  1 trong tất cả các trường hợp khác Các hằng số cấu trúc thỏa mãn tính chất đối xứng:

Kí hiệu ( ) là một trường hợp đặc biệt của kí hiệu tổng quát mà ta sẽ dùng sau này:

Có thể chứng minh dễ dàng tính chất của nilpotent Q, Q2 0

Đồng nhất thức suy ra trực tiếp từ đồng nhất thức Jacobi phân bậc viết cho các vi tử:

3.2 Tải BRST trong lý thuyết dây

Trong hình thức luận BRST của lý thuyết dây người ta vẫn xây dựng đươc toán tử Q nilpotent, Q20 và gọi là tải BRST Tải BRST có vai trò quan trọng

có thể tìm được phương trình chuyển động của các trường dây và tìm phổ khối

lượng của các trường dây, chứng minh số chiều không thời gian đối với dây

boson là 26 và siêu dây là 10…

3.2.1 Tải BRST cho dây boson

Ta tính toán cụ thể tải BRST cho dây boson:

- Trước hết ta bỏ qua số hạng dị thường, tức là nếu:

Như vậy Q2 0 khi D26, a0 1

3.2.2 Tải BRST của trường siêu dây mở

Để đảm bảo tính siêu đối xứng trên lá thế, tương ứng với các siêu tọa độ

, 2

 ( , )    ( )  ( )  

0 0

Có thể thử trực tiếp do Q Q và Q2 0 ( trong đó  là phiếm hàm thông số) Quả vậy, với (3.27) thì:

  0 ,

3.3.3 Siêu dây mở

3.3.3.1 Siêu dây mở NS

Phương trình BRST cho phiếm hàm trường: Q. 0 (3.33)

Q có biểu thức trong đó: ( )

0 1

Tương tự như trên ta được: L0 X 0, 0 1  

02

KẾT LUẬN

Sau một thời gian tích cực học tập và nghiên cứu dưới sự giúp đỡ tận tình của thầy hướng dẫn khoa học – Th.s Hoàng Phúc Huấn, đến nay tôi đã hoàn thành khóa luận và đã đạt được những mục tiêu đề ra Trong khóa luận này, tôi

đã thu được những kết quả sau:

1 Đưa ra biểu thức tổng quát và viết khai triển của các phiếm hàm trường dây có chứa vong và siêu vong

2 Trên cơ sở tác dụng phiếm hàm trường dây đã triển khai các tính toán để thu các phương trình chuyển động của các trường dây

3 Viết tường minh quy luật biến đổi gauge tổng quát của phiếm hàm trường dây

mà từ các quy luật biến đổi gauge này ta có thể tính được quy luật biến đổi gauge của các trường dây thông thường, mối kiên hệ giữa các trường trong khai triển của phiếm hàm

Qua kết quả nghiên cứu trên đây, khóa luận đã làm rõ thêm về phiếm hàm trường dây và xuất phát từ tác dụng của phiếm hàm trường dây để giải quyết các vấn đề về phương trình chuyển động, quy luật biến đổi gauge…đã được sử dụng nhiều trong lý thuyết dây

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Đào Vọng Đức (2007), các nguyên lý cơ bản của lý thuyết siêu dây lượng tử, NXB khoa học tự nhiên và công nghệ

[2] Đào Vọng Đức, Phù Chí Hòa (2007), Nhập môn lý thuyết trường lượng tử, NCB khoa học và kĩ thuật

[3] Hoàng Ngọc Long (2006), Cơ sở vật lý hạt cơ bản, NXB thống kê [4] Đặng Văn Soa (2006), Đối xứng chuẩn và mô hình thống nhất điện yếu, NXB đại học sư phạm Hà Nội

[5] M.B Green, J.H Schwarz, E Witten (1987), superstring theory,

Cambridge University press