Xấp xỉ hàm theo dung lượng của hàm chỉnh hình bởi các hàm hữ tỉ

Trong các mục tiếptheo giới thiệu dung lượng tương đối CK, D, hội tụ theo dung lượng.Chương 2: Chứng minh rằng khẳng định của Goncar vẫn còn đúng nếudãy chỉ hội tụ nhanh theo dung lượng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐINH CÔNG SƠN

XẤP XỈ THEO DUNG LƯỢNG CỦA HÀM CHỈNH HÌNH BỞI CÁC HÀM HỮU TỶ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2013

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐINH CÔNG SƠN

XẤP XỈ THEO DUNG LƯỢNG CỦA HÀM CHỈNH HÌNH BỞI CÁC HÀM HỮU TỶ

Chuyên nghành: Toán giải tích

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

GS.TSKH NGUYỄN QUANG DIỆU

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2013

Tác giả

Đinh Công Sơn

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu trích dẫn đều có nguồn gốc rõ ràng, các kết quả trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố ở bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận văn

Đinh Công Sơn

Xác nhận của cán bộ hướng dẫn Xác nhận của trưởng khoa chuyên môn

GS.TSKH Nguyễn Quang Diệu

Mở đầu 1

1.1 Hàm đa điều hòa dưới 2

1.1.1 Hàm điều hòa dưới 2

1.1.2 Hàm đa điều hòa dưới 10

1.2 Khái niệm dung lượng tương đối 17

1.2.1 Các định nghĩa 17

1.2.2 Các tính chất của dung lượng tương đối 20

1.3 Khái niệm hội tụ theo dung lượng 25

2 Hội tụ nhanh theo dung lượng của dãy hàm hữu tỷ 27

Mở đầu

Ký hiệu < là tập hợp các hàm giải tích f xác định trên một lân cậncủa 0 ∈ Cn sao cho tồn tại dãy các hàm hữu tỷ {rn} ,deg rn 6 n saocho:|f − rn|

đa cực Luận văn bao gồm phần Mở đầu, hai chương nội dung chính, Kếtluận và Tài liệu tham khảo

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị, trước hết trong mục 1.1 trình bày kháiquát về hàm điều hòa dưới, hàm đa điều hòa dưới Trong các mục tiếptheo giới thiệu dung lượng tương đối C(K, D), hội tụ theo dung lượng.Chương 2: Chứng minh rằng khẳng định của Goncar vẫn còn đúng nếudãy chỉ hội tụ nhanh theo dung lượng trên một tập con không đa cực

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Hàm đa điều hòa dưới

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X là không gian tôpô Hàm u: X → [−∞; +∞)gọi là nửa liên tục trên trên X nếu với mỗi α ∈ R tập

u(x) < u(x0) + ε, nếu u(x0) 6= −∞,

u(x) < −1

ε, nếu u(x0) = −∞.

Hàm u gọi là nửa liên tục trên trên X nếu u nửa liên tục trên tại mọi

x0 ∈ X

Mặt khác nếu ta định nghĩa: giả sử E ⊂ X và u: E → [− ∞; +∞)là hàmtrên E Giả sử x0 ∈ E Ta định nghĩa:

là SH(Ω) Sau đây là các ví dụ đáng chú ý về hàm điều hòa dưới

Bổ đề 1.1.3 Nếu f: Ω → C là hàm chỉnh hình trên Ω thì log |f | là hàmđiều hòa dưới trên Ω

Chứng minh: Trường hợp f ≡ 0 trên Ω thì kết quả là rõ ràng Giả sử

f 6= 0 trên Ω Giả sử ω ∈ Ω, nếu f (ω) 6= 0 thì chọn τ > 0 sao cho f 6= 0trên B(ω, τ ) = { z ∈ Ω : |z − ω| < τ} Khi đó log |f | là hàm điều hòatrên B(ω, τ ) = { z ∈ Ω : |z − ω| < τ} nên (1.1) được thỏa mãn với dấuđẳng thức Trường hợp f (ω) = 0, khi đó log |f (ω)| = −∞ và do đó (1.1)

luôn đúng.

Bổ đề 1.1.4 Giả sử u,v là các hàm điều hòa dưới trên tập mở Ω trong C.Khi đó:

(i) max(u,v) là hàm điều hòa dưới trên Ω

(ii) Tập các hàm điều hòa dưới trên Ω là một nón, nghĩa là nếu u, v ∈SH(Ω); α, β > 0 thì αu + βv ∈ SH(Ω)

Định lý 1.1.5 Giả sử u là hàm điều hòa dưới trên miền bị chặn Ω trên

C Khi đó:

(i) Nếu u đạt cực đại toàn thể tại một điểm trên Ω thì u là hằng số trênΩ

(ii) Nếu lim

z→ςsup u(z) 6 0 đối với mọi ς ∈ ∂Ω thì u 6 0 trên Ω

Chứng minh

(i) Giả sử u nhận giá trị cực đại M tại điểm z0 ∈ Ω

Đặt A = {z ∈ Ω : u(z) < M } ; B = {z ∈ Ω : u(z) = M } Khi đó A là tập

mở vì u là hàm nửa liên tục trên Từ bất đẳng thức dưới trung bình tathấy B cũng là tập mở Ta có Ω = A ∪ B, A ∩ B = φ Do đó hoặc A = Ω

và B = Ω Nhưng theo giả thiết B 6= φ nên B = Ω và (i) được chứngminh

(ii) Mở rộng u lên Ω nhờ đặt u(ς) = lim

z→ςsup u(z), (ς ∈ ∂Ω) Do Ω làtập compact nên u đạt cực đại tại ω ∈ Ω Nếu ω ∈ ∂Ω thì do giả thiếtu(ω) 6 0 Do đó u6 0 trên Ω

Trường hợp ω ∈ Ω thì theo (i) u là hằng số trên Ω Do đó nó là hằng sốtrên Ω, vậy thì u 6 0 trên Ω

Sau đây là tiêu chuẩn nhận biết khi nào một hàm nửa liên tục trên là hàmđiều hòa dưới.

Định lý 1.1.6 Giả sử Ω là tập mở trong C Khi đó các phát biểu sau làtương đương:

(i) u là hàm điều hòa dưới trên Ω

(ii) Với mọi ω ∈ Ω, tồn tại τ > 0 sao cho ∆(ω, τ > 0) ⊂ Ω và với mọi

(iii) Với mọi miền D compact tương đối trong Ω và h là hàm điều hòa trên

D, liên tục trên D thỏa mãn:

∂y2 là Laplace của u

Chứng minh Giả sử ∆u > 0 trên Ω Lấy D là miền compact tương đốitrong Ω và h điều hòa trên D, liên tục trên D sao cho:

lim

Với ε > 0 xác định

vε(z) =

(u(z) − h(z) + ε|z|2

ε|z|2

, z ∈ D,, z ∈ ∂D

Khi đó, vε nửa liên tục trên D nên nó đạt cực đại trên D Tuy nhiên

do ∆vε = ∆u + 4τ > 0 trên D nên vε đạt cực đại trên ∂D Do đó

u − h 6 sup∂Dε|z|2 trên D Cho ε → 0 ta được u 6 h trên D và do đó uđiều hòa dưới trên D

Ngược lại, giả sử u là hàm điều hòa dưới trên Ω Giả thiết tại u ∈ Ω ta có

∆u(ε) < 0 Do đó có τ > 0 sao cho ∆u6 0 trên ∆(ω, τ ) Vậy ∆u(ε) = 0

và gặp mâu thuẫn Do đó ∆u > 0 và định lý được chứng minh

Định lý 1.1.9 Giả sử u là hàm điều hòa dưới trên tập mở Ω1 và v là hàmđiều hòa dưới trên tập mở Ω2 ⊂ Ω1 Giả thiết lim

z→ςsup v(z) 6 u(ς), với mọi

ς ∈ Ω1 ∩ ∂Ω2 Khi đó hàm ue xác định trên Ω1:

e

u =

(max(u, v) tren Ω2

u tren Ω1\Ω2

là điều hòa dưới trên Ω1

Chứng minh Từ điều kiện lim

z→ςsup v(z) 6 u(ς), đối với mọi ς ∈ Ω1∩ ∂Ω2suy ra hàmuenửa liên tục trên trênΩ1 Dễ thấyuethỏa mãn bất đẳng thứcdưới trung bình tại mọi ω ∈ Ω1\Ω2 Định lý được chứng minh

Định lý 1.1.10 Giả sử u là dãy giảm các hàm điều hòa dưới trên tập mở

Ω trên C và u = lim un

n→∞

Khi đó u là điều hòa dưới trên Omega

Chứng minh Đầu tiên ta chứng minhu nửa liên tục trên trênΩ Với mỗi

α ∈ R, tập {z ∈ Ω : u(z) < α} = ∞∪

n {z ∈ Ω : u(z) < α} là tập mở Vậy unửa liên tục trên trên Ω, do mỗi un thỏa mãn bất đẳng thức dưới trungbình trên ω Do đó u là điều hòa dưới trên ω

Định lý 1.1.11 Giả sử u là hàm điều hòa dưới trên miền Ω Khi đó ukhả tích địa phương trên Ω, nghĩa là với mọi K b Ω ta có:

Giả sử ω ∈ A Chọn τ > 0 sao cho (1.2) đúng Với mỗi u ∈ ∆(ω, τ ), đặte

Định nghĩa 1.1.13 Giả sử −∞ 6 a < b 6 +∞ và ψ : (a, b) → R làhàm trên (a,b) Hàm ψ gọi là lồi trên khoảng (a,b) nếu nó thỏa mãn điềukiện sau:

ψ((1 − λ)t1 + λt2) 6 (1 − λ)ψ(t1) + λψ(t2),với mọi t1, t2 ∈ (a, b), với mọi 0 6 λ 6 1

Định lý 1.1.14 (Bất đẳng thức Jensen)

Giả sử −∞ 6 a < b 6 +∞ và ψ : (a, b) → R là hàm lồi Nếu (Ω, µ) làkhông gian đo với µ(Ω)=1 và f : Ω → (a, b) là hàm khả tích thì ta có bấtđẳng thức:

Chứng minh Chọn dãy {an} ⊂ (a, b) sao cho an & a Với mỗi n đặt

un = max(u, an) Khi đó un là hàm điều hòa dưới trên Ω Do ψ tăng

và un là nửa liên tục trên nên ψ ◦ un là hàm điều hòa dưới trên Ω Nếu

∆(ω, τ ) ⊂ Ω thì từ tính điều hòa dưới của un và tính tăng của ψ cùng vớibất đẳng thức Jensen ta có:

Do đó ψ ◦ un là hàm điều hòa dưới trên Ω

Nhưng ψ ◦ un & ψ ◦ u nên kết luận của định lý được suy ra từ Định lý1.1.10 ở trên

Định nghĩa 1.1.16 Giả sử Ω là tập mở của C Với mỗi r>0 đặt

Ωr = {z ∈ Ω : d(z, ∂Ω) > r}

Giả sử u : Ω → [ − ∞, ∞) là hàm khả tích địa phương trên Ω và giả sử

φ : C → R là hàm khả tích địa phương với suppφ ⊂ ∆(0, r) Khi đó taxác định được tích chập u ∗ φ : Ωr → R theo công thức

Định lý 1.1.17 Giả sử u là hàm điều hòa dưới trên tập mở Ω ⊂ C với

u 6= −∞ Giả sử u 6= −∞ là hàm cho bởi:

χ(x) =





ke

Vậy u ∗ χr & u trên Ω.

Định nghĩa 1.1.18 Giả sử Ω ⊂ Cn là tập mở, u: Ω → [−∞, +∞) làhàm nửa liên tục trên, không đồng nhất bằng −∞ trên mọi thành phần liênthông của Ω Hàm u gọi là đa điều hòa dưới trên Ω (viết u ∈ P SH(Ω))nếu với mọi a ∈ Ω, b ∈ Cn, hàm λ 7→ u(a + λb) là hàm điều hòa dưới hoặcbằng −∞ trên mọi thành phần liên thông của tập {λ ∈ C : a + λb ∈ Ω}

Định lý 1.1.19 Giả sử u : Ω → [− ∞, +∞) là hàm nửa liên tục trên,không đồng nhất bằng −∞ trên mọi thành phần liên thông của Ω ⊂ Cn.Khi đó u ∈ P SH(Ω) khi và chỉ khi với mọi a ∈ Ω, b ∈ Cn sao cho

u(a + reiθb)dθ := l(u, a, b)

Chứng minh Điều kiện cần được suy ra từ Định nghĩa 1.1.16 ở trên Điềukiện đủ: Giả sử a ∈ Ω, b ∈ Cn và xét

U = {λ ∈ C : a + λb ∈ Ω},khi đóU là tập mở trên C Đặt v(λ) = u(a + λb), λ ∈ U Cần chứng minhv(λ) là điều hòa dưới trên U Muốn vậy chỉ cần chứng tỏ nếu λ0 ∈ U tồntại ρ > 0 sao cho với 0 6 r < ρ thì

0

u(a + λ0b + rbeiθ)dθ,

ta có v(λ0) ≤ 1

2πR

0

v(λ0 + reiθ)dθ, đó là điều phải chứng minh

Định lý 1.1.20.(Định lý xấp xỉ cho các hàm đa điều hòa dưới)

Giả sử Ω ∈ P SH(Ω) Nếu ε > 0 sao cho Ωε := {z ∈ Ω : d(z, ∂Ω) > ε} 6=

∅ thì u ∗ χε ∈ C∞ ∩ P SH(Ωε) Họ {u ∗ χε : ε > 0} là đơn điệu giảm khi

ε ↓ 0 và

lim

ε→0u ∗ χε(z) = u(z)xảy ra với mọi z ∈ Ω

Để chứng minh định lý trên ta cần bổ đề sau:

Bổ đề 1.1.21.Giả sử Ω ⊂ Cn là tập mở và u ∈ L1loc(Ω) Khi đó với mọi

Ru(z + eiθb − ω)dθ)χε(ω)dλ(ω)

l(u ∗ χε; a, b) = (l(u, , b) ∗ χε)(a)

minh với z ∈ Ωε1 thì

(1.4) u ∗ χε1(z) > u ∗ χε2(z)

Bất đẳng thức (1.4) được chứng minh bằng quy nạp theo n Với n = 1thì (1.4) được chứng minh ở Định lý 1.1.17 Khi đó có thể viết (1.4) dướidạng:

Tiếp theo ta chứng minh lim

ε→0u ∗ χε(z) = u(z), z ∈ Ω Giả sử z ∈ Ω, bởitính nửa liên tục trên tại z nên với η > 0 có ε1 > 0 sao cho z ∈ Ωε1 vàu(z) < u(z) + η, y ∈ B(z, ε1) Từ đó nếu ε < ε1 ta có

u ∈ P SH(Ω) khi và chỉ khi Hessian Hu(z) = ∂

2u

∂zj∂zk

của u tại z xácđịnh dương, nghĩa là với mọi ω = (ω1, ω2, , ωn) ∈Cn,

Định lý sau đây mô tả tính đa điều hòa dưới của u qua đạo hàm theonghĩa phân bố và cần dùng cho việc chứng tỏ ddcu là dòng dương đóngsong bậc (1,1)

Định lý 1.1.23 Giả sử Ω ⊂ Cn là tập mở và u ∈ P SH(Ω) Khi đó vớimọi b = (b1, b2, , bn) ∈ Cn ta có

Theo nghĩa phân bố thì hàm u = lim

ε→0(v ∗ χε) là hàm đa điều hòa dưới trên

Ω và v hầu khắp nơi trên Ω

Chứng minh Giả sử u ∈ P SH(Ω) và đặt uε = u ∗ χε Khi đó u ∈

P SH(Ωε) ∩ C0∞(Ω) Lấy ϕ ∈ C0∞(Ω), ϕ > 0 và b = (b1, b2, , bn) ∈ Cn

Từ định lý hội tụ chặn Lebesgue cùng với tích phân từng phần và Định lý

Mặt khác, theo Định lý Fubini và Định lý 1.1.20, với 0 < ε1 < ε2, z ∈ Ωε2

Vậy họ { vε(z)} ε>0 là dãy giảm Đặt u(z) = lim

ε→0vε(z) Khi đó u nửa liêntục trên trênΩ Do định lý hội tụ đơn điệu và tính đa điều hòa dưới của vεtrên Ωε kéo theo u ∈ P SH(Ω) Mặt khác, từ định nghĩa của tích chập vàđẳng thức R

Cn

χε(ω)dλ(ω) = 1 suy ra họ { vε} hội tụ tới v trong L1loc(Ω).Vậy vε hội tụ hầu khắp nơi tới v trên Ω Do đó u = v hầu khắp nơi trênΩ

Bổ đề 1.1.24 Giả sử Ω1 ⊂ Cn, Ω2 ⊂ Cm là các tập mở và f : Ω1 → Ω2

là ánh xạ chỉnh hình Giả sử u ∈ P SH(Ω2) Khi đó u ◦ f ∈ P SH(Ω1).Chứng minh Chỉ cần xét trường hợp u ∈ C2(Ω2) Trường hợp tổng quátsuy ra từ trường hợp này và Định lý xấp xỉ 1.1.20 Với z ∈ Ω1 và ω ∈ Cndạng Levi của u tại z với vectơ ω là

Do u ∈ P SH(Ω2) ∩ C2(Ω2) Vậy u ◦ f ∈ P SH(Ω1).

1.2 Khái niệm dung lượng tương đối

Giả sử Ω là một tập mở trong Cn, hàm u: Ω → R ∪ {−∞} là hàm đađiều hòa dưới (p.s.h) nếu u là nửa liên tục và giới hạn theo dòng điều hòadưới

Ta kí hiệu P(Ω) là hàm đa điều hòa dưới trên Ω Tập con E ⊂ Ω là đacực nếu tồn tại u ∈ P (Ω) mà E ⊂ {z ∈ Ω|u(z) = −∞}

Giả sử E là một tập con Borel đầy của một miền siêu lồi mở Ω (miềnsiêu lồi mở bao gồm tất cả các tập lồi, bị chặn; chỉ cần xem xét các khônggian Euclide trong luận văn này Dung lượng tương đối của E trong Ωđược định nghĩa bởi:

(2.1) Cap(E, Ω) := sup

R

Ω

(ddcu)N|u ∈ P (Ω), 0 < u < 1



Ở đây (ddcu)N biểu thị phi tuyến của toán tử Monge - Ampere trên

u ∈ C2(Ω),(ddcu)N

Đặc biệt, cho u = PN

i=1|zi|2, (ddcu)N = cNλ(1.11),(ddcu)N là một tậpBorel địa phương hữu hạn đo [K,chương 3]

Hàm cực trị tương đối của E trong Ω được định nghĩa:

Một tập hữu hạn K ⊂ Ω1∩ Ω2, với Ω1, Ω2 là các miền siêu lồi mở, theo

bổ đề 3.5 của [A-T] có các hằng số A1, A2 sao cho với mọi tập Borel E ⊂ K

ta có:

(2.10) Cap(E, Ω1) ≤ A1Cap(E, Ω2) ≤ A2Cap(E, Ω1)

Với tập siêu lồi mở Ω1 ⊂⊂ Ω2 có một hằng số A > 0 sao cho với mọitập Borel E ⊂ Ω1:

Cho z0 ∈ CN ta kí hiệu B(z0, R) là hình cầu tâm z0, bán kính R Khi

đó B(z0, R) = z ∈ CN| |z − z0| < R Mặt khác tập hàm dung lượng ta

sẽ sử dụng là một tập compact K ⊂ B(0, R):

(2.12) TR(K) := exp(− sup VK∗(z)),

|z|≤R

trong đó VK∗ theo quy tắc là toàn bộ các hàm cực trị đa điều hòa dưới của

K, xem[K,Chương 5] VK∗ được định nghĩa là chính quy, nửa liên tục trêncủa

VK(z) := Max(0,sup

log |p(z)|

der và Taylor [A-T](xem [Ko]).

Giả sử K là một tập con của B(0, p) Đặt B := B(0, R) với p < R Khi

đó có hằng số A(p) > 0 sao cho:





Tính chất 1 Cho Ω ⊂ Cn là tập mở, bị chặn và E ⊂ Ω là tập Borel Nếu

K

(ddcu)n : u ∈ P SH(Ω), −1 < u < 0



Do Ej ⊂ E, ∀j nên:

Cap(E, Ω) = sup

R

E

(ddcu)n : u ∈ P SH(Ω), −1 < u < 0



≥sup Cap(E, Ω) =

(R

∂2ϕ

∂zj∂zj

compact trong Ω và A là hằng số lớn hơn 0

Tính chất 5 Cho Ω ⊂ Cn là tập mở, bị chặn và E ⊂ Ω là tập Borel Nếu

∃u ∈ P SH(Ω), u < 0 trên Ω: u|E = −∞ thì

(ddcν)n(do u = −∞ trên K) Chọn ϕ ∈ C0∞(Ω) sao cho

ϕ = 1; 06 ϕ6 1 trên lân cận của K, ta có:

(ddcν)n 6 cEkukL1 (E), cE > 0 là hằng số chỉ phụ thuộc vào K

Đây là hệ quả của định lý hội tụ đơn điệu Bedford-Taylor Cụ thể hơn

ta lấy dãy v ∗ ρε, ρε là dãy các nhân trơn chuẩn tắc Ta có vε & v, vε ∈

và B = B(0, R) là hình cầu chứa K Giả sử K không đa cực và {Kn} làmột dãy các tập con compact của K sao cho lim

Tính chất 7 Giả sử K ⊂ CN là một tập compact với độ đo Lesbesguedương 2N và B = B(0, R) là một hình cầu chứa K Gọi {Kn} là một dãy

các tập con compact của K sao cho lim

n→∞λ(K\Kn) = 0 Giả sử có mộthằng số δ > 0 không phụ thuộc vào dãy {Kn} sao cho với mọi n đủ lớnCap(Kn, B) ≥ δ và TR(Kn) ≥ δ

và mọi siêu lồi Ω ⊃ K chúng ta có:

n→∞Cap ({z ∈ K| |fn(z) − f (z)| > a} , Ω) = 0

Do (2.10), nếu (2.17) đúng cho một siêu lồi Ω ⊃ K thì nó đúng cho tậpsiêu lồi mở bất kỳ.

1.3 Khái niệm hội tụ theo dung lượng

Nếu {fn} là một dãy hàm đo được của tập Borel trên một tập mở

Ω ⊂ CN Ta nói nó hội tụ theo dung lượng tới một hàm đo được Borel ftrên Ω nếu fn hội tụ tới f theo dung lượng trên mọi tập con compact củaΩ

Từ (2.11) thấy rằng hội tụ theo dung lượng là hội tụ theo độ đo Nhưvậy, ta có:

qn(z).Với pn và qn là các đa thức có bậc ≤ n( ta giả thiết qn 6= 0)

Giả sử f (z) giải tích trên một tập mở Ω ⊂ CN Theo Goncar [G3],chúng ta có dãy các hàm hữu tỷ {rn} hội tụ nhanh theo dung lượng tới ftrên Ω Khi đó, rn hội tụ nhanh theo dung lượng tới f trên tập compact

K ⊂ Ω nếu với mọi a > 0 và với mọi tập siêu lồi mở Ω1 ⊃ K:

Ta nói dãy {rn} hội tụ nhanh tới f trên Ω nếu dãy

n

|fn− rn(z)|1/nohội tụ tới 0 trên Ω (resp.,hội tụ tới 0 trên K) Khi đó {rn} hội tụ nhanhtới f trên tập compact K ⊂ Ω nếu, mọi a > 0, ta có:

Giả sử K là một tập compact, không đa cực của B(0, R) và u(z) :=

u∗K,B(0,10R)(z)theo quy tắc là hàm cực trị tương đối của K trongB(0, 10R)

Bổ đề 2.1 đánh giá u(z) trên mặt cầu |z| = 2R Đánh giá chỉ phụ thuộcvào Cap(K, B(0, 10R))

3.3 của [A-T], có hằng số c0 > 0 bất kỳ sao cho:

Ta có Cap(K, B(0, 10R)) ≤ −c0u(T z0) với mọi không gian unita T Với

c = 1

c0 trong nội dung của Bổ đề 2.1(đpcm).

Bổ đề tiếp theo cho thấy nếu một hàm hữu tỷ là một xấp xỉ đồng nhấtđến một hàm giải tích trên một tập có dung lượng dương trong một hìnhcầu, khi đó nó có mẫu không quá nhỏ Đặc biệt, giả sử K là một tập concompact của B(0, R) với K không đa cực Giả sử f chỉnh hình trên mộtlân cận củaB(0, 10R) và với M > 0 là một hằng số thỏa mãn |f (z)| ≤ Mvới z ∈ B(0, 10R) Đặt rn(z) = pn(z)

qn(z) là một hàm hữu tỷ có bậc ≤ n đượcchuẩn hóa:

Bổ đề 2.2 Cho a thỏa mãn điều kiện 0 < a < 1:

Nếu {fn} dãy hàm đo tập Borel tập mở

Ω ⊂ CN Ta nói hội tụ theo dung lượng tới hàm đo Borel ftrên Ω fn hội tụ tới f theo. .. CN Theo Goncar [G3],chúng ta có dãy hàm hữu tỷ {rn} hội tụ nhanh theo dung lượng tới ftrên Ω Khi đó, rn hội tụ nhanh theo dung lượng tới f tập...

c0 trong nội dung Bổ đề 2.1(đpcm).

Bổ đề cho thấy hàm hữu tỷ xấp xỉ đồng nhấtđến hàm giải tích tập có dung lượng dương hìnhcầu, có mẫu khơng q nhỏ Đặc biệt,