Tìm hiểu về lý thuyết matroid

Lý thuyết Matroid đã tổng quát hóa được những tính chất về sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính trong không gian vector và còn nhiều ứng dụng đối với lý thuyết đồ thị, tổ hợp.. Kh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ THANH THỦY

TÌM HIỂU VỀ LÝ THUYẾT MATROID

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán Ứng Dụng

Người hướng dẫn khoa học:

TS TRẦN MINH TƯỚC

Xuân Hòa - 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi đã thực hiện đề tài Tìm hiểu về lý thuyết Matroid.

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Kết quả nghiêncứu của đề tài này đảm bảo tính khách quan, trung thực, không trùng lặp với các tácgiả khác

Hà Nội, tháng 5 năm 2015

Sinh viên

Nguyễn Thị Thanh Thủy

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận tốt nghiệp, em xin bày tỏ lòng

biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Trần Minh Tước người đã tận tình hướng dẫn để em có

thể hoàn thành đề tài này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trongkhoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốtquá trình học tập tại khoa

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè

đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện đềtài này

Hà Nội, tháng 5 năm 2015

Sinh viên

Nguyễn Thị Thanh Thủy

Mục lục

Chương 1 KHÁI NIỆM MATROID VÀ HỆ THỐNG TIÊN ĐỀ 2

1.1 Khái niệm matroid 2

1.2 Tiên đề cơ sở 4

1.3 Tiên đề hạng 6

1.4 Tiên đề vòng 9

Chương 2 SỰ LIÊN HỆ GIỮA MATROID VÀ LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ 12 2.1 Matroid vòng của đồ thị 13

2.2 Matroid đối ngẫu 18

2.2.1 Đồ thị đối ngẫu 18

2.2.2 Maroid đối ngẫu 19

Chương 3 SỰ LIÊN HỆ GIỮA MATROID VỚI TRANSVERSAL 20

3.1 Khái niệm transversal 20

3.2 Sự liên hệ giữa matroid với transversal 21

Chương 4 SỰ LIÊN HỆ GIỮA MATROID VÀ TỐI ƯU TỔ HỢP 23

4.1 Thuật toán tham lam 23

4.2 Ví dụ 24

MỞ ĐẦU

1.Lí do chọn đề tài

Lý thuyết Matroid là một dạng hiện đại của hình học được đề cập lần đầu tiênbởi nhà toán học Bill Tutte

Lý thuyết Matroid là lý thuyết về tập hợp với cấu trúc độc lập xác định trên

chúng Như vậy, vẫn theo lý thuyết chung, nghiên cứu những đối tượng (hình thức)trong mối quan hệ với các đối tượng khác dựa trên một cấu trúc nào đó

Lý thuyết Matroid đã tổng quát hóa được những tính chất về sự độc lập tuyến

tính, phụ thuộc tuyến tính trong không gian vector và còn nhiều ứng dụng đối với lý

thuyết đồ thị, tổ hợp Hơn nữa, càng về sau người ta càng thấy Matroid có ý nghĩa

với Toán học hiện đại

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Bước đầu tiếp cận để tìm hiểu về Lý thuyết Matroid

3 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu Lý thuyết, vận dụng các phép suy luận logic để tìm cách chứngminh một số định lý, tính chất chưa được trình bày

Chương 1: Khái niệm Matroid và hệ thống tiên đề

Chương 2: Sự liên hệ giữa Matroid với lý thuyết đồ thị

Chương 3: Sự liên hệ giữa Matrid với transversal

Chương 4: Sự liên hệ giữa Matroid với tối ưu tổ hợp

Kết luận

Do thời gian thực hiện đề tài không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khóa luậnkhông tránh khỏi những thiếu sót Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ýkiến phản biện của thầy cô và bạn đọc Xin chân thành cảm ơn!

Chương 1

KHÁI NIỆM MATROID VÀ

HỆ THỐNG TIÊN ĐỀ

Đầu tiên ta sẽ tìm hiểu matroid là gì? Khái niệm được đưa ra sau đây dựa trên

các tập con độc lập của tập nền S cùng với một số ví dụ giúp ta có hình dung đầu

tiên về Matroid Ngoài ra ta có thể định nghĩa Matroid bằng các khái niệm tươngđương dựa trên tập cơ sở, tập vòng hay hàm hạng được được trình bày trong cácmục sau

Định nghĩa 1.1.1 Matroid là một cặp M gồm tập hữu hạn S và họ F các tập con của S được gọi là các tập độc lập của M nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

là độc lập tuyến tính Khi đóF gồm các tập con của E −{7} có nhiều nhất ba phần

tử loại trừ {1, 2, 4}, {2, 3, 5}, {2, 3, 6} và loại cả các tập chứa {5, 6} Ta được (E,F)

là matroid

Tính chất "độc lập" của các phần tử ở đây chính là tính chất độc lập tuyến tính

của hệ vector cột của ma trận đã cho

Ví dụ 1.1.2.

Xét đồ thị G cho bởi hình vẽ.

Hình 1.1: Đồ Thị G

Xét họF các tập cạnh của G mà không chứa chu trình nào của G Như vậy, các

tập của F sẽ không chứa bất kỳ tập nào trong các tập sau: {7}, {5,6}, {1,2,4},{2, 3, 5}, {1, 3, 4, 5}, {1, 3, 4, 6} Khi đó, E(G) với họF xác định trên lập thành một

Ví dụ 1.1.3.

Cho tập S hữu hạn phần tử.

Xét họ F1 = { /0} khi đó ta có (S,F1) là một matroid được gọi là matroid tầm

Xét họF2=P(S) = 2Skhi đó ta có thể chứng minh được (S,F2) là một matroid

được gọi là matroid rời rạc.

Trên đây khái niệm matroid được định nghĩa dựa trên tính độc lập của các phần

tử Người ta có thể định nghĩa matroid với những cách khác, tất nhiên là chúngtương đương Sau đây ta tìm hiểu điều này thông qua các tiên đề

1.2 Tiên đề cơ sở

Cho matroid M = (S,F) Xét họ không rỗng B có phần tử là các tập con độc lập

lớn nhất của S trong M Vì các phần tử của B là các tập độc lập nên B là họ các tập

độc lập của M.

Bổ đề 1.2.1 Nếu B1, B2 là cơ sở của matroid M thì |B1| = |B2|.

Chứng minh

Cho B1, B2 là hai cơ sở của M, |B1| < |B2| Vì B1 và B2 là hai tập độc lập nên

thỏa mãn điều kiện M(3i), tồn tại phần tử e ∈ (B2− B1) sao cho (B1∪ e) ∈F Nhưvậy B1 không phải là tập độc lập lớn nhất, mâu thuẫn với B1 là cơ sở, suy ra giả sửsai Vì thế |B1| ≥ |B2|

Đổi vai trò của B1 và B2, tương tự ta chứng minh được |B2| ≥ |B1|

Cho B1− x và B2 là hai tập độc lập, |B1− x| < |B2| Theo điều kiện M(3i),

∃y ∈ (B2− (B1− x)) sao cho ((B1− x) ∪ y) ∈F Hiển nhiên y ∈ (B2− B1) Đặt

B3 = (B1− x) ∪ y Theo bổ đề 1.2.1 ta có |B3| = |(B1− x) ∪ y| = |B1| Hơn nữa,(B1− x) ∪ y là tập độc lập, suy ra B3 là cơ sở của M Vậy B(2i) được thỏa mãn.

Bây giờ ta sẽ chứng minh họB và tập S là một matroid theo định nghĩa 1.1.1.

ChoI = {I ⊆ B|B ∈ B} Ta sẽ chứng minh (S,I) là một matroid

TừB thỏa mãn B(1i) nên I thỏa mãn M(1i).

Nếu I ∈I, I0 ⊆ I ⇒ I0 ⊂ B, B ∈B, thỏa mãn M(2i).

Cho I1, I2∈I với |I1| < |I2| sao cho ∀e ∈ I2− I1, I1∪ e /∈I Theo định nghĩa, B

có chứa phần tử B1, B2 Như vậy, I1 ⊆ B1 và I2 ⊆ B2 Cho rằng tập B2 được chọnsao cho |B2− (I2 ⊆ B1)| là nhỏ nhất Bởi vậy ta chọn I1, I2 để

I2− B1 = I2− I1 (1)Giả sử rằng B2− (I2∪ B1) là khác rỗng Khi đó, ta có thể chọn phần tử x từ tập này, theo B(2i), có một phần tử y ∈ B1− B2 sao cho (B2− x) ∪ y ∈B Nhưng sau

đó |((B2− x) ∪ y) − (I2∪ B1)| < |B2− (I2∪ B1)| và việc chọn B2 là mâu thuẫn, nên

B2− (I2∪ B1) là rỗng và B2− B1= I2− B1 Mà theo (1)I1 = B1 nên

B2− B1 = I2− I1 (2)Tiếp theo ta chứng minh B1− (I1∪ B2) là rỗng Giả sử B1− (I1∪ B2) là khôngrỗng, thì có x ∈ B1− (I1∪ B2) và y ∈ B2− B1 sao cho (B1− x) ∪ y ∈B

Bây giờ thì (I1∪ y) ⊆ ((B1− x) ∪ y) nên I1∪ y ∈I

Từ y ∈ (B2− B1), theo (2), y ∈ (I2− I1), mâu thuẫn với điều giả sử Suy ra

Trong trường hợp này ta thấy tính chất B(2i), được thỏa mãn.Và điều này cũng

chứng tỏ không có cơ sở nào chứa cơ sở khác

Một cách mô tả khác về khái niệm matroid là nhờ vào hàm hạng

Cho M = (S,F) và họ tất cả các tập con của S là 2S

Gọi hàm số r(A) = max{|X | với X ⊆ A và X ∈ (F)} là hạng của A Hạng của matroid M kí hiệu là r(M), hay r(S).

độc lập thì r(A) = |A|

Định lý 1.3.1 Cho S là tập hữu hạn khác rỗng và hàm số r : 2S−→ N Khi đó r là hàm hạng của matroid trên S khi và chỉ khi thỏa mãn các điều kiện sau ∀X ,Y của S:

Theo M(1i), /0 ∈ F nên r(/0) = 0 Cho X là tập con độc lập của A, dễ thấy |X| ≤

|A| ⇔ r(A) ≤ |A|, R(1i) được thỏa mãn.

Xét X ∈F,Y ⊆ X theo M(2i) ta có, Y ∈ F Y là tập độc lập ⇔ r(Y) = |Y| Có

Y ⊆ X nên |Y | ≤ |X| và r(X) = |X|, suy ra r(Y ) ≤ r(X), R(2i) được thỏa mãn.

Xét U,V ∈ F và |U| = |V| + 1 Theo M(3i) thì tồn tại x ∈ (U − V) sao cho(V ∪U ) ∈ (F), suy ra V ∪ x là tập độc lập

Ta có r(U ) = |U |, r(V ) = |V |, r(V ∪ x) = |V ∪ x|,

r(U ∪V ) ≤ |U ∪V |, r(U ∩V ) ≤ |U ∩V |

|U| + |V | = |U ∪V | + |U ∩V |

⇔ |U| + |V | ≥ r(U ∪V ) + r(U ∩V )

⇔ r(U) + r(V ) ≥ r(U ∪V ) + r(U ∩V )

⇔ r(U ∪V ) ≤ r(U) + r(V ) − r(U ∩V ) R(3i)được thỏa mãn

Cho I = {X ⊆ S|r(X) = |X|}, bây giờ ta sẽ chứng minh (S,I) là một matroid

Để làm được điều này, trước tiên ta đưa ra bổ đề sau

Bổ đề 1.3.1 Cho E là một tập hữu hạn và r là một hàm trên 2E thỏa mãn điều kiện

Chứng minh

Cho X −Y = {y1, y2, , yk} Ta xét phép quy nạp theo k.

Nếu k = 1 bài toán hiển nhiên là đúng

Giả sử bài toán đúng với k = n, cần chứng minh bài toán đúng với k = n + 1

Ta trở lại phần chứng minh (S,I) là matroid Theo R(1i), 0 ≥ r(/0) ≥ |/0| nên

r| /0| = | /0| suy ra /0 ∈I M(1i) được thỏa mãn.

Cho I ∈I,I0 ⊆ I Khi đó r(I) = |I| Theo R(3i)

r(I0∪ (I − I0)) + r(I0∩ (I − I0)) ≥ r(I0) + r(I − I0) ≥ r(I0) + r(I − I0)

⇔ r(I) + r( /0) ≥ r(I0) + r(I − I0) (1)

Nhưng r(I) = |I| và r( /0) = 0 Ngoài ra, theo R(2i), r(I0) ≥ |I0| và r(I − I0) ≥

|I − I0| và (1) suy ra

|I| ≥ r(I0) + r(I − I0) ≥ |I0| + |I − I0| = |I|

⇒ r(I0) = |I0| ⇔ I0 ∈I M(2i) được thỏa mãn.

Để chứng minhI thỏa mãn M(3i), giả sử ngược lại.

Cho I1, I2∈I với |I1| < |I2| và ∀e ∈ (I2− I1), I1∪ e ∈I Khi đó , ∀e,r(I1∪ e) 6=

|I1∪ e| Do đó, theo R(1i), R(2i) và I ∈I ta nhận được ∀e:

Vì đây có 4 vector trong cơ sở và là tập độc lập tuyến tính lớn nhất nên hạng của

Kích thước của C là 5, hạng của C là 4 nên R(2i) được thỏa mãn.

Cho tập D sao cho D ⊆ C ⊆ A

Ta thấy rằng 3 = r(D) < r(C) = 4 nên điều kiện R(2i) được thỏa mãn.

Từ định nghĩa của matroid, điều kiện R(3i) được thỏa mãn với hai tập C, D ⊆ E.

Nhận xét : Nếu bớt đi một phần tử của C thì ta được tập độc lập.

Định lý 1.4.1 Cho tập hữu hạn S và C là họ các tập con của S Khi đó C là tập vòng của matroid M trên S khi và chỉ khi thỏa mãn các điều kiện sau:

C(1i) /0 /∈C.

C(2i) Nếu C1,C2 ∈C và C1 ⊆ C2 thì C1= C2.

C(3i) Nếu C1,C2 ∈C và e ∈ C1∩C2 thì tồn tại C3 ∈C, C3 ⊆ (C1∪C2) − e.

Chứng minh

Ta chứng minh tậpC được xây dựng như trên sẽ thỏa mãn ba điều kiện của Định

lý 1.4.1

Theo M(1i) ta có /0 ∈ F nên hiển nhiên /0 /∈ C, C(1i) được thỏa mãn.

Theo M(2i), nếu X ∈F,Y ⊆ X thì Y ∈ F Khi ta thêm cùng một phần tử vào mỗi

tập X, Y thì được X0,Y0 là các tập phụ thuộc tối tiểu và Y0 ⊆ X0 Nếu Y0 ⊂ X0 thì vô

lý vì một tập phụ thuộc tối tiểu không thể là con thực sự của một tập phụ thuộc tốitiểu khác, suy ra Y0 = X0, C(2i) được thỏa mãn.

Cho C1,C2∈C,C1∩C2= e Giả sử không có C3∈C sao cho C3⊆ (C1∪C2) − e

Ta có C1− e,C2− e,C3 ⊆ (C1∪ C2) − e đều là các tập độc lập và |(C1∪ C2) − e| >

|C1− e|, |(C1∪C2) − e| > |C2− e| Theo M(3i), xét hai tập C1− e,C3⊆ (C1∪C2) − eđộc lập và |(C1∪ C2) − e| > |C1− e| thì ∃ f ∈ ((C1∪ C2) − e) − (C1− e) sao cho(C1− e) ∪ f ∈F Mà f ∈ ((C1∪C2) − e) ⇔ f ∈ (C2− e) suy ra |C2− e| > |C1− e|.Tương tự ta có |C1− e| > |C2− e|, mâu thuẫn chứng tỏ giả sử sai Vậy điều kiện

ChoC là họ tập con của S thỏa mãn các điều kiện của định lý 1.4.1, C0

là họ cáctập C0 với C0 ⊂ C Như vậy C0 là tập độc lập, suy ra C0 ⊆F Theo định nghĩa 1.1.1

(S,C0) là một matroid

Ví dụ 1.4.1 Cho đồ thị H bởi hình vẽ.

Hình 1.2: Đồ thị H

Ta có thể nhìn nhận một vòng là một chu trình trong lý thuyết đồ thị Ta sẽ lấy

một vòng trong matroid M, là chu trình của H Tập vòng của đồ thị H gồm:

{a, b, c, d, e}

{a, e, f }{a, e, d, g}

{d, f , g}

{b, c, g}

{b, c, d, f }

Quan sát các vòng trên ta thấy điều kiện C(1i), C(2i) được thỏa mãn.

Xét vòng C1 = {a, e, f } ,C2 = {a, b, c, d, e} thuộc C Ta thấy hai vòng đều chứahai phần tử {a} và {e} Xét X = C1∪C2

Chương 2

SỰ LIÊN HỆ GIỮA

MATROID VÀ LÝ THUYẾT

ĐỒ THỊ

Sự liên hệ giữa matroid với lý thuyết đồ thị sẽ cung cấp thêm công cụ mang tính

lý thuyết có thể làm sáng tỏ nhiều vấn đề trong lý thuyết đồ thị Tuy nhiên sự thaythế hoàn toàn là không thể Chẳng hạn trong ví dụ sau đây, hai đồ thị Q1 và Q2 làkhông đẳng cấu nhưng hai matroid vòng M(Q1) và M(Q2) là hai matroid đẳng cấu

Ta nhắc lại, M1 = (S1,F1) và M2 = (S2,F2) được gọi là đẳng cấu nếu có songánh ϕ : S1 −→ S2 sao cho X ⊆ S1, X ∈F khi và chỉ khi ϕ(X) ∈ F2

Ở ví dụ trên, chỉ cần xét matroid rời rạc trên E(G1) và E(G2) hiển nhiên ta thấy

M(G1) và M(G2) là đẳng cấu

Sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu một số mối liên hệ giữa matroi với lý thuyết đồthị Các kí hiệu liên quan tới lý thuyết đồ thị nói tới trong chương này được sử dụngtheo [5]

2.1 Matroid vòng của đồ thị

Cho đồ thị G = (V, E), khái niệm matroid vòng của G, kí hiệu M(G) đã được

nói đến trong chương 1 Ở đó, cấu trúc độc lập của M(G) được xây dựng bởi các

tập cạnh không chứa chu trình của G.

Trong mục này ta sẽ nói đến sự liên hệ giữa matroid với đồ thị thông qua kháiniệm matroid vòng của đồ thị Định lý sau có thể suy ra ngay từ định nghĩa

Định lý 2.1.1 Cho đồ thị G = (V, E), khi đó mỗi chu trình của G sẽ tạo thành một

vòng của matroid M(G) trên tập cạnh E của G.

Từ tính chất trên, hiển nhiên ta thấy hệ quả sau

Hệ quả 2.1.1 Nếu G không liên thông thì mỗi cơ sở của M(G) là một rừng khung

của G Mỗi cây thuộc rừng khung là cây khung của một thành phần liên thông của G.

Tính chất 2.1.2 Nếu G liên thông thì r(M(G)) = |V (G) − 1| (bằng số cạnh của

cây khung)

Chứng minh

Hàm hạng của một tập A là số phần tử của tập độc lập lớn nhất trong A Theo

lớn nhất Vậy r(M(G)) bằng số cạnh của cây khung 

Từ tính chất này, hiển nhiên ta có hệ quả sau

Hệ quả 2.1.2 Khi G không liên thông, r(M(G)) = |V (G) − k(G)| với k(G) là số

thành phần liên thông của đồ thị G.

Với mọi X ⊆ E(G), X là một đồ thị độc lập thỏa mãn tính chất trên Từ đó hiểnnhiên ta có tính chất tiếp theo

Tính chất 2.1.3 ∀X ⊆ E(G), r(X ) = |V (X )| − k(X ) với k(X) là số thành phần liên

thông của X

Ví dụ 2.1.1.

Cho đồ thị K như hình vẽ:

Hình 2.1: Đồ Thị K

Theo tính chất 2.1.1 ta có tập cơ sở của đồ thị gồm:

{a, b, c, d, e} , {a, b, c, d, f }, {b, c, d, e, f } , {a, c, d, e, f }{a, b, d, e, f } , {a, b, c, e, f }, {a, b, c, d, g} , {a, b, c, g, e}

{a, f , e, d, g} , {a, f , g, e, c}, {c, d, g, f , a} , {b, c, d, g, f }

{b, g, f , e, d} , {b, c, g, f , e}

Theo tính chất 2.1.2 ta có:

Quan sát danh sách trên ta thấy điều kiện B(1i) được thỏa mãn vì không có cơ

sở nào chứa cơ sở khác Ta có thể chứng minh điều kiện B(2i) bằng việc xét hai cơ

sở Nếu ta chọn B1 = {a, b, c, d} và B2 = {c, g, a, e}, khi đó ta thấy cây khung của

B1 và B2 trong hình 2.2 và hình 2.3

Hình 2.2: Cây khung B1

Hình 2.3: Cây khung B2

Ta thấy, cây khung của đồ thị G có 5 đỉnh và 4 cạnh Chúng ta có thể chứng minh B(2i) bằng cách thay cạnh a của B1 bởi cạnh e của B2 sao cho B3 là một cơ sởmới B3= B1− {a} ∪ {e}.

Hình 2.4: Cây khung B3

Làm tương tự với bất kỳ cơ sở nào ta đều thấy B(2i) được thỏa mãn.

Ta xem xét ví dụ sau để thấy rõ hơn hạng của matroid trong lý thuyết đồ thị

Vì A là tập con độc lập của M(G) nên r(A) = |A| = 2 = 3 − 1.

Xét B cho bởi hình 2,7 là đồ thị con liên thông không có chu trình của G Hạng của B là 3 bởi vì tập con có số phần tử lớn nhất của B mà không chứa vòng là

{b, c, d}, {b, c, e}, {b, e, d}, có 3 phần tử B có 4 đỉnh, r(B) = 3 = 4 − 1

2.2 Matroid đối ngẫu

2.2.1 Đồ thị đối ngẫu

Cho đồ thị phẳng G Xây dựng đồ thị đối ngẫu G* của G như sau.

Mỗi đỉnh của G* biểu diễn một miền của đồ thị phẳng G.

Với mỗi cạnh e của G, nếu e nằm trên ranh giới của hai miền thì G* có một cạnh nối hai đỉnh của G* biểu diễn hai miền đó và gán cho nó nhãn chính là e Nếu e nằm trong một miền duy nhất thì G* một khuyên ở đỉnh tương ứng của G* rồi gán cho nó nhãn là e.

Ví dụ 2.2.1.

Xây dựng đối ngẫu G* của đồ thị G được cho bởi Hình 1.1

Hình 2.1: Đồ thị G* là đối ngẫu của đồ thị G

Họ các chu trình của đồ thị G* chính là họ các vòng của matroid M(G*) :

{{1, 4} , {1, 2, 3} , {2, 3, 4} , {3, 5, 6} , {1, 2, 5, 6} , {2, 4, 5, 6}}

Mỗi vòng của G*, nếu loại đi các cạnh tương ứng ở G thì đồ thị G bị chia thành hai phần Một tập cạnh như thế gọi là lát cắt của đồ thị G Từ ví dụ trên ta thấy một lát cắt của đồ thị G là một vòng của M(G).