Khoá luận tốt nghiệp toán tìm hiểu về lý thuyết matroid

Lý thuyết Matroỉd đã tổng quát hóa được những tính chất về sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính trong không gian vector và còn nhiều ứng dụng đối với lý thuyết đồ thị, tổ hợp.. K

TRƯỜNG ĐẠI H ỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ THANH THỦY

TÌM HIỂU VỀ LÝ THUYẾT MATROID

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng Dụng

Người hướng dẫn khoa học:

TS TRẦN M IN H TƯỚC

Xuân Hòa - 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi đã thực hiện đề tài Tìm hiểu về lý thuyết Matroỉd.

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Kết quả nghiên cứu của đề tài này đảm bảo tính khách quan, trung thực, không trùng lặp với các tác giả khác

Hà Nội, tháng 5 năm 2015

Sinh viên

Nguyễn Thi T hanh Thủy

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận tốt nghiệp, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ T rần M inh Tước người đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành đề tài này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè

đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài này

Hà Nội, tháng 5 năm 2015

Sinh viên

Nguyễn Thị T hanh Thủy

K H Á I NIỆM M ATROID VÀ H Ệ T H ố N G TIÊN ĐE

K hái niệm m atroỉd

S ự LIÊN HỆ GIỮA M ATROID VỚI TRANSVERSAL

K hái niệm transversal

Sự liên hệ giữa m atroid vối transversal

Chương 4

4.1

4.2

Sự LIÊN HỆ GIỮA M ATROID VÀ T ố i Ưu T ổ H Ợ P

T h u ật toán tham lam

V íd ụ l

22469

12

13181819

20

20

21

232324

MỞ ĐẦU

1.Lí do chọn đề tài

Lý thuyết Matroid là một dạng hiện đại của hình học được đề cập lần đầu tiên bởi nhà toán học Bill Tutte

Lý thuyết M atroid là lý thuyết về tập hợp với cấu trúc độc lập xác định trên

chúng Như vậy, vẫn theo lý thuyết chung, nghiên cứu những đối tượng (hình thức) trong mối quan hệ với các đối tượng khác dựa trên một cấu trúc nào đó

Lý thuyết Matroỉd đã tổng quát hóa được những tính chất về sự độc lập tuyến

tính, phụ thuộc tuyến tính trong không gian vector và còn nhiều ứng dụng đối với lý

thuyết đồ thị, tổ hợp Hơn nữa, càng về sau người ta càng thấy Matroid có ý nghĩa

với Toán học hiện đại

2 M ục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Bước đầu tiếp cận để tìm hiểu về Lý thuyết Matroid

3 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu Lý thuyết, vận dụng các phép suy luận logic để tìm cách chứng minh một số định lý, tính chất chưa được trình bày

Chương 1: Khái niệm Matroid và hệ thống tiên đề

Chương 2: Sự liên hệ giữa Matroid với lý thuyết đồ thị

Chương 3: Sự liên hệ giữa Matrid với transversal

Chương 4: Sự liên hệ giữa Matroid với tối ưu tổ hợp

Kết luận

Do thời gian thực hiện đề tài không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của thầy cô và bạn đọc Xin chân thành cám ơn!

Chương 1

KHÁI NIỆM MATROID VÀ

HÊ THỐNG TIÊN ĐỀ

1.1 Khái niệm matroid

Đầu tiên ta sẽ tìm hiểu matroid là gì? Khái niệm được đưa ra sau đây dựa trên các tập con độc lập của tập nền scùng với một số ví dụ giúp ta có hình dung đầu tiên về Matroid Ngoài ra ta có thể định nghĩa Matroid bằng các khái niệm tương đương dựa trên tập cơ sở, tập vòng hay hàm hạng được được trình bày trong các mục sau

Đỉnh nghĩa 1.1.1 Matroid là một cặp M gồm tập hữu hạn s và họ J các tập con của s được gọi là các tập độc lập của M nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

là độc lập tuyến tính Khi đó 3 gồm các tập con của E — {7} có nhiều nhất ba phần

tử loại trừ {1,2,4}, {2,3,5}, {2,3,6} và loại cả các tập chứa {5,6} Ta được { E, J )

là matroid

Tính chất "độc lập" của các phần tử ở đây chính là tính chất độc lập tuyến tính

của hệ vector cột của ma trận đã cho

Tính độc lập của các phần tử xác định bởi tính chất không chứa chu trình của các tập cạnh

Matroid xác định như trên gọi là matroid vòng của G.

Cho tập s hữu hạn phần tử.

Xét họ = {0} khi đó ta có ( s , ^ ) là một matroid được gọi là matroid tầm thường.

Xét họ З2 = СР(5*) = 2s khi đó ta có thể chứng minh được (51, З 2 ) là một matroid

được gọi là matroid rời rạc.

Trên đây khái niệm matroid được định nghĩa dựa trên tính độc lập của các phần

tử Người ta có thể định nghĩa matroid với những cách khác, tất nhiên là chúng tương đương Sau đây ta tìm hiểu điều này thông qua các tiên đề

1.2 Tiên đề cơ sở

Cho matroid M = (s , jF) Xét họ không rỗng ъ có phần tử là các tập con độc lập lớn nhất của s trong M Vì các phần tử của ъ là các tập độc lập nên ъ là họ các tập độc lập của M.

Bổ đề 1.2.1 Nếu B\, B 2 là cơ sở của matroỉd M thì \B\ I = |Ä21-

Chứng minh

Cho B \, B 2 là hai cơ sở của M, \B\ I < 1^21- Vì Bị và B 2 là hai tập độc lập nên

thỏa mãn điều kiện M(3i), tồn tại phần tử e G ( в 2 — B ị) sao cho (Bị и e) G 3 Như

vậy B\ không phải là tập độc lập lớn nhất, mâu thuẫn với B\ là cơ sở, suy ra giả sử sai Vì thế \B\ I > \I$ 21•

Đổi vai trò của B\ và B 2 , tương tự ta chứng minh được 1^21 > \B\ |.

Suy ra \Bị I = 1^21- О

Định lý 1.2.1 Họ khác rỗng các tập con hữu hạn của s, kí hiệu là ъ là họ cơ sở

của một matroỉd trên s khi và chỉ khi thỏa mãn các điều kiện sau:

Xét B ị, B 2 G Ъ ,В \ Ф z?2 » mà theo bổ đề 1.2.1 ta có số phần tử của các cơ sỏ

bằng nhau \B\ I = |z?2|, hiển nhiên B(li) được thỏa mãn.

Ví dụ 1.1.3.

Cho B\ — X và B 2 là hai tập độc lập, \B\ — x\ < 1-^21- Theo điều kiện M(3i),

G (B 2 — (B1 — Jt)) sao cho ( ( # 1 - i ) U } ') G 3r Hiển nhiên y E (B 2 —Bị) Đặt

Bị — (Bị — x) Uy Theo bổ đề 1.2.1 ta có |Яз| = |(5 | — x) U}’| = \B\ | Hơn nữa, (В] — Jt) Uy là tập độc lập, suy ra z?3 là cơ sở của M Vậy B(2i) được thỏa mãn.

Bây giờ ta sẽ chứng minh họ ъ và tập s là một matroid theo định nghĩa 1.1.1 Cho 3 — {/ ç B\B G Ъ } Ta sẽ chứng minh (5, J) là một matroid.

Từ ъ thỏa mãn Bị li) nên 3 thỏa mãn Mị ỉ ỉ).

Nếu ỉ e 3 , ĩ С ỉ ^ Ï с в , в е Ъ , thỏa mãn M(2i).

Cho / ] , /2 G 0 với |/i I < |/г| sao cho v<? G h — ỉ\ ,ỉ\ и e ị 3 Theo định nghĩa, ъ

có chứa phần tử Bị , #2- Như vậy, /| с в I và / 2 Ç ß 2 Cho rằng tập в 2 được chọn

sao cho \B2 — ( / 2 Q B \)| là nhỏ nhất Bởi vậy ta chọn /ị , / 2 để

h-B\ = h - ỉ \ (1)

Giả sử rằng B 2 — {h u B\ ) là khác rỗng Khi đó, ta có thể chọn phần tử X từ tập

này, theo B(2i), có một phần tử у £ B\ — B2 sao cho (B2 — x) Uy G ъ Nhưng sau

đó |((z?2 —x)\Jy) - (/2 U # i)| < |i?2 — {Ỉ 2 и B\ ) I và việc chọn B 2 là mâu thuẫn, nên

z?2 — ( h u Bị ) là rỗng và B2 — B\ = /2 — B\ Mà theo ( 1 )/] = в 1 nên

B2 - B ì = h - I ì (2)

Tiếp theo ta chứng minh В] — (ỉị U B 2 ) là rỗng Giả sử B\ — (Iị UB 2 ) là không

rỗng, thì có X G B\ — (ĩị и В 2 ) và y G B 2 — Bị sao cho (Bị — Jt) Uy G ъ

Bây giờ thì (/] U}7) Ç ((B\ — Jt) Uy) nên I] u>’ G 0.

Từ y G (B 2 — В \), theo (2), y G ( /2 — / | ), mâu thuẫn với điều giá sử Suy ra

B\ — ( / 1 u B2) là rỗng Vì thế B\ — B2 — I\ — B2.

B , - B 2 Ç h - I 2 (3)

Mà IB\ I = |ß 2| nên |ßi — #2! = \Вг — в 11, kết hợp với (1), (2), (3) ta có

^ 1^2! 9 IĨ13.U thuan VƠI § 1 ã thuyet

(5,J) làmatroid □

Ví dụ 1.2.1 Cho ma trận A là ma trận 5x8 có các cột là các vecter trong M5 Tập

các vecter cột của A là { 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 }

Trong trường hợp này ta thấy tính chất B(2i), được thỏa mãn.Và điều này cũng

chứng tỏ không có cơ sở nào chứa cơ sở khác

Một cách mô tả khác về khái niệm matroid là nhờ vào hàm hạng

1.3 Tiên đề hạng

Cho M = (S , jF) và họ tất cả các tập con của slà 2S.

Gọi hàm số r{A) — max{\X\ với X ç A và X G (F)} là hạng của A Hạng của matroid M kí hiệu là r(M ), hay r(s).

Nhận xét: Hạng của tập A là số phần tử của tập độc lập cực đại thuộc A Nếu A

độc lập thì r(A) = |A|

Định lý 1.3.1 Cho s là tập hữu hạn khác rỗng và hàm số r : 2S — > N Khi đó r là

hàm hạng của matroid trên s khi và chỉ khi thỏa mãn cấc điều kiện sau v x , Y của S:

R ( l i ) 0 < r ( X ) < |X|.

R(2i) Nếu Y Ç X thì r(y ) < r(x ).

R(3i) r(X u y ) < r(X) + r(Y) - r(X n Y).

Chứng minh

Ta chứng minh rằng hàm số r được xác định như trên thỏa mãn ba điều kiện của

định lý 1.3.1

Theo M(]ỉ),(d <E 3 nên r(0) = 0 Cho X là tập con độc lập của A, dễ thấy |x | <

|A| r(A) < |A|, Rị li) được thỏa mãn.

Xét X e J J Ç X theo M(2Ỉ) ta có, Y e ЗГ Y là tập độc lập r{Y) = \ Y\ Có

Y ç X nên \Y\ < |x | và r(X) = |x |, suy ra r(Y) < r( x) , R(2i) được thỏa mãn.

Xét u , v G 3 và |ơ | = \v\ + 1 Theo M(3z) thì tồn tại JC G (и — V) sao cho

( v u u ) 6 (F), suy ra V U x là tập độc lập.

Ta có r(U) = \u\, r(V) = \v\, r ( VUx ) = \V\Jx\,

\u\ + |v | | ơ u v | + | ơ n v |

|Ơ| + |V| > r ( ơ u v ) + / '( ơ n v )

^ r(U) + r(V) > r ( u u v ) + r ( u п V)

r ( u u v ) < t ị u ) + r ( v ) — r ( u п V) R(3Ỉ) được thỏa mãn.

Để làm được điều này, trước tiên ta đưa ra bổ đề sau

Bổ đề 1.3.1 Cho E là một tập hữu hạn và r là một hàm trên 2E thỏa mãn điều kiện

R(3i) N ế u X , Y e 2 E y y G Y —X , r ( X и y) = r { x ) thì r ( X u y ) = r ( x )

Chứng minh

Cho X — Y — { j | , -^Ук}- Ta xét phép quy nạp theo к.

Nếu к = 1 bài toán hiển nhiên là đúng.

Giả sử bài toán đúng với k = n, cần chứng minh bài toán đúng với к = n + 1.

Để chứng minh J thỏa mãn M(3i), giả sử ngược lại.

Cho /ị , / 2 G ũ với |/| I < I/2I và Ve £ ( /2 — /1 ),/j u £ e J Khi đó , Vé’, r(/i u e) Ỷ

|/j Ue\ Do đó, theo R ịli), R(2i) và / e 3 ta nhận được \fe:

|/, I + 1 > r(/i U^) > r(/,) = / 1

<£> (/1 Ue ) = |/i I

Áp dụng bổ đề trên với X = I\ và Y = h , ta có /*(/]) = rự\ u /2) Nhưng |/] I =

r ự I) và rự\ u /2) < r ự 2) = 1/21, nên |/i I < |/2|, mâu thuẫn với |/| I <: |/2|

Suy ra 3 thỏa mãn M(3i) Vậy (S, 3) là một matroid □

Vì đây có 4 vector trong cơ sở và là tập độc lập tuyến tính lớn nhất nên hạng của

Kích thước của c là 5, hạng của c là 4 nên R(2i) được thỏa mãn

Cho tập D sao cho D c c CA

Ta thấy rằng 3 = r ị p ) < r(c) — 4 nên điều kiện R(2i) được thỏa mãn.

Từ định nghĩa của matroid, điều kiện R(3i) được thỏa mãn với hai tập C,D c E.

N hận xét: Nếu bớt đi một phần tử của c thì ta được tập độc lập.

Định lý 1.4.1 Cho tập hữu hạn s và c là họ các tập con của s Khi đó c là tập vòng của matroỉd M trên s khỉ và chỉ khi thỏa mãn các điều kiện sau:

C(li) %ị Q

C(2i) Nếu C\ ,C2 6 c vồ C\ c C2 thì C\ = C 2

C(3i) Nếu C\ ,C2 6 c và e G C\ n C2 thì tồn tại C3 G c, C3 c (Cl UC2) — e.

Chứng minh

Ta chứng minh tập с được xây dựng như trên sẽ thỏa mãn ba điều kiện của Định

lý 1.4.1

Theo M(li) ta có 0 £ jF nên hiển nhiên ữ ị G, C(ỉi) được thỏa mãn.

Theo M(2i), nếu X e J , Y ç X thì Y G 3 \ Khi ta thêm cùng một phần tử vào mỗi tập X, Y thì được X , Y là các tập phụ thuộc tối tiểu và Y Ç x ' Nếu Ý с X thì vô

lý vì một tập phụ thuộc tối tiểu không thể là con thực sự của một tập phụ thuộc tối

tiểu khác, suy ra Ý = x ' , C(2Ỉ) được thỏa mãn.

Cho c , , c 2 G С,С] Г1С2 = e G iả sử không CÓC3 G с sao CI10C3 ç (Cl UC2) — e

Ta CÓ Cl — e,C 2 — е,Сз ç ( с I UC2) — e đều là các tập độc lập và |(C| UC2) — e \>

I C\ —e\, |(Ci UC2) — e \ > |Сг — e\ Theo M(3i), xét hai tậpCị —е,Сз Ç (Cị UC2) — e

độc lập và |(Cị UC2) — e\ > \Cị — e\ thì 3 / G ((Cl UC2) — e) — (Cl — e) sao cho (C, - e) u / G 3r Mà / G ((Cl UC2) — e) <^> / G (c2-e) suy ra |Сг — ể| > |C] - e\ Tương tự ta có \C\ — e\ > |Сг — e\, mâu thuẫn chứng tỏ giả sử sai Vậy điều kiện

C(3i) được thỏa mãn □

Cho С là họ tập con của sthỏa mãn các điều kiện của định lý 1.4.1, c' là họ các tập С với С С С Như vậy С là tập độc lập, suy ra с ç Theo định nghĩa ì 1.1

{s , ể ) là một matroid.

Ví dụ 1.4.1 Cho đồ thị H bởi hình vẽ.

2

Hình 1.2: Đồ thị H

Ta có thể nhìn nhận một vòng là một chu trình trong lý thuyết dồ thị Ta sẽ lấy

một vòng trong matroid M, là chu trình của H Tập vòng của đồ thị H gồm:

{a, b, c, d, e}

{ a , e j }

6, úí, g j- { d j , g } {b, c, g}

{ b , c , d , f }

Quan sát các vòng trên ta thấy điều kiện C(li), C(2i) được thỏa mãn.

Xét vòng C\ — { a , e , f } ,C2 = {a, b, c, d, e} thuộc c Ta thấy hai vòng đều chứa

Có thể thấy ở đây ba vòng trong X là { ữ ,£ ,/} , {ữ,z?,c,d,e}, trong

đ ó , { b , c , d , f } là một vòng trong X mà không chứa cả {a } và {e} Như vậy, điều

kiện C(3i) được thỏa mãn.

Chương 2

s ự LIÊN HỆ GIỮA

MATROID VÀ LÝ THUYẾT

Đ ồ THỊ

Sự liên hệ giữa matroid với lý thuyết đồ thị sẽ cung cấp thêm công cụ mang tính

lý thuyết có thể làm sáng tỏ nhiều vấn đề trong lý thuyết đồ thị Tuy nhiên sự thay

thế hoàn toàn là không thể Chẳng hạn trong ví dụ sau đây, hai đồ thị Q\ và Q 2 là

không đẳng cấu nhưng hai matroid vòng M(Q\ ) và M(QÌ) là hai matroid đẳng cấu.

Ta nhắc lại, M\ = ( S\ , 5^1 ) và М2 = (S2,3 2) được gọi là đẳng cấu nếu có song

ánh (p : S\ — » S 2 sao cho X ç Si ,x G 5 khi và chí khi ọ(x) E 3^2

Ở ví dụ trên, chỉ cần xét matroid rời rạc trên E( G 1 ) và EịGỉ) hiển nhiên ta thấy

M ( G \ ) và M{ G2) là đẳng cấu

Sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu một số mối liên hệ giữa matroi với lý thuyết đồ thị Các kí hiệu liên quan tới lý thuyết đồ thị nói tới trong chương này được sử dụng theo [5]

2.1 Matroid vòng của đồ thị

Cho đồ thị G = (V,E), khái niệm matroid vòng của G, kí hiệu M(G) đã được nói đến trong chương 1 Ở đó, cấu trúc độc lập của M( G ) được xây dựng bởi các tập cạnh không chứa chu trình của G.

Trong mục này ta sẽ nói đến sự liên hệ giữa matroid với đồ thị thông qua khái niệm matroid vòng của đồ thị Định lý sau có thể suy ra ngay từ định nghĩa

Định lý 2.1.1 Cho đồ thị G — (V, £ ), khi đó mỗi chu trình của G sẽ tạo thành một

vòng của matroid M(G) trên tập cạnh E của G.

nên chứa một chu trình Luôn tồn tại đỉnh <?2 thuộc chu trình của P 2 ,e 2 Ỷ e\ để khi

bớt đi £ 2 thì p2 không chứa chu trình Suy ra (P 2 и P\ ) — ^ 2 cũng là một cây khung

B(2i) được thỏa mãn □

Từ tính chất trên, hiển nhiên ta thấy hệ quả sau

Hệ quả 2.1.1 Nếu G không liên thông thì mỗi cơ sở của M(G) là một rừng khung

của G Mỗi cây thuộc rừng khung là cây khung của một thành phần liên thông của G.