Phương pháp cầu phương giải xấp xỉ phương trình tích phân tuyến tính volterra fredholm

Lời cam đoanTôi xin cam đoan đề tài “Phương pháp cầu phương giải xấp xỉ phương trìnhtích phân tuyến tính Volterra - Fredholm” là công trình nghiên cứu của riêngtôi.. 8 2 PHƯƠNG PHÁP CẦU

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS KHUẤT VĂN NINH

Hà Nội – Năm 2019

Lời cảm ơn

Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn khoa học PGS.TS KhuấtVăn Ninh đã tận tình hướng dẫn em trong quá trình hoàn thành khóa luậntốt nghiệp này

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong trường, các thầy cô trong khoaToán - Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ và hỗ trợ em trong quátrình hoàn thành khóa luận tốt nghiệp

Cuối cùng, em xin cảm ơn những người thân và bạn bè đã luôn bên em, độngviên em hoàn thành khóa luận này

Một lần nữa, em xin chân thành cảm ơn!

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đề tài “Phương pháp cầu phương giải xấp xỉ phương trìnhtích phân tuyến tính Volterra - Fredholm” là công trình nghiên cứu của riêngtôi Trong quá trình viết khóa luận tôi đã có sự tham khảo một số tài liệu

có nguồn gốc rõ ràng và được sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS KhuấtVăn Ninh Các nội dung nghiên cứu, kết quả trong đề tài này là trung thực

và chưa công bố trước đấy Tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước sự camđoan này

Hà Nội, tháng 5 năm 2019Người thực hiện

Nguyễn Thị Thúy

Mục lục

1.1 Không gian Banach 3

1.2 Một số không gian hàm 4

1.2.1 Không gian Rn 4

1.2.2 Không gian C[a,b] 5

1.2.3 Không gian Cn[a,b] 5

1.2.4 Không gian Lp[a,b] 5

1.3 Tích phân phụ thuộc tham số 6

1.4 Công thức cầu phương 7

1.4.1 Công thức hình thang 7

1.4.2 Công thức parabol 8

2 PHƯƠNG PHÁP CẦU PHƯƠNG GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH VOLTERRA - FRED-HOLM 9 2.1 Phương trình tích phân tuyến tính Volterra - Fredholm 9

2.2 Áp dụng công thức cầu phương giải xấp xỉ phương trình tích phân tuyến tính Volterra - Fredholm loại hai 10

2.3 Một số ví dụ minh họa 12

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Phương trình là một lĩnh vực khá rộng lớn của toán học và được nhiều tác giảquan tâm nghiêm cứu Trong đó phương trình tích phân đóng vai trò quantrọng Các kết quả của lĩnh vực này tìm được nhiều ứng dụng trong vật lý,hóa học, sinh học cũng như trong nghiên cứu các mô hình kinh tế, quân sự,tình báo và một số ngành khác

Chúng ta biết rằng, phần lớn các phương trình tích phân nảy sinh từ cácbài toán thực tiễn đều nói chung không tìm được nghiệm chính xác Do vậy,một vấn đề đặt ra là tìm cách để xác định nghiệm gần đúng của phương tíchphân Xuất phát từ nhu cầu đó, các nhà khoa học đã tìm ra các phương pháp

để giải gần đúng phương trình

Chính vì lý do đó, em đã chọn đề tài nghiên cứu: “Phương pháp cầu phươnggiải xấp xỉ phương trình tích phân tuyến tính Volterra - Fredholm” nhằm cóđiều kiện tiếp cận sâu hơn, làm phong phú kiến thức của mình về loại phươngtrình này

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu cách giải xấp xỉ phương trình tích phân tuyến Volterra - Fredholm

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng: Giải số phương trình tích phân Volterra - Ferdholm

+ Phạm vi nghiên cứu: Phương pháp cầu phương giải xấp xỉ phương trìnhtích phân tuyến tính Volterra - Fredholm.

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu cách giải, trình bày phương pháp cầu phương và nêu một số ví

dụ giải xấp xỉ phương trình tích phân tuyến tính Volterra - Fredholm

5 Phương pháp nghiên cứu

+ Phương pháp nghiên cứu lí luận

+ Phương pháp nghiên cứu tổng kết tài liệu

Cho X là không gian vectơ trên trường K (K là trường số thực hoặc trường

số phức) một hàm số k · k : X → R được gọi là một chuẩn trên X nếu nó thỏamãn các điều kiện sau:

Khi đó d là một metric trên X và gọi là metric sinh bởi chuẩn.

Dãy (xn) ⊂ X được gọi là dãy cơ bản nếu

∀ε > 0,∃N ∈ N (∀m, n ≥ N) : kxm − xnk < ε Không gian X được gọi làkhông gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này đều hội tụ.Nói cách khác, không gian định chuẩn X là một không gian Banach khi vàchỉ khi nó là metric đầy (đủ) với metric sinh bởi chuẩn

1.2.1 Không gian Rn

Định nghĩa 1.4

Mỗi vectơ x thuộc Rn là một bộ gồm n số thực có thứ tự dạng (x1, x2, , xn)

được kí hiệu x = (x1, x2, , xn) hoặc x =

xi được gọi là thành phần thứ i của x

Không gian vectơ thực n chiều Rn là một không gian định chuẩn với chuẩn

Tập hợp các hàm số thực liên tục trên một đoạn [a, b] với khoảng cách giữa

hai phần tử x(t) và y(t) là d (x, y) = max

a<t<b|x(t) − y(t)| là không gian C[a,b].Không gian C[a,b] là không gian định chuẩn với chuẩn xác định

x (t) ∈ C[a,b] : kxk = max

t∈[a,b]|x(t)|

1.2.3 Không gian Cn[a,b]

Không gian Cn[a,b] gồm tập tất cả các hàm x(t) xác định trên [a, b] có đạo hàmliên tục đến cấp n với chuẩn được xác định bởi

x(n)(t)

o

1.2.4 Không gian Lp[a,b]

Cho một không gian E và một độ đo µ trên một σ - đại số các tập con của

E Họ tất cả các hàm số f sao cho

Z

E

|f |pdµ < +∞

Gọi là không gian Lp[E, µ]

Khi E là một tập hợp đo được theo độ đo Lebesgue trong Rk và µ là độ đoLebesgue thì ta viết Lp(E), E = [a, b] thì ta có không gian Lp[a,b]

1.3 Tích phân phụ thuộc tham số

Định nghĩa 1.5

Giả sử f (x, y) là một hàm số xác định với x thuộc đoạn [a, b] và y thuộc mộttập hợp số thực K nào đó, sao cho với mỗi y cố định thuộc K hàm f (x, y)khả tích trong đoạn [a, b] Đặt I(y) =

b

R

a

f (x, y)dx Khi đó I(y) là một hàm

số xác định trên tập K và được gọi là tích phân phụ thuộc tham số của hàm

f (x, y) trong đoạn [a, b]

Định lí 1.3.2 Gải sử hàm f (x, y) là hàm số xác định trong hình chữ nhật

D liên tục theo x thuộc đoạn [a, b] mỗi y cố định thuộc đoạn [c, d] Hơn nữa

f (x, y) có đạo hàm riêng ∂f

∂y (x, y) là một hàm liên tục trong hình chữ nhật

D Khi đó tích phân phụ thuộc tham số I(y) =

b

R

a

f (x, y)dx, y ∈ [c, d] là mộthàm khả vi và I0(y) =

Bản chất công thức này là sự thay thế tích phân bằng tổng hữu hạn Chiađoạn [a, b] bởi các điểm: a = x0 < x1 < x2 < < xn = b Khi đó

1.4.1 Công thức hình thang

Nếu chọn công thức hình thang, thì chúng ta có

Giả sử [a, b] được chia thành n phần bằng nhau:

a = x0 < x1 < · · · < xn = b, h = b − a

n

Z b a

f (x)dx ≈ b − a

2n [y0+ 2(y1+ y2+ · · · + yn−1) + yn] (1.2)Với y0 = f (x0), yk = f (xk), ∀k = 0, n

Đặt Ak = b − a

2n , A0 =

b − a2n , A1 =

b − a

n = A2 = · · · = An−1, An =

b − a2n .Khi đó công thức (1.2) có dạng

Nếu chọn công thức parabol (Simpson), thì chúng ta có

Giả sử [a, b] được chia thành 2n phần bằng nhau:

Đặt

A2n = b − a

6n , A0 =

b − a6n

A1 = A3 = · · · = A2n−1 = 2(b − a)

3n

A2 = A4 = · · · = A2n−2 = b − a

3nKhi đó công thức (1.1) có dạng

Chương 2

PHƯƠNG PHÁP CẦU PHƯƠNG GIẢI XẤP

XỈ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH VOLTERRA - FREDHOLM

Chương này trình bày phương pháp cầu phương giải phương trình tích phântuyến tính Voltterra - Fredholm và một số ví dụ minh họa Nội dung củachương này được tham khảo trong hai tài liệu tiếng anh

2.1 Phương trình tích phân tuyến tính

Volterra - Fredholm

Định nghĩa 2.1

Các phương trình tích phân tuyến tính Volterra – Fredholm xuất hiện trongquá trình nghiên cứu các bài toán giá trị biên và các bài toán vật lý và sinhhọc

Phương trình tích phân tuyến tính Volterra – Fredholm loại hai có dạng

f (x) - là hàm liên tục trên [a, b],

K1(x, t), K2(x, t) - là hàm liên tục theo hai biến (x, t) ∈ D, D = [a, b] × [a, b],

u(x) - là hàm phải tìm với x ∈ [a, b].

V u = RaxK1(x, t)u(t)dt gọi là toán tử tích phân tuyến tính Volterra;

F u =RabK2(x, t)u(t)dt gọi là toán tử tích phân tuyến tính Fredholm

Nghiệm của bài toán (2.1) là một hàm liên tục đoạn [a, b] và thỏa mãn côngthức (2.1)

Định nghĩa 2.3 Nghiệm chính xác theo phương pháp cầu phương

Giả sử: π = {x0, x1, x2, , xn} , trong đó a = x0 < x1 < x2 < < xn = b,

xi+1 = xi+h, h = a − b

n là phép phân hoạch [a, b] theo công thức cầu phương.Nghiệm chính xác của bài toán (2.1) theo phương pháp cầu phương là các giátrị u(xi) của nghiệm u (x) của phương trình tại các điểm xi tức là {u (x0),

u (x1) , , u (xn)}

• Nghiệm của phương trình theo phương pháp cầu phương tại xi được kí hiệu

là ui, i = 0, n hay {u0, u1, , un}

2.2 Áp dụng công thức cầu phương giải xấp xỉ phương

trình tích phân tuyến tính Volterra - Fredholm loại hai

Giả sử phương trình tích phân tuyến tính Volterra – Fredholm loại hai sauđây có nghiệm duy nhất u = u(x), x ∈ [a, b]

Sau đây ta sẽ trình bày phương pháp cầu phương giải phương trình tích phântuyến tính Volterra - Fredholm đó.

Chia đoạn [a, b] thành n phần bằng nhau bởi các điểm chia

Trong đó u(xi) là giá trị chính xác của nghiệm tại x = xi, ui là giá trị củanghiệm xấp xỉ tại x = xi.

(0.4 − t)u(t)dt +

Z 1 0

(0.5 − t)u(t)dt +

Z 1 0

(0.7 − t)u(t)dt +

Z 1 0

(0.8 − t)u(t)dt +

Z 1 0

(0.9 − t)u(t)dt +

Z 1 0

(1 − t)u(t)dt +

Z 1 0

(1 + t)u(t)dt

bước sau

Bước 1: Nhập các phương trình trên vào phần mềm Maple

[> eqn1 = −u0+ (1/100) ∗ u1+ (1/50) ∗ u2+ (3/100) ∗ u3+ (1/25) ∗ u4

+ (1/20) ∗ u5+ (3/50) ∗ u6+ (7/100) ∗ u7+ (2/25) ∗ u8+ (9/100) ∗ u9+ (1/20) ∗ u10 = 5;

100u9+

1

20u10 = 5

[> eqn2 = (1/100) ∗ u−0 + (−49/50) ∗ u−1 + (3/100) ∗ u−2 + (1/25) ∗ u−3+ (1/20) ∗ u−4 + (3/50) ∗ u−5 + (7/100) ∗ u−6 + (2/25) ∗ u−7

10u9+

11

200u10 = −4.9811

[> eqn3 = (1/50) ∗ u−0 + (1/25) ∗ u−1 + (−24/25) ∗ u−2 + (1/20) ∗ u−3+ (3/50) ∗ u−4 + (7/100) ∗ u−5 + (2/25) ∗ u−6 + (9/100) ∗ u−7

100u9+

3

50u10 = −4.7296

[> eqn4 := (3/100) ∗ u−0 + (3/50) ∗ u−1 + (3/50) ∗ u−2 + (−47/50) ∗ u−3

13

200u10 = 4.2551

[> eqn5 := (1/25) ∗ u−0 + (2/25) ∗ u−1 + (2/25) ∗ u−2 + (2/25) ∗ u−3+ (−23/25) ∗ u−4 + (9/100) ∗ u−5 + (1/10) ∗ u−6 + (11/100) ∗ u−7+ (3/25) ∗ u−8 + (13/100) ∗ u−9 + (7/100)∗u−10 = 3.5696;

100u9+

7

100u10 = 3.5696

[> eqn6 := (1/20) ∗ u−0 + (1/10) ∗ u−1 + (1/10) ∗ u−2 + (1/10) ∗ u−3+ (1/10) ∗ u−4 + (−9/10) ∗ u−5 + (11/100) ∗ u−6 + (3/25) ∗ u−7

50u9+

3

40u10 = 2.6875

[> eqn7 = (3/50) ∗ u−0 + (3/25) ∗ u−1 + (3/25) ∗ u−2 + (3/25) ∗ u_3+ (3/25) ∗ u−4 + (3/25)∗u−5 + (−22/25) ∗ u−6 + (13/100) ∗ u−7

5u9− 9

10u10 = −4

Bước 2: Nhập lệnh giải hệ phương trình

[> solve({eqn1, eqn2, eqn3, eqn4, eqn5, eqn6, eqn7, eqn8, eqn9, eqn10, eqn11},{u−0, u−1, u−2, u−3, u−4, u−5, u−6, u−7, u−8, u−9, u−10});

Khi đó phần mềm cho ta kết quả sau

{u−0 = −0.07295629932, u−1 = 0.6292379464, u−2 = 1.570324572,

u−3 = 2.750114442, u−4 = 4.168405458, u−5 = 5.824980528,

u−6 = 7.719605403, u−7 = 9.852026332, u−8 = 12.22196752,

u−9 = 14.82912839, u−10 = 17.67318054},

Bằng phương pháp chuỗi ta tìm được nghiệm chính xác u(x) = 6x + 12x2

So sánh kết quả trên với nghiệm chính xác u(x) = 6x + 12x2 tại các nút ta

có bảng sau

0.1u (0.1) + 0.2u (0.2) + 0.3u (0.3)+ 0.4u (0.4) + 0.5u (0.5) + 0.6u (0.6) + 0.7u (0.7) + 0.8u (0.8)

(0.1 + 0) u(0) + (0.1 + 1) u(1)

Ta sử dụng Maple giải hệ phương trình trên Ta được kết quả là

{u0 = 1.927034701, u1 = 2.629237946, u2 = 3.570324572, u3 = 4.750114442,

u4 = 6.168405458, u5 = 7.824980528, u6 = 9.719605403, u7 = 11.85202633,

u8 = 14.22196752, u9 = 16.82912839, u10 = 19.67318054}

Bằng phương pháp chuỗi ta tìm được ngiệm chính xác u (x) = 2 + 6x + 12x2

So sánh kết quả với nghiệm chính xác u(x) = 2 + 6x + 12x2 tại các nút ta cóbảng sau

Ví dụ 2.4 Giải phương trình tích phân sau bằng công thức parabol

u(x) = ex− 1 − x +

Z x 0

u(t)dt +

Z 1 0

u0 ≈ u(0) = a; u1 ≈ u(0.25) = b; u2 ≈ u(0.5) = c

u3 ≈ u(0.75) = d; u4 ≈ u(1) = gThay x bởi xi, khi đó phương trình (2.30) có dạng

u(t)dt +

Z 1 0

0.25u(t)dt

u1 = e0.25− 1.25 + 1

12 [u0+ u1]+ 1

+) u2 ≈ u(0.5) = e0.5 − 1.5 +

Z 0.5 0

u(t)dt +

Z 1 0

0.5u(t)dt

u2 = e0.5 − 1.5 + 1

12 [u0+ 4u1+ u2]+ 1

0.75u(t)dt +

Z 0.75 0

0.75u(t)dt

(2.34)

u3 = e0.75 − 1.75 + 1

12 [u0+ u3+ 2u2+ 4u4]+ 1

u(t)dt +

Z 1 0

Từ (2.30), (2.31), (2.32), (2.33), (2.35), (2.36), ta có hệ phương trình tuyếntính với ẩn (a, b, c, d, g)

So sánh kết quả với nghiệm chính xác tại các điểm chia ta có bảng sau

Ví dụ 2.5 Giải phương trình tích phân sau bằng công thức parabol

u0 ≈ u(0), u1 ≈ u(0.1), u2 ≈ u(0.2), u3 ≈ u(0.3), u4 ≈ u(0.4), u5 ≈ u(0.5),

u6 ≈ u(0.6), u7 ≈ u(0.7), u8 ≈ u(0.8), u9 ≈ u(0.9), u10 ≈ u(1)

Thay x bởi xi, khi đó phương trình (2.37) có dạng

(xi + t) u(t)dt (2.38)+) i = 0, khi đó phương trình (2.38) trở thành



(0.1 − t)u(t)d +

Z 1 0

(0.2 − t)u(t) dt +

Z 1 0

(0.3 − t)u(t)dt+

Z 1 0

u4 ≈ u(0.4) = −1 − 3.(0.4)2− 2.(0.4)3+

Z 0.4 0

(0.4 − t)u(t)dt +

Z 1 0

(0.5 − t)u(t)dt+

Z 1 0

(0.6 − t)u(t)dt+

Z 1 0

u7 ≈ u(0.7) = −1 − 3.(0.7)2− 2.(0.7)3+

Z 0.7 0

(0.7 − t)u(t)dt+

Z 1 0

u8 ≈ u(0.8) = −1 − 3.(0.8)2− 2.(0.8)3+

Z 0.8 0

(0.8 − t)u(t)dt

Z 1 0

u9 ≈ u(0.9) = −1 − 3.(0.9)2− 2.(0.9)3+

Z 0.9 0

(0.9 − t)u(t)dt+

Z 1 0

u10 ≈ u(1) = −1 − 3 · (1)2− 2.(1)3+

Z 1 0

(1 − t)u(t)dt +

Z 1 0

Ta sử dụng Maple giải hệ phương trình trên, phần mềm cho ta kết quả là{u0 = 5.985821229, u1 = 7.168715235, u2 = 7.699239095, u3 = 9.548997246

u4 = 10.75412235, u5 = 11.92294159, u6 = 14.08533742, u7 = 14.30042745

u8 = 15.51679387, u9 = 16.68060558, u10 = 17.89882536}

Bằng phương pháp chuỗi ta tìm được nghiệm chính xác u(x) = 6 + 12x

So sánh kết quả với nghiệm chính xác u(x) = 6 + 12x tại các điểm chia ta cóbảng sau

Kết luận

Khóa luận trình bày Phương pháp cầu phương giải xấp xỉ phương trình tíchphân tuyến tính Volterra – Fredholm, đồng thời trình bày một số ví dụ cụthể Khóa luận gồm hai chương

Chương một trình bày các kiến thức nền tảng liên quan đến đề tài: Khônggian Banach, một số không gian hàm, tích phân phụ thuộc tham số, côngthức cầu phương, trong đó em chia công thức cầu phương thành công thứchình thang, công thức parabol và có áp dụng cụ thể trong chương hai

Chương hai trình bày phương pháp cầu phương giải phương trình tích phântuyến tính Volterra- Fredholm loại hai nhờ công thức hình thang và công thứcparabol có minh họa bằng các ví dụ cụ thể Trong mỗi ví dụ ta rời rạc hóaphương trình bằng công thức cầu phương thì ta được hệ phương trình tuyếntính, giải hệ phương trình tuyến tính bằng phần mềm Maple ta được nghiệmxấp xỉ dưới dạng bảng số Sau mỗi ví dụ minh họa có lập bảng đánh giá sai

số giữa nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ thu được bằng phương pháp cầuphương

Mặc dù em đã cố gắng hết sức, song do kiến thức hạn chế nên khóa luậnkhông thể tránh khỏi những thiếu sót, em rất mong nhân được đóng góp củacác thầy cô và các bạn để khóa luận được hoàn thiện tốt hơn

Em xin chân thành cảm ơn

Tài liệu tham khảo

Tiếng Việt

[1] Phạm Kỳ Anh (1995), Giải tích số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.[2] Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn VănTuấn, Nguyễn Tường (2001), Giải tích số, NXB Giáo dục

[3] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Tuấn (2009), Giải tíchtập 3, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội

[4] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa học và Kĩ thuật HàNội

[5] Phạm Huy Điển (chính biên) (2002), Tính toán, lập trình và giảng dạytoán học trên Maple, NXB Khoa học và Kĩ thuật Hà Nội

PHƯƠNG PHÁP CẦU PHƯƠNG GIẢI XẤP

XỈ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH VOLTERRA - FREDHOLM< /h3>

Chương trình bày phương pháp cầu phương giải phương trình tích phântuyến tính. .. cơng thức cầu phương giải xấp xỉ phương< /h3>

trình tích phân tuyến tính Volterra - Fredholm loại hai

Giả sử phương trình tích phân tuyến tính Volterra – Fredholm loại hai... luận

Khóa luận trình bày Phương pháp cầu phương giải xấp xỉ phương trình tíchphân tuyến tính Volterra – Fredholm, đồng thời trình bày số ví dụ cụthể Khóa luận gồm hai chương

Chương trình bày