Tìm hiểu về lý thuyết dây

- Phạm vi nghiên cứu: tìm phương trình chuyển động và quy luật biến đổiGauge của các trường dây, xuất phát từ tác dụng của trường dây, từ đó tính phổkhối lượng cho các trạng thái dây.. P

- 2

-LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Th.S Hoàng Phúc

Huấn về sự hướng dẫn tận tình, chu đáo và khoa học của thầy trong suốt quá

trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này

Em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Vật lýtrường Đại học sư phạm Hà Nội 2 về sự giảng dạy và chỉ bảo nhiệt tình cho emtrong suốt quá trình học tập, nghiên cứu

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng khóa luận tốt nghiệp không tránh khỏinhững thiếu sót Em rất mong nhận được sự chỉ bảo của thầy giáo, cô giáo vàgóp ý của các bạn

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên

Hà Minh Tùng

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả và số liệu trong khóa luận này làtrung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằngmọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã được cảm ơn và các thôngtin trích dẫn trong khóa luận đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Hà Minh Tùng

- 4

-MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

NỘI DUNG Chương 1: Tổng quan về lý thuyết dây 4

1.1 Tác dụng dây trên lá thế 4

1.2 Phương trình chuyển động Khai triển Mode 5

1.3 Đại số Virasoro 8

1.4 Siêu đối xứng trên lá thế 10

1.5 Khai triển Mode tọa độ spinor trên lá thế 12

1.6 Khối lượng, toán tử chiếu GSO 15

CHƯƠNG 2: Phiếm hàm trường dây 18

2.1 Phiếm hàm trường dây Boson mở 18

2.2 Phiếm hàm trường dây boson đóng 20

2.3 Phiếm hàm trường siêu dây boson mở 22

2.4 Phiếm hàm trường siêu dây boson đóng 26

CHƯƠNG 3: Các lý thuyết dây 34

3.1 Tải BRST trong lý thuyết đối xứng Gauge 34

3.2 Tải BRST trong lý thuyết dây 41

3.3 Phương trình chuyển động phiếm hàm trường 48

KẾT LUẬN 53

TÀI LIỆU THAM KHẢO 54

MỞ ĐẦU

Trong quá trình xây dựng lý thuyết thống nhất tương tác đã mang lại chochúng ta nhiều thành công, đó là hiểu biết về bản chất, quy luật vận động của các

sự vật hiện tượng từ vi mô đến vĩ mô Vấn đề cơ bản nhất là giữa cơ học lượng

tử và thuyết tương đối rộng có những mâu thuẫn về : không – thời gian , nhữnggiá trị vô hạn…

Trước tình hình đó, sự ra đời của lý thuyết dây (1968 – 1973) đã mở ramột hướng đi trong công cuộc tìm kiếm một lý thuyết thống nhất tương tác Lýthuyết dây được xem như là hướng đi có triển vọng của Vật lý lý thuyết và vật lýhạt cơ bản

Trong lý thuyết dây, các hạt cơ bản không được coi là các hạt điểm mà lànhững sợi dây chuyển động trong không – thời gian Từ tầm quan trọng của lý

thuyết dây, tôi chọn đề tài: “Tìm hiểu về lý thuyết dây” làm đề tài khóa luận của

mình

2 Mục đích nghiên cứu

- Tìm hiểu và đưa ra các biểu thức tổng quát các phiếm hàm trường dây

- Khai triển và tính toán các phương trình chuyển động của trường dây

- Tim hiểu các quy luật biến đổi Gauge

- 6

-3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Xây dựng một lý thuyết mới có khả năng thống nhất 4 loại tương tác:tương tác mạnh, tương tác yếu, tương tác điện từ và tương tác hấp dẫn

- Phạm vi nghiên cứu: tìm phương trình chuyển động và quy luật biến đổiGauge của các trường dây, xuất phát từ tác dụng của trường dây, từ đó tính phổkhối lượng cho các trạng thái dây

4 Giả thuyết khoa học

Từ mâu thuẫn cơ bản giữa cơ học lượng tử và lý thuyết tương đối rộngnhư: sự không tương thích giữa không – thời gian, những giá trị vô hạn xuấthiện… mà không thể giải quyết bằng phương pháp tái chuẩn hóa Do vậy cần có

sự ra đời của thuyết dây để mở ra một hướng đi mới trong việc thống nhất tươngtác

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Xây dựng biểu thức tổng quát và viết khai triển của các phiếm hàmtrường dây

- Tìm được phương trình chuyển động của các trường dây

- Xây dựng mối liên hệ giữa các trường trong khai triển của phiếm hàm

6 Phương pháp nghiên cứu

- Giải quyết được một số mâu thuẫn giữa lý thuyết tương đối rộng và cơhọc lượng tử

- Xây dựng hình thức luận phiếm hàm trường dây

7 Cấu trúc khoa luận

Trên cơ sở những kết quả thu được, cấu trúc khóa luận ngoài phần mở đầu, phầnkết luận, và tài liệu tham khảo, nội dung chính của khóa luận tốt nghiệp gồm 3chương:

Chương 1 : Tổng quan về lý thuyết dây.

Chương 2 : Phiếm hàm trường dây.

Chương 3 : Các lý thuyết dây.

- 8

-NỘI DUNG

Chương 1 TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT DÂY

1.1 Tác dụng dây trên lá thế

Trong lý thuyết dây hạt được xem là những đối tượng một chiều – Dây khichuyển động trong không – thời gian từ vị trí 1 đến vị trí 2 nó sẽ quét lên mộtmặt gọi là lá thế ( Hình vẽ 1.1)

Hình 1.1

Vị trí của dây trong không – thời gian được xác định bởi

hàm thuộc hai thông số và  Trong đó:

X

 , 

có thể hiểu như độ dài xác định vị trí từng điểm trên dây

Kết hợp lại thành vector 2 chiều trên lá thế, ta viết:

*) Tác dụng (1.6) bất biến với phép biến đổi tổng quát (1.3), (1.4).

*) Ngoài ra tác dụng S còn bất biến với phép biến đổi Weyl định xứ metric:

Trong đó X R mô tả các mode “chuyển động phải”, X L mô tả các mode

“chuyển động trái” của dây

Cần phân biệt dây mở, dây đóng

- Với dây mở ta có điều kiện biên:

Hãy biểu diễn L n qua các dao động tử quỹ đạo:

- Đối với dây mở:

Thay (1.18) vào các biểu thức (1.23) ta tính được:



k k

như các toán tử hủy và 



n

n

như các toán tử

sinh Ta cũng định nghĩa lại L n

, L normal,n : viết (1.24), (1.25) dưới dạng tích trong đó toán tử sinh đứng trước toán tử hủy

1.4 Siêu đối xứng trên lá thế

Lý thuyết dây boson có những hạn chế như:

+ Sự tồn tại các tachyon, số chiều không- thời gian ngoại phụ quá nhiều

+ Cấu trúc lý thuyết dây boson không có khả năng mô tả các trạng thái có spinbán nguyên

Nhằm khắc phục các nhược điểm này, người ta đã đưa vào siêu đối xứng trên lá

thế, thể hiện qua sự biến đổi qua lại giữa các tọa độ không - thời gian X (

,)

và các đối tác của chúng - các siêu tọa độ phản giao hoán

(,) Đối với không - thời gian của dây đó là cácvector, còn đối với lá thế đó là các spinor hai thành phần, ()(,) , A=1,2 Ngoài ra chúng là các đại lượng thực (Majorana):

, và dây được gọi là siêu dây.

Chuyển động của siêu dây được mô tả bởi tác dụng :

1.5 Khai triển Mode tọa đô spinor trên lá thế

Cũng như dây boson, đối với siêu dây mở ta đặt điều kiện biên, đối vớisiêu dây đóng ta đặt điều kiện biên tuần hoàn

1.5.1 Siêu dây mở

Vì dấu tương đối giữa các thành phần

sẽ không mất tính tổng quát nếu ta đặt điều kiện biên tại

 0 là:

Khi đã buộc điều kiện (1.39) thì dấu tương đối giữa

nên có ý nghĩa Lúc này ta phân biệt hai trường hợp:

- Điều kiện Neveu-Schwarz( miền NS)

Nghiệm của phương trình (1.38) thỏa mãn các điều kiện biên(1.39) - (1.40) cóbiểu thức khai triển tổng quát như sau:

Nghiệm các phương trình (1.38) thỏa mãn các điều kiện biên(1.44)-(1.47)

- 30

-12

12

có biểu thức khai triển tổng quát như sau:

2 nZ 0

b sq

Thay (1.56) vào các phương trình có L0 ở (1.54) - (1.55) ta có:



 1

Dùng hệ thức giao hoán và phản giao hoán dễ dàng chứng tỏ rằng:

- Trạng thái kích thích siêu dây mở NS (1.54) có:

- 36

-Như vậy với siêu dây NS ta phân biệt hai trạng thái: trạng thái với số chẵn dao

động tử b, có G 1 và trạng thái với số lẻ dao động

điều kiện G 1 lên các trạng thái vật lý thì sẽ loại trừ được Tachyon.

 

 

Chương 2 PHIẾM HÀM TRƯỜNG DÂY

2.1 Phiếm hàm trường dây boson mở

Sự lượng tử hóa dây trình bày ở các chương I mới chỉ ở mức độ biến các tọa độ

X ,Y ,… thành các toán tử tuân theo các quy tắc giao hoán nhất định

Có thể xem đó như lượng tử hóa lần thứ nhất – lượng tử hóa dây đơn lẻ Đếnđây vẫn chưa có khả năng mô tả các quá trình sinh và hủy dây và do đó cácquá trình chuyển hóa giữa các dây Để mô tả các quá trình chuyển hóa giữacác dây, cần phải xây dựng lý thuyết trường dây lượng tử

Để chuyển từ lượng tử hóa dây đơn lẻ sang lý thuyết trường dây lượng tử, tachuyển hàm sóng mô tả trạng thái của dây sang phiếm hàm trường dây:

 , , 

Đây không phải phiếm hàm thông thường với các giá trị số thông thường mà là

phiếm hàm với các giá trị là các trường trong không – thời gian x Phiếm hàm

trường dây Boson mở 

được xem là các trường thành phần của trường

dây và chính là các trường định sứ thông thường trong lý thuyết trường lượng tử

khai triển này có thể xem là đối xứng theo các cặp chỉ số n .

Ta hãy viết biểu thức (2.1) cho một số trường thành phần ứng với các mode kíchthích thấp nhất

thể đoán nhận làtrường Gauge Như vậy, phương trình (2.3) tương ứng với phương trìnhMaxwell trong lý thuyết trường lượng tử, phương trình (2.4) tương ứng với điềukiện Gauge Lorentz và do đó được gọi là điều kiện gauge của trường dây.

2.2 Phiếm hàm trường dây boson đóng

Phiếm hàm trường dây boson đóng có biểu thức khai triển tổng quát như sau:

(2.16)

và hệ thức giữa các trường thành phần cao hơn

lên các trạng thái vật lý và do đó trong biểu thức khai triển

(2.17) chỉ có các trường thành phần với số lẻ s mà thôi Lúc này ta lại viết (2.17)thành

là trường gauge với điều kiện Lorentz gauge (2.25) và do đó các

phương trình (2.20) và (2.21) được gọi là phương trình gauge của dây

2.3.2 Miền R

Phiếm hàm trường dây có biểu thức khai triển tương tự như (2.17), với d thay cho b : X  , ,  , 

còn mang thêm chỉ số spinor không - thời

gian, cho nên

2

Và các hệ thức giữa các trường thành phần tương ứng với các mode kích thích

cấp cao hơn Tương tự, phương trình G1 0 cho:

và các hệ thức giữa các trường thành cấp cao hơn.

Để có sự thống nhất, các phương trình (11.14) cũng được gọi là điều kiện Gauge

2.4 Phiếm hàm trường siêu dây boson đóng

Ở đây dao động tử b và b đều là số lẻ vì lí do như đã nói ở 1.7

Phiếm hàm thỏa mãn phương trình:

Chú ý rằng phiếm hàm mang chỉ số spinor không thời gian và do

đó các trường thành phần cũng mang thêm chỉ số spinor ( ngoài chỉ sốLorentz đã viết tường minh)

Phiếm hàm thỏa mãn các phương trình:

 

 ,  k

 1

n

 0

Trường thành phần cấp thấp nhất trong (2.60) ( ứng với

trường vô hướng, ta kí hiệu  x:

(2.66)

r s p

q  0 ) là

 2

- 68

-Chương 3 CÁC LÝ THUYẾT DÂY

3.1 Tải BRST trong lý thuyết đối xứng gauge

Lý thuyết trường dây lượng tử có thể trình bày một cách sáng sủa và baoquát hơn trong ngôn ngữ hình thức luận BRST (Bechi – Rouet – Stora – Tuytin).Trong hình thức luận này các trường vong Fadeev – Popov đóng vai trò chủ yếu.Trước hết ta hãy nhắc lại vài điều cơ bản về hình thức luận BRST trong lý thuyếtđối xứng gauge thông thường

Giả sử có nhóm đối xứng gauge với các vi tử thỏa mãn các hệ thức giao hoán:

if nmk T k fnk fmpq cb k c p b q

c p b k q c  pk

,k p,q

 b k c p b q 

T n ,T m n,m T n T m n,

mT m T n ifnmk T k

(3.9)

Trong đó dùng kí hiệu: (n, m) (1)nm



n,m

nm,k 

Vậy ta được:

(k, n)f kmfnj (n, m)f nkfmj (m, k)f mnfkj 0 (dpcm)

3.2 Tải BRST trong lý thuyết dây

Trong hình thức luận BRST của lý thuyết dây người ta vẫn xây dựng đươc

toán tử Q nilpotent,

Q2

 0 và gọi là tải BRST Tải BRST có vai trò quan trọngtrong lý thuyết dây, bởi vì từ tải BRST và tác dụng của phiếm hàm trường dây ta

- 84

-có thể tìm được phương trình chuyển động của các trường dây và tìm phổ khối

lượng của các trường dây, chứng minh số chiều không thời gian đối với dây

boson là 26 và siêu dây là 10…

3.2.1 Tải BRST cho dây boson

Ta tính toán cụ thể tải BRST cho dây boson:

- Trước hết ta bỏ qua số hạng dị thường, tức là nếu:

:

Z

 p q pq 



dây NS, a0

 0

Quả vậy, với (3.27) thì:

ở (2.69) mà thôi và lúc này phương trình

(3.29) với biểu thức khai triển của Q ( đối với dây boson a0 1):

21

21

(3.42)

- 105

KẾT LUẬN

Sau một thời gian tích cực học tập và nghiên cứu dưới sự giúp đỡ tận tìnhcủa thầy hướng dẫn khoa học – Th.s Hoàng Phúc Huấn, đến nay tôi đã hoànthành khóa luận và đã đạt được những mục tiêu đề ra Trong khóa luận này, tôi

đã thu được những kết quả sau:

1 Đưa ra biểu thức tổng quát và viết khai triển của các phiếm hàm trường dây cóchứa vong và siêu vong

2 Trên cơ sở tác dụng phiếm hàm trường dây đã triển khai các tính toán để thucác phương trình chuyển động của các trường dây

3 Viết tường minh quy luật biến đổi gauge tổng quát của phiếm hàm trường dây

mà từ các quy luật biến đổi gauge này ta có thể tính được quy luật biến đổi gaugecủa các trường dây thông thường, mối kiên hệ giữa các trường trong khai triểncủa phiếm hàm

Qua kết quả nghiên cứu trên đây, khóa luận đã làm rõ thêm về phiếm hàmtrường dây và xuất phát từ tác dụng của phiếm hàm trường dây để giải quyết cácvấn đề về phương trình chuyển động, quy luật biến đổi gauge…đã được sử dụngnhiều trong lý thuyết dây

- 106

-TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Đào Vọng Đức (2007), các nguyên lý cơ bản của lý thuyết siêu dây

lượng tử, NXB khoa học tự nhiên và công nghệ.

[2] Đào Vọng Đức, Phù Chí Hòa (2007), Nhập môn lý thuyết trường

lượng tử, NCB khoa học và kĩ thuật.

[3] Hoàng Ngọc Long (2006), Cơ sở vật lý hạt cơ bản, NXB thống kê [4] Đặng Văn Soa (2006), Đối xứng chuẩn và mô hình thống nhất điện yếu,

NXB đại học sư phạm Hà Nội

[5] M.B Green, J.H Schwarz, E Witten (1987), superstring theory,

Cambridge University press